高知大学 2014年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。今回は高知大学 2014年度（平成26年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。高知大学は四国を代表する国立大学として、理学部・医学部・農学部など多様な学部を持ち、数学の入試問題も基礎から応用まで幅広い力が問われます。この記事では、各大問の詳細な解説はもちろん、解法のポイント、別解、さらには類似問題での練習まで、合格に必要なすべてを網羅しています。ぜひ最後までお読みいただき、高知大学合格への道を切り開いてください！

試験概要・難易度

2014年度（平成26年度）高知大学 数学試験の概要

高知大学の前期日程における数学試験は、学部・学科によって出題範囲や問題数が異なります。2014年度の試験概要は以下の通りです。

2014年度の全体講評

2014年度の高知大学数学は、全体的に標準的な難易度でした。基本的な計算力と、教科書レベルの定理・公式の正確な理解が求められる良問が揃っています。特に以下の特徴が見られました：

• 微分・積分：関数の増減、極値、面積計算など、定番の出題が中心
• ベクトル：平面ベクトルの内積、位置ベクトルを用いた図形問題
• 数列：等差数列・等比数列の一般項、漸化式の解法
• 確率：条件付き確率や期待値の計算
• 三角関数：加法定理、合成の活用

難易度の分布としては、大問1・2が基本～標準レベル、大問3が標準レベル、大問4がやや発展的という構成でした。時間配分を意識し、確実に解ける問題から取り組むことが重要です。

合格に必要な得点目安

学部別の合格に必要な目安得点は以下の通りです（200点満点の場合）：

• 医学部医学科：160点以上（80%以上）を目標に
• 理学部：130点以上（65%以上）が合格ライン
• 農学部：120点以上（60%以上）を確保したい
• 教育学部：110点以上（55%以上）で安全圏

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

まず、$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ を平方完成します。

$$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a + 2$$

この二次関数は下に凸の放物線であり、頂点の座標は $(a, -a^2 + a + 2)$ です。

したがって、$f(x)$ の最小値は：

$$boxed{-a^2 + a + 2}$$

【(2)の解答】

区間 $0 leq x leq 2$ における最大値と最小値を求めます。軸の位置 $x = a$ と区間 $[0, 2]$ の関係で場合分けが必要です。

◆ 場合1：$a < 0$ のとき

軸 $x = a$ は区間の左側にあるため、$f(x)$ は $[0, 2]$ で単調増加。

• 最小値：$f(0) = a + 2$
• 最大値：$f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a$

◆ 場合2：$0 leq a leq 1$ のとき

軸 $x = a$ は区間 $[0, 2]$ の左半分にあります。

• 最小値：$f(a) = -a^2 + a + 2$
• 最大値：$f(2) = 6 - 3a$（区間の右端）

◆ 場合3：$1 < a leq 2$ のとき

軸 $x = a$ は区間 $[0, 2]$ の右半分にあります。

• 最小値：$f(a) = -a^2 + a + 2$
• 最大値：$f(0) = a + 2$（区間の左端）

◆ 場合4：$a > 2$ のとき

軸 $x = a$ は区間の右側にあるため、$f(x)$ は $[0, 2]$ で単調減少。

• 最小値：$f(2) = 6 - 3a$
• 最大値：$f(0) = a + 2$

問題では $a > 0$ という条件があるため、場合1は該当しません。

【解答のまとめ】
・$0 < a leq 1$ のとき：最小値 $-a^2 + a + 2$、最大値 $6 - 3a$
・$1 < a leq 2$ のとき：最小値 $-a^2 + a + 2$、最大値 $a + 2$
・$a > 2$ のとき：最小値 $6 - 3a$、最大値 $a + 2$

【(3)の解答】

$0 leq x leq 2$ で $f(x) geq 0$ が常に成り立つ条件は、この区間での最小値が0以上であることです。

(2)の結果を用いて、各場合で最小値 $geq 0$ を確認します。

◆ $0 < a leq 2$ のとき

最小値は $-a^2 + a + 2$ なので：

$$-a^2 + a + 2 geq 0$$

$$a^2 - a - 2 leq 0$$

$$(a - 2)(a + 1) leq 0$$

$$-1 leq a leq 2$$

$a > 0$ より、$0 < a leq 2$ の全範囲で条件を満たします。

◆ $a > 2$ のとき

最小値は $6 - 3a$ なので：

$$6 - 3a geq 0$$

$$a leq 2$$

これは $a > 2$ と矛盾するため、この場合は条件を満たしません。

$$boxed{0 < a leq 2}$$

別解・発展

【別解：(3)を判別式を用いて解く】

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2 geq 0$ が $0 leq x leq 2$ で成り立つ条件を、別のアプローチで考えます。

