金沢大学 2001年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は金沢大学 2001年度（平成13年度）数学 前期日程の過去問を徹底解説していきます。金沢大学は北陸地方を代表する総合大学であり、医学部をはじめとする理系学部は毎年多くの受験生が挑戦する人気校です。2001年度は旧課程時代の入試であり、現在とは出題範囲が一部異なりますが、数学的思考力を問う良問が多く、現在の受験生にとっても学ぶべきポイントが満載です。

この記事では、2001年度の金沢大学理系数学の全問題について、問題の背景・解法のポイント・別解・発展的内容まで丁寧に解説します。金沢大学を目指す皆さん、ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2001年度（平成13年度）金沢大学 前期日程 理系数学 試験概要

2001年度の全体講評

2001年度の金沢大学理系数学は、全体として標準レベルからやや難レベルの問題で構成されていました。当時の課程では「行列と一次変換」が出題範囲に含まれており、これは現行課程では出題されない分野です。しかし、微分積分・確率・数列・ベクトルといった分野は現在も頻出であり、2001年度の問題は現代の受験生にとっても非常に参考になります。

この年度の特徴として、以下の点が挙げられます：

• 計算量の多さ：金沢大学の数学は計算量が多いことで知られていますが、2001年度も例外ではありません。時間配分を意識した演習が必要です。
• 複合問題：複数の分野を組み合わせた融合問題が出題されており、幅広い知識と応用力が求められました。
• 論証力の重視：証明問題や論述問題が含まれており、答えを出すだけでなく、その過程を正確に記述する力が問われました。
• 典型問題の変形：教科書や問題集で見たことのある典型問題をベースに、少しひねりを加えた問題が多く出題されました。

目標得点率は学部によって異なりますが、一般的に65%以上を確保できれば合格圏内と言えるでしょう。医学部医学科を目指す場合は、75%以上を目標にしたいところです。

大問1：二次関数と最大・最小問題

問題

解説・解法のポイント

この問題は二次関数の最大・最小問題の典型問題です。軸の位置による場合分けが鍵となります。

（1）の解法

Step 1：関数の分析

$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ を平方完成すると、

$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a + 2$

よって、この放物線は頂点 $(a, -a^2 + a + 2)$ を持ち、下に凸です。

Step 2：場合分け

定義域 $0 leq x leq 2$ における最小値は、軸 $x = a$ の位置によって場合分けが必要です。

【Case 1】 $a < 0$ のとき

軸が定義域の左側にあるので、$f(x)$ は $[0, 2]$ で単調増加。

最小値は $x = 0$ のとき：

$m(a) = f(0) = a + 2$

【Case 2】 $0 leq a leq 2$ のとき

軸が定義域内にあるので、頂点で最小となる。

$m(a) = -a^2 + a + 2$

【Case 3】 $a > 2$ のとき

軸が定義域の右側にあるので、$f(x)$ は $[0, 2]$ で単調減少。

最小値は $x = 2$ のとき：

$m(a) = f(2) = 4 - 4a + a + 2 = -3a + 6$

答え：

$m(a) = begin{cases}
a + 2 & (a 2)
end{cases}$

（2）の解法

各場合について $m(a)$ の最大値を調べます。

【Case 1】 $a < 0$ のとき

$m(a) = a + 2$ は $a$ について単調増加。$a to 0$ で $m(a) to 2$（この値は含まない）

【Case 2】 $0 leq a leq 2$ のとき

$m(a) = -a^2 + a + 2 = -(a - frac{1}{2})^2 + frac{9}{4}$

これは $a = frac{1}{2}$ で最大値 $frac{9}{4}$ をとる。

【Case 3】 $a > 2$ のとき

$m(a) = -3a + 6$ は $a$ について単調減少。$a to 2$ で $m(a) to 0$（この値は含まない）

以上より、$m(a)$ は $a = frac{1}{2}$ のとき最大値 $boxed{dfrac{9}{4}}$ をとる。

（3）の解法

方程式 $f(x) = 0$ が $0 leq x leq 2$ に少なくとも1つの解を持つ条件を求めます。

方法1：グラフによる考察

$y = f(x)$ のグラフが $x$ 軸と $0 leq x leq 2$ の範囲で共有点を持つ条件を考えます。

以下の条件のいずれかが成り立てばよい：

• $f(0) cdot f(2) leq 0$（端点で異符号または0）
• 軸が $[0, 2]$ 内にあり、かつ頂点の $y$ 座標 $leq 0$、かつ $f(0) geq 0$、$f(2) geq 0$

