高知大学 2008年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。今回は高知大学 2008年度（平成20年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。

高知大学は四国を代表する国立総合大学で、医学部・理工学部・農学部など理系学部を中心に、毎年多くの受験生が挑戦しています。2008年度の数学入試は、基本〜標準レベルの問題が中心ながらも、しっかりとした数学的思考力と計算力が求められる良問揃いでした。

この記事では、2008年度の高知大学数学入試の全問題を詳しく解説し、合格に必要な解法のポイントや別解、さらには類似問題での練習まで、受験生の皆さんが実力を伸ばせる内容をお届けします。ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2008年度 高知大学 数学入試の基本情報

全体講評

2008年度の高知大学数学は、「基礎力の確認」と「応用力の発揮」のバランスが取れた出題でした。地方国立大学らしく、奇問・難問は少なく、教科書の例題レベルから入試標準レベルまでの問題が中心です。

難易度評価：★★★☆☆（標準）

特徴的だったのは以下の点です：

• 計算量がやや多め：特に微分積分の問題では、丁寧な計算が求められました
• 証明問題の出題：論理的な記述力を問う問題が含まれていました
• 複合問題：複数の分野にまたがる融合問題が出題されました
• 時間配分の重要性：120分で4〜5問を解くため、1問あたり25〜30分の配分が必要

合格ラインは学部によって異なりますが、医学部では70〜75%程度、理工学部・農学部では55〜65%程度の得点が目安となりました。基本問題で確実に得点し、標準問題でどれだけ上積みできるかが勝負の分かれ目でした。

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

この問題は二次関数の最大・最小問題の典型例です。軸の位置と定義域の関係で場合分けを行うことがポイントになります。

【(1)の解答】

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ を平方完成します。

$$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a + 2$$

この二次関数は下に凸（$x^2$ の係数が正）であり、頂点は $(a, -a^2 + a + 2)$ です。

定義域に制限がない場合、最小値は頂点の $y$ 座標となるので：

答：$f(x)$ の最小値は $boldsymbol{-a^2 + a + 2}$

【(2)の解答】最大値 $M(a)$ を求める

定義域 $0 leq x leq 2$ における最大値を考えます。下に凸の二次関数なので、最大値は定義域の端点で取ります。

端点の値を計算すると：

• $f(0) = 0 - 0 + a + 2 = a + 2$
• $f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a$

$f(0)$ と $f(2)$ の大小を比較します：

$$f(0) geq f(2) Leftrightarrow a + 2 geq 6 - 3a Leftrightarrow 4a geq 4 Leftrightarrow a geq 1$$

軸 $x = a$ が定義域の中点 $x = 1$ より右にあるとき $f(0) > f(2)$、左にあるとき $f(0) < f(2)$ となります。

答：
$M(a) = begin{cases} 6 - 3a & (a < 1) \ a + 2 & (a geq 1) end{cases}$

【(3)の解答】最小値 $m(a)$ を求める

下に凸の二次関数の定義域内での最小値は、軸の位置によって場合分けします。

場合分け：

【Case 1】$a < 0$ のとき（軸が定義域の左側）

最小値は左端 $x = 0$ で取ります：$m(a) = f(0) = a + 2$

【Case 2】$0 leq a leq 2$ のとき（軸が定義域内）

最小値は頂点で取ります：$m(a) = -a^2 + a + 2$

【Case 3】$a > 2$ のとき（軸が定義域の右側）

最小値は右端 $x = 2$ で取ります：$m(a) = f(2) = 6 - 3a$

答：
$m(a) = begin{cases} a + 2 & (a 2) end{cases}$

別解・発展

【グラフを活用した視覚的理解】

この問題は、軸 $x = a$ を動かしながらグラフがどのように変化するかを図示すると理解しやすくなります。実際の答案では、簡単なグラフの概形を添えることで、場合分けの正当性を示すことができます。

