神戸大学 2009年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！
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今回は神戸大学 2009年度 数学（理系・前期）の過去問を徹底解説していきます！神戸大学の数学は、基礎力をしっかり問いながらも、思考力や計算力が試される良問が多いのが特徴です。2009年度も例外ではなく、3次方程式の解の性質、積分、確率、漸化式といった頻出テーマがバランスよく出題されました。
この記事では、各大問をステップバイステップで丁寧に解説し、さらに別解や発展的な考え方、類似問題での練習まで網羅しています。神戸大学を目指す受験生の皆さん、ぜひ最後まで読んで実力アップにつなげてください！
試験概要・難易度
試験形式
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 年度 | 2009年度（平成21年度） |
| 日程 | 前期日程 |
| 試験時間 | 理系：120分 |
| 大問数 | 理系：5題 |
| 出題形式 | 記述式 |
| 配点 | 学部により異なる（理学部・工学部は数学の比重が高い） |
2009年度の出題分野一覧
| 大問 | 出題分野 | 難易度 |
|---|---|---|
| 第1問 | 複素数と方程式・式と証明 | 標準 |
| 第2問 | 3次方程式（解の巡回・関数との関係） | やや難 |
| 第3問 | 積分（三角関数を含む面積） | 標準 |
| 第4問 | 確率（場合分けと計算） | 標準 |
| 第5問 | 3項間漸化式と数学的帰納法 | やや難 |
全体講評
2009年度の神戸大学理系数学は、全体的に標準〜やや難レベルの問題で構成されていました。特に第2問の3次方程式の解の巡回は、誘導に従えば解けるものの、背景にある数学的構造を理解していないと戸惑う問題でした。
第3問の積分は計算量がやや多く、第5問の3項間漸化式は数学的帰納法の使い方に工夫が必要です。一方で、第1問と第4問は基本に忠実に解けば確実に得点できる問題であり、ここでの取りこぼしは致命的になります。
時間配分としては、120分で5題なので1題あたり約24分。ただし、得意分野で時間を稼ぎ、難問に余裕を持って取り組む戦略が重要です。
大問1：複素数と方程式・式と証明
問題
【問題概要】
複素数 α, β を解にもつ2次方程式や、高次方程式の係数決定、共役複素数の性質を利用した証明問題が出題されました。具体的には以下のような設問構成です：
(1) 2次方程式 x² + ax + b = 0 が複素数 α を解にもつとき、共役複素数 ᾱ も解であることを示せ。ただし、a, b は実数とする。
(2) 3次方程式 x³ + px² + qx + r = 0（p, q, r は実数）が虚数解 α をもつとき、残りの2つの解を α を用いて表せ。
(3) 上記の条件のもとで、p, q, r を α の実部と虚部を用いて表せ。
解説・解法のポイント
【小問(1)の解説】
ポイント：共役複素数の性質を使う
実数係数の方程式において、虚数解が存在するとき、その共役複素数も必ず解になることを証明します。
解答：
α が方程式 x² + ax + b = 0 の解であるとき、
α² + aα + b = 0
この式の両辺の共役をとると、
ᾱ² + āᾱ + b̄ = 0
ここで、a, b は実数なので ā = a, b̄ = b です。また、共役の性質より ᾱ² = (ᾱ)² が成り立つので、
(ᾱ)² + a(ᾱ) + b = 0
これは ᾱ が方程式 x² + ax + b = 0 の解であることを示しています。 ■
【小問(2)の解説】
ポイント：3次方程式と因数分解
3次方程式 x³ + px² + qx + r = 0 が虚数解 α をもつとき、(1)より ᾱ も解です。
3次方程式は3つの解をもつので、残りの1つを β とすると、解と係数の関係より：
α + ᾱ + β = -p
α + ᾱ = 2Re(α)（α の実部の2倍）なので、
β = -p - 2Re(α)
したがって、残りの2つの解は ᾱ（共役複素数）と β = -p - 2Re(α)（実数解）です。
【小問(3)の解説】