計算：

• $f(0) = a + 2$
• $f(2) = 4 - 4a + a + 2 = -3a + 6$

【条件A】 $f(0) leq 0$ の場合

$a + 2 leq 0$ より $a leq -2$

このとき $f(0) leq 0$ なので、$x = 0$ が解または $x > 0$ に解がある。

【条件B】 $f(2) leq 0$ の場合

$-3a + 6 leq 0$ より $a geq 2$

【条件C】 $f(0) > 0$、$f(2) > 0$、$0 leq a leq 2$、頂点の $y$ 座標 $leq 0$ の場合

$-a^2 + a + 2 leq 0$

$a^2 - a - 2 geq 0$

$(a - 2)(a + 1) geq 0$

$a leq -1$ または $a geq 2$

$0 leq a leq 2$ との共通部分は $a = 2$ のみ。

以上を統合して、

答え：$a leq -2$ または $a geq 2$

別解・発展

【別解】（3）を解の配置問題として解く

$f(x) = 0$ が $0 leq x leq 2$ に解を持つ条件は、$a$ をパラメータとして分離する方法でも解けます。

$x^2 + 2 = a(2x - 1)$

$2x - 1 neq 0$ のとき、$a = frac{x^2 + 2}{2x - 1}$

$g(x) = frac{x^2 + 2}{2x - 1}$ とおき、$0 leq x leq 2$ かつ $x neq frac{1}{2}$ における $g(x)$ の値域を調べる方法もあります。

【発展】

この問題は、パラメータを含む二次関数の問題の典型パターンです。入試では「解の個数」「解の存在範囲」「最大・最小」など様々な形で出題されます。軸の位置による場合分けは必須テクニックなので、しっかりマスターしておきましょう。

大問2：確率と漸化式

問題

解説・解法のポイント

この問題は確率と漸化式の融合問題です。余事象の考え方と、状態遷移の考え方が重要です。

（1）の解法

$p_1$ の計算：

1回投げて3の倍数が出る確率。3の倍数の目は3と6の2通り。

$p_1 = frac{2}{6} = frac{1}{3}$

$p_2$ の計算：

2回投げて積が3の倍数になる確率。余事象「積が3の倍数でない」を考える。

積が3の倍数でない ⟺ 2回とも3の倍数でない目（1, 2, 4, 5）が出る

$p_2 = 1 - left(frac{4}{6}right)^2 = 1 - frac{16}{36} = frac{20}{36} = frac{5}{9}$

$p_3$ の計算：

$p_3 = 1 - left(frac{4}{6}right)^3 = 1 - frac{64}{216} = frac{152}{216} = frac{19}{27}$

答え：$p_1 = dfrac{1}{3}$、$p_2 = dfrac{5}{9}$、$p_3 = dfrac{19}{27}$

（2）の解法

（1）の考え方を一般化します。

$P_n$ が3の倍数である ⟺ 少なくとも1回は3の倍数の目（3または6）が出る

余事象は「$n$ 回とも3の倍数でない目が出る」

$p_n = 1 - left(frac{4}{6}right)^n = 1 - left(frac{2}{3}right)^n$

答え：$p_n = 1 - left(dfrac{2}{3}right)^n$

（3）の解法

$P_n$ が9の倍数である確率 $q_n$ を求めます。これは少し複雑です。

状態の定義：

• 状態 $A$：現在の積に含まれる3の因数が0個
• 状態 $B$：現在の積に含まれる3の因数が1個
• 状態 $C$：現在の積に含まれる3の因数が2個以上（9の倍数）

各目の3の因数：

• 1, 2, 4, 5：3の因数0個（確率 $frac{4}{6} = frac{2}{3}$）
• 3, 6：3の因数1個（確率 $frac{2}{6} = frac{1}{3}$）