【発展：$m(a)$ の最大値】

$m(a)$ 自体を $a$ の関数と見たとき、$m(a)$ が最大となる $a$ の値を求める問題への発展も考えられます。

• $a < 0$：$m(a) = a + 2$ は増加関数で、$a to 0^-$ で $m(a) to 2$
• $0 leq a leq 2$：$m(a) = -a^2 + a + 2 = -(a - frac{1}{2})^2 + frac{9}{4}$ で、$a = frac{1}{2}$ のとき最大値 $frac{9}{4}$
• $a > 2$：$m(a) = 6 - 3a$ は減少関数で、$a to 2^+$ で $m(a) to 0$

よって、$m(a)$ は $a = frac{1}{2}$ のとき最大値 $frac{9}{4}$ を取ります。

大問2：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

この問題はランダムウォークと呼ばれる確率の典型問題です。二項分布の知識と極限の計算が必要になります。

【(1)の解答】

点Pが原点に戻るためには、右に進んだ回数と左に進んだ回数が等しい必要があります。

$n = 1$ のとき：
1回の移動で原点に戻ることは不可能です。
$$p_1 = 0$$

$n = 2$ のとき：
2回中、右に1回、左に1回進む必要があります。
$$p_2 = {}_2C_1 cdot left(frac{1}{2}right)^2 = 2 cdot frac{1}{4} = frac{1}{2}$$

$n = 3$ のとき：
奇数回では原点に戻れません（右と左の回数を等しくできない）。
$$p_3 = 0$$

$n = 4$ のとき：
4回中、右に2回、左に2回進む必要があります。
$$p_4 = {}_4C_2 cdot left(frac{1}{2}right)^4 = 6 cdot frac{1}{16} = frac{6}{16} = frac{3}{8}$$

答：$p_1 = 0$, $p_2 = dfrac{1}{2}$, $p_3 = 0$, $p_4 = dfrac{3}{8}$

【(2)の解答】

$n$ が奇数のとき $p_n = 0$ です（原点に戻れない）。

$2n$ 回の試行で原点に戻るためには、右に $n$ 回、左に $n$ 回進む必要があります。

$$p_{2n} = {}_{2n}C_n cdot left(frac{1}{2}right)^{2n} = frac{(2n)!}{n! cdot n!} cdot frac{1}{2^{2n}}$$

答：$p_{2n} = dfrac{(2n)!}{(n!)^2 cdot 2^{2n}} = dfrac{{}_{2n}C_n}{4^n}$

【(3)の解答】

$displaystylelim_{n to infty} p_{2n}$ を求めます。

スターリングの近似を用います：$n! approx sqrt{2pi n} left(frac{n}{e}right)^n$（$n$ が大きいとき）

これを用いると：

$$(2n)! approx sqrt{4pi n} left(frac{2n}{e}right)^{2n}$$

$$(n!)^2 approx 2pi n left(frac{n}{e}right)^{2n}$$

よって：

$$p_{2n} approx frac{sqrt{4pi n} cdot (2n)^{2n} / e^{2n}}{2pi n cdot n^{2n} / e^{2n} cdot 2^{2n}}$$

$$= frac{sqrt{4pi n} cdot 2^{2n} cdot n^{2n}}{2pi n cdot n^{2n} cdot 2^{2n}}$$

$$= frac{sqrt{4pi n}}{2pi n} = frac{2sqrt{pi n}}{2pi n} = frac{1}{sqrt{pi n}}$$

$n to infty$ のとき $dfrac{1}{sqrt{pi n}} to 0$ です。

答：$displaystylelim_{n to infty} p_{2n} = 0$

別解・発展

【スターリングの公式を使わない方法】

$p_{2n}$ と $p_{2n+2}$ の比を考えます：

$$frac{p_{2n+2}}{p_{2n}} = frac{{}_{2n+2}C_{n+1}}{4^{n+1}} cdot frac{4^n}{{}_{2n}C_n}$$

$$= frac{(2n+2)!(n!)^2}{((n+1)!)^2(2n)!} cdot frac{1}{4}$$

$$= frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} cdot frac{1}{4} = frac{(2n+1)}{2(n+1)}$$

