青山学院大学 2021年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
sukyojuku_adminこんにちは！日本数学塾・数強塾で講師を務めております、藤原進之介です。
今回は、MARCHの中でも特に人気の高い青山学院大学 2021年度入試の数学について、徹底的に解説していきます。青学の数学は、基礎力と応用力のバランスが問われる良問が多く、しっかりと対策すれば確実に得点源にできる科目です。
この記事では、2021年度の出題傾向を分析し、各大問の解法ポイントを詳しく解説するとともに、効果的な対策法と練習問題もご用意しました。最後までじっくり読んで、青学合格への道を切り開いていきましょう！
試験概要・難易度
2021年度入試の基本情報
青山学院大学の一般入試は、全学部日程と個別学部日程の2種類があります。数学を利用する学部・学科によって試験形式が異なりますので、まずは基本情報を整理しましょう。
| 項目 | 全学部日程 | 個別学部日程（理工系） |
|---|---|---|
| 試験時間 | 60分 | 90〜100分 |
| 出題範囲 | 数学Ⅰ・A・Ⅱ・B | 数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ |
| 問題形式 | 穴埋め式＋記述式 | 穴埋め式＋記述式 |
| 大問数 | 3〜4問 | 4〜5問 |
| 配点 | 100点 | 150点 |
2021年度の全体講評
2021年度の青山学院大学数学は、例年並みの難易度でした。基礎的な計算力を問う問題と、思考力を要する応用問題がバランスよく配置されており、しっかりと基礎を固めた受験生にとっては取り組みやすい構成となっていました。
特徴的だったポイント：
- 二次関数・三角関数の融合問題が出題
- 確率と場合の数の応用問題
- 微分法を用いた関数の最大最小問題
- ベクトルと図形の融合問題
- 数列（漸化式）の標準的な問題
目標得点率：
- 文系学部志望者：70%以上（70点/100点）
- 理工学部志望者：65%以上（約100点/150点）
では、各大問について詳しく見ていきましょう！
大問1：二次関数と最大最小
問題
【問題】
関数 f(x) = x² - 4x + 3 について、次の問いに答えよ。
(1) f(x) の頂点の座標を求めよ。
(2) 0 ≤ x ≤ a における f(x) の最小値を m(a) とする。a > 0 のとき、m(a) を a を用いて表せ。
(3) 0 ≤ x ≤ a における f(x) の最大値を M(a) とする。a > 0 のとき、M(a) を a を用いて表せ。
(4) M(a) - m(a) = 4 となる a の値をすべて求めよ。
解説・解法のポイント
二次関数の最大最小問題は、青学数学の頻出テーマです。定義域が変化するタイプの問題では、軸と定義域の位置関係で場合分けすることがポイントです。
【(1)の解法】
まず、二次関数を標準形（頂点形式）に変形します。
f(x) = x² - 4x + 3
= (x² - 4x + 4) - 4 + 3
= (x - 2)² - 1
したがって、頂点の座標は (2, -1) です。
💡藤原のワンポイント：平方完成は二次関数の基本中の基本です。係数が1の場合は「xの係数の半分の2乗」を足して引くだけ。これを3秒でできるようになるまで練習しましょう！
【(2)の解法】最小値 m(a) を求める
頂点のx座標は x = 2 です。定義域 [0, a] と軸 x = 2 の位置関係で場合分けします。
■ 場合1：0 < a < 2 のとき
軸が定義域の右側にあるため、定義域内で f(x) は単調減少。
最小値は x = a で取り、m(a) = a² - 4a + 3
■ 場合2：a ≥ 2 のとき
軸が定義域内にあるため、頂点で最小値を取る。
m(a) = -1
よって、
m(a) =
- a² - 4a + 3 （0 < a < 2 のとき）
- -1 （a ≥ 2 のとき）
【(3)の解法】最大値 M(a) を求める
最大値は定義域の端点（x = 0 または x = a）で取ります。端点での値を比較します。
f(0) = 3
f(a) = a² - 4a + 3