$n$ 回後に状態 $A$, $B$, $C$ にある確率をそれぞれ $a_n$, $b_n$, $c_n$ とする。

漸化式：

$a_{n+1} = frac{2}{3} a_n$（状態Aから3の倍数でない目が出る）

$b_{n+1} = frac{1}{3} a_n + frac{2}{3} b_n$（AからBへ、またはBに留まる）

$c_{n+1} = frac{1}{3} b_n + c_n$（BからCへ、またはCに留まる）

初期条件：$a_0 = 1$, $b_0 = 0$, $c_0 = 0$

$a_n$ の解：

$a_n = left(frac{2}{3}right)^n$

$b_n$ の解：

$b_{n+1} = frac{2}{3} b_n + frac{1}{3} cdot left(frac{2}{3}right)^n$

これは一階線形漸化式。特解を $b_n = k cdot left(frac{2}{3}right)^n$ と仮定すると、

$k cdot left(frac{2}{3}right)^{n+1} = frac{2}{3} cdot k cdot left(frac{2}{3}right)^n + frac{1}{3} cdot left(frac{2}{3}right)^n$

$frac{2k}{3} = frac{2k}{3} + frac{1}{3}$

これは成り立たないので、$b_n = kn cdot left(frac{2}{3}right)^n$ と仮定：

$k(n+1) cdot left(frac{2}{3}right)^{n+1} = frac{2}{3} cdot kn cdot left(frac{2}{3}right)^n + frac{1}{3} cdot left(frac{2}{3}right)^n$

$frac{2k(n+1)}{3} = frac{2kn}{3} + frac{1}{3}$

$frac{2k}{3} = frac{1}{3}$

$k = frac{1}{2}$

よって、$b_n = frac{n}{2} cdot left(frac{2}{3}right)^n = frac{n cdot 2^{n-1}}{3^n}$

$q_n = c_n$ の計算：

$a_n + b_n + c_n = 1$ より、

$q_n = c_n = 1 - a_n - b_n = 1 - left(frac{2}{3}right)^n - frac{n}{2} cdot left(frac{2}{3}right)^n$

$= 1 - left(frac{2}{3}right)^n left(1 + frac{n}{2}right)$

$= 1 - frac{n+2}{2} cdot left(frac{2}{3}right)^n$

答え：$q_n = 1 - dfrac{n+2}{2} cdot left(dfrac{2}{3}right)^n$

別解・発展

【検証】

$n = 1$: $q_1 = 1 - frac{3}{2} cdot frac{2}{3} = 1 - 1 = 0$ ✓（1回では9の倍数は作れない）

$n = 2$: $q_2 = 1 - frac{4}{2} cdot frac{4}{9} = 1 - frac{8}{9} = frac{1}{9}$ ✓（3と3、3と6、6と3、6と6の4通り中1通りが9の倍数）

【発展】

この問題は「状態遷移確率」の考え方を使っています。マルコフ連鎖の基礎であり、複雑な確率問題を解く際の強力なツールです。入試では「袋から玉を取り出す」「格子点上の移動」など様々な形で出題されます。

大問3：微分法と積分法（面積・体積）

問題

解説・解法のポイント

この問題は指数関数と三角関数の積に関する微分積分の問題です。計算が煩雑になりやすいので、丁寧に進めましょう。

（1）の解法

Step 1：$y'$ の計算

$y = e^{-x} sin x$ より、積の微分法を用いて

$y' = -e^{-x} sin x + e^{-x} cos x = e^{-x}(cos x - sin x)$

Step 2：極値の条件

$y' = 0$ のとき、$cos x - sin x = 0$、すなわち $tan x = 1$

$0 leq x leq pi$ で $x = frac{pi}{4}$

Step 3：増減表

極大値：$yleft(frac{pi}{4}right) = e^{-frac{pi}{4}} cdot frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{2}}{2} e^{-frac{pi}{4}}$

Step 4：$y''$ の計算（変曲点と凹凸）

$y' = e^{-x}(cos x - sin x)$ より

$y'' = -e^{-x}(cos x - sin x) + e^{-x}(-sin x - cos x)$

$= e^{-x}(-cos x + sin x - sin x - cos x)$

$= -2e^{-x} cos x$

$y'' = 0$ のとき、$cos x = 0$、$0 leq x leq pi$ で $x = frac{pi}{2}$

凹凸：

• $0 < x 0$ より $y'' < 0$（上に凸）
• $frac{pi}{2} < x < pi$：$cos x 0$（下に凸）

変曲点：$left(frac{pi}{2}, e^{-frac{pi}{2}}right)$

（2）の解法

$0 leq x leq pi$ で $sin x geq 0$ なので $y geq 0$。

$S = int_0^{はい、続けます。

---

$S = int_0^{pi} e^{-x} sin x , dx$

部分積分を2回適用：

$I = int e^{-x} sin x , dx$ とおく。

1回目の部分積分：

$I = -e^{-x} sin x - int (-e^{-x}) cos x , dx = -e^{-x} sin x + int e^{-x} cos x , dx$

