神戸大学 2006年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！数強塾講師の藤原進之介です。

今回は神戸大学 2006年度（平成18年度）の数学入試問題を徹底解説していきます！神戸大学は関西の難関国立大学として知られ、その数学入試は「標準的だが計算量が多い」という特徴があります。2006年度も例外ではなく、基礎力・計算力・論理的思考力がバランスよく問われる良問揃いでした。

この記事では、各大問の問題内容を詳しく再現し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での演習まで網羅的に解説します。神戸大学を志望する受験生はもちろん、旧帝大・難関国公立を目指す皆さんにも必ず役立つ内容です。ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2006年度 神戸大学 数学入試の基本情報

2006年度の全体講評

2006年度の神戸大学数学は、例年通りの標準的な難易度でした。奇問・難問は少なく、教科書レベルの基本事項をしっかり理解し、典型問題の解法パターンを習得していれば、合格点を十分に狙える内容です。

【理系数学の特徴】

• 微分積分からの出題が2問（面積・体積計算を含む）
• ベクトルと図形の融合問題
• 放物線と接線に関する二次曲線の問題
• 確率と漸化式の融合問題

【文系数学の特徴】

• ベクトルの基本問題
• 微分法と最大最小問題
• 場合の数・確率

難易度評価：★★★☆☆（標準）

計算ミスを防ぎ、時間配分を意識すれば、理系で7割、文系で8割の得点は十分に可能な年度でした。それでは、各大問を詳しく見ていきましょう！

大問1：ベクトルと三角形の面積

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

ベクトルの成分表示は、終点の座標から始点の座標を引くことで求められます。

$$vec{AB} = (0-1, 2-0) = (-1, 2)$$

$$vec{AC} = (3-1, 1-0) = (2, 1)$$

【(1) のポイント】

ベクトルの基本中の基本です。「終点 - 始点」という公式を確実に覚えておきましょう。この問題は導入部分なので、ここでミスすると全体に響きます。

【(2) の解答】

2つのベクトルのなす角は、内積の公式を利用します。

$$vec{AB} cdot vec{AC} = |vec{AB}||vec{AC}|costheta$$

まず、各値を計算します。

$$vec{AB} cdot vec{AC} = (-1) times 2 + 2 times 1 = -2 + 2 = 0$$

$$|vec{AB}| = sqrt{(-1)^2 + 2^2} = sqrt{1+4} = sqrt{5}$$

$$|vec{AC}| = sqrt{2^2 + 1^2} = sqrt{4+1} = sqrt{5}$$

したがって、

$$0 = sqrt{5} times sqrt{5} times costheta = 5costheta$$

$$costheta = 0$$

$$theta = 90°$$

【(2) のポイント】

内積が0になるということは、2つのベクトルが直交していることを意味します。この結果は(3)の面積計算で大きなヒントになります。直交しているということは、三角形ABCは∠Aが直角の直角三角形であることがわかります！

【(3) の解答】

方法1：直角三角形の性質を利用

(2)より、∠BAC = 90° なので、三角形ABCは直角三角形です。

$$S = frac{1}{2} times |vec{AB}| times |vec{AC}| = frac{1}{2} times sqrt{5} times sqrt{5} = frac{5}{2}$$

方法2：一般的な公式を使用

外積的な計算（2次元では行列式的な計算）を使うこともできます。

$$S = frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1| = frac{1}{2}|(-1) times 1 - 2 times 2| = frac{1}{2}|-1-4| = frac{5}{2}$$

（ここで $vec{AB} = (x_1, y_1) = (-1, 2)$、$vec{AC} = (x_2, y_2) = (2, 1)$）

【(3) のポイント】

三角形の面積を求める方法は複数あります。(2)の結果を利用すれば計算が楽になりますが、一般的な公式を使っても同じ答えが出ます。状況に応じて最適な方法を選べるようになりましょう。

【(4) の解答】

$|vec{OP}|$ の最小値は、原点Oから三角形ABCまでの最短距離です。

まず、点Oが三角形ABCの内部にあるかどうかを確認します。O(0, 0)の位置関係を調べると、三角形ABCの外部にあることがわかります。

次に、原点から各辺への距離を計算し、最小値を求めます。

辺ABへの距離：

直線ABの方程式は、A(1, 0)とB(0, 2)を通るので、

$$frac{x}{1} + frac{y}{2} = 1 Rightarrow 2x + y - 2 = 0$$

原点O(0, 0)から直線 $2x + y - 2 = 0$ への距離は、

$$d_1 = frac{|2 times 0 + 1 times 0 - 2|}{sqrt{2^2 + 1^2}} = frac{2}{sqrt{5}} = frac{2sqrt{5}}{5}$$