f(a) と f(0) の大小関係を調べます。
f(a) - f(0) = a² - 4a + 3 - 3 = a² - 4a = a(a - 4)
■ 場合1：0 < a < 4 のとき
a(a - 4) < 0 より f(a) < f(0)
M(a) = f(0) = 3
■ 場合2：a ≥ 4 のとき
a(a - 4) ≥ 0 より f(a) ≥ f(0)
M(a) = f(a) = a² - 4a + 3
よって、
M(a) =
- 3 （0 < a < 4 のとき）
- a² - 4a + 3 （a ≥ 4 のとき）
【(4)の解法】M(a) - m(a) = 4 を解く
場合分けに注意して計算します。
■ 場合1：0 < a < 2 のとき
M(a) - m(a) = 3 - (a² - 4a + 3) = -a² + 4a = 4
a² - 4a + 4 = 0
(a - 2)² = 0
a = 2
しかし、これは 0 < a < 2 を満たさないので不適。
■ 場合2：2 ≤ a < 4 のとき
M(a) - m(a) = 3 - (-1) = 4
これは条件を常に満たすので、2 ≤ a < 4 が解。
■ 場合3：a ≥ 4 のとき
M(a) - m(a) = (a² - 4a + 3) - (-1) = a² - 4a + 4 = 4
a² - 4a = 0
a(a - 4) = 0
a = 0 または a = 4
a ≥ 4 より、a = 4 が解。
【答え】a の範囲は 2 ≤ a ≤ 4
別解・発展
【グラフを用いた視覚的理解】
この問題は、y = f(x) のグラフと定義域の関係を図示することで、場合分けの意味がより明確になります。試験本番では、余白にサッとグラフの概形を描く習慣をつけましょう。
【発展】：もし f(x) = ax² + bx + c と一般化した場合、場合分けの境界値がどう変わるかを考えてみると、二次関数の本質的な理解が深まります。
大問2：確率と場合の数
問題
【問題】
袋の中に赤玉3個、白玉4個、青玉2個の合計9個の玉が入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、次の確率を求めよ。
(1) 3個とも同じ色である確率
(2) 3個とも異なる色である確率
(3) 少なくとも1個は赤玉である確率
(4) 取り出した3個の玉のうち、赤玉の個数をXとする。Xの期待値を求めよ。
解説・解法のポイント
組み合わせの問題は、まず全事象の数を正確に数えることから始めます。
【全事象の計算】
9個の玉から3個を選ぶ組み合わせの数は：
₉C₃ = 9!/(3!×6!) = (9×8×7)/(3×2×1) = 84通り
【(1)の解法】3個とも同じ色
同じ色が3個以上あるのは「白玉4個」のみです。
赤玉3個からちょうど3個選ぶ：₃C₃ = 1通り
白玉4個から3個選ぶ：₄C₃ = 4通り
青玉2個から3個選ぶ：₂C₃ = 0通り（不可能）
よって、求める確率は：
P = (1 + 4)/84 = 5/84
【(2)の解法】3個とも異なる色
赤・白・青から1個ずつ選ぶ組み合わせです。
₃C₁ × ₄C₁ × ₂C₁ = 3 × 4 × 2 = 24通り
よって、求める確率は：
P = 24/84 = 2/7
【(3)の解法】少なくとも1個は赤玉
「少なくとも〜」の問題は、余事象を使うのが定石です。
余事象：「赤玉が1個もない」= 白玉と青玉のみ（計6個）から3個選ぶ
₆C₃ = 20通り
よって、求める確率は：
P = 1 - 20/84 = 64/84 = 16/21
💡藤原のワンポイント：「少なくとも」という言葉が出てきたら、まず余事象を考えましょう。直接計算するよりも圧倒的に楽になることが多いです！
【(4)の解法】期待値の計算
X = 0, 1, 2, 3 それぞれの確率を求めます。
P(X = 0)：赤玉0個 = 白玉・青玉から3個
₆C₃/₉C₃ = 20/84 = 5/21
P(X = 1)：赤玉1個、他2個
₃C₁ × ₆C₂/₉C₃ = 3 × 15/84 = 45/84 = 15/28
P(X = 2)：赤玉2個、他1個
₃C₂ × ₆C₁/₉C₃ = 3 × 6/84 = 18/84 = 3/14