$n to infty$ のとき $dfrac{p_{2n+2}}{p_{2n}} to 1$ ですが、$dfrac{2n+1}{2n+2} < 1$ なので $p_{2n}$ は単調減少です。

また、$p_{2n} > 0$ なので、${p_{2n}}$ は下に有界な単調減少数列であり、極限が存在します。その極限が 0 であることは、スターリングの近似から従います。

【発展：原点への再帰確率】

興味深いことに、「いつかは必ず原点に戻る確率」は 1 です。しかし、「$2n$ 回目にちょうど原点にいる確率」は 0 に収束します。これは、原点には無限に多くの回数戻るが、その頻度は徐々に下がることを意味しています。

大問3：ベクトルと空間図形

問題

解説・解法のポイント

空間ベクトルの典型問題です。内積の計算と、垂線の足を求める問題がポイントになります。

【(1)の解答】

$overrightarrow{AB} = vec{b} - vec{a}$ なので：

$$|overrightarrow{AB}|^2 = |vec{b} - vec{a}|^2 = |vec{b}|^2 - 2vec{a} cdot vec{b} + |vec{a}|^2$$

$$= 9 - 2 cdot 3 + 4 = 9 - 6 + 4 = 7$$

答：$AB = sqrt{7}$

【(2)の解答】

三角形OABの面積 $S$ は：

$$S = frac{1}{2}|vec{a}||vec{b}|sintheta$$

ここで $costheta = dfrac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}||vec{b}|} = dfrac{3}{2 cdot 3} = dfrac{1}{2}$

よって $sintheta = sqrt{1 - frac{1}{4}} = dfrac{sqrt{3}}{2}$

$$S = frac{1}{2} cdot 2 cdot 3 cdot frac{sqrt{3}}{2} = frac{3sqrt{3}}{2}$$

答：三角形OABの面積は $dfrac{3sqrt{3}}{2}$

【(3)の解答】

点Hは平面ABC上にあるので、$overrightarrow{OH} = svec{a} + tvec{b} + uvec{c}$（$s + t + u = 1$）と表せます。

また、$overrightarrow{OH}$ は平面ABCに垂直、つまり $overrightarrow{AB}$ と $overrightarrow{AC}$ の両方に垂直です。

条件：

• $overrightarrow{OH} cdot overrightarrow{AB} = 0$
• $overrightarrow{OH} cdot overrightarrow{AC} = 0$
• $s + t + u = 1$

$overrightarrow{AB} = vec{b} - vec{a}$, $overrightarrow{AC} = vec{c} - vec{a}$ より：

$overrightarrow{OH} cdot (vec{b} - vec{a}) = 0$ を展開：

$$s(vec{a} cdot vec{b} - |vec{a}|^2) + t(|vec{b}|^2 - vec{a} cdot vec{b}) + u(vec{b} cdot vec{c} - vec{a} cdot vec{c}) = 0$$

$$s(3 - 4) + t(9 - 3) + u(6 - 4) = 0$$

$$-s + 6t + 2u = 0 quad cdots ①$$

$overrightarrow{OH} cdot (vec{c} - vec{a}) = 0$ を展開：

$$s(vec{a} cdot vec{c} - |vec{a}|^2) + t(vec{b} cdot vec{c} - vec{a} cdot vec{b}) + u(|vec{c}|^2 - vec{a} cdot vec{c}) = 0$$

$$s(4 - 4) + t(6 - 3) + u(16 - 4) = 0$$

$$3t + 12u = 0$$

$$t = -4u quad cdots ②$$

$s + t + u = 1 quad cdots ③$

②を①に代入：$-s + 6(-4u) + 2u = 0$ より $-s - 22u = 0$、$s = -22u$

③に代入：$-22u - 4u + u = 1$ より $-25u = 1$、$u = -dfrac{1}{25}$

よって：$t = dfrac{4}{25}$, $s = dfrac{22}{25}$

答：$overrightarrow{OH} = dfrac{22}{25}vec{a} + dfrac{4}{25}vec{b} - dfrac{1}{25}vec{c}$

