金沢工業大学 2019年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、金沢工業大学 2019年度（平成31年度）一般試験A方式の数学を徹底解説していきます。金沢工業大学は「教育力」で全国的に高い評価を受けている大学であり、入試問題も基礎から標準レベルの良問が揃っています。しっかりと対策をすれば、十分に高得点を狙える試験です。

この記事では、2019年度の出題内容を大問ごとに丁寧に解説し、解法のポイントや別解、さらには類似の練習問題まで網羅しています。金沢工業大学を目指す受験生の皆さん、一緒に合格を勝ち取りましょう！

試験概要・難易度

試験形式と配点

2019年度の全体講評

2019年度の金沢工業大学の数学は、例年通りの標準的な難易度でした。特に以下の特徴が見られました：

• 基本的な計算力を問う問題が多い
• 二次関数・二次不等式からの出題が頻出
• 三角関数の加法定理や合成に関する問題
• 数列の一般項と和の計算
• ベクトルの基本的な演算と図形への応用
• 微分・積分の基礎的な計算と面積計算

全体的に、教科書の例題や章末問題レベルの問題が中心です。基礎を固めた受験生であれば8割以上を狙えるセットでした。ただし、時間が60分と限られているため、計算のスピードと正確性が求められます。

目標得点

• 合格ライン：60〜65点程度
• 安全圏：75点以上
• 満点狙い：ケアレスミスを防げば十分可能

大問1：小問集合（二次関数・二次不等式・式の計算）

問題

【1】次の問いに答えよ。

(1) 二次不等式 $x^2 - 5x + 6 < 0$ を解け。

(2) $a = sqrt{5} + 2$、$b = sqrt{5} - 2$ のとき、$a^2 + b^2$ の値を求めよ。

(3) 二次関数 $y = x^2 - 4x + 5$ の頂点の座標を求めよ。

(4) $displaystyle frac{1}{sqrt{3} + sqrt{2}} + frac{1}{sqrt{3} - sqrt{2}}$ の値を求めよ。

(5) 方程式 $|2x - 3| = 5$ を解け。

解説・解法のポイント

(1) 二次不等式の解法

【解答】

まず、二次方程式 $x^2 - 5x + 6 = 0$ を解きます。

因数分解すると：

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$$

よって、$x = 2, 3$

二次関数 $y = x^2 - 5x + 6$ は下に凸の放物線なので、$y < 0$ となる範囲は2つの解の間です。

答え：$2 < x < 3$

【ポイント】

• 二次不等式は、まず対応する二次方程式を解く
• 二次関数のグラフの概形（下に凸 or 上に凸）を確認
• 不等号の向き（$< 0$ なら x軸より下）で解の範囲を決定

(2) 対称式の計算

【解答】

$a = sqrt{5} + 2$、$b = sqrt{5} - 2$ とすると、

$a + b = (sqrt{5} + 2) + (sqrt{5} - 2) = 2sqrt{5}$

$ab = (sqrt{5} + 2)(sqrt{5} - 2) = 5 - 4 = 1$

ここで、$a^2 + b^2$ を基本対称式で表すと：

$$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (2sqrt{5})^2 - 2 cdot 1 = 20 - 2 = 18$$

答え：$18$

【ポイント】

• $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ の公式を活用
• $(sqrt{5} + 2)(sqrt{5} - 2)$ は和と差の積の公式
• 対称式は基本対称式（和と積）で表せることを覚えておく

(3) 二次関数の頂点

【解答】

$y = x^2 - 4x + 5$ を平方完成します。

$$y = x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$$

よって、頂点の座標は $(2, 1)$

答え：$(2, 1)$

【ポイント】

• 平方完成は $y = a(x-p)^2 + q$ の形にする
• $x^2 - 4x$ を完成させるには、$(-4/2)^2 = 4$ を加減
• 頂点は $(p, q)$ となる