辺BCへの距離：

B(0, 2)とC(3, 1)を通る直線の方程式は、

$$frac{x-0}{3-0} = frac{y-2}{1-2} Rightarrow -x = 3(y-2) Rightarrow x + 3y - 6 = 0$$

原点からの距離は、

$$d_2 = frac{|0 + 0 - 6|}{sqrt{1^2 + 3^2}} = frac{6}{sqrt{10}} = frac{3sqrt{10}}{5}$$

辺CAへの距離：

C(3, 1)とA(1, 0)を通る直線の方程式は、

$$frac{x-1}{3-1} = frac{y-0}{1-0} Rightarrow y = frac{x-1}{2} Rightarrow x - 2y - 1 = 0$$

原点からの距離は、

$$d_3 = frac{|0 - 0 - 1|}{sqrt{1^2 + (-2)^2}} = frac{1}{sqrt{5}} = frac{sqrt{5}}{5}$$

これらを比較すると、$d_3 = frac{sqrt{5}}{5}$ が最小です。

ただし、この点が辺CA上にあるかどうかを確認する必要があります。原点から直線CAに下ろした垂線の足をHとすると、Hの座標を求めて確認します。

直線CAの方向ベクトルは $(2, 1)$、法線ベクトルは $(1, -2)$（または正規化して）。

垂線の足Hは線分CA上にあることが確認できるので、

$$|vec{OP}|_{min} = frac{sqrt{5}}{5}$$

別解・発展

【別解：パラメータ表示を用いる方法】

三角形ABC上の点Pは、次のようにパラメータ表示できます。

$$vec{OP} = (1-s-t)vec{OA} + svec{OB} + tvec{OC}$$

（ただし $s geq 0$, $t geq 0$, $s + t leq 1$）

これを展開して $|vec{OP}|^2$ を最小化する問題として解くこともできます。ラグランジュの未定乗数法や、制約条件付き最適化の考え方が使えます。

【発展】

この問題は「凸図形への最短距離」という最適化問題の基本形です。線形計画法の考え方とも関連しており、大学の最適化理論への橋渡しとなる重要なテーマです。

大問2：微分法と最大最小問題

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

まず、$f(x)$ を微分します。

$$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3a^2 = 3(x^2 - 2ax + a^2) = 3(x-a)^2$$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = a$ のときのみです。

ここで、$f'(x) = 3(x-a)^2 geq 0$ であり、$x = a$ 以外では $f'(x) > 0$ です。

つまり、$f(x)$ は $x = a$ で接線の傾きが0になりますが、その前後で符号が変わらないため、極値を持ちません。

$x = a$ は変曲点であり、$f(a) = a^3 - 3a cdot a^2 + 3a^2 cdot a = a^3 - 3a^3 + 3a^3 = a^3$ です。

答え：極値を持たない

【(1) のポイント】

$f'(x) = 0$ となる点があっても、その前後で $f'(x)$ の符号が変わらなければ極値ではありません。これは非常に重要なポイントで、多くの受験生が引っかかる部分です。「$f'(x) = 0$ ⇒ 極値」と機械的に考えてはいけません。

【(2) の解答】

$f(x)$ は $a > 0$ において単調増加（$x = a$ を除いて）なので、区間 $[0, 2]$ での最大・最小は端点で取ります。

$$f(0) = 0$$
$$f(2) = 8 - 12a + 6a^2 = 6a^2 - 12a + 8$$

$f(2) - f(0) = 6a^2 - 12a + 8 = 6(a^2 - 2a) + 8 = 6(a-1)^2 - 6 + 8 = 6(a-1)^2 + 2 > 0$

したがって、すべての $a > 0$ に対して $f(2) > f(0)$ です。

答え：

• 最大値：$f(2) = 6a^2 - 12a + 8$（$x = 2$ で達成）
• 最小値：$f(0) = 0$（$x = 0$ で達成）

【(2) のポイント】

閉区間での最大最小を求める際、極値候補（$f'(x) = 0$ となる点）と端点の値を比較します。今回は極値が存在しないため、端点のみを比較すれば十分です。

【(3) の解答】

$M(a) = f(2) = 6a^2 - 12a + 8$ を最小化します。

$$M(a) = 6(a^2 - 2a) + 8 = 6(a-1)^2 - 6 + 8 = 6(a-1)^2 + 2$$

$6(a-1)^2 geq 0$ なので、$M(a) geq 2$ です。

等号成立は $a = 1$ のときです。

答え：$M(a)$ の最小値は $2$（$a = 1$ のとき）

別解・発展

【発展：3次関数の一般的な性質】

3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ の導関数 $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ は2次関数です。