2回目の部分積分：

$int e^{-x} cos x , dx = -e^{-x} cos x - int (-e^{-x})(-sin x) , dx = -e^{-x} cos x - int e^{-x} sin x , dx$

$= -e^{-x} cos x - I$

代入して整理：

$I = -e^{-x} sin x + (-e^{-x} cos x - I)$

$I = -e^{-x} sin x - e^{-x} cos x - I$

$2I = -e^{-x}(sin x + cos x)$

$I = -frac{1}{2} e^{-x}(sin x + cos x) + C$

定積分の計算：

$S = left[-frac{1}{2} e^{-x}(sin x + cos x)right]_0^{pi}$

$= -frac{1}{2} e^{-pi}(sin pi + cos pi) - left(-frac{1}{2} e^{0}(sin 0 + cos 0)right)$

$= -frac{1}{2} e^{-pi}(0 - 1) + frac{1}{2}(0 + 1)$

$= frac{1}{2} e^{-pi} + frac{1}{2}$

$= frac{1}{2}(1 + e^{-pi})$

答え：$S = dfrac{1 + e^{-pi}}{2}$

（3）の解法

$x$ 軸のまわりの回転体の体積は、

$V = pi int_0^{pi} y^2 , dx = pi int_0^{pi} e^{-2x} sin^2 x , dx$

$sin^2 x$ の変形：

$sin^2 x = frac{1 - cos 2x}{2}$

$V = pi int_0^{pi} e^{-2x} cdot frac{1 - cos 2x}{2} , dx = frac{pi}{2} int_0^{pi} e^{-2x}(1 - cos 2x) , dx$

$= frac{pi}{2} left[ int_0^{pi} e^{-2x} , dx - int_0^{pi} e^{-2x} cos 2x , dx right]$

第1項の計算：

$int_0^{pi} e^{-2x} , dx = left[-frac{1}{2} e^{-2x}right]_0^{pi} = -frac{1}{2} e^{-2pi} + frac{1}{2} = frac{1}{2}(1 - e^{-2pi})$

第2項の計算：

$J = int e^{-2x} cos 2x , dx$ とおく。部分積分を2回適用。

1回目：

$J = -frac{1}{2} e^{-2x} cos 2x + int frac{1}{2} e^{-2x} cdot (-2sin 2x) , dx$

$= -frac{1}{2} e^{-2x} cos 2x - int e^{-2x} sin 2x , dx$

2回目：

$int e^{-2x} sin 2x , dx = -frac{1}{2} e^{-2x} sin 2x - int (-frac{1}{2} e^{-2x}) cdot 2cos 2x , dx$

$= -frac{1}{2} e^{-2x} sin 2x + int e^{-2x} cos 2x , dx$

$= -frac{1}{2} e^{-2x} sin 2x + J$

代入：

$J = -frac{1}{2} e^{-2x} cos 2x - left(-frac{1}{2} e^{-2x} sin 2x + Jright)$

$J = -frac{1}{2} e^{-2x} cos 2x + frac{1}{2} e^{-2x} sin 2x - J$

$2J = frac{1}{2} e^{-2x}(sin 2x - cos 2x)$

$J = frac{1}{4} e^{-2x}(sin 2x - cos 2x) + C$

定積分：

$int_0^{pi} e^{-2x} cos 2x , dx = left[frac{1}{4} e^{-2x}(sin 2x - cos 2x)right]_0^{pi}$

$= frac{1}{4} e^{-2pi}(0 - 1) - frac{1}{4}(0 - 1)$

$= -frac{1}{4} e^{-2pi} + frac{1}{4} = frac{1}{4}(1 - e^{-2pi})$

体積の計算：

$V = frac{pi}{2} left[ frac{1}{2}(1 - e^{-2pi}) - frac{1}{4}(1 - e^{-2pi}) right]$