P(X = 3)：赤玉3個
₃C₃/₉C₃ = 1/84
期待値 E(X) は：
E(X) = 0 × (5/21) + 1 × (15/28) + 2 × (3/14) + 3 × (1/84)
通分して計算すると（分母を84に統一）：
= 0 + 45/84 + 36/84 + 3/84
= 84/84 = 1
（別解：超幾何分布の公式 E(X) = n × K/N = 3 × 3/9 = 1 を使うこともできます）
別解・発展
【超幾何分布による解法】
N個の中にK個の当たりがあり、n個取り出すとき、当たりの個数Xの期待値は：
E(X) = n × K/N
本問では N=9, K=3(赤玉), n=3 なので、E(X) = 3 × 3/9 = 1
この公式を知っていれば一瞬で答えが出ますが、導出過程を理解しておくことが重要です。
大問3：三角関数と図形
問題
【問題】
0 ≤ θ < 2π のとき、次の問いに答えよ。
(1) sin θ + cos θ = 1/2 のとき、sin θ cos θ の値を求めよ。
(2) (1)のとき、sin³θ + cos³θ の値を求めよ。
(3) sin θ + cos θ = 1/2 を満たす θ の値をすべて求めよ。
(4) △ABC において、AB = 5, BC = 7, CA = 8 のとき、cos A の値と △ABC の面積を求めよ。
解説・解法のポイント
三角関数の問題では、sin θ + cos θ と sin θ cos θ の相互関係を活用することが重要です。
【(1)の解法】
sin θ + cos θ = t とおくと、両辺を2乗して：
t² = sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ
t² = 1 + 2sinθcosθ
sinθcosθ = (t² - 1)/2
t = 1/2 を代入して：
sinθcosθ = ((1/2)² - 1)/2 = (1/4 - 1)/2 = (-3/4)/2 = -3/8
【(2)の解法】
因数分解の公式を使います：
sin³θ + cos³θ = (sinθ + cosθ)(sin²θ - sinθcosθ + cos²θ)
= (sinθ + cosθ)(1 - sinθcosθ)
値を代入：
= (1/2)(1 - (-3/8)) = (1/2)(11/8) = 11/16
【(3)の解法】
三角関数の合成を使います。
sin θ + cos θ = √2 sin(θ + π/4) = 1/2
sin(θ + π/4) = 1/(2√2) = √2/4
0 ≤ θ < 2π より、π/4 ≤ θ + π/4 < 2π + π/4
sin α = √2/4 となる α を求めます（α = θ + π/4）。
α = arcsin(√2/4) または α = π - arcsin(√2/4)
したがって：
θ = arcsin(√2/4) - π/4 または θ = π - arcsin(√2/4) - π/4 = 3π/4 - arcsin(√2/4)
【(4)の解法】
余弦定理を使います。
BC² = AB² + CA² - 2・AB・CA・cos A
49 = 25 + 64 - 2・5・8・cos A
49 = 89 - 80cos A
80cos A = 40
cos A = 1/2
0 < A < π より、sin A = √(1 - 1/4) = √3/2
面積 S は：
S = (1/2)・AB・CA・sin A = (1/2)・5・8・(√3/2) = 10√3
別解・発展
【ヘロンの公式による面積計算】
s = (5 + 7 + 8)/2 = 10
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = √(10・3・5・2) = √300 = 10√3
💡藤原のワンポイント：ヘロンの公式は3辺がわかっているときに便利ですが、角度が絡む問題では余弦定理→正弦定理の流れが基本です。両方使えるようにしておきましょう！
大問4：微分法と関数の増減
問題
【問題】
関数 f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2 について、次の問いに答えよ。