(4) 有理化の計算

【解答】

それぞれの分数を有理化します。

$$frac{1}{sqrt{3} + sqrt{2}} = frac{sqrt{3} - sqrt{2}}{(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})} = frac{sqrt{3} - sqrt{2}}{3 - 2} = sqrt{3} - sqrt{2}$$

$$frac{1}{sqrt{3} - sqrt{2}} = frac{sqrt{3} + sqrt{2}}{(sqrt{3} - sqrt{2})(sqrt{3} + sqrt{2})} = frac{sqrt{3} + sqrt{2}}{3 - 2} = sqrt{3} + sqrt{2}$$

よって、

$$frac{1}{sqrt{3} + sqrt{2}} + frac{1}{sqrt{3} - sqrt{2}} = (sqrt{3} - sqrt{2}) + (sqrt{3} + sqrt{2}) = 2sqrt{3}$$

答え：$2sqrt{3}$

【ポイント】

• 分母の有理化は「共役な式」を掛ける
• $(sqrt{a} + sqrt{b})(sqrt{a} - sqrt{b}) = a - b$
• 計算後、同類項をまとめる

(5) 絶対値を含む方程式

【解答】

$|2x - 3| = 5$ より、絶対値の定義から2つの場合に分けます。

場合1：$2x - 3 = 5$ のとき

$2x = 8$、$x = 4$

場合2：$2x - 3 = -5$ のとき

$2x = -2$、$x = -1$

答え：$x = 4, -1$

【ポイント】

• $|A| = k$（$k > 0$）のとき、$A = k$ または $A = -k$
• 場合分けして解いた後、解の確認は不要（$k > 0$ の場合）

別解・発展

(2)の別解：直接計算

$a^2 = (sqrt{5} + 2)^2 = 5 + 4sqrt{5} + 4 = 9 + 4sqrt{5}$

$b^2 = (sqrt{5} - 2)^2 = 5 - 4sqrt{5} + 4 = 9 - 4sqrt{5}$

$a^2 + b^2 = (9 + 4sqrt{5}) + (9 - 4sqrt{5}) = 18$

対称式の公式を使う方法と直接計算のどちらでも解けますが、対称式の公式の方が計算ミスが少なくなります。

大問2：三角関数（加法定理・合成）

問題

【2】次の問いに答えよ。

(1) $sin 75°$ の値を求めよ。

(2) $sintheta + costheta = dfrac{1}{2}$ のとき、$sintheta costheta$ の値を求めよ。

(3) 関数 $y = sin x + sqrt{3}cos x$（$0 leq x leq 2pi$）の最大値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 加法定理の活用

【解答】

$75° = 45° + 30°$ と分解できるので、加法定理を使います。

$$sin 75° = sin(45° + 30°)$$

加法定理 $sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B$ より、

$$sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°$$

$$= frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{sqrt{3}}{2} + frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{1}{2}$$

$$= frac{sqrt{6}}{4} + frac{sqrt{2}}{4} = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$$

答え：$dfrac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$

【ポイント】

• $75° = 45° + 30°$ または $75° = 120° - 45°$ など、特殊角の和・差で表す
• $sin 45° = cos 45° = dfrac{sqrt{2}}{2}$、$sin 30° = dfrac{1}{2}$、$cos 30° = dfrac{sqrt{3}}{2}$ を即答できるように

(2) 三角関数の対称式

【解答】

$sintheta + costheta = dfrac{1}{2}$ の両辺を2乗します。

$$(sintheta + costheta)^2 = left(frac{1}{2}right)^2$$

$$sin^2theta + 2sinthetacostheta + cos^2theta = frac{1}{4}$$

$sin^2theta + cos^2theta = 1$ より、

$$1 + 2sinthetacostheta = frac{1}{4}$$

$$2sinthetacostheta = frac{1}{4} - 1 = -frac{3}{4}$$

$$sinthetacostheta = -frac{3}{8}$$

答え：$-dfrac{3}{8}$

【ポイント】

• $sintheta + costheta$ と $sinthetacostheta$ は対称式の関係
• $(sintheta + costheta)^2 = 1 + 2sinthetacostheta$ を覚えておく
• この関係式は頻出なので、確実に使えるようにしておく