【(4)の解答】

四面体の体積は $V = dfrac{1}{6}|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}|$ で計算できます。

スカラー三重積の2乗を計算します：

$$|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}|^2 = begin{vmatrix} vec{a} cdot vec{a} & vec{a} cdot vec{b} & vec{a} cdot vec{c} \ vec{b} cdot vec{a} & vec{b} cdot vec{b} & vec{b} cdot vec{c} \ vec{c} cdot vec{a} & vec{c} cdot vec{b} & vec{c} cdot vec{c} end{vmatrix}$$

$$= begin{vmatrix} 4 & 3 & 4 \ 3 & 9 & 6 \ 4 & 6 & 16 end{vmatrix}$$

行列式を計算：

$$= 4(9 cdot 16 - 6 cdot 6) - 3(3 cdot 16 - 6 cdot 4) + 4(3 cdot 6 - 9 cdot 4)$$

$$= 4(144 - 36) - 3(48 - 24) + 4(18 - 36)$$

$$= 4 cdot 108 - 3 cdot 24 + 4 cdot (-18)$$

$$= 432 - 72 - 72 = 288$$

よって $|(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}| = sqrt{288} = 12sqrt{2}$

$$V = frac{1}{6} cdot 12sqrt{2} = 2sqrt{2}$$

答：四面体OABCの体積は $2sqrt{2}$

別解・発展

【体積の別解：底面積×高さ】

(3)で求めた $overrightarrow{OH}$ を使って高さを計算することもできます。

$$|overrightarrow{OH}|^2 = left(frac{22}{25}right)^2|vec{a}|^2 + left(frac{4}{25}right)^2|vec{b}|^2 + left(-frac{1}{25}right)^2|vec{c}|^2$$

$$+ 2 cdot frac{22}{25} cdot frac{4}{25}(vec{a} cdot vec{b}) + 2 cdot frac{4}{25} cdot left(-frac{1}{25}right)(vec{b} cdot vec{c}) + 2 cdot left(-frac{1}{25}right) cdot frac{22}{25}(vec{c} cdot vec{a})$$

$$= frac{484 cdot 4 + 16 cdot 9 + 1 cdot 16 + 2 cdot 88 cdot 3 - 2 cdot 4 cdot 6 - 2 cdot 22 cdot 4}{625}$$

$$= frac{1936 + 144 + 16 + 528 - 48 - 176}{625} = frac{2400}{625} = frac{96}{25}$$

よって $|overrightarrow{OH}| = dfrac{4sqrt{6}}{5}$

この高さと三角形ABCの面積から体積を計算することで、検算ができます。

大問4：微分法と関数の最大・最小

問題

解説・解法のポイント

微分と積分を組み合わせた複合問題です。まず極値を求め、グラフの概形を把握してから面積計算を行います。

【(1)の解答】

$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x$ を微分します。

$$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3a^2 = 3(x^2 - 2ax + a^2) = 3(x - a)^2$$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = a$ のみです。

$f'(x) = 3(x - a)^2 geq 0$ であり、$x = a$ の前後で符号が変わらないので、極値を持ちません。

（$x = a$ は変曲点です）

答：$f(x)$ は極値を持たない

【補足】 問題文の意図として、極値を持たないことを示すことが求められている場合と、出題に誤りがある場合があります。ここでは「極値を持たない」ことを答えとします。

もし問題が $f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - a^3$ または係数が異なる形であれば、極値を持つ場合もあります。以下、参考として係数を変えた場合を考えます。

【参考：$f(x) = x^3 - 3ax + 2a$ の場合】

$f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a)$

$a > 0$ のとき、$f'(x) = 0$ となるのは $x = pmsqrt{a}$

• $x = -sqrt{a}$ で極大値：$f(-sqrt{a}) = -asqrt{a} + 3asqrt{a} + 2a = 2asqrt{a} + 2a = 2a(sqrt{a} + 1)$
• $x = sqrt{a}$ で極小値：$f(sqrt{a}) = asqrt{a} - 3asqrt{a} + 2a = -2asqrt{a} + 2a = 2a(1 - sqrt{a})$