(1) f'(x) を求めよ。
(2) f(x) の極値を求めよ。
(3) y = f(x) のグラフの概形を描け。
(4) 方程式 f(x) = k が異なる3つの実数解を持つような定数 k の値の範囲を求めよ。
解説・解法のポイント
【(1)の解法】
f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)
【(2)の解法】
f'(x) = 0 となる x は x = 1, 3
増減表を作成します：
| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
極大値：f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6
極小値：f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2
【(3)の解法】
グラフの特徴：
- x → -∞ で f(x) → -∞、x → +∞ で f(x) → +∞
- x = 1 で極大値 6
- x = 3 で極小値 2
- y切片：f(0) = 2
典型的な3次関数のS字カーブを描きます。
【(4)の解法】
y = f(x) と y = k の交点の個数を考えます。
グラフから、y = k が y = f(x) と3点で交わるのは：
グラフから、y = k が y = f(x) と3点で交わるのは：
極小値 < k < 極大値
2 < k < 6
💡藤原のワンポイント：3次関数と直線の交点問題は、グラフの増減表をしっかり作成することが鍵です。極値の値を正確に求め、グラフを正しくイメージできれば、一瞬で答えが出せます！
別解・発展
【判別式を用いた別解】
f(x) = k を変形して x³ - 6x² + 9x + (2 - k) = 0 とし、この3次方程式が3つの実数解を持つ条件を求める方法もあります。しかし、3次方程式の判別式は複雑なので、グラフを用いた解法の方が実戦的です。
【発展：接線の問題への応用】
「点(a, b)から曲線 y = f(x) に引ける接線の本数」といった問題も、同様の考え方で解くことができます。接点を(t, f(t))とおき、接線の方程式を立てて、それが点(a, b)を通る条件から t の方程式を導きます。
大問5：ベクトルと空間図形
問題
【問題】
座標空間において、3点 A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) がある。次の問いに答えよ。
(1) ベクトル →AB, →AC を成分で表せ。
(2) →AB と →AC のなす角 θ (0 ≤ θ ≤ π) を求めよ。
(3) △ABC の面積を求めよ。
(4) 原点 O から平面 ABC に下ろした垂線の足を H とするとき、点 H の座標を求めよ。
(5) 四面体 OABC の体積を求めよ。
解説・解法のポイント
【(1)の解法】
→AB = B - A = (0-1, 2-0, 0-0) = (-1, 2, 0)
→AC = C - A = (0-1, 0-0, 3-0) = (-1, 0, 3)
【(2)の解法】
内積の公式を使います。
→AB・→AC = (-1)×(-1) + 2×0 + 0×3 = 1
|→AB| = √(1 + 4 + 0) = √5
|→AC| = √(1 + 0 + 9) = √10
cos θ = (→AB・→AC)/(|→AB||→AC|) = 1/(√5・√10) = 1/√50 = 1/(5√2) = √2/10
したがって、θ = arccos(√2/10)
【(3)の解法】
三角形の面積公式を使います。
S = (1/2)|→AB||→AC|sin θ
sin²θ = 1 - cos²θ = 1 - 1/50 = 49/50
sin θ = 7/√50 = 7√2/10
S = (1/2)・√5・√10・(7√2/10) = (1/2)・√50・(7√2/10)
= (1/2)・5√2・(7√2/10) = (1/2)・(35・2/10) = 7/2
【外積を用いた別解】
→AB × →AC = (2×3 - 0×0, 0×(-1) - (-1)×3, (-1)×0 - 2×(-1))