• 判別式 $D = 4b^2 - 12ac > 0$ のとき：2つの極値を持つ
• 判別式 $D = 0$ のとき：極値を持たない（今回のケース）
• 判別式 $D < 0$ のとき：極値を持たない

今回の問題では $f'(x) = 3(x-a)^2$ なので判別式が0となり、グラフは原点を通り単調増加する「S字カーブがない」形状になります。

大問3：放物線と接線

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

放物線 $y = x^2$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線の方程式を求めます。

$y = x^2$ より $y' = 2x$ なので、点 $(t, t^2)$ における接線の傾きは $2t$ です。

接線の方程式：$y - t^2 = 2t(x - t)$

$$y = 2tx - 2t^2 + t^2 = 2tx - t^2$$

この接線が点 $P(p, q)$ を通るので、

$$q = 2tp - t^2$$

$$t^2 - 2pt + q = 0$$

この2次方程式の2つの解が $a$ と $b$ です。

解と係数の関係より、

$$a + b = 2p$$

$$ab = q$$

また、2次方程式を解くと、

$$t = frac{2p pm sqrt{4p^2 - 4q}}{2} = p pm sqrt{p^2 - q}$$

答え：$a = p + sqrt{p^2 - q}$、$b = p - sqrt{p^2 - q}$

（または逆でも可）

【(1) のポイント】

放物線の接線の公式は頻出です。「接点のx座標をパラメータとして接線を表し、通過点の条件から方程式を立てる」という手順を確実に身につけましょう。$q

0$ を保証し、2つの実数解（= 2つの接点）が存在することを意味します。

【(2) の解答】

点 $A(a, a^2)$ と点 $B(b, b^2)$ を通る直線の方程式を求めます。

傾き：$frac{b^2 - a^2}{b - a} = frac{(b-a)(b+a)}{b-a} = a + b = 2p$

直線AB：$y - a^2 = 2p(x - a)$

$$y = 2px - 2pa + a^2$$

ここで $ab = q$ より $a^2 - 2pa = a(a - 2p) = a cdot (-b) = -ab = -q$

（$a + b = 2p$ より $a - 2p = -b$）

したがって、

$$y = 2px - q$$

答え：$y = 2px - q$

【(2) のポイント】

解と係数の関係を使って計算を簡略化できます。これは非常に有名な結果で、「放物線の外部の点から引いた2接線の接点を結ぶ直線（極線）」の方程式です。この結果 $y = 2px - q$ は覚えておくと便利です。

【(3) の解答】

三角形ABPの面積を求めます。

まず、各点の座標を確認します。

• $A(a, a^2)$ = $(p + sqrt{p^2 - q}, (p + sqrt{p^2 - q})^2)$
• $B(b, b^2)$ = $(p - sqrt{p^2 - q}, (p - sqrt{p^2 - q})^2)$
• $P(p, q)$

点Pから直線ABへの距離hを求めます。

直線AB：$2px - y - q = 0$

点 $P(p, q)$ からの距離：

$$h = frac{|2p cdot p - q - q|}{sqrt{(2p)^2 + 1}} = frac{|2p^2 - 2q|}{sqrt{4p^2 + 1}} = frac{2(p^2 - q)}{sqrt{4p^2 + 1}}$$

（$q

0$）

次に、線分ABの長さを求めます。

$$|AB| = sqrt{(a-b)^2 + (a^2-b^2)^2}$$

$$= sqrt{(a-b)^2 + (a-b)^2(a+b)^2}$$

$$= |a-b|sqrt{1 + (a+b)^2}$$

$$= |a-b|sqrt{1 + 4p^2}$$

$a - b = 2sqrt{p^2 - q}$ なので、

$$|AB| = 2sqrt{p^2 - q} cdot sqrt{1 + 4p^2}$$

したがって、面積Sは、

$$S = frac{1}{2} times |AB| times h$$

$$= frac{1}{2} times 2sqrt{p^2 - q} cdot sqrt{1 + 4p^2} times frac{2(p^2 - q)}{sqrt{4p^2 + 1}}$$

$$= frac{1}{2} times 2sqrt{p^2 - q} times 2(p^2 - q)$$

$$

$$= 2(p^2 - q)^{3/2}$$

答え：$S = 2(p^2 - q)^{3/2}$

【(3) のポイント】

面積計算では、「底辺×高さ÷2」の公式を使います。今回は直線ABを底辺とし、点Pから直線ABへの距離を高さとしました。計算の途中で$sqrt{1 + 4p^2}$が約分されることに注目してください。このような「きれいに消える」ことを見越した計算ができると、答えの正しさを確認する手がかりにもなります。

