香川大学 1998年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事で香川大学の数学を完全制覇しよう

香川大学 1998年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、香川大学の1998年度（平成10年度）数学の全大問を、基礎から丁寧に・徹底的に解説します。

この記事を読むことで得られる3つの価値：

• ✅ 1998年度の全問題をステップごとに理解できる（途中計算を一切省略しない完全解説）
• ✅ 香川大学の数学の傾向と対策が分かる（頻出単元・合否を分けるポイントが明確になる）
• ✅ 今後の勉強ロードマップが手に入る（参考書の選び方・時期別学習計画も完全公開）

👨‍🏫 藤原先生より：「香川大学の数学は、"基礎を本当に理解している人"に正直な試験です。難問は少なく、むしろ標準問題をどれだけ丁寧に・正確に解けるかが勝負。この記事で一問ずつ一緒に解いていきましょう！大丈夫、絶対に理解できます！」

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セクション2：香川大学の数学 入試の全体像

香川大学 数学の試験形式

項目	内容
試験時間	90分（学部によって異なる場合あり）
問題数	4〜5問（学部・課程により選択あり）
解答形式	記述式
出題範囲	数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ（理系）／数学Ⅰ・A・Ⅱ・B（文系）

偏差値帯と求められる数学レベル

香川大学は偏差値50〜55程度の国立大学であり、求められる数学のレベルは「標準〜やや標準」です。センター試験（当時）で7割前後の得点力があれば、基礎部分はほぼカバーできます。ただし、記述式のため「答えが合っているだけでなく、論理的に正しい流れで書けるか」が採点に大きく影響します。

香川大学 数学の頻出単元ランキング

過去の出題傾向を分析すると、以下の単元が繰り返し登場しています：

1. 🥇 微分・積分（特に定積分・漸化式との組み合わせ）
2. 🥈 2次関数・判別式（グラフの共有点・大小比較）
3. 🥉 軌跡・領域（動点の軌跡、図示問題）
4. 複素数平面（1次分数変換、円の変換）
5. 数列・漸化式（条件分岐型の漸化式）
6. 空間図形・ベクトル（平面の方程式、等距離問題）
7. 行列・1次変換（旧課程で頻出）

他大学との違い・特徴

• 東大・京大：論述の緻密さと発想力が問われる難問中心
• 阪大・名大：計算量が多く、正確な処理能力が試される
• 香川大学：標準的な定石をしっかり使えるかを問う。「知っているかどうか」より「正しく使えるかどうか」を見ている試験

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🧑 生徒：「香川大学の数学って、どんな単元が特に大事ですか？具体的に教えてください！」

👨‍🏫 藤原先生：「一番大事なのは2次方程式の判別式と定積分の部分積分法だよ。1998年度を見ると、大問1では判別式 $D = b^2 - 4ac$ を使って共有点の個数を調べる問題、大問4では部分積分法と漸化式 $I_n = \frac{e^2}{2} - \frac{n}{2}I_{n-1}$ を組み合わせる問題が出ている。この2つは香川大学の"顔"と言えるほど定番なんだ！」

基礎を丁寧に積み上げれば、必ず得点できます。一緒に頑張りましょう！

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セクション3：1998年度 出題テーマ速報と分析

1998年度 大問別テーマ一覧

大問	テーマ	難易度	対象学部
大問1	2次関数のグラフの共有点・判別式・大小比較	★★★☆☆	全学部共通
大問2	複素数平面・1次分数変換	★★★★☆	教育・工・法経（新課程）
大問3	正方形の対角線の交点の軌跡（動点問題）	★★★☆☆	全学部共通
大問4	条件分岐型漸化式による数列（2進数的操作）	★★★★☆	全学部共通
大問5	定積分の漸化式・部分積分法	★★★★☆	教育・工（新課程）
旧課程大問3	行列・1次変換	★★★☆☆	旧課程履修者
旧課程大問4	空間内の平面・等距離問題	★★★☆☆	旧課程履修者

難易度評価と合格ラインの分析

1998年度の香川大学数学は、全体として標準的な難易度です。ただし、大問4の条件分岐型漸化式と大問2の複素数平面は、解法の入り口を見つけるまでに時間がかかるため、時間配分が鍵を握ります。

合格ラインの目安（工学部・理系）：
- 大問1（25点）：20点以上
- 大問2（25点）：15点以上
- 大問3（25点）：20点以上
- 大問4（25点）：15点以上
- 合計：70点以上（70%）で合格圏内

