高知大学 1998年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は高知大学 1998年度（平成10年度）の数学入試問題を徹底解説していきます。高知大学は四国を代表する国立大学であり、理学部・農学部・教育学部など多様な学部を擁しています。数学の入試問題は基礎から標準レベルの問題が中心ですが、計算力と論理的思考力をしっかりと問う良問が出題されます。

この記事では、1998年度前期日程の数学について、大問ごとに詳しく解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での演習まで提供します。高知大学を目指す受験生はもちろん、地方国立大学の数学対策をしたい方にも参考になる内容となっています。一緒に攻略していきましょう！

試験概要・難易度

1998年度 高知大学 前期日程 数学試験の概要

全体講評

1998年度の高知大学数学は、全体として基礎力を重視した出題構成となっています。教科書レベルの基本事項をしっかり理解していれば解ける問題が多く、奇抜な発想を要求する難問は少ないのが特徴です。

しかし、計算量がやや多い問題や、複数の分野を横断的に活用する問題も含まれており、正確な計算力と時間配分の意識が合否を分けるポイントとなります。

この年度の主な出題分野は以下の通りです：

• 数列・漸化式：分数型漸化式の一般項を求める問題
• 微分積分：サイクロイドを題材とした媒介変数表示の曲線と面積
• ベクトル：空間ベクトルの基本計算と図形への応用
• 二次関数・三角関数：最大最小問題、方程式・不等式
• 確率：場合の数と確率の融合問題

それでは、各大問を詳しく見ていきましょう！

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

二次関数の最大・最小問題は、高知大学に限らず地方国立大学で頻出のテーマです。軸の位置と定義域の関係を場合分けして考えることが重要です。

【(1)の解答】

まず、$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ を平方完成します。

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a + 2$

よって、$f(x)$ は $x = a$ で最小値をとり、その最小値は

$-a^2 + a + 2$

【(2)の解答】

$0 leq x leq 2$ における最大値を求めます。放物線の軸は $x = a$ であり、下に凸なので、最大値は区間の端点 $x = 0$ または $x = 2$ で取られます。

区間の中点は $x = 1$ なので：

• $a < 1$ のとき、軸が中点より左にあるため、$x = 2$ で最大
• $a = 1$ のとき、$f(0) = f(2)$ で同じ値
• $a > 1$ のとき、軸が中点より右にあるため、$x = 0$ で最大

各値を計算します：

• $f(0) = a + 2$
• $f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a$

$f(0) = f(2)$ となる条件は $a + 2 = 6 - 3a$ より $a = 1$

したがって：

$M(a) = begin{cases} 6 - 3a & (a leq 1) \ a + 2 & (a > 1) end{cases}$

【(3)の解答】

$M(a)$ の最小値を求めます。

• $a leq 1$ のとき、$M(a) = 6 - 3a$ は $a$ について減少関数なので、$a = 1$ で最小値 $3$
• $a > 1$ のとき、$M(a) = a + 2$ は $a$ について増加関数なので、$a = 1$ に近づくほど小さくなり、下限は $3$

よって、$M(a)$ は $a = 1$ で最小値をとり、その値は

$a = 1$ のとき、最小値 $3$

別解・発展

【別解：グラフを活用した視覚的理解】

最大値を求める際、$f(0)$ と $f(2)$ の大小関係をグラフ上で考えると理解が深まります。放物線の軸 $x = a$ が区間 $[0, 2]$ の中点 $x = 1$ より左にあれば右端で、右にあれば左端で最大値をとります。

【発展：パラメータを含む最大最小問題の一般化】

このタイプの問題では、軸の位置による場合分けが本質です。一般に、閉区間 $[p, q]$ における二次関数 $f(x) = (x-a)^2 + k$ の最大値は：

• 軸が区間の中点 $(p+q)/2$ より左なら $x = q$ で最大
• 軸が区間の中点より右なら $x = p$ で最大

という原則を覚えておきましょう。

大問2：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

分数型漸化式は、適切な置換によって等差数列や等比数列に帰着させることがポイントです。この問題では $b_n = dfrac{1}{a_n - 6}$ という置換が与えられているため、誘導に従って解いていきます。