二次関数 $f(x)$ が区間 $[0, 2]$ で常に非負となる条件は：

1. $f(0) geq 0$ かつ $f(2) geq 0$ かつ「軸が区間外」または「軸が区間内で頂点が非負」

$f(0) = a + 2 > 0$（$a > 0$ より常に成立）

$f(2) = 6 - 3a geq 0 Rightarrow a leq 2$

軸 $x = a$ が区間 $[0, 2]$ 内にあるとき（$0 < a leq 2$）、頂点の $y$ 座標が非負であることを確認：

$-a^2 + a + 2 geq 0$（上で確認済み）

したがって、$0 < a leq 2$ が答えとなります。

【発展】パラメータを含む二次関数の扱い

この問題は「軸と区間の位置関係」による場合分けが本質です。高知大学では頻出のパターンであり、以下の点を押さえておきましょう：

• 軸が区間の左側・区間内（左半分）・区間内（右半分）・区間の右側の4パターン
• 区間の中点と軸の位置を比較することで、最大値の場所を特定
• 「常に成り立つ」条件は、最小値または最大値の条件に帰着

大問2：三角関数と方程式

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

$t = sintheta + costheta$ の両辺を2乗します：

$$t^2 = sin^2theta + 2sinthetacostheta + cos^2theta$$

$$t^2 = 1 + 2sinthetacostheta$$

したがって：

$$sinthetacostheta = frac{t^2 - 1}{2}$$

次に、$t$ の範囲を求めます。三角関数の合成より：

$$t = sintheta + costheta = sqrt{2}sinleft(theta + frac{pi}{4}right)$$

$0 leq theta < 2pi$ より $frac{pi}{4} leq theta + frac{pi}{4} < frac{9pi}{4}$

$sin$ の値域は $[-1, 1]$ なので：

$$boxed{sinthetacostheta = frac{t^2 - 1}{2}, quad -sqrt{2} leq t leq sqrt{2}}$$

【(2)の解答】

方程式 $sintheta + costheta + sinthetacostheta = 1$ に $t = sintheta + costheta$, $sinthetacostheta = frac{t^2-1}{2}$ を代入：

$$t + frac{t^2 - 1}{2} = 1$$

$$2t + t^2 - 1 = 2$$

$$t^2 + 2t - 3 = 0$$

$$(t + 3)(t - 1) = 0$$

$$t = -3, 1$$

$-sqrt{2} leq t leq sqrt{2}$ より、$t = 1$ のみ適。

$t = 1$ のとき：

$$sqrt{2}sinleft(theta + frac{pi}{4}right) = 1$$

$$sinleft(theta + frac{pi}{4}right) = frac{1}{sqrt{2}}$$

$frac{pi}{4} leq theta + frac{pi}{4} < frac{9pi}{4}$ の範囲で：

$$theta + frac{pi}{4} = frac{pi}{4}, frac{3pi}{4}, frac{9pi}{4}$$

ただし $theta + frac{pi}{4} = frac{9pi}{4}$ は $theta = 2pi$ となり範囲外。

$$boxed{theta = 0, frac{pi}{2}}$$

【(3)の解答】

方程式 $2sin^3theta + 2cos^3theta = sintheta + costheta$ を変形します。

$t = sintheta + costheta$ とおくと、3乗の和の公式を使います：

$$sin^3theta + cos^3theta = (sintheta + costheta)^3 - 3sinthetacostheta(sintheta + costheta)$$

$$= t^3 - 3 cdot frac{t^2-1}{2} cdot t = t^3 - frac{3t^3 - 3t}{2} = frac{2t^3 - 3t^3 + 3t}{2} = frac{-t^3 + 3t}{2}$$

元の方程式に代入：

$$2 cdot frac{-t^3 + 3t}{2} = t$$

$$-t^3 + 3t = t$$

$$-t^3 + 2t = 0$$

$$t(t^2 - 2) = 0$$

$$t = 0, pmsqrt{2}$$

すべて $-sqrt{2} leq t leq sqrt{2}$ の範囲内です。

$t = 0$ のとき：

$sintheta + costheta = 0 Rightarrow tantheta = -1$

$theta = frac{3pi}{4}, frac{7pi}{4}$

$t = sqrt{2}$ のとき：

$sinleft(theta + frac{pi}{4}right) = 1 Rightarrow theta + frac{pi}{4} = frac{pi}{2}$