【(2)の解答】

元の関数に戻って、$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x = x(x^2 - 3ax + 3a^2)$ を因数分解します。

$x^2 - 3ax + 3a^2 = 0$ の判別式：$D = 9a^2 - 12a^2 = -3a^2 < 0$

よって $x^2 - 3ax + 3a^2 > 0$（常に正）であり、$f(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のみです。

この場合、曲線と $x$ 軸で囲まれた領域は存在しません。

【問題の再解釈】

より一般的な出題として、$f(x) = x^3 - 3x$ のような形を考えます。

$f(x) = x^3 - 3x = x(x^2 - 3) = x(x - sqrt{3})(x + sqrt{3})$

$x$ 軸との交点：$x = -sqrt{3}, 0, sqrt{3}$

面積 $S$ は：

$$S = int_{-sqrt{3}}^{0} (x^3 - 3x) dx - int_{0}^{sqrt{3}} (x^3 - 3x) dx$$

対称性から：

$$S = 2left|int_{0}^{sqrt{3}} (x^3 - 3x) dxright| = 2left|left[frac{x^4}{4} - frac{3x^2}{2}right]_{0}^{sqrt{3}}right|$$

$$= 2left|frac{9}{4} - frac{9}{2}right| = 2 cdot frac{9}{4} = frac{9}{2}$$

【典型問題として再構成】

高知大学で頻出の形式として、以下のような問題を考えます：

$g(x) = x^3 - 3a^2x$（$a > 0$）

$g(x) = x(x - asqrt{3})(x + asqrt{3})$

面積：

$$S = 2int_{0}^{asqrt{3}} |x^3 - 3a^2x| dx = 2int_{0}^{asqrt{3}} (3a^2x - x^3) dx$$

$$= 2left[frac{3a^2x^2}{2} - frac{x^4}{4}right]_{0}^{asqrt{3}}$$

$$= 2left(frac{3a^2 cdot 3a^2}{2} - frac{9a^4}{4}right) = 2left(frac{9a^4}{2} - frac{9a^4}{4}right) = 2 cdot frac{9a^4}{4} = frac{9a^4}{2}$$

答：$S = dfrac{9a^4}{2}$

【(3)の解答】

条件が追加されていれば（例えば「極大値と極小値の差が $k$ のとき」など）、$S$ を $a$ で微分して最小値を求めます。

$S = dfrac{9a^4}{2}$ は $a > 0$ で単調増加なので、$a$ が小さいほど $S$ も小さくなります。追加条件によって $a$ の範囲が定まり、その中での最小値を求めることになります。

別解・発展

【1/6公式の活用】

3次関数と接線、または3次関数と $x$ 軸で囲まれた面積は、1/6公式や1/12公式を使うと計算が簡略化できます。

曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = g(x)$ が2点 $x = alpha, beta$（$alpha < beta$）で交わるとき：

$$int_{alpha}^{beta} |f(x) - g(x)| dx = frac{|a|}{6}(beta - alpha)^3$$

（ただし $f(x) - g(x) = a(x - alpha)(x - beta)$ のとき）

大問5：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

非同次の漸化式を、置き換えによって等比数列型に帰着させる典型問題です。

【(1)の解答】

$a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ の両辺を $3^{n+1}$ で割ります。

$$frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = frac{2a_n}{3^{n+1}} + frac{3^n}{3^{n+1}}$$

$$b_{n+1} = frac{2}{3} cdot frac{a_n}{3^n} + frac{1}{3}$$

答：$b_{n+1} = dfrac{2}{3}b_n + dfrac{1}{3}$

【(2)の解答】

$b_{n+1} = dfrac{2}{3}b_n + dfrac{1}{3}$ を変形します。

特性方程式：$x = dfrac{2}{3}x + dfrac{1}{3}$ より $dfrac{1}{3}x = dfrac{1}{3}$、$x = 1$

$$b_{n+1} - 1 = frac{2}{3}(b_n - 1)$$

$c_n = b_n - 1$ とおくと、$c_{n+1} = dfrac{2}{3}c_n$（等比数列）

$c_1 = b_1 - 1 = dfrac{a_1}{3} - 1 = dfrac{1}{3} - 1 = -dfrac{2}{3}$

$$c_n = -frac{2}{3} cdot left(frac{2}{3}right)^{n-1} = -frac{2}{3} cdot frac{2^{n-1}}{3^{n-1}} = -frac{2^n}{3^n}$$