【(1)の解答】

$b_n = dfrac{1}{a_n - 6}$ より $a_n = dfrac{1}{b_n} + 6$ です。

これを漸化式 $a_{n+1} = dfrac{36}{12 - a_n}$ に代入します。

$a_{n+1} = dfrac{36}{12 - left(dfrac{1}{b_n} + 6right)} = dfrac{36}{6 - dfrac{1}{b_n}} = dfrac{36}{dfrac{6b_n - 1}{b_n}} = dfrac{36b_n}{6b_n - 1}$

よって、

$b_{n+1} = dfrac{1}{a_{n+1} - 6} = dfrac{1}{dfrac{36b_n}{6b_n - 1} - 6}$

$= dfrac{1}{dfrac{36b_n - 6(6b_n - 1)}{6b_n - 1}} = dfrac{1}{dfrac{36b_n - 36b_n + 6}{6b_n - 1}} = dfrac{6b_n - 1}{6}$

したがって、

$b_{n+1} = b_n - dfrac{1}{6}$

【(2)の解答】

(1)より、${b_n}$ は初項 $b_1$、公差 $-dfrac{1}{6}$ の等差数列です。

初項を求めます。$a_1 = 3$ より、

$b_1 = dfrac{1}{a_1 - 6} = dfrac{1}{3 - 6} = -dfrac{1}{3}$

したがって、

$b_n = -dfrac{1}{3} + (n-1) cdot left(-dfrac{1}{6}right) = -dfrac{1}{3} - dfrac{n-1}{6} = -dfrac{2 + n - 1}{6} = -dfrac{n+1}{6}$

【(3)の解答】

$b_n = dfrac{1}{a_n - 6}$ より、

$a_n - 6 = dfrac{1}{b_n} = dfrac{1}{-dfrac{n+1}{6}} = -dfrac{6}{n+1}$

したがって、

$a_n = 6 - dfrac{6}{n+1} = dfrac{6(n+1) - 6}{n+1} = dfrac{6n}{n+1}$

【検算】 $a_1 = dfrac{6 cdot 1}{1+1} = dfrac{6}{2} = 3$ ✓

別解・発展

【別解：特性方程式を用いた方法】

分数型漸化式 $a_{n+1} = dfrac{36}{12 - a_n}$ の特性方程式は $alpha = dfrac{36}{12 - alpha}$ です。

$alpha(12 - alpha) = 36$

$12alpha - alpha^2 = 36$

$alpha^2 - 12alpha + 36 = 0$

$(alpha - 6)^2 = 0$

より、$alpha = 6$（重解）です。このような場合、$b_n = dfrac{1}{a_n - 6}$ と置換すると等差数列になることが一般的に知られています。

【発展：分数型漸化式の一般論】

$a_{n+1} = dfrac{pa_n + q}{ra_n + s}$ の形の漸化式では、特性方程式 $alpha = dfrac{palpha + q}{ralpha + s}$ を解き：

• 異なる2解 $alpha, beta$ を持つ場合：$dfrac{a_n - alpha}{a_n - beta}$ が等比数列
• 重解 $alpha$ の場合：$dfrac{1}{a_n - alpha}$ が等差数列

という対応関係を覚えておくと便利です。

大問3：サイクロイドと媒介変数表示の積分

問題

解説・解法のポイント

サイクロイドは大学入試で頻出の曲線です。媒介変数表示の導出から面積・曲線の長さまで、体系的に理解しておく必要があります。

【(1)の解答】

円が角度 $theta$ だけ回転したとき、円の中心の座標は $(atheta, a) = (theta, 1)$（$a = 1$）です。

点 $P$ は中心から見て角度 $-dfrac{pi}{2} - theta$（下向きから $theta$ だけ回転）の位置にあるので、

$x = theta - sintheta$

$y = 1 - costheta$

【答え】
$x = theta - sintheta, quad y = 1 - costheta quad (0 leq theta leq 2pi)$

【(2)の解答】

媒介変数表示された曲線と $x$ 軸で囲まれる面積は、

$S = int_0^{2pi} y dfrac{dx}{dtheta} dtheta$

ここで、$dfrac{dx}{dtheta} = 1 - costheta$ なので、

$S = int_0^{2pi} (1 - costheta)(1 - costheta) dtheta = int_0^{2pi} (1 - costheta)^2 dtheta$