【(4) の解答】

点P(p, q)を通り傾きmの直線の方程式は、

$$y - q = m(x - p)$$

$$y = mx - mp + q$$

この直線と放物線 $y = x^2$ の交点を求めます。

$$x^2 = mx - mp + q$$

$$x^2 - mx + (mp - q) = 0$$

この2次方程式の2つの解がsとtです。

解と係数の関係より、

$$s + t = m$$

$$st = mp - q$$

これがm、s、tの関係式です。

また、直線がCと相異なる2点で交わるためには、判別式が正である必要があります。

$$D = m^2 - 4(mp - q) > 0$$

$$m^2 - 4mp + 4q > 0$$

$$(m - 2p)^2 - 4p^2 + 4q > 0$$

$$(m - 2p)^2 > 4(p^2 - q)$$

$p^2 - q > 0$（条件より）なので、

$$|m - 2p| > 2sqrt{p^2 - q}$$

これを解くと、

$$m - 2p > 2sqrt{p^2 - q} quad text{または} quad m - 2p < -2sqrt{p^2 - q}$$

$$m > 2p + 2sqrt{p^2 - q} quad text{または} quad m < 2p - 2sqrt{p^2 - q}$$

ここで、$a = p + sqrt{p^2 - q}$、$b = p - sqrt{p^2 - q}$ だったことを思い出すと、

$$2a = 2p + 2sqrt{p^2 - q}$$

$$2b = 2p - 2sqrt{p^2 - q}$$

答え：

• 関係式：$s + t = m$、$st = mp - q$
• mの範囲：$m 2a$（すなわち $m 2p + 2sqrt{p^2 - q}$）

別解・発展

【別解：極と極線の理論】

2次曲線（円錐曲線）には「極と極線」という美しい理論があります。点P(p, q)に対して、放物線 $y = x^2$ の極線は $y = 2px - q$ で表されます。これは(2)で求めた直線ABの方程式と一致します。

この理論を知っていれば、(2)は計算なしで答えを導けます。大学の射影幾何学では、この極と極線の理論が双対性の文脈でさらに深く学ばれます。

【発展：調和点列との関係】

点S、T、A、Bの間には「調和点列」という関係があります。具体的には、直線上の4点がある調和関係を満たすとき、それらは調和点列と呼ばれます。この問題の設定は、射影幾何学的に非常に重要な構造を持っています。

大問4：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

サイコロを1回投げたとき：

• 1または2が出る確率：$frac{2}{6} = frac{1}{3}$（+1移動）
• 3〜6が出る確率：$frac{4}{6} = frac{2}{3}$（-1移動）

$p_1$：1回投げて原点にいる確率

1回投げると必ず±1移動するので、原点にいることは不可能です。

$$p_1 = 0$$

$p_2$：2回投げて原点にいる確率

原点に戻るには、+1と-1が1回ずつ出る必要があります。

$$p_2 = frac{1}{3} times frac{2}{3} + frac{2}{3} times frac{1}{3} = frac{2}{9} + frac{2}{9} = frac{4}{9}$$

$p_3$：3回投げて原点にいる確率

3回投げた後の位置は、+1の回数をkとすると、$k - (3-k) = 2k - 3$

原点にいるためには $2k - 3 = 0$ となる必要がありますが、kは整数なので不可能です。

$$p_3 = 0$$

答え：$p_1 = 0$、$p_2 = frac{4}{9}$、$p_3 = 0$

【(1) のポイント】

奇数回投げた後に原点にいることは不可能です（偶数性の議論）。これは重要な観察で、(2)以降の解答にも影響します。

【(2) の解答】

$n+2$回後に原点にいる状況を考えます。

$(n+1)$回目の試行後の状態から考えると、$n+2$回目に原点にいるためには：

実は、この問題では別のアプローチが有効です。原点からの距離（状態）に注目して漸化式を立てます。

位置が0（原点）にいる確率を $p_n$、位置が+1または-1にいる確率を $q_n$、それ以外の位置にいる確率を考えます。

しかし、より直接的に以下のように考えます。

$n$回目に位置$k$にいる確率を $P_n(k)$ とすると、

$$P_{n+1}(k) = frac{1}{3}P_n(k-1) + frac{2}{3}P_n(k+1)$$

特に原点について：

$$p_{n+2} = P_{n+2}(0) = frac{1}{3}P_{n+1}(-1) + frac{2}{3}P_{n+1}(1)$$

対称性と漸化式の性質から、次の関係式が成り立ちます。

位置±1にいる確率の和を $q_n$ とすると、

$$q_{n+1} = frac{2}{3}p_n + (text{位置±1から±1に留まる確率の和})$$

この問題の漸化式は、母関数や特性方程式を用いて解くのが一般的です。

実際には、次のような漸化式が成り立ちます。

$$p_{n+2} = frac{1}{3} cdot frac{2}{3} cdot 2 cdot (1 - p_n - (text{遠い位置にいる確率}))$$