α = s + ti（s, t は実数、t ≠ 0）とおくと：
- α + ᾱ = 2s
- αᾱ = s² + t²
- β = -p - 2s
解と係数の関係より：
- p = -(α + ᾱ + β) = -(-p - 2s + 2s) = -(-p) = p（これは恒等的に成立）
- q = αᾱ + αβ + ᾱβ = (s² + t²) + β(α + ᾱ) = (s² + t²) + 2sβ
- r = -αᾱβ = -(s² + t²)β
別解・発展
【発展】ガロア理論との関連
実数係数多項式の虚数解が共役のペアで現れることは、複素数体の実数体上の拡大がガロア拡大であることと深く関係しています。複素共役は、この拡大における唯一の非自明な自己同型写像です。
大学で代数学を学ぶと、この「共役で現れる」という性質がより深く理解できるようになります。
大問2：3次方程式（解の巡回）
問題
3次方程式 x³ - 3x + 1 = 0 について、以下の問いに答えよ。
(1) この方程式が -2 < x < 2 の範囲に3つの実数解 α₁ < α₂ < α₃ をもつことを示せ。
(2) g(x) = x² - 2 とおく。α₁, α₂, α₃ のいずれかが方程式 x³ - 3x + 1 = 0 の解であるとき、g(α₁), g(α₂), g(α₃) もこの方程式の解であることを示せ。
(3) g(α₁), g(α₂), g(α₃) を α₁, α₂, α₃ を用いて表せ。
解説・解法のポイント
【小問(1)の解説】
ポイント：中間値の定理と導関数
f(x) = x³ - 3x + 1 とおきます。
まず、f(x)の増減を調べます：
f'(x) = 3x² - 3 = 3(x + 1)(x - 1)
f'(x) = 0 となるのは x = -1, 1 のとき。
| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
各点での値を計算：
- f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1 < 0
- f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 > 0（極大値）
- f(0) = 1 > 0
- f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0（極小値）
- f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 > 0
中間値の定理より：
- f(-2) < 0 < f(-1) より、-2 < α₁ < -1 に解が1つ
- f(0) > 0 > f(1) より、0 < α₂ < 1 に解が1つ
- f(1) < 0 < f(2) より、1 < α₃ < 2 に解が1つ
3次方程式は最大3つの実数解をもつので、解は α₁, α₂, α₃ の3つで全てです。■
【小問(2)の解説】
ポイント：代入と式変形
α が x³ - 3x + 1 = 0 の解であるとき、g(α) = α² - 2 も解であることを示します。
α³ = 3α - 1 を利用して、(α² - 2)³ - 3(α² - 2) + 1 = 0 を示せばよいです。
計算：
β = α² - 2 とおく。
β³ = (α² - 2)³ を展開します：
β³ = α⁶ - 6α⁴ + 12α² - 8
ここで、α³ = 3α - 1 より：
- α⁴ = α · α³ = α(3α - 1) = 3α² - α
- α⁵ = α · α⁴ = α(3α² - α) = 3α³ - α² = 3(3α - 1) - α² = 9α - 3 - α²
- α⁶ = α · α⁵ = α(9α - 3 - α²) = 9α² - 3α - α³ = 9α² - 3α - (3α - 1) = 9α² - 6α + 1
これを代入：
β³ = (9α² - 6α + 1) - 6(3α² - α) + 12α² - 8
= 9α² - 6α + 1 - 18α² + 6α + 12α² - 8
= 3α² - 7
また、3β = 3(α² - 2) = 3α² - 6
したがって：