$(1 - costheta)^2 = 1 - 2costheta + cos^2theta = 1 - 2costheta + dfrac{1 + cos 2theta}{2}$

$= dfrac{3}{2} - 2costheta + dfrac{cos 2theta}{2}$

積分すると、

$S = left[dfrac{3}{2}theta - 2sintheta + dfrac{sin 2theta}{4}right]_0^{2pi}$

$= dfrac{3}{2} cdot 2pi - 0 + 0 - 0 = 3pi$

$S = 3pi$

【(3)の解答】

曲線の長さは、

$L = int_0^{2pi} sqrt{left(dfrac{dx}{dtheta}right)^2 + left(dfrac{dy}{dtheta}right)^2} dtheta$

$dfrac{dx}{dtheta} = 1 - costheta$, $dfrac{dy}{dtheta} = sintheta$ より、

$left(dfrac{dx}{dtheta}right)^2 + left(dfrac{dy}{dtheta}right)^2 = (1 - costheta)^2 + sin^2theta$

$= 1 - 2costheta + cos^2theta + sin^2theta = 2 - 2costheta = 2(1 - costheta)$

半角の公式より $1 - costheta = 2sin^2dfrac{theta}{2}$ なので、

$sqrt{2(1 - costheta)} = sqrt{4sin^2dfrac{theta}{2}} = 2left|sindfrac{theta}{2}right| = 2sindfrac{theta}{2}$ （$0 leq theta leq 2pi$ で非負）

$L = int_0^{2pi} 2sindfrac{theta}{2} dtheta = left[-4cosdfrac{theta}{2}right]_0^{2pi}$

$= -4cospi - (-4cos 0) = -4(-1) + 4(1) = 4 + 4 = 8$

$L = 8$

別解・発展

【覚えておくべき公式】

半径 $a$ のサイクロイドについて：

• 1アーチの面積：$S = 3pi a^2$（元の円の面積 $pi a^2$ の3倍）
• 1アーチの長さ：$L = 8a$（元の円の直径 $2a$ の4倍）

これらの結果は美しい関係を持っており、物理学では「最速降下線」としても知られています。

大問4：空間ベクトル

問題

解説・解法のポイント

空間ベクトルの基本問題です。外積を用いた面積の計算、平面の方程式、垂線の足の求め方など、重要な手法が詰まっています。

【(1)の解答】

$vec{AB} = (-1, 2, 0)$、$vec{AC} = (-1, 0, 3)$ とします。

三角形の面積は $dfrac{1}{2}|vec{AB} times vec{AC}|$ で求められます。

外積を計算：

$vec{AB} times vec{AC} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ -1 & 2 & 0 \ -1 & 0 & 3 end{vmatrix}$

$= (2 cdot 3 - 0 cdot 0)vec{i} - ((-1) cdot 3 - 0 cdot (-1))vec{j} + ((-1) cdot 0 - 2 cdot (-1))vec{k}$