$theta = frac{pi}{4}$

$t = -sqrt{2}$ のとき：

$sinleft(theta + frac{pi}{4}right) = -1 Rightarrow theta + frac{pi}{4} = frac{3pi}{2}$

$theta = frac{5pi}{4}$

$$boxed{theta = frac{pi}{4}, frac{3pi}{4}, frac{5pi}{4}, frac{7pi}{4}}$$

別解・発展

【別解：(3)を因数分解で解く】

$2(sin^3theta + cos^3theta) = sintheta + costheta$ を変形：

$$2(sintheta + costheta)(sin^2theta - sinthetacostheta + cos^2theta) = sintheta + costheta$$

$$(sintheta + costheta){2(1 - sinthetacostheta) - 1} = 0$$

$$(sintheta + costheta)(1 - 2sinthetacostheta) = 0$$

$$(sintheta + costheta)(1 - sin 2theta) = 0$$

これより $sintheta + costheta = 0$ または $sin 2theta = 1$ を解けば同じ答えが得られます。

大問3：ベクトルと図形

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

余弦定理を用いて $cos A$ を求めます。

$$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 cdot AB cdot CA cdot cos A$$

$$36 = 25 + 49 - 2 cdot 5 cdot 7 cdot cos A$$

$$36 = 74 - 70cos A$$

$$cos A = frac{38}{70} = frac{19}{35}$$

内積の定義より：

$$vec{b} cdot vec{c} = |vec{b}||vec{c}|cos A = 5 cdot 7 cdot frac{19}{35} = frac{665}{35} = 19$$

$$boxed{vec{b} cdot vec{c} = 19}$$

【(2)の解答】

点 $D$ は辺 $BC$ を $2:1$ に内分するので：

$$overrightarrow{AD} = frac{1 cdot overrightarrow{AB} + 2 cdot overrightarrow{AC}}{2 + 1} = frac{vec{b} + 2vec{c}}{3}$$

点 $E$ は辺 $CA$ を $1:2$ に内分するので（$C$ から $A$ に向かって $1:2$）：

$$overrightarrow{AE} = frac{2}{3}overrightarrow{AC} = frac{2}{3}vec{c}$$

$$boxed{overrightarrow{AD} = frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}, quad overrightarrow{AE} = frac{2}{3}vec{c}}$$

【(3)の解答】

点 $P$ は直線 $AD$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて：

$$overrightarrow{AP} = s cdot overrightarrow{AD} = sleft(frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}right) = frac{s}{3}vec{b} + frac{2s}{3}vec{c}$$

また、点 $P$ は直線 $BE$ 上にもあるので、実数 $t$ を用いて：

$$overrightarrow{AP} = overrightarrow{AB} + t cdot overrightarrow{BE}$$

ここで、$overrightarrow{BE} = overrightarrow{AE} - overrightarrow{AB} = frac{2}{3}vec{c} - vec{b}$ なので：

$$overrightarrow{AP} = vec{b} + tleft(frac{2}{3}vec{c} - vec{b}right) = (1-t)vec{b} + frac{2t}{3}vec{c}$$

$vec{b}$, $vec{c}$ は一次独立なので、係数を比較：

$vec{b}$, $vec{c}$ は一次独立なので、係数を比較：

$$frac{s}{3} = 1 - t quad cdots ①$$

$$frac{2s}{3} = frac{2t}{3} quad cdots ②$$

②より $s = t$ を得ます。これを①に代入：

$$frac{s}{3} = 1 - s$$

$$frac{s}{3} + s = 1$$

$$frac{4s}{3} = 1$$

$$s = frac{3}{4}$$

したがって：

$$overrightarrow{AP} = frac{3/4}{3}vec{b} + frac{2 cdot 3/4}{3}vec{c} = frac{1}{4}vec{b} + frac{1}{2}vec{c}$$

$$boxed{overrightarrow{AP} = frac{1}{4}vec{b} + frac{1}{2}vec{c}}$$

【(4)の解答】

三角形 $APE$ の面積を求めます。まず三角形 $ABC$ の面積を求めましょう。

$$sin A = sqrt{1 - cos^2 A} = sqrt{1 - left(frac{19}{35}right)^2} = sqrt{frac{1225 - 361}{1225}} = sqrt{frac{864}{1225}} = frac{12sqrt{6}}{35}$$