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セクション4：全大問 問題・解説

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大問1：2次関数のグラフの共有点と大小比較（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$x$ の関数

について、次の問に答えよ。ただし、$0^\circ \leq \theta < 360^\circ$ とする。

1. $y = f(x)$ と $y = g(x)$ のグラフがただ1つの共有点をもつような $\theta$ の値を求めよ。
2. $y = f(x)$ と $y = g(x)$ のグラフが共有点をもたないような $\theta$ の範囲を求めよ。
3. $\theta$ が2で求めた範囲の値をとるとき、$f(x)$ と $g(x)$ の大小を比較せよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
判別式	$D = b^2 - 4ac$（$D > 0$：2共有点、$D = 0$：1共有点、$D < 0$：共有点なし）
場合分け	$g(x)$ の最高次係数 $\sqrt{2}\sin\theta = 0$ のとき $g(x)$ は1次式になる

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【解法ステップ】

ステップ① $h(x) = f(x) - g(x)$ を定義する

$f(x)$ と $g(x)$ の共有点の個数は、方程式 $f(x) = g(x)$、すなわち $h(x) = f(x) - g(x) = 0$ の実数解の個数に等しい。

$$h(x) = f(x) - g(x)$$
$$= \left[x^2 + 2\cos\theta \cdot x + \sqrt{2}\sin\theta\right] - \left[\sqrt{2}\sin\theta \cdot x^2 - 2\sin\theta \cdot x - 1\right]$$
$$= (1 - \sqrt{2}\sin\theta)x^2 + (2\cos\theta + 2\sin\theta)x + (\sqrt{2}\sin\theta + 1)$$

ステップ② $\sin\theta$ の値によって場合分けする

$h(x)$ の $x^2$ の係数は $1 - \sqrt{2}\sin\theta$ である。

場合A：$1 - \sqrt{2}\sin\theta = 0$、つまり $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき

$0^\circ \leq \theta < 360^\circ$ において $\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは $\theta = 45^\circ, 135^\circ$。

このとき $h(x)$ は1次式：

$$h(x) = (2\cos\theta + 2\sin\theta)x + (\sqrt{2}\sin\theta + 1)$$
$$= (2\cos\theta + \sqrt{2})x + 2$$

• $\theta = 45^\circ$ のとき：$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
  $$h(x) = \left(\sqrt{2} + \sqrt{2}\right)x + 2 = 2\sqrt{2}x + 2$$
  これは1次方程式なので、実数解1つ → ただ1つの共有点 ✓

• $\theta = 135^\circ$ のとき：$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
  $$h(x) = \left(-\sqrt{2} + \sqrt{2}\right)x + 2 = 0 \cdot x + 2 = 2$$
  これは $2 = 0$ という矛盾 → 共有点なし ✓

場合B：$1 - \sqrt{2}\sin\theta \neq 0$、つまり $\theta \neq 45^\circ, 135^\circ$ のとき

$h(x)$ は2次式。判別式 $D$ を計算する：

（← $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$、$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ を利用）

よって：

$$D = 4(1 + \sin 2\theta) - 4(1 - 2\sin^2\theta)$$
$$= 4 + 4\sin 2\theta - 4 + 8\sin^2\theta$$
$$= 4\sin 2\theta + 8\sin^2\theta$$
$$= 4\sin\theta(2\cos\theta + 4\sin\theta) \cdot \ldots$$

ここでもう少し丁寧に計算し直そう。$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ なので $2\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{1} \cdot 1$、改めて：

$$D = 4 + 4\sin 2\theta - 4(1 - 2\sin^2\theta)$$
$$= 4 + 4\sin 2\theta - 4 + 8\sin^2\theta$$
$$= 4\sin 2\theta + 8\sin^2\theta$$
$$= 4\sin 2\theta + 4(1 - \cos 2\theta)$$
$$= 4(\sin 2\theta - \cos 2\theta) + 4$$
$$= 4\sqrt{2}\sin\!\left(2\theta - 45^\circ\right) + 4$$

ステップ③ 問(1)：ただ1つの共有点

2次式の場合（場合B）：$D = 0$ のとき

$$4\sqrt{2}\sin(2\theta - 45^\circ) + 4 = 0$$
$$\sin(2\theta - 45^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$0^\circ \leq \theta < 360^\circ$ より $-45^\circ \leq 2\theta - 45^\circ < 675^\circ$

$\sin\phi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ の解は $\phi = 225^\circ, 315^\circ, 585^\circ$（この範囲内）