$= frac{pi}{2} cdot frac{1}{4}(1 - e^{-2pi})$

$= frac{pi}{8}(1 - e^{-2pi})$

答え：$V = dfrac{pi(1 - e^{-2pi})}{8}$

別解・発展

【別解】積分公式の利用

$int e^{ax} sin bx , dx$ や $int e^{ax} cos bx , dx$ には公式があります：

$int e^{ax} sin bx , dx = frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a sin bx - b cos bx) + C$

$int e^{ax} cos bx , dx = frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a cos bx + b sin bx) + C$

この公式を使えば計算を簡略化できますが、導出過程を理解しておくことが重要です。

【発展】

指数関数と三角関数の積の積分は、電気回路の交流解析や物理学の減衰振動の問題でも登場します。数学的には複素数を使って $e^{(-1+i)x}$ の実部・虚部として扱う方法もあります。

大問4：行列と一次変換（旧課程）

問題

※注意：この問題は旧課程（2012年度入試まで）で出題されていた「行列と一次変換」の分野です。現行課程では出題範囲外ですが、大学の線形代数で学ぶ重要な内容であり、数学的に非常に教育的な問題です。

解説・解法のポイント

（1）の解法

Step 1：固有方程式を解く

固有値 $lambda$ は $det(A - lambda E) = 0$ を満たす。

$A - lambda E = begin{pmatrix} 2 - lambda & 1 \ 1 & 2 - lambda end{pmatrix}$

$det(A - lambda E) = (2 - lambda)^2 - 1 = lambda^2 - 4lambda + 3 = (lambda - 1)(lambda - 3) = 0$

$lambda = 1, 3$

Step 2：固有ベクトルを求める

$lambda = 1$ のとき：

$(A - E)mathbf{x} = mathbf{0}$

$begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix}$

$x + y = 0$ より、固有ベクトルは $mathbf{p}_1 = begin{pmatrix} 1 \ -1 end{pmatrix}$（またはその定数倍）

$lambda = 3$ のとき：

$(A - 3E)mathbf{x} = mathbf{0}$

$begin{pmatrix} -1 & 1 \ 1 & -1 end{pmatrix} begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix}$

$-x + y = 0$ より、固有ベクトルは $mathbf{p}_2 = begin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}$（またはその定数倍）

答え：

• 固有値 $lambda = 1$ に対する固有ベクトル：$begin{pmatrix} 1 \ -1 end{pmatrix}$
• 固有値 $lambda = 3$ に対する固有ベクトル：$begin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}$

（2）の解法

対角化を利用する方法：

$P = begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 end{pmatrix}$ とおくと、

$P^{-1}AP = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 3 end{pmatrix} = D$

$P^{-1}$ の計算：

$det P = 1 cdot 1 - 1 cdot (-1) = 2$

$P^{-1} = frac{1}{2} begin{pmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{pmatrix}$

$A = PDP^{-1}$ より、

$A^n = PD^nP^{-1} = P begin{pmatrix} 1^n & 0 \ 0 & 3^n end{pmatrix} P^{-1} = P begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 3^n end{pmatrix} P^{-1}$

計算：

$A^n = begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 3^n end{pmatrix} frac{1}{2} begin{pmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{pmatrix}$

$= begin{pmatrix} 1 & 3^n \ -1 & 3^n end{pmatrix} cdot frac{1}{2} begin{pmatrix} 1 & -1 \ 1 & 1 end{pmatrix}$

$= frac{1}{2} begin{pmatrix} 1 + 3^n & -1 + 3^n \ -1 + 3^n & 1 + 3^n end{pmatrix}$

答え：$A^n = dfrac{1}{2} begin{pmatrix} 1 + 3^n & 3^n - 1 \ 3^n - 1 & 1 + 3^n end{pmatrix}$

（3）の解法

直線 $y = x + 1$ 上の点 $(t, t+1)$ が行列 $A$ による一次変換でどこに移るかを調べます。

$begin{pmatrix} X \ Y end{pmatrix} = A begin{pmatrix} t \ t + 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 end{pmatrix} begin{pmatrix} t \ t + 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2t + t + 1 \ t + 2t + 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 3t + 1 \ 3t + 2 end{pmatrix}$