(3) 三角関数の合成

【解答】

$y = sin x + sqrt{3}cos x$ を合成します。

$$y = sin x + sqrt{3}cos x = rsin(x + alpha)$$

ここで、$r = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2} = sqrt{1 + 3} = 2$

$cosalpha = dfrac{1}{2}$、$sinalpha = dfrac{sqrt{3}}{2}$ より、$alpha = dfrac{pi}{3}$（$60°$）

よって、

$$y = 2sinleft(x + frac{pi}{3}right)$$

$sin$ 関数の最大値は $1$ なので、$y$ の最大値は $2 times 1 = 2$

最大値をとるのは $sinleft(x + dfrac{pi}{3}right) = 1$、すなわち $x + dfrac{pi}{3} = dfrac{pi}{2}$ のとき

$$x = frac{pi}{2} - frac{pi}{3} = frac{3pi - 2pi}{6} = frac{pi}{6}$$

答え：最大値 $2$、そのときの $x = dfrac{pi}{6}$

【ポイント】

• $asin x + bcos x = sqrt{a^2 + b^2}sin(x + alpha)$ の公式
• $alpha$ は $cosalpha = dfrac{a}{sqrt{a^2+b^2}}$、$sinalpha = dfrac{b}{sqrt{a^2+b^2}}$ で決まる
• 合成後の関数の最大・最小は単純な $sin$ 関数の性質から

別解・発展

(3)の別解：$cos$ を使った合成

$$y = sin x + sqrt{3}cos x = 2cosleft(x - frac{pi}{6}right)$$

$cos$ 関数の最大値は $1$ なので、最大値は $2$

$cosleft(x - dfrac{pi}{6}right) = 1$ となるのは $x - dfrac{pi}{6} = 0$、すなわち $x = dfrac{pi}{6}$ のとき

どちらの合成を使っても同じ答えが得られます。

大問3：数列（等差数列・等比数列・和の計算）

問題

【3】次の問いに答えよ。

(1) 初項 $3$、公差 $4$ の等差数列の一般項 $a_n$ を求めよ。また、第 $20$ 項の値を求めよ。

(2) 初項 $2$、公比 $3$ の等比数列において、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

(3) $displaystylesum_{k=1}^{n} k(k+1)$ を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 等差数列の一般項

【解答】

等差数列の一般項の公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$

初項 $a_1 = 3$、公差 $d = 4$ より、

$$a_n = 3 + (n-1) cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$$

第 $20$ 項は、

$$a_{20} = 4 cdot 20 - 1 = 80 - 1 = 79$$

答え：一般項 $a_n = 4n - 1$、$a_{20} = 79$

【ポイント】

• 等差数列の一般項公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ を確実に使う
• 計算後、$n = 1$ を代入して初項と一致するか確認

(2) 等比数列の和

【解答】

等比数列の和の公式（$r neq 1$ のとき）：$S_n = dfrac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$

初項 $a_1 = 2$、公比 $r = 3$ より、

$$S_n = frac{2(3^n - 1)}{3 - 1} = frac{2(3^n - 1)}{2} = 3^n - 1$$

答え：$S_n = 3^n - 1$

【ポイント】

• 公比 $r > 1$ のときは $S_n = dfrac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$ を使う
• $r < 1$ のときは $S_n = dfrac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$ の方が計算しやすい場合も
• 答えの検算：$S_1 = 3^1 - 1 = 2 = a_1$ ✓

(3) シグマ計算

【解答】

まず、$k(k+1) = k^2 + k$ と展開します。

$$sum_{k=1}^{n} k(k+1) = sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = sum_{k=1}^{n} k^2 + sum_{k=1}^{n} k$$

公式を適用します：

• $displaystylesum_{k=1}^{n} k = dfrac{n(n+1)}{2}$
• $displaystylesum_{k=1}^{n} k^2 = dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

よって、

$$sum_{k=1}^{n} k(k+1) = frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + frac{n(n+1)}{2}$$