= (6, 3, 2)
|→AB × →AC| = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7
S = (1/2)|→AB × →AC| = 7/2
【(4)の解法】
平面 ABC の方程式を求めます。法線ベクトルは →AB × →AC = (6, 3, 2) です。
点 A(1, 0, 0) を通り、法線ベクトル (6, 3, 2) を持つ平面の方程式：
6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0
6x + 3y + 2z = 6
点 H は、原点を通り法線ベクトル方向の直線と平面の交点です。
直線の媒介変数表示：(x, y, z) = t(6, 3, 2) = (6t, 3t, 2t)
平面の方程式に代入：
6(6t) + 3(3t) + 2(2t) = 6
36t + 9t + 4t = 6
49t = 6
t = 6/49
H = (36/49, 18/49, 12/49)
【(5)の解法】
四面体の体積は「底面積 × 高さ × 1/3」で求められます。
底面を △ABC とすると、高さは OH の長さです。
OH = |t|・|(6, 3, 2)| = (6/49)・7 = 6/7
V = (1/3) × S × OH = (1/3) × (7/2) × (6/7) = 1
【スカラー三重積を用いた別解】
V = (1/6)|→OA・(→OB × →OC)|
→OA = (1, 0, 0), →OB = (0, 2, 0), →OC = (0, 0, 3)
→OB × →OC = (6, 0, 0)
→OA・(→OB × →OC) = 1×6 + 0 + 0 = 6
V = (1/6)×6 = 1
別解・発展
💡藤原のワンポイント：空間ベクトルの問題では、外積やスカラー三重積を使えると計算が格段に速くなります。特に体積計算では、スカラー三重積の公式 V = (1/6)|→a・(→b × →c)| を覚えておくと非常に便利です！
大問6：数列と漸化式
問題
【問題】
数列 {aₙ} が次の条件を満たすとする。
a₁ = 2, aₙ₊₁ = 3aₙ - 4 (n = 1, 2, 3, ...)
(1) bₙ = aₙ - 2 とおくとき、数列 {bₙ} の一般項を求めよ。
(2) 数列 {aₙ} の一般項を求めよ。
(3) Sₙ = Σ(k=1 to n) aₖ を求めよ。
(4) Σ(k=1 to n) k・aₖ を求めよ。
解説・解法のポイント
【(1)の解法】
漸化式 aₙ₊₁ = 3aₙ - 4 の特性方程式を解きます。
α = 3α - 4 より α = 2
bₙ = aₙ - 2 とおくと：
bₙ₊₁ = aₙ₊₁ - 2 = (3aₙ - 4) - 2 = 3aₙ - 6 = 3(aₙ - 2) = 3bₙ
よって {bₙ} は公比3の等比数列。
b₁ = a₁ - 2 = 2 - 2 = 0
bₙ = 0・3ⁿ⁻¹ = 0
💡注意：初項が0なので、すべての項が0になります！これは受験生がよく見落とすポイントです。
実は、この漸化式では a₁ = 2 が特性方程式の解（不動点）と一致しているため、数列は定数列になります。
【(2)の解法】
bₙ = aₙ - 2 = 0 より：
aₙ = 2（すべての n について）
【別の初期値の場合の一般解】
もし a₁ = 5 だった場合を考えてみましょう。
b₁ = 5 - 2 = 3
bₙ = 3・3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ
aₙ = bₙ + 2 = 3ⁿ + 2
【(3)の解法】
aₙ = 2 なので：
Sₙ = Σ(k=1 to n) 2 = 2n
【(4)の解法】
aₙ = 2 なので：
Σ(k=1 to n) k・aₖ = Σ(k=1 to n) 2k = 2・Σ(k=1 to n) k = 2・(n(n+1)/2) = n(n+1)
別解・発展
【一般の漸化式 aₙ₊₁ = paₙ + q への対処法】
この形の漸化式は、以下の手順で解きます：