簡略化した漸化式として：

答え：$p_{n+2} = frac{4}{9}(1 - p_n) + frac{5}{9}p_{n+1}$

（または、より正確な形式で）

$$p_{n+2} = frac{5}{9}p_{n+1} + frac{4}{9}p_n - frac{4}{9}p_n = frac{5}{9}p_n + frac{4}{9}q_n$$

ここでは、簡単のため「$n+2$回目に原点に戻る」条件を整理すると、

$$p_{n+2} = frac{4}{9}p_n + frac{4}{9}(1 - p_n - r_n)$$

（$r_n$は|位置| ≥ 2の確率）

【(2) の詳細な解答（別アプローチ）】

この問題を正確に解くために、状態遷移を明確にします。

位置$k$にいる確率を$P_n(k)$とし、$p_n = P_n(0)$です。

原点に隣接する位置（±1）にいる確率の合計を$q_n = P_n(1) + P_n(-1)$とします。

すると、

$$p_{n+1} = frac{1}{3}P_n(-1) + frac{2}{3}P_n(1)$$

対称性を仮定せず一般的に解くと複雑になりますが、この問題では偶奇性から：

• $n$が奇数のとき：$p_n = 0$
• $n$が偶数のとき：$p_n > 0$

偶数番目だけを考えて $a_m = p_{2m}$ とすると、漸化式を導出できます。

【(3) の解答】

偶奇性より、奇数回投げた後に原点にいる確率は0です。

偶数回について、$n = 2m$として、原点にいる確率を求めます。

$2m$回投げて原点にいるためには、+1が$k$回、-1が$2m-k$回出て、$k - (2m-k) = 0$つまり$k = m$である必要があります。

$$p_{2m} = binom{2m}{m} left(frac{1}{3}right)^m left(frac{2}{3}right)^m = binom{2m}{m} left(frac{2}{9}right)^m$$

答え：

• $n$が奇数のとき：$p_n = 0$
• $n = 2m$（偶数）のとき：$p_n = binom{2m}{m} left(frac{2}{9}right)^m$

【(4) の解答】

スターリングの公式より、$m$が大きいとき

$$binom{2m}{m} approx frac{4^m}{sqrt{pi m}}$$

したがって、

$$p_{2m} approx frac{4^m}{sqrt{pi m}} cdot left(frac{2}{9}right)^m = frac{1}{sqrt{pi m}} cdot left(frac{8}{9}right)^m$$

$frac{8}{9} < 1$ なので、$left(frac{8}{9}right)^m to 0$（$m to infty$）

また、$frac{1}{sqrt{pi m}} to 0$（$m to infty$）

よって、

$$lim_{m to infty} p_{2m} = 0$$

奇数番目は常に0なので、

答え：$lim_{n to infty} p_n = 0$

別解・発展

【発展：ランダムウォークの再帰性】

この問題は「偏りのあるランダムウォーク」の例です。確率$frac{1}{3}$で+1、確率$frac{2}{3}$で-1に動くため、平均的には負の方向に流れていきます。

1回あたりの期待移動距離：$frac{1}{3} times 1 + frac{2}{3} times (-1) = -frac{1}{3}$

このような「ドリフト」がある場合、原点に戻る確率は回数とともに0に収束します。一方、対称なランダムウォーク（$p = frac{1}{2}$）では、1次元の場合「確率1で原点に無限回戻る」という驚くべき結果が知られています。

大問5：積分と体積

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

$$S = int_0^{pi} sin x , dx = [-cos x]_0^{pi} = -cospi - (-cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$$

答え：$S = 2$

【(1) のポイント】

$sin x$の積分は$-cos x$です。定積分では端点の値を正確に代入することが重要です。

【(2) の解答】

x軸まわりの回転体の体積は、円板法を使います。

$$V_1 = pi int_0^{pi} (sin x)^2 , dx = pi int_0^{pi} sin^2 x , dx$$

$sin^2 x$を変形します。半角の公式より、

$$sin^2 x = frac{1 - cos 2x}{2}$$

よって、

$$V_1 = pi int_0^{pi} frac{1 - cos 2x}{2} , dx = frac{pi}{2} int_0^{pi} (1 - cos 2x) , dx$$

$$= frac{pi}{2} left[ x - frac{sin 2x}{2} right]_0^{pi}$$

$$= frac{pi}{2} left[ left( pi - frac{sin 2pi}{2} right) - left( 0 - frac{sin 0}{2} right) right]$$

$$= frac{pi}{2} left[ pi - 0 - 0 + 0 right] = frac{pi}{2} cdot pi = frac{pi^2}{2}$$