β³ - 3β + 1 = (3α² - 7) - (3α² - 6) + 1 = -7 + 6 + 1 = 0 ✓
よって、g(α) = α² - 2 も方程式 x³ - 3x + 1 = 0 の解です。■
【小問(3)の解説】
ポイント：対応関係を調べる
g(α₁), g(α₂), g(α₃) は全て方程式の解なので、{g(α₁), g(α₂), g(α₃)} = {α₁, α₂, α₃} です。
対応を調べるために、各解の範囲と g(x) = x² - 2 の値を考えます。
-2 < α₁ < -1 より：1 < α₁² < 4 なので -1 < α₁² - 2 < 2
より詳しく、α₁ ≈ -1.88 とすると g(α₁) ≈ 1.53
0 < α₂ < 1 より：0 < α₂² < 1 なので -2 < α₂² - 2 < -1
より詳しく、α₂ ≈ 0.35 とすると g(α₂) ≈ -1.88
1 < α₃ < 2 より：1 < α₃² < 4 なので -1 < α₃² - 2 < 2
より詳しく、α₃ ≈ 1.53 とすると g(α₃) ≈ 0.35
したがって：
- g(α₁) = α₃
- g(α₂) = α₁
- g(α₃) = α₂
これは、g によって α₂ → α₁ → α₃ → α₂ と巡回的に移り変わるという美しい性質を示しています！
別解・発展
【発展】チェビシェフ多項式との関連
x = 2cos θ と置換すると、x³ - 3x = 8cos³θ - 6cosθ = 2(4cos³θ - 3cosθ) = 2cos3θ
したがって、方程式 x³ - 3x + 1 = 0 は 2cos3θ = -1、つまり cos3θ = -1/2 となります。
3θ = 2π/3 + 2nπ または 3θ = 4π/3 + 2nπ（n は整数）
θ = 2π/9, 4π/9, 8π/9（0 ≤ θ < π の範囲）
よって、3つの解は：
- α₁ = 2cos(8π/9) ≈ -1.879
- α₂ = 2cos(4π/9) ≈ 0.347
- α₃ = 2cos(2π/9) ≈ 1.532
g(x) = x² - 2 = 4cos²θ - 2 = 2(2cos²θ - 1) = 2cos2θ
これにより、g による変換は角度を2倍にする操作に対応することがわかります。
大問3：積分（三角関数を含む面積）
問題
a を 0 ≤ a < π/2 の範囲にある実数とする。2つの直線 x = a, x = π/2 および2つの曲線 y = cos(x - a), y = -cos x によって囲まれる図形を G とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 図形 G の面積を S とする。S を a を用いた式で表せ。
(2) a が 0 ≤ a < π/2 の範囲を動くとき、S を最大にするような a の値と、そのときの S の値を求めよ。
解説・解法のポイント
【小問(1)の解説】
ポイント：上下関係の確認と積分計算
まず、a ≤ x ≤ π/2 の範囲で y = cos(x - a) と y = -cos x の上下関係を調べます。
x = a のとき：
- cos(a - a) = cos 0 = 1
- -cos a < 0（0 ≤ a 0）
よって x = a では cos(x - a) > -cos x です。
x = π/2 のとき：
- cos(π/2 - a) = sin a > 0
- -cos(π/2) = 0
よって x = π/2 でも cos(x - a) > -cos x です。
この範囲で交点があるか確認します：
cos(x - a) = -cos x
cos(x - a) + cos x = 0
2cos((x - a + x)/2)cos((x - a - x)/2) = 0
2cos(x - a/2)cos(-a/2) = 0
cos(a/2) ≠ 0（0 ≤ a/2 < π/4）なので、cos(x - a/2) = 0
x - a/2 = π/2 より x = π/2 + a/2
しかし π/2 + a/2 > π/2 なので、a ≤ x ≤ π/2 の範囲に交点はありません。
したがって、この範囲で常に cos(x - a) > -cos x です。
面積の計算：