$= (6, 3, 2)$

$|vec{AB} times vec{AC}| = sqrt{36 + 9 + 4} = sqrt{49} = 7$

$triangle ABC$ の面積 $= dfrac{7}{2}$

【(2)の解答】

平面 $ABC$ の方程式を求めます。法線ベクトルは $vec{AB} times vec{AC} = (6, 3, 2)$ です。

点 $A(1, 0, 0)$ を通るので、平面の方程式は：

$6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0$

$6x + 3y + 2z = 6$

原点から平面に下ろした垂線は、法線ベクトル $(6, 3, 2)$ の方向なので、直線は

$(x, y, z) = t(6, 3, 2)$

これを平面の方程式に代入：

$6(6t) + 3(3t) + 2(2t) = 6$

$36t + 9t + 4t = 6$

$49t = 6$

$t = dfrac{6}{49}$

$H = left(dfrac{36}{49}, dfrac{18}{49}, dfrac{12}{49}right)$

【(3)の解答】

四面体の体積は $dfrac{1}{3} times$ 底面積 $times$ 高さ で求められます。

底面を $triangle ABC$（面積 $dfrac{7}{2}$）とすると、高さは点 $O$ から平面 $ABC$ までの距離です。

点 $O(0,0,0)$ から平面 $6x + 3y + 2z = 6$ までの距離は：

$h = dfrac{|6 cdot 0 + 3 cdot 0 + 2 cdot 0 - 6|}{sqrt{36 + 9

$h = dfrac{|6 cdot 0 + 3 cdot 0 + 2 cdot 0 - 6|}{sqrt{36 + 9 + 4}} = dfrac{6}{sqrt{49}} = dfrac{6}{7}$

したがって、四面体の体積は：

$V = dfrac{1}{3} times dfrac{7}{2} times dfrac{6}{7} = dfrac{1}{3} times dfrac{6}{2} = dfrac{1}{3} times 3 = 1$

$V = 1$

別解・発展

【別解：スカラー三重積を用いた方法】

四面体 $OABC$ の体積は、スカラー三重積を用いて直接計算できます。

$vec{OA} = (1, 0, 0)$、$vec{OB} = (0, 2, 0)$、$vec{OC} = (0, 0, 3)$

$V = dfrac{1}{6}|vec{OA} cdot (vec{OB} times vec{OC})|$

$vec{OB} times vec{OC} = begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} & vec{k} \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{vmatrix} = (6, 0, 0)$

$vec{OA} cdot (6, 0, 0) = 1 times 6 + 0 + 0 = 6$

$V = dfrac{1}{6} times 6 = 1$

この方法は、3つのベクトルが座標軸方向に平行な場合に特に計算が簡単になります。

【発展：行列式による体積計算】

体積は行列式を用いても計算できます。

$V = dfrac{1}{6}left|begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{vmatrix}right| = dfrac{1}{6} times 1 times 2 times 3 = 1$

大問5：確率と場合の数

問題

解説・解法のポイント

場合の数と確率の基本問題です。「同時に取り出す」は組合せの問題として考えます。

【(1)の解答】

全事象：9個から3個を選ぶ場合の数

$_9C_3 = dfrac{9 times 8 times 7}{3 times 2 times 1} = 84$

3個とも同じ色になるのは：

• 赤玉3個：$_3C_3 = 1$ 通り
• 白玉3個：$_4C_3 = 4$ 通り
• 青玉3個：$_2C_3 = 0$ 通り（2個しかないので不可能）

合計：$1 + 4 + 0 = 5$ 通り

確率 $= dfrac{5}{84}$

【(2)の解答】

3個とも異なる色、つまり赤1個、白1個、青1個を選ぶ場合の数：

$_3C_1 times {_4C_1} times {_2C_1} = 3 times 4 times 2 = 24$ 通り

確率 $= dfrac{24}{84} = dfrac{2}{7}$

【(3)の解答】

「少なくとも1個は赤玉」の余事象は「赤玉が0個」（白玉と青玉のみ）です。

白玉4個と青玉2個の合計6個から3個を選ぶ場合の数：

$_6C_3 = dfrac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 20$ 通り

よって、少なくとも1個は赤玉である場合の数：$84 - 20 = 64$ 通り

確率 $= dfrac{64}{84} = dfrac{16}{21}$

別解・発展

【(3)の別解：直接計算】

赤玉が1個、2個、3個の場合を直接数えます。

• 赤1個、他2個：$_3C_1 times {_6C_2} = 3 times 15 = 45$ 通り
• 赤2個、他1個：$_3C_2 times {_6C_1} = 3 times 6 = 18$ 通り
• 赤3個：$_3C_3 = 1$ 通り