• $2\theta - 45^\circ = 225^\circ \Rightarrow \theta = 135^\circ$（ただし場合Aで除外済 → 2次でないので不適）
• $2\theta - 45^\circ = 315^\circ \Rightarrow \theta = 180^\circ$
• $2\theta - 45^\circ = 585^\circ \Rightarrow \theta = 315^\circ$

加えて場合Aの $\theta = 45^\circ$ も共有点1つ。

ステップ④ 問(2)：共有点をもたない $\theta$ の範囲

場合Aの $\theta = 135^\circ$ は共有点なし（確認済）。

場合B（2次式）で $D < 0$ のとき：

$-45^\circ \leq 2\theta - 45^\circ < 675^\circ$ の範囲で $\sin\phi < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは：

$225^\circ < \phi < 315^\circ$ および $585^\circ < \phi < 675^\circ$

• $225^\circ < 2\theta - 45^\circ < 315^\circ \Rightarrow 135^\circ < \theta < 180^\circ$
• $585^\circ < 2\theta - 45^\circ < 675^\circ \Rightarrow 315^\circ < \theta < 360^\circ$

ただし $\theta = 135^\circ$ は除外（場合Aで扱い済）、まとめると：

（$\theta = 135^\circ$ は場合Aで共有点なし、として含める）

ステップ⑤ 問(3)：$f(x) > g(x)$ の確認

上記の範囲では $h(x) = f(x) - g(x) > 0$ つまり $f(x) > g(x)$。

$h(x)$ の $x^2$ の係数は $1 - \sqrt{2}\sin\theta$ であり、該当範囲では：

• $135^\circ \leq \theta < 180^\circ$：$\sin\theta > 0$ なので $\sin\theta$ の値を確認。$\theta = 150^\circ$ で $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$、よって $1 - \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$（$\sqrt{2} < 2$ より）
• $315^\circ < \theta < 360^\circ$：$\sin\theta < 0$ なので $1 - \sqrt{2}\sin\theta > 1 > 0$

いずれも $x^2$ の係数が正、かつ $D < 0$ なので $h(x) > 0$ が全ての実数 $x$ で成立。

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【藤原先生の解説】

このタイプの問題は、最初に $h(x) = f(x) - g(x)$ を作って、「$h(x) = 0$ の解の個数」＝「グラフの共有点の個数」という考え方が鍵です。料理で例えると「2つの料理の差を取って、その差がゼロになるポイントを探す」ようなイメージです。

大事なのは $g(x)$ の最高次の係数（$\sqrt{2}\sin\theta$）がゼロになるかどうかで場合分けすること。これを忘れると、2次式の判別式しか考えずに解を落としてしまいます！

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🧑 生徒：「グラフの共有点の問題で、どうして判別式を使うんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「良い質問だね！$y = f(x)$ と $y = g(x)$ の共有点は、$f(x) = g(x)$ を満たす $x$ の値だよね。これを整理すると $h(x) = f(x) - g(x) = 0$ という方程式になる。$h(x)$ が2次式のとき、この方程式の実数解の個数が判別式 $D = b^2 - 4ac$ で分かる。$D > 0$ なら実数解2つ（共有点2つ）、$D = 0$ なら実数解1つ（接点）、$D < 0$ なら実数解なし（共有点なし）。要するに、共有点を数えたいときは $D$ を計算すれば一発なんだ！」

問(1)(2)(3)と段階的に聞かれているので、(1)で得た知識を(2)(3)に活かすのが効率的です！

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【この大問で身につく力】

三角関数の値による場合分けと判別式の活用を組み合わせる複合的思考力。関数の大小比較における「差を取る」という基本手法が身につく。

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大問2：複素数平面・1次分数変換（難易度★★★★☆）

【問題文】

$\alpha, \beta$ を複素数とする。点 $z$ が複素数平面上を動くとき、

とおく。このとき、次の問に答えよ。

1. $z = 1$ ならば $w = 1$ になるとき、$\beta$ を $\alpha$ で表せ。
2. (1)が成り立ち、さらに $z$ が円 $|z| = 1$ 上を動くとき、$w$ は円 $|w + 1| = 2$ 上を動くとする。このときの $\alpha, \beta$ の値を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
1次分数変換の代入	$z$ に具体的な値を代入して $w$ の条件を立てる
複素数の絶対値	$\|z\| = 1$ は原点中心半径1の円。$\|w + 1\| = 2$ は中心 $-1$、半径2の円
円の変換	$z$ を $w$ で表して $\|z\| = 1$ に代入し、$\|w + 1\| = 2$ と比較する