共通因数 $dfrac{n(n+1)}{6}$ でくくると、

$$= frac{n(n+1)}{6}left{(2n+1) + 3right} = frac{n(n+1)}{6} cdot (2n+4)$$

$$= frac{n(n+1) cdot 2(n+2)}{6} = frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

答え：$dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

【ポイント】

• シグマの分配：$sum(A + B) = sum A + sum B$
• $sum k$ と $sum k^2$ の公式は暗記必須
• 答えが因数分解された形になることが多い

別解・発展

(3)の別解：部分分数分解を使わない直接的な方法

$k(k+1)$ は連続する2整数の積なので、階差を利用する方法もあります。

$$k(k+1) = frac{1}{3}{k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1)}$$

これを用いると、望遠鏡和（テレスコーピング）の形になり、

$$sum_{k=1}^{n} k(k+1) = frac{1}{3}{n(n+1)(n+2) - 0} = frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

大問4：ベクトル（平面ベクトル・内積）

問題

【4】$triangle ABC$ において、$overrightarrow{AB} = vec{b}$、$overrightarrow{AC} = vec{c}$ とする。$|vec{b}| = 3$、$|vec{c}| = 4$、$vec{b} cdot vec{c} = 6$ のとき、次の問いに答えよ。

(1) $cosangle BAC$ の値を求めよ。

(2) 辺 $BC$ の長さを求めよ。

(3) 辺 $BC$ の中点を $M$ とするとき、$|overrightarrow{AM}|$ を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 内積と角度

【解答】

内積の定義 $vec{b} cdot vec{c} = |vec{b}||vec{c}|costheta$（$theta = angle BAC$）より、

$$6 = 3 cdot 4 cdot cosangle BAC$$

$$cosangle BAC = frac{6}{12} = frac{1}{2}$$

答え：$cosangle BAC = dfrac{1}{2}$

【ポイント】

• 内積 $vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}||vec{b}|costheta$ は最重要公式
• $costheta = dfrac{1}{2}$ より $theta = 60°$ とわかる

(2) 辺BCの長さ

【解答】

$overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC} - overrightarrow{AB} = vec{c} - vec{b}$

$BC$ の長さは $|overrightarrow{BC}|$ を求めます。

$$|overrightarrow{BC}|^2 = |vec{c} - vec{b}|^2 = |vec{c}|^2 - 2vec{b} cdot vec{c} + |vec{b}|^2$$

$$= 4^2 - 2 cdot 6 + 3^2 = 16 - 12 + 9 = 13$$

$$|overrightarrow{BC}| = sqrt{13}$$

答え：$BC = sqrt{13}$

【ポイント】

• $|vec{a} - vec{b}|^2 = |vec{a}|^2 - 2vec{a} cdot vec{b} + |vec{b}|^2$ を使う
• これは余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$ と同じ結果

(3) 中点までの距離

【解答】

$M$ は $BC$ の中点なので、

$$overrightarrow{AM} = frac{overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}}{2} = frac{vec{b} + vec{c}}{2}$$

$$|overrightarrow{AM}|^2 = left|frac{vec{b} + vec{c}}{2}right|^2 = frac{1}{4}|vec{b} + vec{c}|^2$$

$$= frac{1}{4}(|vec{b}|^2 + 2vec{b} cdot vec{c} + |vec{c}|^2)$$

$$= frac{1}{4}(9 + 12 + 16) = frac{37}{4}$$

$$|overrightarrow{AM}| = frac{sqrt{37}}{2}$$

答え：$|overrightarrow{AM}| = dfrac{sqrt{37}}{2}$

【ポイント】

• 中点の位置ベクトル：$overrightarrow{AM} = dfrac{overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}}{2}$
• $|vec{a} + vec{b}|^2 = |vec{a}|^2 + 2vec{a} cdot vec{b} + |vec{b}|^2$
• ベクトルの大きさを求めるときは、まず2乗して計算