三角形 $ABC$ の面積 $S_{ABC}$ は：

$$S_{ABC} = frac{1}{2} cdot AB cdot AC cdot sin A = frac{1}{2} cdot 5 cdot 7 cdot frac{12sqrt{6}}{35} = frac{35 cdot 12sqrt{6}}{2 cdot 35} = 6sqrt{6}$$

次に、三角形 $APE$ の面積を求めます。ベクトルを用いて面積比を計算します。

$$overrightarrow{AP} = frac{1}{4}vec{b} + frac{1}{2}vec{c}$$

$$overrightarrow{AE} = frac{2}{3}vec{c}$$

三角形 $APE$ の面積と三角形 $ABC$ の面積の比は、係数の行列式の絶対値で求められます：

$$frac{S_{APE}}{S_{ABC}} = left|detbegin{pmatrix} frac{1}{4} & frac{1}{2} \ 0 & frac{2}{3} end{pmatrix}right| = left|frac{1}{4} cdot frac{2}{3} - frac{1}{2} cdot 0right| = frac{1}{6}$$

したがって：

$$S_{APE} = frac{1}{6} cdot 6sqrt{6} = sqrt{6}$$

$$boxed{S_{APE} = sqrt{6}}$$

別解・発展

【別解：面積比をメネラウスの定理で求める】

線分の比を用いて面積比を求める方法もあります。

$AP : PD = s : (1-s) = frac{3}{4} : frac{1}{4} = 3 : 1$ より、$P$ は $AD$ を $3:1$ に内分します。

三角形 $ADE$ の面積を基準に考えます：

• $overrightarrow{AD} = frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}$
• $overrightarrow{AE} = frac{2}{3}vec{c}$

$$frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = left|detbegin{pmatrix} frac{1}{3} & frac{2}{3} \ 0 & frac{2}{3} end{pmatrix}right| = frac{2}{9}$$

三角形 $APE$ は三角形 $ADE$ の $frac{AP}{AD} = frac{3}{4}$ 倍：

$$S_{APE} = frac{3}{4} cdot frac{2}{9} cdot S_{ABC} = frac{1}{6} cdot 6sqrt{6} = sqrt{6}$$

【発展】チェバの定理・メネラウスの定理との関連

この問題では、2直線の交点を求める際にベクトルの係数比較を用いました。同様の問題は、チェバの定理やメネラウスの定理を用いても解くことができます。高知大学では、ベクトルと図形の融合問題が頻出なので、複数のアプローチを身につけておきましょう。

大問4：微分・積分（数学Ⅲ）

問題

解説・解法のポイント

【(1)の解答】

$f(x) = x^2 e^{-x}$ を微分します。積の微分法を用います。

$$f'(x) = 2x cdot e^{-x} + x^2 cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = xe^{-x}(2 - x)$$

$x geq 0$ において：

• $e^{-x} > 0$（常に正）
• $x geq 0$
• $2 - x$ の符号で $f'(x)$ の符号が決まる

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ または $x = 2$ のとき。

増減表：

極値：

• $x = 0$ で極小値 $f(0) = 0$
• $x = 2$ で極大値 $f(2) = 4e^{-2} = frac{4}{e^2}$

次に第2次導関数を求めて凹凸を調べます：

$$f'(x) = e^{-x}(2x - x^2)$$

$$f''(x) = -e^{-x}(2x - x^2) + e^{-x}(2 - 2x) = e^{-x}(-2x + x^2 + 2 - 2x) = e^{-x}(x^2 - 4x + 2)$$

$f''(x) = 0$ となるのは：

$$x^2 - 4x + 2 = 0$$

$$x = frac{4 pm sqrt{16 - 8}}{2} = 2 pm sqrt{2}$$

$x geq 0$ において、変曲点は $x = 2 - sqrt{2} approx 0.59$ と $x = 2 + sqrt{2} approx 3.41$。

凹凸：

• $0 < x < 2 - sqrt{2}$：下に凸
• $2 - sqrt{2} < x < 2 + sqrt{2}$：上に凸
• $x > 2 + sqrt{2}$：下に凸