合計：$45 + 18 + 1 = 64$ 通り ✓

【発展：条件付き確率への応用】

「3個とも異なる色であるとき、赤玉が含まれている確率」を求めると、これは条件付き確率の問題になります。3個とも異なる色なら必ず赤・白・青が1個ずつなので、確率は1です。このように問題文を変えることで、条件付き確率の練習ができます。

大問6：三角関数と方程式

問題

解説・解法のポイント

三角関数の方程式・不等式は、適切な変形によって基本形に帰着させることがポイントです。

【(1)の解答】

$sin^2theta = 1 - cos^2theta$ を代入して $costheta$ の方程式にします。

$2(1 - cos^2theta) - 3costheta - 3 = 0$

$2 - 2cos^2theta - 3costheta - 3 = 0$

$-2cos^2theta - 3costheta - 1 = 0$

$2cos^2theta + 3costheta + 1 = 0$

$(2costheta + 1)(costheta + 1) = 0$

$costheta = -dfrac{1}{2}$ または $costheta = -1$

$0 leq theta < 2pi$ において：

• $costheta = -dfrac{1}{2}$ のとき、$theta = dfrac{2pi}{3}, dfrac{4pi}{3}$
• $costheta = -1$ のとき、$theta = pi$

$theta = dfrac{2pi}{3}, pi, dfrac{4pi}{3}$

【(2)の解答】

三角関数の合成を行います。

$sintheta + sqrt{3}costheta = 2left(dfrac{1}{2}sintheta + dfrac{sqrt{3}}{2}costhetaright) = 2sinleft(theta + dfrac{pi}{3}right)$

不等式は $2sinleft(theta + dfrac{pi}{3}right) > 1$ となり、

$sinleft(theta + dfrac{pi}{3}right) > dfrac{1}{2}$

$alpha = theta + dfrac{pi}{3}$ とおくと、$dfrac{pi}{3} leq alpha < dfrac{7pi}{3}$ の範囲で

$sinalpha > dfrac{1}{2}$ を解きます。

$sinalpha = dfrac{1}{2}$ となるのは $alpha = dfrac{pi}{6}, dfrac{5pi}{6}, dfrac{13pi}{6}$ です。

$dfrac{pi}{3} leq alpha dfrac{1}{2}$ となるのは：

$dfrac{pi}{3} leq alpha < dfrac{5pi}{6}$ または $dfrac{13pi}{6} < alpha < dfrac{7pi}{3}$

$theta = alpha - dfrac{pi}{3}$ に戻すと：

$0 leq theta < dfrac{pi}{2}$ または $dfrac{11pi}{6} < theta < 2pi$

$0 leq theta < dfrac{pi}{2}$ または $dfrac{11pi}{6} < theta < 2pi$

【(3)の解答】

$t = sintheta + costheta$ とおきます。

$t^2 = sin^2theta + 2sinthetacostheta + cos^2theta = 1 + 2sinthetacostheta$

よって $sinthetacostheta = dfrac{t^2 - 1}{2}$

$f(theta) = sinthetacostheta + sintheta + costheta = dfrac{t^2 - 1}{2} + t = dfrac{t^2 + 2t - 1}{2}$

$t = sintheta + costheta = sqrt{2}sinleft(theta + dfrac{pi}{4}right)$ より、$-sqrt{2} leq t leq sqrt{2}$

$g(t) = dfrac{t^2 + 2t - 1}{2} = dfrac{(t+1)^2 - 2}{2}$

$g(t)$ は $t = -1$ で最小、$t = sqrt{2}$ で最大をとります。

• 最小値：$g(-1) = dfrac{0 - 2}{2} = -1$
• 最大値：$g(sqrt{2}) = dfrac{2 + 2sqrt{2} - 1}{2} = dfrac{1 + 2sqrt{2}}{2}$