別解・発展

(2)の別解：余弦定理を直接使う

$cosangle BAC = dfrac{1}{2}$ より、余弦定理を適用：

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 cdot AB cdot AC cdot cosangle BAC$$

$$= 3^2 + 4^2 - 2 cdot 3 cdot 4 cdot frac{1}{2} = 9 + 16 - 12 = 13$$

$$BC = sqrt{13}$$

(3)の別解：中線の長さの公式

中線の長さの公式（中線定理）を使うこともできます：

$$AM^2 = frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} = frac{2 cdot 9 + 2 cdot 16 - 13}{4} = frac{18 + 32 - 13}{4} = frac{37}{4}$$

$$AM = frac{sqrt{37}}{2}$$

大問5：微分・積分（接線・面積）

問題

【5】関数 $f(x) = x^3 - 3x^2$ について、次の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ の極値を求めよ。

(2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(1, -2)$ における接線の方程式を求めよ。

(3) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 極値の計算

【解答】

$f(x) = x^3 - 3x^2$ を微分します。

$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は、$x = 0, 2$

増減表を作成します：

極値を計算：

• $f(0) = 0^3 - 3 cdot 0^2 = 0$（極大値）
• $f(2) = 2^3 - 3 cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$（極小値）

答え：$x = 0$ で極大値 $0$、$x = 2$ で極小値 $-4$

【ポイント】

• $f'(x) = 0$ の解を求め、増減表を作成
• $f'(x)$ の符号変化を確認して極大・極小を判定
• 必ず増減表を書いて、視覚的に確認する習慣をつける

(2) 接線の方程式

【解答】

点 $(1, -2)$ における接線の傾きは $f'(1)$ です。

$$f'(1) = 3 cdot 1^2 - 6 cdot 1 = 3 - 6 = -3$$

接線の方程式は、点 $(1, -2)$ を通り傾き $-3$ の直線なので：

$$y - (-2) = -3(x - 1)$$

$$y + 2 = -3x + 3$$

$$y = -3x + 1$$

答え：$y = -3x + 1$

【ポイント】

• 接線の傾き = $f'(a)$（接点の $x$ 座標が $a$ のとき）
• 点 $(a, f(a))$ を通る直線：$y - f(a) = f'(a)(x - a)$
• 点 $(1, -2)$ が曲線上の点であることの確認：$f(1) = 1 - 3 = -2$ ✓

(3) 面積の計算

【解答】

まず、$f(x) = x^3 - 3x^2 = x^2(x - 3)$ と因数分解できます。

$f(x) = 0$ となるのは $x = 0, 3$ です。

$0 leq x leq 3$ の範囲で $f(x) leq 0$（$x$ 軸より下）なので、面積は：

$$S = -int_0^3 f(x) , dx = -int_0^3 (x^3 - 3x^2) , dx$$

$$= -left[frac{x^4}{4} - x^3right]_0^3$$

$$= -left{left(frac{81}{4} - 27right) - (0 - 0)right}$$

$$= -left(frac{81}{4} - frac{108}{4}right) = -left(-frac{27}{4}right) = frac{27}{4}$$

答え：$S = dfrac{27}{4}$

【ポイント】

• 曲線が $x$ 軸より下にある場合、面積は $-int f(x) , dx$
• または $int |f(x)| , dx$ と考えてもよい
• $x$ 軸との交点を正確に求めることが重要

別解・発展

(3)の別解：絶対値を使った表現

$$S = int_0^3 |x^3 - 3x^2| , dx = int_0^3 |x^2(x-3)| , dx$$

$0 leq x leq 3$ で $x^2 geq 0$、$x - 3 leq 0$ なので、$x^2(x-3) leq 0$

$$= int_0^3 (-x^3 + 3x^2) , dx = left[-frac{x^4}{4} + x^3right]_0^3 = -frac{81}{4} + 27 = frac{27}{4}$$

大問6：場合の数・確率

問題

【6】次の問いに答えよ。

(1) $1, 2, 3, 4, 5$ の $5$ つの数字を並べて $5$ 桁の整数を作るとき、偶数は何通りできるか。

(2) 赤玉 $3$ 個、白玉 $4$ 個の入った袋から、同時に $3$ 個の玉を取り出すとき、赤玉が $2$ 個、白玉が $1$ 個である確率を求めよ。

(3) サイコロを $2$ 回投げるとき、出た目の和が $7$ 以上になる確率を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 順列（条件付き）