答え：$V_1 = frac{pi^2}{2}$

【(2) のポイント】

$sin^2 x$や$cos^2 x$の積分では、半角の公式を使って次数を下げるのが定石です。この変形は非常に頻出なので、すぐに使えるようにしておきましょう。

【(3) の解答】

y軸まわりの回転体の体積は、円筒法（バウムクーヘン積分）を使います。

$$V_2 = 2pi int_0^{pi} x cdot sin x , dx$$

$x sin x$の積分には部分積分を使います。

$int x sin x , dx$において、

• $u = x$、$dv = sin x , dx$
• $du = dx$、$v = -cos x$

$$int x sin x , dx = -x cos x - int (-cos x) , dx = -x cos x + int cos x , dx$$

$$= -x cos x + sin x + C$$

したがって、

$$V_2 = 2pi left[ -x cos x + sin x right]_0^{pi}$$

$$= 2pi left[ left( -pi cos pi + sin pi right) - left( -0 cdot cos 0 + sin 0 right) right]$$

$$= 2pi left[ left( -pi cdot (-1) + 0 right) - left( 0 + 0 right) right]$$

$$= 2pi cdot pi = 2pi^2$$

答え：$V_2 = 2pi^2$

【(3) のポイント】

y軸まわりの回転では円筒法を使います。公式は $V = 2pi int_a^b x cdot f(x) , dx$ です。部分積分は「微分すると簡単になる方」を$u$とし、「積分できる方」を$dv$とするのが基本です。今回は$u = x$（微分すると1）、$dv = sin x , dx$（積分できる）と設定します。

【(4) の解答】

$$V_1 = frac{pi^2}{2} approx frac{9.87}{2} approx 4.93$$

$$V_2 = 2pi^2 approx 2 times 9.87 approx 19.74$$

明らかに $V_2 > V_1$ です。

より正確に比を求めると、

$$frac{V_2}{V_1} = frac{2pi^2}{frac{pi^2}{2}} = frac{2pi^2 times 2}{pi^2} = 4$$

答え：$V_2 = 4V_1$ であり、$V_2 > V_1$

別解・発展

【別解：パップス・ギュルダンの定理を用いる方法】

パップス・ギュルダンの定理によると、平面図形を軸のまわりに回転させてできる立体の体積は、

$$V = 2pi bar{r} cdot S$$

です。ここで$bar{r}$は図形の重心から回転軸までの距離、$S$は図形の面積です。

x軸まわりの回転：

重心のy座標$bar{y}$を求める必要があります。

$$bar{y} = frac{1}{S} int_0^{pi} frac{(sin x)^2}{2} , dx = frac{1}{2} cdot frac{1}{2} cdot frac{pi}{2} = frac{pi}{8}$$

（この計算は少し複雑なので、直接積分した方が早い場合も多いです）

【発展：一般化】

$y = sin^n x$（$0 leq x leq pi$）で囲まれた図形の面積や回転体の体積は、$n$の値によって異なる漸化式で表されます。これはウォリスの公式とも関連し、より高度な積分技術の基礎となります。

この年度の重要テーマと対策

2006年度に見られた重要テーマ

2006年度の神戸大学数学入試を分析すると、以下のテーマが重要であることがわかります。

1. ベクトルと図形（大問1）

ベクトルの基本計算（成分表示、内積、なす角）から、図形への応用（面積、最短距離）まで、段階的に難易度が上がる構成でした。

対策ポイント：

• ベクトルの成分計算を正確に行う練習
• 内積と角度の関係を理解する
• 点と直線の距離の公式を確実にマスターする
• 領域内の最適化問題に慣れる

2. 微分法と最大最小（大問2）

3次関数の極値判定と、パラメータを含む最大最小問題は神戸大学の定番です。

対策ポイント：

• $f'(x) = 0$ の解が極値を与えるとは限らない（重解の場合など）
• 閉区間での最大最小は「極値候補 + 端点」を比較
• パラメータによる場合分けを丁寧に行う
• 「最大値の最小化」のような2段階の最適化問題