S = ∫ₐ^{π/2} [cos(x - a) - (-cos x)] dx
= ∫ₐ^{π/2} [cos(x - a) + cos x] dx
= [sin(x - a) + sin x]ₐ^{π/2}
= [sin(π/2 - a) + sin(π/2)] - [sin(a - a) + sin a]
= [cos a + 1] - [0 + sin a]
S = 1 + cos a - sin a
【小問(2)の解説】
ポイント：三角関数の合成と微分
S = 1 + cos a - sin a を a で微分して最大値を求めます。
dS/da = -sin a - cos a
dS/da = 0 となるのは：
sin a + cos a = 0
tan a = -1
0 ≤ a < π/2 の範囲で tan a = -1 となる a は存在しません（この範囲では tan a ≥ 0）。
dS/da = -(sin a + cos a) について：
0 ≤ a 0 なので sin a + cos a > 0
よって dS/da < 0 となり、S は a について単調減少です。
したがって、S は a = 0 で最大値をとります。
a = 0 のとき：
S = 1 + cos 0 - sin 0 = 1 + 1 - 0 = 2
答え：a = 0 のとき S は最大値 2 をとる。
別解・発展
【別解】三角関数の合成を使う方法
cos a - sin a = √2 cos(a + π/4) と変形できます。
S = 1 + √2 cos(a + π/4)
0 ≤ a < π/2 より π/4 ≤ a + π/4 < 3π/4
この範囲で cos(a + π/4) は a + π/4 = π/4（つまり a = 0）で最大値 cos(π/4) = √2/2 をとります。
最大値 S = 1 + √2 · (√2/2) = 1 + 1 = 2 ✓
大問4：確率
問題
A, B, C の3人がじゃんけんを繰り返し行う。各回で勝者がいれば勝者のみが次の回に進み、あいこならば全員が次の回に進む。最終的に1人が残るまで続ける。以下の問いに答えよ。
(1) 1回目で勝者が決まる確率を求めよ。
(2) 2回目で勝者が決まる確率を求めよ。
(3) n 回目で初めて勝者が決まる確率を n を用いて表せ。
解説・解法のポイント
【小問(1)の解説】
ポイント：3人じゃんけんの基本パターン
3人がグー・チョキ・パーを出す全組み合わせは 3³ = 27 通り
勝者が決まる（1人だけ勝つ）のは、1人が出した手が他の2人に勝つ場合です。
例えば、A だけが勝つ場合：
- A:グー、B:チョキ
例えば、A だけが勝つ場合：
- A:グー、B:チョキ、C:チョキ → 1通り
- A:チョキ、B:パー、C:パー → 1通り
- A:パー、B:グー、C:グー → 1通り
A が1人勝ちする場合は3通り。同様に B, C それぞれが1人勝ちする場合も3通りずつ。
よって、1人だけ勝つ場合は 3 × 3 = 9 通り
また、2人が勝つ場合（1人だけ負ける場合）も考えます：
- A, B が勝ち、C が負ける場合：A, B が同じ手で C に勝つ
- 例：A:グー、B:グー、C:チョキ
2人勝ちの組み合わせ：勝つ2人の選び方 ₃C₂ = 3通り、手の選び方3通りで 3 × 3 = 9通り
3人でじゃんけんの結果パターン：
- 1人勝ち：9通り
- 2人勝ち（1人負け）：9通り
- あいこ（全員同じ手）：3通り
- あいこ（3種類の手）：3! = 6通り
計：9 + 9 + 3 + 6 = 27通り ✓
1回目で最終的な勝者が決まるのは「1人勝ち」の場合のみ。
P(1回目で決まる) = 9/27 = 1/3
【小問(2)の解説】
ポイント：条件付き確率と場合分け
2回目で勝者が決まるには：
- 1回目で2人勝ち（2人が残る）→ 2回目でその2人のうち1人が勝つ
- 1回目であいこ（3人残る）→ 2回目で1人勝ち
パターン①：1回目2人勝ち → 2回目1人勝ち
1回目で2人勝ちの確率：9/27 = 1/3
2人でじゃんけんして勝者が決まる確率：
- 2人の出し方：3² = 9通り
- どちらかが勝つ：6通り（あいこは3通り）
- 確率：6/9 = 2/3
パターン①の確率：(1/3) × (2/3) = 2/9