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【解法ステップ】

ステップ① 問(1)：$z = 1, w = 1$ を代入

ステップ② 問(2)：$\beta = 3 - \alpha$ を代入して $w$ を $z$ で表す

ステップ③ $z$ を $w$ で表す（逆変換）

$$w(z + 2) = \alpha z + 3 - \alpha$$
$$wz + 2w = \alpha z + 3 - \alpha$$
$$z(w - \alpha) = 3 - \alpha - 2w$$
$$z = \frac{3 - \alpha - 2w}{w - \alpha}$$

ステップ④ $|z| = 1$ に代入

$$\left|\frac{3 - \alpha - 2w}{w - \alpha}\right| = 1$$
$$|3 - \alpha - 2w| = |w - \alpha|$$

$w$ の代わりに $w = x + yi$（$x, y$ は実数）と置いても良いが、ここでは $w = -1$ が中心であることを活用する。

$|w + 1| = 2$ という条件を満たすためには、$|3 - \alpha - 2w| = |w - \alpha|$ が円 $|w + 1| = 2$ 上で成立する必要がある。

$w = -1 + 2e^{i\phi}$（$\phi$ は任意の実数）と置いてみよう。

$$|w - \alpha| = |-1 + 2e^{i\phi} - \alpha|$$
$$|3 - \alpha - 2w| = |3 - \alpha - 2(-1 + 2e^{i\phi})| = |5 - \alpha - 4e^{i\phi}|$$

これらが等しくなるためには：

両辺を2乗：

これがすべての $\phi$ で成立するには、$e^{i\phi}$ の係数が消え、かつ定数項が等しくなる必要がある。

$e^{i\phi}$ の係数部分（実部）が消えるためには：

より直接的に考えよう。$|3 - \alpha - 2w| = |w - \alpha|$ を整理すると：

$u = w - \alpha$ とおくと $w = u + \alpha$、

$$|3 - \alpha - 2(u + \alpha)| = |u|$$
$$|3 - 3\alpha - 2u| = |u|$$

これが $|w + 1| = 2$、すなわち $|u + \alpha + 1| = 2$ の上の全ての点で成立するには：

$|3 - 3\alpha - 2u|^2 = |u|^2$ を展開：

$$|3 - 3\alpha|^2 - 2\text{Re}[(3 - 3\alpha)\bar{u} \cdot 2] + 4|u|^2 = |u|^2$$
$$|3 - 3\alpha|^2 - 4\text{Re}[(3 - 3\alpha)\bar{u}] + 3|u|^2 = 0$$

これが $|u + (\alpha + 1)| = 2$ 上の全ての $u$ で成立するためには、$\text{Re}[(3 - 3\alpha)\bar{u}]$ の項が消える必要があるので $3 - 3\alpha = 0$、つまり $\alpha = 1$。

このとき $|3 - 3\alpha|^2 = 0$ かつ $3|u|^2 = 0$ が必要だが $|u| \neq 0$ 一般に成立しない…

別アプローチ：具体的な $w$ の値を代入して連立方程式を解く。

$w = -1 + 2 = 1$（$\phi = 0$ のとき）と $w = -1 - 2 = -3$（$\phi = \pi$ のとき）を使う。

$w = 1$ のとき、対応する $z$ は：
$$z = \frac{3 - \alpha - 2 \cdot 1}{1 - \alpha} = \frac{1 - \alpha}{1 - \alpha} = 1 \quad (\alpha \neq 1)$$
確認：$|z| = |1| = 1$ ✓（これは問題の条件 $z=1 \Rightarrow w=1$ と一致）

$w = -3$ のとき：
$$z = \frac{3 - \alpha - 2(-3)}{-3 - \alpha} = \frac{9 - \alpha}{-3 - \alpha}$$
$|z| = 1$ より $|9 - \alpha| = |-3 - \alpha| = |3 + \alpha|$

$\alpha = p + qi$（$p, q$ は実数）として：

$$(9 - p)^2 + q^2 = (3 + p)^2 + q^2$$
$$81 - 18p + p^2 = 9 + 6p + p^2$$
$$72 = 24p \Rightarrow p = 3$$

さらに $w = -1 + 2i$（$\phi = \pi/2$）のとき：
$$z = \frac{3 - \alpha - 2(-1 + 2i)}{-1 + 2i - \alpha} = \frac{5 - \alpha - 4i}{-1 - \alpha + 2i}$$

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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