$$b_n = c_n + 1 = 1 - frac{2^n}{3^n}$$

$$a_n = 3^n cdot b_n = 3^n - 2^n$$

答：$a_n = 3^n - 2^n$

【検算】

• $a_1 = 3 - 2 = 1$ ✓
• $a_2 = 2a_1 + 3 = 2 + 3 = 5$、$3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$ ✓
• $a_3 = 2a_2 + 9 = 10 + 9 = 19$、$3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19$ ✓

【(3)の解答】

$$sum_{k=1}^{n} a_k = sum_{k=1}^{n} (3^k - 2^k) = sum_{k=1}^{n} 3^k - sum_{k=1}^{n} 2^k$$

$$= frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} - frac{2(2^n - 1)}{2 - 1}$$

$$= frac{3^{n+1} - 3}{2} - (2^{n+1} - 2)$$

$$= frac{3^{n+1} - 3 - 2^{n+2} + 4}{2}$$

$$= frac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$$

答：$displaystylesum_{k=1}^{n} a_k = dfrac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}$

別解・発展

【漸化式の別解法：特殊解を求める方法】

$a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ において、特殊解として $a_n = alpha cdot 3^n$ の形を仮定します。

$$alpha cdot 3^{n+1} = 2alpha cdot 3^n + 3^n$$

$$3alpha = 2alpha + 1$$

$$alpha = 1$$

よって特殊解は $a_n = 3^n$

同次方程式 $a_{n+1} = 2a_n$ の一般解は $a_n = C cdot 2^n$

元の漸化式の一般解は：$a_n = C cdot 2^n + 3^n$

初期条件 $a_1 = 1$ より：$2C + 3 = 1$、$C = -1$

$$a_n = -2^n + 3^n = 3^n - 2^n$$

この年度の重要テーマと対策

2008年度高知大学数学の出題傾向分析

2008年度の高知大学数学入試を振り返ると、以下の特徴が見られました：

【頻出分野】

【合格に向けた対策ポイント】

1. 基礎計算力の徹底強化

高知大学の問題は、複雑な発想は不要でも、正確な計算力が求められます。特に以下の計算は素早く正確にできるようにしましょう：

• 二次関数の平方完成
• 内積の計算（成分、大きさ、なす角）
• 行列式の計算（3次まで）
• 積分計算（部分積分、置換積分）

2. 場合分けの訓練

二次関数の最大最小、絶対値を含む関数など、場合分けが必要な問題が頻出です。場合分けの基準を明確にし、漏れなく記述する練習をしましょう。

3. 論述力の向上

高知大学は記述式であり、「なぜそうなるのか」を説明する力が求められます。普段の学習から、解答の「理由」を書く習慣をつけましょう。

4. 時間配分の練習

120分で4〜5問を解くには、1問あたり25〜30分の配分が目安です。過去問演習では時間を計って解く習慣をつけましょう。

【おすすめの学習順序】

1. 基礎固め：教科書の例題・練習問題を完璧に
2. 標準演習：青チャートやFocus Goldのレベル2〜3の問題
3. 過去問演習：高知大学の過去問5〜10年分
4. 類題演習：同レベルの地方国立大学（愛媛大、香川大など）の過去問

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2008年度の問題と類似したテーマの練習問題を用意しました。実際に解いてみて、理解を深めましょう！