【解答】

$5$ 桁の偶数を作るには、一の位が偶数（$2$ または $4$）である必要があります。

一の位の選び方：$2$ 通り（$2$ または $4$）

残り $4$ 桁の並べ方：残り $4$ つの数字を並べる方法は $4! = 24$ 通り

よって、$2 times 24 = 48$ 通り

答え：$48$ 通り

【ポイント】

• 条件のある位置を先に決める（この場合は一の位）
• 偶数の条件：一の位が $0, 2, 4, 6, 8$ のいずれか
• 重複なしの順列なので $n!$ を使う

(2) 組合せと確率

【解答】

全事象：$7$ 個から $3$ 個を選ぶ方法

$$_7C_3 = frac{7 cdot 6 cdot 5}{3 cdot 2 cdot 1} = 35$$

赤玉 $2$ 個、白玉 $1$ 個を選ぶ方法：

$$_3C_2 times {_4C_1} = 3 times 4 = 12$$

確率：

$$P = frac{12}{35}$$

答え：$dfrac{12}{35}$

【ポイント】

• 「同時に取り出す」は組合せ（順序を考えない）
• 確率 = $dfrac{text{求める場合の数}}{text{全事象の場合の数}}$
• 異なる種類の玉を選ぶ場合は、積の法則を使う

(3) サイコロの確率

【解答】

全事象：$6 times 6 = 36$ 通り

和が $7$ 以上になる場合を数えます：

• 和が $7$：$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ → $6$ 通り
• 和が $8$：$(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ → $5$ 通り
• 和が $9$：$(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ → $4$ 通り
• 和が $10$：$(4,6), (5,5), (6,4)$ → $3$ 通り
• 和が $11$：$(5,6), (6,5)$ → $2$ 通り
• 和が $12$：$(6,6)$ → $1$ 通り

合計：$6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$ 通り

確率：

$$P = frac{21}{36} = frac{7}{12}$$

答え：$dfrac{7}{12}$

【ポイント】

• サイコロ $2$ 回の全事象は $36$ 通り
• 和が $k$ になる組の数は、$k = 7$ のとき最大（$6$ 通り）
• 余事象を使う方法もある：$P(text{和} geq 7) = 1 - P(text{和} leq 6)$

別解・発展

(3)の別解：余事象を使う

和が $6$ 以下になる場合を数えます：

• 和が $2$：$(1,1)$ → $1$ 通り
• 和が $3$：$(1,2), (2,1)$ → $2$ 通り
• 和が $4$：$(1,3), (2,2), (3,1)$ → $3$ 通り
• 和が $5$：$(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ → $4$ 通り
• 和が $6$：$(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ → $5$ 通り

合計：$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ 通り

$$P(text{和} geq 7) = 1 - frac{15}{36} = 1 - frac{5}{12} = frac{7}{12}$$

この年度の重要テーマと対策

頻出テーマ一覧

2019年度の金沢工業大学の数学で特に重要だったテーマをまとめます：

効果的な対策法

1. 基礎計算力の徹底

金沢工業大学の数学は、基礎〜標準レベルの問題が中心です。難問・奇問は出題されないため、教科書の例題・章末問題を確実に解けるようにすることが最優先です。

• 因数分解、平方完成は即座にできるように
• 三角関数の公式（加法定理・合成）は暗記必須
• 微分・積分の計算は毎日練習

2. 時間配分の練習

試験時間60分に対して問題数が多いため、1問あたり5〜8分で解く必要があります。過去問演習では必ず時間を計って解く習慣をつけましょう。

3. 頻出パターンの習得

以下のパターンは毎年のように出題されます：

• 二次関数の頂点を求める問題
• 三角関数の合成
• 等差・等比数列の一般項と和
• ベクトルの内積計算
• 3次関数の極値と面積

4. ケアレスミス対策

空所補充形式のため、部分点がありません。計算ミスは致命的です。

• 符号のチェックを習慣化
• 答えを出した後、簡単な検算を行う
• 特に、$n = 1$ を代入して初項と一致するか確認（数列）

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2019年度の出題傾向に合わせた練習問題を用意しました。ぜひ挑戦してみてください！