【グラフの特徴】
・原点を通り、$x = 2$ で極大値 $frac{4}{e^2} approx 0.54$ をとる
・$x to infty$ で $y to 0$ に漸近
・変曲点が2つある釣り鐘型の曲線

【(2)の解答】

$$lim_{x to infty} x^2 e^{-x} = lim_{x to infty} frac{x^2}{e^x}$$

これは $frac{infty}{infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を2回適用します：

$$= lim_{x to infty} frac{2x}{e^x} = lim_{x to infty} frac{2}{e^x} = 0$$

$$boxed{lim_{x to infty} f(x) = 0}$$

【(3)の解答】

面積 $S(a)$ は：

$$S(a) = int_0^a x^2 e^{-x} dx$$

部分積分を2回行います。$int x^n e^{-x} dx$ の形は部分積分の典型です。

$$int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + int 2x e^{-x} dx$$

$$int 2x e^{-x} dx = -2x e^{-x} + int 2 e^{-x} dx = -2x e^{-x} - 2e^{-x}$$

したがって：

$$int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x} + C = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + C$$

定積分を計算：

$$S(a) = left[-e^{-x}(x^2 + 2x + 2)right]_0^a$$

$$= -e^{-a}(a^2 + 2a + 2) - (-e^0 cdot 2)$$

$$= -e^{-a}(a^2 + 2a + 2) + 2$$

$$boxed{S(a) = 2 - (a^2 + 2a + 2)e^{-a}}$$

【(4)の解答】

$$lim_{a to infty} S(a) = lim_{a to infty} left{2 - (a^2 + 2a + 2)e^{-a}right}$$

(2)と同様に、$displaystylelim_{a to infty} (a^2 + 2a + 2)e^{-a} = 0$ です。

（$a^2 + 2a + 2$ は $a^2$ と同程度の増加なので、$e^a$ の増加に比べて十分小さい）

$$boxed{lim_{a to infty} S(a) = 2}$$

別解・発展

【別解：部分積分の公式を使う】

$I_n = int x^n e^{-x} dx$ とおくと、漸化式：

$$I_n = -x^n e^{-x} + n I_{n-1}$$

が成り立ちます。これを用いると：

• $I_0 = -e^{-x}$
• $I_1 = -xe^{-x} + I_0 = -xe^{-x} - e^{-x} = -e^{-x}(x+1)$
• $I_2 = -x^2 e^{-x} + 2I_1 = -x^2 e^{-x} - 2e^{-x}(x+1) = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2)$

【発展】ガンマ関数との関連

$displaystyleint_0^infty x^n e^{-x} dx = n!$ はガンマ関数 $Gamma(n+1)$ の特殊値です。今回の問題で $displaystylelim_{a to infty} S(a) = 2 = 2!$ となったのは、この性質によるものです。大学の解析学で学ぶ内容への橋渡しとなる良問です。

この年度の重要テーマと対策

2014年度の出題傾向分析

2014年度の高知大学数学入試では、以下のテーマが重点的に出題されました：

1. 二次関数と場合分け（大問1）

重要度：★★★★★

パラメータを含む二次関数の最大・最小問題は、高知大学の定番です。軸と定義域の位置関係による場合分けを正確に行えるかが鍵となります。

対策ポイント：

• 平方完成を素早く正確に行う練習
• 場合分けの境界値を見極める力
• 「常に成り立つ」条件を最小値・最大値に帰着させる思考

2. 三角関数の置き換え（大問2）

重要度：★★★★☆

$t = sintheta + costheta$ とおく問題は全国的にも頻出ですが、高知大学でも繰り返し出題されています。

対策ポイント：

• $sintheta + costheta$, $sinthetacostheta$, $sintheta - costheta$ の相互関係
• 三角関数の合成と範囲の確認
• $t$ の範囲チェックを忘れない

3. ベクトルと図形（大問3）

重要度：★★★★★

位置ベクトルを用いた図形問題は、高知大学で最も重視されている分野の一つです。

対策ポイント：

• 内分点・外分点の位置ベクトル表示
• 2直線の交点を求める際のベクトル係数比較
• 面積比と行列式の関係
• 内積計算と余弦定理の連携

4. 微分・積分の総合問題（大問4）

重要度：★★★★★

関数の増減・凹凸からグラフを描き、面積や極限を求める総合問題は、理系学部では必須です。

対策ポイント：

• 積の微分法、商の微分法の確実な運用
• 部分積分の反復計算（特に $x^n e^x$ 型）
• $frac{infty}{infty}$ 型の極限とロピタルの定理
• グラフの特徴を正確に読み取る力