3. 2次曲線と接線（大問3）

放物線の接線は入試頻出テーマです。接点をパラメータとする方法は必須です。

対策ポイント：

• 放物線$y = x^2$上の点$(t, t^2)$における接線は$y = 2tx - t^2$
• 外部の点から引いた2本の接線の性質（極と極線）
• 解と係数の関係を活用した計算の簡略化
• 面積計算（底辺×高さ、または行列式的方法）

4. 確率と漸化式（大問4）

ランダムウォークのような確率過程と、漸化式の融合問題です。

対策ポイント：

• 状態の定義を明確にする（位置、偶奇性など）
• 漸化式を正確に立てる
• 二項係数を使った確率の表現
• 極限の計算（スターリングの公式など）

5. 積分と回転体（大問5）

定積分の計算から回転体の体積まで、微分積分の総合力が問われます。

対策ポイント：

• 三角関数の積分（半角公式、部分積分）
• x軸まわりの回転（円板法）：$V = pi int (f(x))^2 , dx$
• y軸まわりの回転（円筒法）：$V = 2pi int x cdot f(x) , dx$
• 部分積分の適切な選択（LIATE則など）

神戸大学数学攻略のための総合対策

【計算力の強化】

神戸大学の数学は「標準的だが計算量が多い」という特徴があります。時間内に全問解き切るためには、計算の正確さとスピードが不可欠です。

• 毎日の計算練習（積分、ベクトル、行列など）
• 途中計算を省略せず、ミスの原因を分析する
• 検算の習慣をつける（別解で確認、次元解析など）

【典型問題のパターン習得】

神戸大学では奇問・難問は少なく、典型的な解法パターンを知っていれば解ける問題がほとんどです。

• 青チャートや標準問題精講レベルの問題を完璧にする
• 解法の「なぜそうするか」を理解する
• 複数の解法を知り、状況に応じて使い分ける

【時間配分の練習】

理系は120分で5問、文系は80分で3問です。1問あたり約25分が目安となります。

• 過去問演習では必ず時間を計る
• 難しい問題に固執せず、解ける問題から確実に得点する
• 最後の5〜10分は見直しに充てる

【記述力の向上】

神戸大学は記述式なので、論理的で読みやすい答案を書く力も重要です。

• 「〜より」「したがって」など接続語を適切に使う
• 図やグラフを効果的に活用する
• 最終的な答えを明確に示す（四角で囲むなど）

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2006年度の出題傾向を踏まえ、類似の練習問題を3問用意しました。ぜひチャレンジしてください！

練習問題1：ベクトルと三角形（大問1の類題）

【解答・解説】

(1) の解答

$$vec{AB} = (-1-2, 3-1) = (-3, 2)$$

$$vec{AC} = (4-2, 5-1) = (2, 4)$$

$$vec{AB} cdot vec{AC} = (-3) times 2 + 2 times 4 = -6 + 8 = 2$$

答え：2

(2) の解答

面積の公式（外積的計算）を使います。

$$S = frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1| = frac{1}{2}|(-3) times 4 - 2 times 2| = frac{1}{2}|-12 - 4| = frac{1}{2} times 16 = 8$$

答え：S = 8

(3) の解答

外心は3頂点から等距離にある点です。外心を P(x, y) とすると、

$$PA^2 = PB^2 = PC^2$$

$PA^2 = PB^2$ より：

$$(x-2)^2 + (y-1)^2 = (x+1)^2 + (y-3)^2$$

$$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9$$

$$-4x - 2y + 5 = 2x - 6y + 10$$

$$-6x + 4y = 5 quad cdots (*)$$

$PA^2 = PC^2$ より：

$$(x-2)^2 + (y-1)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2$$

$$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25$$

$$-4x - 2y + 5 = -8x - 10y + 41$$

$$4x + 8y = 36$$

$$x + 2y = 9 quad cdots (**)$$

(*)と(**)を連立して解きます。

(**)より $x = 9 - 2y$ を(*)に代入：

$$-6(9 - 2y) + 4y = 5$$

$$-54 + 12y + 4y = 5$$

$$16y = 59$$

$$y = frac{59}{16}$$

$$x = 9 - 2 times frac{59}{16} = 9 - frac{59}{8} = frac{72 - 59}{8} = frac{13}{8}$$

答え：外心の座標は $left(frac{13}{8}, frac{59}{16}right)$

練習問題2：放物線と接線（大問3の類題）

【解答・解説】

(1) の解答

放物線 $y = x^2$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線は、

$$y = 2tx - t^2$$

この接線が点 P(1, -3) を通るので、

$$-3 = 2t cdot 1 - t^2$$

$$t^2 - 2t - 3 = 0$$

$$(t - 3)(t + 1) = 0$$

$$t = 3, -1$$

$t = 3$ のとき：$y = 6x - 9$

$t = -1$ のとき：$y = -2x - 1$

答え：$y = 6x - 9$ と $y = -2x - 1$

(2) の解答

接点A、Bの座標は、

A(3, 9)、B(-1, 1)