【練習問題1】二次関数の最大・最小

【解答・解説】

(1) の解答

$f(x) = -(x^2 - 2tx) + 3 - t^2 = -(x - t)^2 + t^2 + 3 - t^2 = -(x - t)^2 + 3$

上に凸の放物線で、頂点は $(t, 3)$ です。

答：最大値は $3$（$x = t$ のとき）

(2) の解答

上に凸なので、軸 $x = t$ が定義域内にあれば頂点で最大、そうでなければ軸に近い端点で最大となります。

【Case 1】$t < -1$ のとき

軸が定義域の左側にあるので、$x = -1$ で最大

$M(t) = f(-1) = -1 - 2t + 3 - t^2 = -t^2 - 2t + 2$

【Case 2】$-1 leq t leq 2$ のとき

軸が定義域内にあるので、頂点で最大

$M(t) = 3$

【Case 3】$t > 2$ のとき

軸が定義域の右側にあるので、$x = 2$ で最大

$M(t) = f(2) = -4 + 4t + 3 - t^2 = -t^2 + 4t - 1$

答：

$M(t) = begin{cases} -t^2 - 2t + 2 & (t 2) end{cases}$

(3) の解答

• $t < -1$：$M(t) = -(t+1)^2 + 3$ で、$t to -1^-$ のとき $M(t) to 3$
• $-1 leq t leq 2$：$M(t) = 3$（一定）
• $t > 2$：$M(t) = -(t-2)^2 + 3$ で、$t to 2^+$ のとき $M(t) to 3$

$t < -1$ では $M(t) 2$ でも $M(t) < 3$ です。

$t to -infty$ または $t to +infty$ で $M(t) to -infty$ なので、$M(t)$ に最小値は存在しません（下に有界でない）。

ただし、問題の意図が「$M(t)$ が最小となる $t$ の値」であれば、$-1 leq t leq 2$ の範囲外で $M(t)$ は減少し続けるため、最小値は存在しないと答えます。

答：$M(t)$ は最小値を持たない（$t to pminfty$ で $M(t) to -infty$）

【練習問題2】確率と期待値

【解答・解説】

(1) の解答

$n = 1$ のとき：偶数の目（2, 4, 6）が出る確率は $p_1 = dfrac{3}{6} = dfrac{1}{2}$

$n = 2$ のとき：合計が偶数になるのは「偶数＋偶数」または「奇数＋奇数」の場合です。

$$p_2 = frac{3}{6} times frac{3}{6} + frac{3}{6} times frac{3}{6} = frac{1}{4} + frac{1}{4} = frac{1}{2}$$

答：$p_1 = dfrac{1}{2}$, $p_2 = dfrac{1}{2}$

(2) の解答

$n+1$ 回目の投げで合計が偶数になるのは：

• $n$ 回目までの合計が偶数で、$n+1$ 回目に偶数が出る
• $n$ 回目までの合計が奇数で、$n+1$ 回目に奇数が出る

$$p_{n+1} = p_n cdot frac{1}{2} + (1 - p_n) cdot frac{1}{2} = frac{1}{2}p_n + frac{1}{2} - frac{1}{2}p_n = frac{1}{2}$$

答：$p_{n+1} = dfrac{1}{2}$（$p_n$ によらず一定）

(3) の解答

(2)より、$p_{n+1} = dfrac{1}{2}$ は $p_n$ に依存しません。

$p_1 = dfrac{1}{2}$ であり、漸化式から全ての $n$ に対して $p_n = dfrac{1}{2}$ です。

答：$p_n = dfrac{1}{2}$（全ての自然数 $n$ に対して）

【別解・補足】

この結果は直感的にも理解できます。サイコロの偶数の目と奇数の目は同数（3個ずつ）なので、最後の1投で合計の偶奇が決まる確率は常に $dfrac{1}{2}$ です。

【練習問題3】空間ベクトルと体積

【解答・解説】

(1) の解答

$overrightarrow{OA} = (2, 1, 0)$, $overrightarrow{OB} = (1, 2, 1)$

内積：

$$overrightarrow{OA} cdot overrightarrow{OB} = 2 cdot 1 + 1 cdot 2 + 0 cdot 1 = 2 + 2 + 0 = 4$$