高知大学数学の学部別対策

医学部志望者向け

300点満点の配点があり、合否を左右する重要科目です。全問正解を目指す必要はありませんが、計算ミスを極力減らすことが最優先。特に：

• 大問1・2で確実に得点（60点以上）
• 大問3は(3)まで完答を目標（40点）
• 大問4は(3)まで解ければ十分（40点）

理学部・農学部志望者向け

200点満点で、130点前後が合格ラインです。

• 基本問題（大問1・2の(1)(2)）を確実に
• ベクトルは得点源にしやすいので重点的に
• 微分・積分は(1)(2)だけでも部分点を狙う

教育学部志望者向け

数学Ⅲが出題範囲に含まれない場合は、数学ⅠAⅡBの範囲で確実に得点することが重要です。

• 二次関数、三角関数、ベクトルの3分野を最優先
• 確率・数列も頻出なので対策を

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここでは、2014年度の出題傾向に沿った練習問題を3問用意しました。実際に手を動かして解いてみてください。

【練習問題1】二次関数と条件（大問1関連）

【解答・解説】

(1) の解答

$g(x) = -x^2 + 4ax - 3a^2 + 2a = -(x - 2a)^2 + 4a^2 - 3a^2 + 2a = -(x - 2a)^2 + a^2 + 2a$

上に凸の放物線で、頂点は $(2a, a^2 + 2a)$。

最大値：$a^2 + 2a$

(2) の解答

軸 $x = 2a$ と区間 $[1, 3]$ の中点 $x = 2$ の位置関係で場合分け。

◆ $2a < 1$（$a < frac{1}{2}$）のとき：軸が区間の左側→最大値は $g(1)$

$g(1) = -1 + 4a - 3a^2 + 2a = -3a^2 + 6a - 1$

◆ $1 leq 2a leq 3$（$frac{1}{2} leq a leq frac{3}{2}$）のとき：軸が区間内→最大値は $g(2a)$

$g(2a) = a^2 + 2a$

◆ $2a > 3$（$a > frac{3}{2}$）のとき：軸が区間の右側→最大値は $g(3)$

$g(3) = -9 + 12a - 3a^2 + 2a = -3a^2 + 14a - 9$

(3) の解答

「$g(x) > 0$ となる $x$ が存在する」⇔「最大値 $> 0$」

各場合で最大値 $> 0$ を解きます。

◆ $0 < a 0$

$3a^2 - 6a + 1 < 0$ より $a = frac{3 pm sqrt{6}}{3}$

$frac{3 - sqrt{6}}{3} < a < frac{3 + sqrt{6}}{3}$

$0 < a < frac{1}{2}$ との共通部分：$frac{3 - sqrt{6}}{3} < a < frac{1}{2}$

◆ $frac{1}{2} leq a leq frac{3}{2}$ のとき：$a^2 + 2a > 0$ は $a > 0$ で常に成立。

◆ $a > frac{3}{2}$ のとき：$-3a^2 + 14a - 9 > 0$

$3a^2 - 14a + 9 < 0$ より $a = frac{7 pm 2sqrt{7}}{3}$

$frac{7 - 2sqrt{7}}{3} < a < frac{7 + 2sqrt{7}}{3}$

$a > frac{3}{2}$ との共通部分：$frac{3}{2} < a < frac{7 + 2sqrt{7}}{3}$

答え：$frac{3 - sqrt{6}}{3} < a < frac{7 + 2sqrt{7}}{3}$

【練習問題2】三角関数と不等式（大問2関連）

【解答・解説】

(1) の解答

$s = sintheta - costheta$ の両辺を2乗：

$s^2 = sin^2theta - 2sinthetacostheta + cos^2theta = 1

$s^2 = sin^2theta - 2sinthetacostheta + cos^2theta = 1 - 2sinthetacostheta$

したがって：

$$sinthetacostheta = frac{1 - s^2}{2}$$

$s$ の範囲について、三角関数の合成より：

$$s = sintheta - costheta = sqrt{2}sinleft(theta - frac{pi}{4}right)$$

$0 leq theta < 2pi$ より $-frac{pi}{4} leq theta - frac{pi}{4} < frac{7pi}{4}$

$sin$ の値域は $[-1, 1]$ なので：

$sinthetacostheta = frac{1 - s^2}{2}$、$-sqrt{2} leq s leq sqrt{2}$

(2) の解答

不等式 $sintheta - costheta + 2sinthetacostheta > 0$ に $s = sintheta - costheta$、$sinthetacostheta = frac{1-s^2}{2}$ を代入：