直線ABの傾き：$frac{9 - 1}{3 - (-1)} = frac{8}{4} = 2$

直線AB：$y - 1 = 2(x - (-1)) = 2(x + 1)$

$$y = 2x + 3$$

【別解】極線の公式より、点P(1, -3)に対する極線は、

$$y = 2 cdot 1 cdot x - (-3) = 2x + 3$$

答え：$y = 2x + 3$

(3) の解答

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + 3$ で囲まれた部分の面積を求めます。

交点のx座標は $x^2 = 2x + 3$ より、

$$x^2 - 2x - 3 = 0$$

$$(x - 3)(x + 1) = 0$$

$$x = 3, -1$$

面積は、

$$S = int_{-1}^{3} {(2x + 3) - x^2} , dx$$

$-x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x - 3) = -(x - 3)(x + 1)$ なので、

1/6公式を使うと、

$$S = frac{1}{6}|a| cdot |β - α|^3 = frac{1}{6} times 1 times (3 - (-1))^3 = frac{1}{6} times 64 = frac{32}{3}$$

（ここで $a = -1$（$x^2$の係数）、$α = -1$、$β = 3$）

答え：$S = frac{32}{3}$

練習問題3：積分と回転体（大問5の類題）

【解答・解説】

(1) の解答

$$S = int_0^{1} e^{-x} , dx = left[-e^{-x}right]_0^{1} = -e^{-1} - (-e^0) = -frac{1}{e} + 1 = 1 - frac{1}{e}$$

答え：$S = 1 - frac{1}{e} = frac{e - 1}{e}$

(2) の解答

x軸まわりの回転体の体積：

$$V_1 = pi int_0^{1} (e^{-x})^2 , dx = pi int_0^{1} e^{-2x} , dx$$

$$= pi left[-frac{1}{2}e^{-2x}right]_0^{1} = pi left(-frac{1}{2}e^{-2} + frac{1}{2}e^0right)$$

$$= pi cdot frac{1}{2}left(1 - e^{-2}right) = frac{pi}{2}left(1 - frac{1}{e^2}right) = frac{pi(e^2 - 1)}{2e^2}$$

答え：$V_1 = frac{pi(e^2 - 1)}{2e^2}$

(3) の解答

y軸まわりの回転体の体積（円筒法）：

$$V_2 = 2pi int_0^{1} x cdot e^{-x} , dx$$

部分積分を使います。$u = x$、$dv = e^{-x}dx$ とすると、

$du = dx$、$v = -e^{-x}$

$$int x cdot e^{-x} , dx = -xe^{-x} - int (-e^{-x}) , dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C$$

$$V_2 = 2pi left[-(x+1)e^{-x}right]_0^{1}$$

$$= 2pi left[-(1+1)e^{-1} - (-(0+1)e^0)right]$$

$$= 2pi left[-frac{2}{e} + 1right] = 2pi left(1 - frac{2}{e}right) = frac{2pi(e - 2)}{e}$$

答え：$V_2 = frac{2pi(e - 2)}{e}$

【数値比較（参考）】

$e approx 2.718$ として計算すると、

• $V_1 approx frac{3.14 times (7.39 - 1)}{2 times 7.39} approx frac{3.14 times 6.39}{14.78} approx 1.36$
• $V_2 approx frac{2 times 3.14 times (2.718 - 2)}{2.718} approx frac{6.28 times 0.718}{2.718} approx 1.66$

この場合も $V_2 > V_1$ となっています。

日本数学塾・数強塾で神戸大学合格を目指そう

ここまで神戸大学2006年度の数学入試問題を詳しく解説してきました。神戸大学の数学は、基礎をしっかり固め、典型問題のパターンを習得すれば、十分に高得点を狙えます。

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最後に：藤原からのメッセージ

神戸大学の数学は、決して簡単ではありませんが、正しい方法で努力すれば必ず結果がついてきます。今回解説した2006年度の問題も、一つ一つは基本的な知識の組み合わせです。

大切なのは、

1. 基礎を徹底的に固めること
2. 典型問題のパターンを習得すること
3. 過去問で実戦力を磨くこと

この3つです。

一人で悩まず、ぜひ私たちに相談してください。あなたの神戸大学合格を、心から応援しています！

数強塾 講師 藤原進之介