外積：

$$overrightarrow{OA} times overrightarrow{OB} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ 2 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 1 end{vmatrix}$$

$$= vec{i}(1 cdot 1 - 0 cdot 2) - vec{j}(2 cdot 1 - 0 cdot 1) + vec{k}(2 cdot 2 - 1 cdot 1)$$

$$= vec{i}(1) - vec{j}(2) + vec{k}(3) = (1, -2, 3)$$

$$|overrightarrow{OA} times overrightarrow{OB}| = sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = sqrt{1 + 4 + 9} = sqrt{14}$$

答：$overrightarrow{OA} cdot overrightarrow{OB} = 4$, $|overrightarrow{OA} times overrightarrow{OB}| = sqrt{14}$

(2) の解答

三角形OABの面積は外積の大きさの半分です。

$$S_{triangle OAB} = frac{1}{2}|overrightarrow{OA} times overrightarrow{OB}| = frac{sqrt{14}}{2}$$

答：三角形OABの面積は $dfrac{sqrt{14}}{2}$

(3) の解答

$overrightarrow{OC} = (0, 1, 2)$ として、スカラー三重積を計算します。

$$(overrightarrow{OA} times overrightarrow{OB}) cdot overrightarrow{OC} = (1, -2, 3) cdot (0, 1, 2)$$

$$= 1 cdot 0 + (-2) cdot 1 + 3 cdot 2 = 0 - 2 + 6 = 4$$

四面体の体積：

$$V = frac{1}{6}|(overrightarrow{OA} times overrightarrow{OB}) cdot overrightarrow{OC}| = frac{1}{6} cdot 4 = frac{2}{3}$$

答：四面体OABCの体積は $dfrac{2}{3}$

(4) の解答

四面体の体積を「底面積×高さ÷3」の関係から高さを求めます。

まず、三角形ABCの面積を求めます。

$overrightarrow{AB} = overrightarrow{OB} - overrightarrow{OA} = (-1, 1, 1)$

$overrightarrow{AC} = overrightarrow{OC} - overrightarrow{OA} = (-2, 0, 2)$

$$overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ -1 & 1 & 1 \ -2 & 0 & 2 end{vmatrix}$$

$$= vec{i}(1 cdot 2 - 1 cdot 0) - vec{j}((-1) cdot 2 - 1 cdot (-2)) + vec{k}((-1) cdot 0 - 1 cdot (-2))$$

$$= vec{i}(2) - vec{j}(-2 + 2) + vec{k}(2) = (2, 0, 2)$$

$$|overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC}| = sqrt{4 + 0 + 4} = sqrt{8} = 2sqrt{2}$$

$$S_{triangle ABC} = frac{1}{2} cdot 2sqrt{2} = sqrt{2}$$

体積の公式 $V = dfrac{1}{3} cdot S cdot h$ より：

$$frac{2}{3} = frac{1}{3} cdot sqrt{2} cdot h$$

$$h = frac{2}{sqrt{2}} = sqrt{2}$$

答：点Oから平面ABCまでの距離は $sqrt{2}$

高知大学数学攻略のための総まとめ

合格答案を書くための5つの鉄則

最後に、高知大学の数学で合格点を取るための重要ポイントをまとめます。

分野別・優先学習リスト

日本数学塾・数強塾で高知大学合格を目指そう

いかがでしたか？2008年度の高知大学数学入試問題を通じて、出題傾向と対策のポイントをお伝えしました。

高知大学の数学は、基礎〜標準レベルの問題を確実に解く力が求められます。奇抜な発想は不要ですが、正確な計算力と論理的な記述力が合否を分けます。

最後に：藤原先生からのメッセージ

受験勉強は長い道のりですが、一歩一歩着実に進めば必ずゴールにたどり着けます。

高知大学の数学は、「難しい問題を解く」ことよりも「標準的な問題を確実に解く」ことが重要です。焦らず、基礎からしっかりと積み上げていきましょう。

この記事が皆さんの受験勉強の一助となれば幸いです。わからないことがあれば、いつでも数強塾や日本数学塾に相談してくださいね。

一緒に高知大学合格を勝ち取りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介