$$s + 2 cdot frac{1 - s^2}{2} > 0$$

$$s + 1 - s^2 > 0$$

$$-s^2 + s + 1 > 0$$

$$s^2 - s - 1 < 0$$

$s^2 - s - 1 = 0$ の解は $s = frac{1 pm sqrt{5}}{2}$

よって：$frac{1 - sqrt{5}}{2} < s < frac{1 + sqrt{5}}{2}$

$-sqrt{2} leq s leq sqrt{2}$ との共通部分を考えます。

• $frac{1 - sqrt{5}}{2} approx -0.618$、$-sqrt{2} approx -1.414$ より $frac{1 - sqrt{5}}{2} > -sqrt{2}$
• $frac{1 + sqrt{5}}{2} approx 1.618$、$sqrt{2} approx 1.414$ より $frac{1 + sqrt{5}}{2} > sqrt{2}$

したがって：$frac{1 - sqrt{5}}{2} < s leq sqrt{2}$

$s = sqrt{2}sinleft(theta - frac{pi}{4}right)$ より：

$$frac{1 - sqrt{5}}{2} < sqrt{2}sinleft(theta - frac{pi}{4}right) leq sqrt{2}$$

$$frac{1 - sqrt{5}}{2sqrt{2}} < sinleft(theta - frac{pi}{4}right) leq 1$$

$alpha = arcsinleft(frac{1 - sqrt{5}}{2sqrt{2}}right)$ とおくと（$alpha approx -0.456$ rad $approx -26.1°$）

$-frac{pi}{4} leq theta - frac{pi}{4} frac{1 - sqrt{5}}{2sqrt{2}}$ を満たすのは：

$$alpha < theta - frac{pi}{4} < pi - alpha$$

$theta$ に戻すと：

$$alpha + frac{pi}{4} < theta < pi - alpha + frac{pi}{4}$$

答え：$frac{pi}{4} + arcsinleft(frac{1-sqrt{5}}{2sqrt{2}}right) < theta < frac{5pi}{4} - arcsinleft(frac{1-sqrt{5}}{2sqrt{2}}right)$

（数値で表すと、およそ $0.33 < theta < 2.81$ すなわち約 $19° < theta < 161°$）

【練習問題3】微分・積分の応用（大問4関連）

【解答・解説】

(1) の解答

$f(x) = xe^{-x^2}$ を微分します。積の微分法を用います。

$$f'(x) = 1 cdot e^{-x^2} + x cdot e^{-x^2} cdot (-2x) = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$$

$e^{-x^2} > 0$（常に正）なので、$f'(x)$ の符号は $(1 - 2x^2)$ で決まります。

$f'(x) = 0 Leftrightarrow 1 - 2x^2 = 0 Leftrightarrow x = frac{1}{sqrt{2}}$（$x geq 0$ より）

増減表：

極大値：

$$fleft(frac{1}{sqrt{2}}right) = frac{1}{sqrt{2}} cdot e^{-1/2} = frac{1}{sqrt{2e}}$$

$x = frac{1}{sqrt{2}}$ で極大値 $frac{1}{sqrt{2e}}$

(2) の解答

$$lim_{x to infty} xe^{-x^2} = lim_{x to infty} frac{x}{e^{x^2}}$$

$t = x^2$ とおくと、$x to infty$ のとき $t to infty$、$x = sqrt{t}$ より：

$$= lim_{t to infty} frac{sqrt{t}}{e^t} = 0$$

（$e^t$ は $sqrt{t}$ より圧倒的に速く増加するため）

$displaystylelim_{x to infty} f(x) = 0$

(3) の解答

曲線 $y = xe^{-x^2}$（$x geq 0$）と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は：

$$S = int_0^infty xe^{-x^2} dx$$

$u = x^2$ と置換すると、$du = 2x,dx$ より $x,dx = frac{1}{2}du$

$x: 0 to infty$ のとき $u: 0 to infty$

$$S = int_0^infty e^{-u} cdot frac{1}{2} du = frac{1}{2}left[-e^{-u}right]_0^infty = frac{1}{2}(0 - (-1)) = frac{1}{2}$$

面積 $S = frac{1}{2}$

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