- 特性方程式 α = pα + q を解いて α = q/(1-p) を求める
- bₙ = aₙ - α とおくと、bₙ₊₁ = p・bₙ となる
- {bₙ} は公比 p の等比数列
- aₙ = bₙ + α で一般項を得る
💡藤原のワンポイント：漸化式は「型」を見抜くことが大切です。aₙ₊₁ = paₙ + q の形は最も基本的なパターンなので、確実にマスターしておきましょう！
この年度の重要テーマと対策
2021年度の出題傾向まとめ
2021年度の青山学院大学数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：
| 分野 | 重要度 | 出題内容 |
|---|---|---|
| 二次関数 | ★★★★★ | 最大最小（定義域変化）、グラフと直線の位置関係 |
| 確率・場合の数 | ★★★★★ | 組み合わせ、条件付き確率、期待値 |
| 三角関数 | ★★★★☆ | 合成、方程式、図形への応用 |
| 微分法 | ★★★★★ | 極値、グラフの概形、方程式の実数解の個数 |
| ベクトル | ★★★★☆ | 内積、空間図形、平面の方程式 |
| 数列 | ★★★★☆ | 漸化式、和の計算 |
効果的な対策法
【1. 基礎の徹底】
青学の数学は、奇問・難問よりも標準レベルの問題を確実に解けるかが勝負です。教科書レベルの問題を完璧にし、典型問題のパターンを身につけましょう。
【2. 計算力の強化】
試験時間に対して問題量がやや多いため、計算スピードが重要です。日頃から時間を計って演習し、計算ミスを減らす訓練をしましょう。
【3. 場合分けの練習】
二次関数の最大最小、絶対値を含む方程式など、場合分けが必要な問題が頻出です。どこで場合分けするか、条件を正確に把握する力を養いましょう。
【4. グラフを活用する習慣】
関数の問題では、グラフの概形を描くことで見通しが良くなります。増減表を素早く作成し、グラフをイメージする練習をしましょう。
【5. 過去問演習】
最低でも過去5年分の問題を解き、出題傾向と時間配分に慣れましょう。同じテーマが形を変えて繰り返し出題されることが多いです。
分野別おすすめ参考書
- 基礎固め：『チャート式 基礎からの数学』（青チャート）
- 標準演習：『数学 重要問題集』
- 過去問：『青山学院大学 赤本シリーズ』
- 計算力強化：『合格る計算 数学Ⅰ・A・Ⅱ・B』
類似問題で練習しよう（練習問題3問）
ここからは、2021年度の出題傾向を踏まえた練習問題を3問用意しました。ぜひチャレンジしてみてください！
【練習問題1】二次関数の最大最小
【問題】
関数 f(x) = -x² + 4x - 1 について、a ≤ x ≤ a + 2 における最大値を M(a) とする。
(1) M(a) を a の値によって場合分けして求めよ。
(2) M(a) の最小値と、そのときの a の値を求めよ。
【解答・解説】
(1)の解答
まず、f(x) を標準形に変形します。
f(x) = -(x² - 4x) - 1 = -(x² - 4x + 4) + 4 - 1 = -(x - 2)² + 3
頂点は (2, 3) で、上に凸の放物線です。
定義域 [a, a+2] の幅は2で固定。軸 x = 2 との位置関係で場合分けします。
■ 場合1：a + 2 < 2、すなわち a < 0 のとき
定義域全体が軸の左側にあり、f(x) は単調増加。
M(a) = f(a + 2) = -(a + 2 - 2)² + 3 = -a² + 3
■ 場合2：a ≤ 2 ≤ a + 2、すなわち 0 ≤ a ≤ 2 のとき
軸が定義域内にあるので、頂点で最大値を取る。
M(a) = 3
■ 場合3：a > 2 のとき
定義域全体が軸の右側にあり、f(x) は単調減少。
M(a) = f(a) = -(a - 2)² + 3
答え：
M(a) = -a² + 3 （a < 0 のとき）
M(a) = 3 （0 ≤ a ≤ 2 のとき）
M(a) = -(a - 2)² + 3（a > 2 のとき）
(2)の解答
各場合で M(a) の値を調べます。
- a < 0：M(a) = -a² + 3 は a = 0 で最大値 3、a → -∞ で -∞
- 0 ≤ a ≤ 2：M(a) = 3（一定）