練習問題1：三角関数の合成

【問題】

関数 $y = sqrt{3}sin x - cos x$（$0 leq x leq 2pi$）について、次の問いに答えよ。

(1) $y$ を $rsin(x + alpha)$ の形に変形せよ。

(2) $y$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

【解答・解説】

(1)

$y = sqrt{3}sin x - cos x$ を合成します。

$$r = sqrt{(sqrt{3})^2 + (-1)^2} = sqrt{3 + 1} = 2$$

$cosalpha = dfrac{sqrt{3}}{2}$、$sinalpha = dfrac{-1}{2}$ より、$alpha = -dfrac{pi}{6}$

$$y = 2sinleft(x - frac{pi}{6}right)$$

(2)

$sin$ 関数の値域は $[-1, 1]$ なので、

• 最大値：$2$（$sinleft(x - dfrac{pi}{6}right) = 1$ のとき）
• $x - dfrac{pi}{6} = dfrac{pi}{2}$ より、$x = dfrac{2pi}{3}$
• 最小値：$-2$（$sinleft(x - dfrac{pi}{6}right) = -1$ のとき）
• $x - dfrac{pi}{6} = -dfrac{pi}{2}$ または $dfrac{3pi}{2}$ より、$x = dfrac{5pi}{3}$（$0 leq x leq 2pi$ の範囲）

答え：(1) $y = 2sinleft(x - dfrac{pi}{6}right)$　(2) 最大値 $2$（$x = dfrac{2pi}{3}$）、最小値 $-2$（$x = dfrac{5pi}{3}$）

練習問題2：数列の和

【問題】

数列 ${a_n}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 + 3n$ で与えられている。

(1) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) $displaystylesum_{k=1}^{n} frac{1}{a_k cdot a_{k+1}}$ を求めよ。

【解答・解説】

(1)

$n geq 2$ のとき、

$$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 3n) - {2(n-1)^2 + 3(n-1)}$$

$$= 2n^2 + 3n - (2n^2 - 4n + 2 + 3n - 3)$$

$$= 2n^2 + 3n - 2n^2 + 4n - 2 - 3n + 3 = 4n + 1$$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = 2 + 3 = 5 = 4 cdot 1 + 1$ ✓

よって、$a_n = 4n + 1$

(2)

$a_n = 4n + 1$ より、$a_{n+1} = 4(n+1) + 1 = 4n + 5$

$$frac{1}{a_n cdot a_{n+1}} = frac{1}{(4n+1)(4n+5)}$$

部分分数分解：

$$frac{1}{(4n+1)(4n+5)} = frac{1}{4}left(frac{1}{4n+1} - frac{1}{4n+5}right)$$

よって、

$$sum_{k=1}^{n} frac{1}{a_k cdot a_{k+1}} = frac{1}{4}sum_{k=1}^{n}left(frac{1}{4k+1} - frac{1}{4k+5}right)$$

$$= frac{1}{4}left{left(frac{1}{5} - frac{1}{9}right) + left(frac{1}{9} - frac{1}{13}right) + cdots + left(frac{1}{4n+1} - frac{1}{4n+5}right)right}$$

$$= frac{1}{4}left(frac{1}{5} - frac{1}{4n+5}right) = frac{1}{4} cdot frac{4n+5-5}{5(4n+5)} = frac{n}{5(4n+5)}$$

答え：(1) $a_n = 4n + 1$　(2) $dfrac{n}{5(4n+5)}$

練習問題3：微分と面積

【問題】

関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ について、次の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ の極値を求めよ。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = x$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

【解答・解説】

(1)