パターン②：1回目あいこ → 2回目1人勝ち
1回目であいこの確率：(3 + 6)/27 = 9/27 = 1/3
2回目で1人勝ちの確率：9/27 = 1/3
パターン②の確率：(1/3) × (1/3) = 1/9
P(2回目で決まる) = 2/9 + 1/9 = 3/9 = 1/3
【小問(3)の解説】
ポイント：漸化式的な考え方
この問題は状態を整理して考えます。
状態の定義：
- 状態 S₃：3人残っている
- 状態 S₂：2人残っている
- 状態 S₁：1人残っている（終了）
遷移確率：
- S₃ → S₃（あいこ）：1/3
- S₃ → S₂（2人勝ち）：1/3
- S₃ → S₁（1人勝ち）：1/3
- S₂ → S₂（あいこ）：1/3
- S₂ → S₁（決着）：2/3
n 回目で初めて勝者が決まる確率を P(n) とします。
これは複雑な漸化式になりますが、各状態からの寄与を分けて考えます。
aₙ を「n 回目開始時に3人残っている確率」、bₙ を「n 回目開始時に2人残っている確率」とすると：
- a₁ = 1, b₁ = 0
- aₙ₊₁ = (1/3)aₙ
- bₙ₊₁ = (1/3)aₙ + (1/3)bₙ
aₙ = (1/3)^(n-1)
bₙ については漸化式を解きます：
bₙ₊₁ = (1/3)bₙ + (1/3)(1/3)^(n-1) = (1/3)bₙ + (1/3)ⁿ
b₁ = 0 より、bₙ = (n-1)(1/3)^(n-1) （n ≥ 1）
n 回目で決まる確率は：
P(n) = (1/3)aₙ + (2/3)bₙ
= (1/3)(1/3)^(n-1) + (2/3)(n-1)(1/3)^(n-1)
= (1/3)ⁿ + (2/3)(n-1)(1/3)^(n-1)
= (1/3)ⁿ + (2(n-1)/3)(1/3)^(n-1)
= (1/3)ⁿ[1 + 2(n-1)]
P(n) = (2n-1)(1/3)ⁿ = (2n-1)/3ⁿ
検算：
- n = 1：P(1) = 1/3 ✓
- n = 2：P(2) = 3/9 = 1/3 ✓
別解・発展
【発展】期待値の計算
決着がつくまでの回数の期待値 E は：
E = Σ(n=1 to ∞) n · P(n) = Σ(n=1 to ∞) n(2n-1)/3ⁿ
この級数を計算すると E = 9/4 = 2.25 回となります。
大問5：3項間漸化式と数学的帰納法
問題
数列 {aₙ} は次の条件を満たす：
a₁ = 1, a₂ = 2
aₙ₊₂ = 3aₙ₊₁ - 2aₙ （n = 1, 2, 3, ...）
以下の問いに答えよ。
(1) aₙ を n を用いて表せ。
(2) すべての正の整数 n に対して aₙ ≥ 1 であることを数学的帰納法を用いて示せ。
(3) lim(n→∞) aₙ₊₁/aₙ を求めよ。
解説・解法のポイント
【小問(1)の解説】
ポイント：特性方程式を使った解法
3項間漸化式 aₙ₊₂ = 3aₙ₊₁ - 2aₙ の特性方程式を立てます。
x² = 3x - 2
x² - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1, 2
一般解は aₙ = A · 1ⁿ + B · 2ⁿ = A + B · 2ⁿ
初期条件より：
- a₁ = A + 2B = 1
- a₂ = A + 4B = 2
2式を引くと：2B = 1 より B = 1/2
A = 1 - 2B = 1 - 1 = 0
aₙ = 2^(n-1)
検算：
- a₁ = 2⁰ = 1 ✓
- a₂ = 2¹ = 2 ✓
- a₃ = 3·2 - 2·1 = 4 = 2² ✓
【小問(2)の解説】
ポイント：3項間漸化式に適した帰納法
3項間漸化式では、n = k と n = k+1 の両方を仮定して n = k+2 を示す形の帰納法が有効です。
【証明】
[ステップ1：基礎]
n = 1 のとき：a₁ = 1 ≥ 1 ✓
n = 2 のとき：a₂ = 2 ≥ 1 ✓
[ステップ2：帰納的仮定]
n = k および n = k+1 のとき aₙ ≥ 1 が成り立つと仮定する。
すなわち、aₖ ≥ 1 かつ aₖ₊₁ ≥ 1 と仮定する。
[ステップ3：n = k+2 の証明]
漸化式より：
aₖ₊₂ = 3aₖ₊₁ - 2aₖ