$X = 3t + 1$、$Y = 3t + 2$ より、

$Y - X = (3t + 2) - (3t + 1) = 1$

$Y = X + 1$

答え：直線 $y = x + 1$（元の直線と同じ）

補足：この直線が不変である理由を固有ベクトルの観点から説明します。直線 $y = x + 1$ の方向ベクトルは $begin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix}$ であり、これは固有値 $3$ に対する固有ベクトルです。固有ベクトルの方向は一次変換で保存されるため、この直線は「自分自身」に移されます（ただし、各点は3倍に拡大されつつ移動します）。

別解・発展

【別解】ケーリー・ハミルトンの定理を使う方法

$A^2 - 4A + 3E = O$ より、$A^2 = 4A - 3E$

これを繰り返し使って $A^n$ を求めることもできます。

$A^n = a_n A + b_n E$ の形で表されることを示し、$a_n$, $b_n$ の漸化式を解きます。

【発展：現行課程との関連】

現行課程では行列は出題されませんが、この問題で扱った概念は以下の分野と関連しています：

• 数列の漸化式：連立漸化式の解法で行列のべき乗と同じ考え方を使います
• 複素数平面：回転と拡大の合成は行列の対角化と本質的に同じです
• 二次曲線：座標変換は一次変換の考え方を使います

この年度の重要テーマと対策

2001年度の出題テーマまとめ

金沢大学数学攻略のための5つのポイント

【ポイント1】場合分けの徹底

第1問のように、パラメータの範囲によって答えが変わる問題が頻出です。場合分けの条件を正確に設定し、漏れなく議論する力を養いましょう。

【ポイント2】確率×漸化式のパターン習得

第2問のような「確率の漸化式」は金沢大学の定番です。状態遷移図を描いて漸化式を立てる練習を重ねてください。

【ポイント3】計算力の強化

第3問のような積分計算は、部分積分を複数回行う必要があり、計算ミスが命取りになります。日頃から手を動かして計算練習をしましょう。

【ポイント4】典型問題の完全理解

金沢大学の問題は、教科書の例題や典型問題を少し変形したものが多いです。「なぜその解法を使うのか」を理解した上で演習を積むことが重要です。

【ポイント5】時間配分の意識

120分で4問を解く場合、1問あたり約30分が目安です。しかし、計算量の多い問題に時間を取られすぎないよう、解ける問題から確実に解く戦略も重要です。

おすすめの学習順序

1. 基礎固め（高2〜高3夏）：教科書の例題・章末問題を完璧に
2. 典型問題演習（高3夏〜秋）：チャート式やFocus Goldで入試頻出パターンを習得
3. 過去問演習（高3秋〜冬）：金沢大学の過去問を10年分以上解く
4. 弱点補強（直前期）：苦手分野を集中的に復習

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

【練習問題1】二次関数の最大・最小

解答

$f(x) = -(x - a)^2 + a^2 - a$ より、頂点は $(a, a^2 - a)$、上に凸の放物線。

場合分け：

【Case 1】 $0 < a < frac{1}{2}$ のとき

軸 $x = a$ が $[0, 1]$ の左半分にあり、$x = a$ で最大。

$M(a) = a^2 - a$

【Case 2】 $frac{1}{2} leq a leq 1$ のとき

軸が $[0, 1]$ 内にあり、$x = a$ で最大。

$M(a) = a^2 - a$

【Case 3】 $a > 1$ のとき

軸が $[0, 1]$ の右側にあり、$x = 1$ で最大。

$M(a) = f(1) = -1 + 2a - a = a - 1$

まとめると：

$M(a) = begin{cases}
a^2 - a & (0 1)
end{cases}$

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まとめ

本記事では、金沢大学 2001年度 数学（前期・理系）の過去問を徹底解説しました。

この年度のポイント：

1. 第1問：二次関数の最大・最小問題。軸の位置による場合分けがカギ
2. 第2問：確率と漸化式の融合問題。余事象の考え方と状態遷移が重要
3. 第3問：指数関数と三角関数の積の微分積分。部分積分の計算力が問われる
4. 第4問：行列と一次変換（旧課程）。対角化によるべき乗の計算

金沢大学の数学は、標準〜やや難レベルの良問が出題されます。基礎を固め、典型問題をマスターした上で、過去問演習を繰り返すことが合格への王道です。

この記事が、金沢大学を目指す皆さんの学習の一助となれば幸いです。

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日本数学塾・数強塾 講師
藤原 進之介