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ を微分します。

$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1, 3$

増減表：

極値を計算：

• $f(1) = 1 - 6 + 9 = 4$（極大値）
• $f(3) = 27 - 54 + 27 = 0$（極小値）

答え：$x = 1$ で極大値 $4$、$x = 3$ で極小値 $0$

(2)

曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = x$ の交点を求めます。

$$x^3 - 6x^2 + 9x = x$$

$$x^3 - 6x^2 + 8x = 0$$

$$x(x^2 - 6x + 8) = 0$$

$$x(x-2)(x-4) = 0$$

交点の $x$ 座標は $x = 0, 2, 4$

$f(x) - x = x(x-2)(x-4)$ の符号を調べると：

• $0 < x 0$（曲線が上）
• $2 < x < 4$ で $f(x) - x < 0$（直線が上）

面積は：

$$S = int_0^2 {f(x) - x} , dx + int_2^4 {x - f(x)} , dx$$

$$= int_0^2 x(x-2)(x-4) , dx - int_2^4 x(x-2)(x-4) , dx$$

$g(x) = x(x-2)(x-4) = x^3 - 6x^2 + 8x$ とおくと、

$$int g(x) , dx = frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2 + C$$

$$int_0^2 g(x) , dx = left[frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2right]_0^2 = 4 - 16 + 16 = 4$$

$$int_2^4 g(x) , dx = left[frac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2right]_2^4 = (64 - 128 + 64) - 4 = -4$$

$$S = 4 - (-4) = 8$$

答え：面積 $S = 8$

金沢工業大学 数学攻略のまとめ

ここまで2019年度の問題を詳しく解説してきました。最後に、金沢工業大学の数学で高得点を取るためのポイントを整理しておきましょう。

合格のための5つの鉄則

分野別の重要度と対策

おすすめの学習スケジュール

【入試3ヶ月前】基礎固め期間

• 教科書の例題・章末問題を総復習
• 苦手分野を特定し、重点的に対策
• 基本公式を完全暗記

【入試2ヶ月前】標準問題演習期間

• チャート式や基礎問題精講レベルの問題集を周回
• 時間を計って解く練習を開始
• 間違えた問題をノートにまとめる

【入試1ヶ月前】過去問演習期間

• 過去問を5年分以上解く
• 本番と同じ時間（60分）で解く練習
• 弱点分野の最終補強

【入試直前1週間】最終調整期間

• 過去問の復習（解き直し）
• 公式の最終確認
• 計算ミス対策の確認

日本数学塾・数強塾で金沢工業大学合格を目指そう

ここまで金沢工業大学2019年度の数学を詳しく解説してきましたが、いかがでしたか？

「解説を読めば理解できるけど、自分で解くとなると難しい…」
「時間内に解き終わる自信がない…」
「どこから手をつければいいかわからない…」

そんな悩みを抱えている受験生の皆さん、一人で悩む必要はありません！

数学専門のプロ講師が徹底サポート

日本数学塾と数強塾では、数学を専門とするプロ講師が、あなたの志望校合格を全力でサポートします。

🎁 無料体験授業 実施中！

「本当に自分に合うかな？」「どんな授業なんだろう？」

そんな不安をお持ちの方のために、無料体験授業をご用意しています。実際の授業を体験していただき、講師との相性や指導方針を確認してから入塾を決めていただけます。

最後に：藤原先生からのメッセージ

金沢工業大学は、「教育付加価値日本一」を掲げる素晴らしい大学です。入学後の手厚いサポートで、多くの卒業生が社会で活躍しています。

入試の数学は、決して難問ではありません。基礎をしっかり固め、計算力を磨き、過去問で傾向を把握すれば、必ず合格点を取ることができます。

「数学が苦手だから…」と諦めないでください。正しい方法で学べば、数学の力は必ず伸びます。私たちと一緒に、合格を勝ち取りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原 進之介

※本記事は2019年度の金沢工業大学一般試験Aの数学を基に作成しています。最新の入試情報は、必ず大学公式サイトでご確認ください。
※問題の著作権は金沢工業大学に帰属します。本記事は学習目的で問題の概要を紹介しています。