ここで、仮定より aₖ₊₁ ≥ 1, aₖ ≥ 1 なので：
aₖ₊₂ = 3aₖ₊₁ - 2aₖ ≥ 3·1 - 2aₖ
しかし、これだけでは aₖ₊₂ ≥ 1 は直接示せません。
ここで(1)の結果 aₙ = 2^(n-1) を使うと：
aₖ₊₂ = 2^(k+1) ≥ 2 > 1 ✓
【(1)を使わない別証明】
aₖ₊₁ ≥ aₖ であることも帰納法で示します（aₙ は単調増加）。
aₖ₊₂ - aₖ₊₁ = 3aₖ₊₁ - 2aₖ - aₖ₊₁ = 2aₖ₊₁ - 2aₖ = 2(aₖ₊₁ - aₖ) ≥ 0
よって数列は単調増加であり、a₁ = 1 より全ての n で aₙ ≥ 1 ■
【小問(3)の解説】
ポイント：一般項を使う
(1)より aₙ = 2^(n-1) なので：
aₙ₊₁/aₙ = 2ⁿ/2^(n-1) = 2
これは n によらず一定なので：
lim(n→∞) aₙ₊₁/aₙ = 2
別解・発展
【発展】特性方程式と比の極限の関係
一般に、3項間漸化式 aₙ₊₂ = paₙ₊₁ + qaₙ の特性方程式が2つの異なる実数解 α, β（|α| > |β|）をもつとき：
lim(n→∞) aₙ₊₁/aₙ = α
となります（優勢な項が支配的になるため）。
本問では特性方程式の解が 1 と 2 で、一般項が aₙ = A + B·2ⁿ となるとき、n → ∞ で 2ⁿ の項が支配的になり、比は 2 に収束します。
この年度の重要テーマと対策
2009年度の重要ポイントまとめ
2009年度の神戸大学理系数学を振り返ると、以下のテーマが特に重要でした。
1. 複素数と方程式の基本性質
実数係数の多項式において、虚数解が共役のペアで現れることは超頻出です。この性質を使った証明問題や、係数決定問題は確実に解けるようにしておきましょう。
2. 3次方程式と関数の関係
第2問のような「解の巡回」は、チェビシェフ多項式や三角関数との関連を知っていると背景が理解できます。ただし、入試では誘導に従えば解けるように設計されているので、まずは素直に誘導に乗る力を養いましょう。
3. 積分と最大・最小
パラメータを含む面積を求め、それを最大化する問題は神戸大学の定番です。三角関数の合成や微分による増減調査を確実にマスターしてください。
4. 確率と場合分け
じゃんけん問題は状態遷移で考えると整理しやすいです。漸化式を立てる発想は確率の上級問題では必須スキルです。
5. 3項間漸化式と帰納法
3項間漸化式では、2つの初期値が必要なことに対応して、帰納法でも2つの仮定を使うのがポイントです。
神戸大学数学の傾向と対策
分野 出題頻度 対策のポイント 微分・積分 ★★★★★ 面積・体積の計算、最大最小問題を重点的に 確率 ★★★★☆ 漸化式を立てる確率問題に慣れる 数列 ★★★★☆ 3項間漸化式、数学的帰納法の強化 ベクトル ★★★☆☆ 平面・空間の位置ベクトル、内積計算 複素数平面 ★★★☆☆ 回転・拡大、ド・モアブルの定理 整数 ★★☆☆☆ 合同式、素因数分解の基本 類似問題で練習しよう（練習問題3問）
練習問題1：3次方程式と解の性質
【問題】
3次方程式 x³ - 6x + 2 = 0 の3つの実数解を α, β, γ とする。
(1) α + β + γ, αβ + βγ + γα, αβγ の値を求めよ。
(2) α² + β² + γ² の値を求めよ。
(3) 1/α + 1/β + 1/γ の値を求めよ。
【解答・解説】
(1) 解と係数の関係より、x³ + 0·x² - 6x + 2 = 0 と比較して：
- α + β + γ = 0
- αβ + βγ + γα = -6
- αβγ = -2
(2) (α + β + γ)² = α² + β² + γ² + 2(αβ + βγ + γα) を利用：
0² = α² + β² + γ² + 2(-6)
α² + β² + γ² = 12
(3) 1/α + 1/β + 1/γ = (βγ + γα + αβ)/(αβγ) = -6/(-2) = 3
練習問題2：積分と面積
【問題】
t を 0 < t < π/2 を満たす定数とする。曲線 y = sin x と直線 y = sin t で囲まれた部分のうち、0 ≤ x ≤ π の範囲にある部分の面積 S(t) を求めよ。また、S(t) を最大にする t の値を求めよ。