最大値 $dfrac{1 + 2sqrt{2}}{2}$、最小値 $-1$

別解・発展

【置換の妥当性の確認】

$t = sintheta + costheta$ と置換する際、$t$ のとりうる値の範囲 $[-sqrt{2}, sqrt{2}]$ のすべての値が実際に実現されることを確認する必要があります。$t = sqrt{2}sin(theta + frac{pi}{4})$ であり、$theta$ が $[0, 2pi)$ を動くとき、$theta + frac{pi}{4}$ は $[frac{pi}{4}, frac{9pi}{4})$ を動くので、$sin(theta + frac{pi}{4})$ は $[-1, 1]$ のすべての値をとり、$t$ も $[-sqrt{2}, sqrt{2}]$ のすべての値をとります。

この年度の重要テーマと対策

1998年度 高知大学数学の特徴

この年度の出題を分析すると、以下のような特徴が浮かび上がります。

【出題分野の傾向】

【合格のための学習戦略】

1. 基礎の徹底

高知大学の数学は、教科書レベルの基礎事項を確実に理解していれば解ける問題が大半です。公式の丸暗記ではなく、なぜその公式が成り立つのかを理解することで、応用問題にも対応できる力がつきます。

2. 計算力の強化

時間内に正確に解くためには、計算力が不可欠です。特に：

• 因数分解・展開の素早い計算
• 積分計算（置換積分、部分積分）
• ベクトルの内積・外積の計算

これらを日頃から練習しておきましょう。

3. 頻出パターンの習得

以下のパターンは必ず解けるようにしておきましょう：

• 二次関数の軸と定義域による場合分け
• 分数型漸化式の特性方程式
• 媒介変数表示の曲線の面積・長さ
• 空間ベクトルによる四面体の体積
• 三角関数の合成と置換

4. 時間配分の意識

120分で4〜6問を解くため、1問あたり20〜30分が目安です。難問に時間をかけすぎず、解ける問題を確実に得点することが重要です。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

1998年度高知大学の出題傾向に合わせた練習問題を用意しました。解答・解説も付いていますので、しっかり演習してください。

【練習問題1】二次関数の最大・最小

【解答・解説】

(1)の解答

$f(x) = (x - 2a)^2 - 4a^2 + 2a^2 + 3 = (x - 2a)^2 - 2a^2 + 3$

軸は $x = 2a$ です。

場合1： $2a < 0$ のとき（$a 0$ より該当なし）

場合2： $0 leq 2a leq 3$、つまり $0 leq a leq dfrac{3}{2}$ のとき

$m(a) = f(2a) = -2a^2 + 3$

場合3： $2a > 3$、つまり $a > dfrac{3}{2}$ のとき

$m(a) = f(3) = 9 - 12a + 2a^2 + 3 = 2a^2 - 12a + 12$

答え：
$m(a) = begin{cases} -2a^2 + 3 & (0 dfrac{3}{2}) end{cases}$

• $0 0$ なので達成しない）。$a = dfrac{3}{2}$ で $m(dfrac{3}{2}) = -2 times dfrac{9}{4} + 3 = -dfrac{3}{2}$
• $a > dfrac{3}{2}$ のとき、$m(a) = 2a^2 - 12a + 12 = 2(a-3)^2 - 6$ は $a = 3$ で最小値 $-6$

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合格者の声

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「オンラインで本当に大丈夫かな？と不安でしたが、対面と変わらない、むしろそれ以上に集中できる環境でした。過去問の添削指導が特に役立ちました。」

— 高知大学農学部 合格 M.Sさん

さいごに

高知大学の数学は、正しい方法で努力すれば必ず結果がついてきます。この記事が、みなさんの学習の一助となれば幸いです。

わからないことがあれば、いつでも日本数学塾・数強塾にご相談ください。藤原をはじめ、経験豊富な講師陣が、あなたの合格を全力でサポートします！

一緒に高知大学合格を勝ち取りましょう！💪

この記事を書いた人
藤原進之介｜日本数学塾・数強塾 講師
大学受験数学のプロ講師として、多くの受験生を難関大学合格へ導く。わかりやすい解説と、生徒一人ひとりに寄り添った指導に定評がある。

関連リンク
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