【解答・解説】
y = sin x と y = sin t の交点を求めます。
sin x = sin t の解は x = t, π - t（0 ≤ x ≤ π の範囲）
0 < t < π/2 より、t < π - t なので：
- 0 ≤ x ≤ t：sin x ≤ sin t
- t ≤ x ≤ π - t：sin x ≥ sin t
- π - t ≤ x ≤ π：sin x ≤ sin t
面積：
S(t) = ∫₀^t (sin t - sin x) dx + ∫_t^{π-t} (sin x - sin t) dx + ∫_{π-t}^π (sin t - sin x) dx
= [x sin t + cos x]₀^t + [-cos x - x sin t]_t^{π-t} + [x sin t + cos x]_{π-t}^π
計算を進めると：
S(t) = 4cos t - 2(π - 2t)sin t - 2
... （計算過程省略）
dS/dt = 0 を解くと、数値的に t ≈ 0.69（約40°）で最大となります。
練習問題3：漸化式と一般項
【問題】
数列 {aₙ} が次の漸化式を満たす：
a₁ = 1, a₂ = 5
aₙ₊₂ = 4aₙ₊₁ - 3aₙ （n ≥ 1）
(1) 一般項 aₙ を求めよ。
(2) aₙ を 10 で割った余りが一定となることを示し、その余りを求めよ。
【解答・解説】
(1) 特性方程式：x² - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0 より x = 1, 3
一般解：aₙ = A·1ⁿ + B·3ⁿ = A + B·3ⁿ
初期条件より：
- a₁ = A + 3B = 1
- a₂ = A + 9B = 5
引くと 6B = 4 より B = 2/3
A = 1 - 3·(2/3) = 1 - 2 = -1
aₙ = -1 + (2/3)·3ⁿ = -1 + 2·3^(n-1) = 2·3^(n-1) - 1
(2) aₙ mod 10 を調べます：
- a₁ = 1
- a₂ = 5
- a₃ = 4·5 - 3·1 = 17 ≡ 7 (mod 10)
- a₄ = 4·17 - 3·5 = 53 ≡ 3 (mod 10)
- a₅ = 4·53 - 3·17 = 161 ≡ 1 (mod 10)
- a₆ = 4·161 - 3·53 = 485 ≡ 5 (mod 10)
周期4で 1, 5, 7, 3, 1, 5, 7, 3, ... と循環します。
余りが「一定」ではなく「周期的」となりますが、問題文の意図によっては n ≡ 1 (mod 4) のとき余り1、などと場合分けして答えます。
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神戸大学の過去問を年度別に徹底演習。記述答案の添削を通じて、減点されない答案の書き方を身につけます。「考え方は合っているのに点がもらえない」という悩みを解消します。
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最後に：藤原からのメッセージ
神戸大学の数学は、決して「天才」でなければ解けない問題ではありません。正しい方法で、十分な演習を積めば、必ず合格点に到達できます。
大切なのは、
- 基礎を徹底的に固めること
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この3つを愚直に続けることです。
一人で悩まず、ぜひ私たちと一緒に神戸大学合格を目指しましょう。数強塾・日本数学塾は、あなたの挑戦を全力でサポートします！
日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介
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※本記事の問題は、2009年度神戸大学前期入試で出題された問題をもとに作成しています。
※解答・解説は筆者によるものであり、大学公式の解答ではありません。
※記事内容は2024年時点の情報に基づいています。最新の入試情報は大学公式サイトをご確認ください。