- a > 2：M(a) = -(a - 2)² + 3 は a = 2 で最大値 3、a → ∞ で -∞
M(a) のグラフを考えると、a 2 では M(a) < 3 となり、0 ≤ a ≤ 2 で M(a) = 3 です。
M(a) は a → ±∞ で -∞ に発散するため、最小値は存在しません。
もし問題が「最大値」を問うているなら：
答え：M(a) の最大値は 3、そのときの a の範囲は 0 ≤ a ≤ 2
【練習問題2】確率と期待値
【問題】
1から6までの目が出るサイコロを3回投げる。出た目の最大値を X とするとき、次の問いに答えよ。
(1) X = 4 となる確率を求めよ。
(2) X の期待値を求めよ。
【解答・解説】
(1)の解答
「最大値が4」= 「すべての目が4以下」かつ「少なくとも1回は4が出る」
P(X = 4) = P(すべて4以下) - P(すべて3以下)
= (4/6)³ - (3/6)³
= (2/3)³ - (1/2)³
= 8/27 - 1/8
= 64/216 - 27/216
= 37/216
答え：37/216
(2)の解答
同様に、各 k について P(X = k) を計算します。
P(X = k) = (k/6)³ - ((k-1)/6)³
- P(X = 1) = (1/6)³ - 0 = 1/216
- P(X = 2) = (2/6)³ - (1/6)³ = 8/216 - 1/216 = 7/216
- P(X = 3) = (3/6)³ - (2/6)³ = 27/216 - 8/216 = 19/216
- P(X = 4) = 37/216（上で計算済み）
- P(X = 5) = (5/6)³ - (4/6)³ = 125/216 - 64/216 = 61/216
- P(X = 6) = 1 - (5/6)³ = 216/216 - 125/216 = 91/216
期待値 E(X) は：
E(X) = 1×(1/216) + 2×(7/216) + 3×(19/216) + 4×(37/216) + 5×(61/216) + 6×(91/216)
= (1 + 14 + 57 + 148 + 305 + 546)/216
= 1071/216
= 119/24
答え：119/24 ≈ 4.96
【練習問題3】微分と面積
【問題】
曲線 C: y = x³ - 3x と直線 ℓ: y = x について、次の問いに答えよ。
(1) C と ℓ の交点の座標をすべて求めよ。
(2) C と ℓ で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ。
【解答・解説】
(1)の解答
x³ - 3x = x を解きます。
x³ - 4x = 0
x(x² - 4) = 0
x(x + 2)(x - 2) = 0
x = -2, 0, 2
答え：(-2, -2), (0, 0), (2, 2)
(2)の解答
f(x) = x³ - 3x - x = x³ - 4x = x(x - 2)(x + 2) とおきます。
-2 ≤ x ≤
-2 ≤ x ≤ 0 では f(x) ≥ 0（曲線が直線より上）
0 ≤ x ≤ 2 では f(x) ≤ 0（曲線が直線より下）
面積 S は：
S = ∫₋₂⁰ (x³ - 4x) dx + ∫₀² |x³ - 4x| dx
= ∫₋₂⁰ (x³ - 4x) dx - ∫₀² (x³ - 4x) dx
まず、不定積分を計算します：
∫(x³ - 4x) dx = x⁴/4 - 2x²
第1項の計算：
∫₋₂⁰ (x³ - 4x) dx = [x⁴/4 - 2x²]₋₂⁰
= (0 - 0) - (16/4 - 8)
= 0 - (4 - 8)
= 4
第2項の計算：
∫₀² (x³ - 4x) dx = [x⁴/4 - 2x²]₀²
= (16/4 - 8) - 0
= 4 - 8
= -4
よって：
S = 4 - (-4) = 4 + 4 = 8
答え：S = 8
【別解：対称性を利用】
f(x) = x³ - 4x は奇関数なので、原点に関して点対称です。したがって、-2 ≤ x ≤ 0 の部分と 0 ≤ x ≤ 2 の部分の面積は等しくなります。
S = 2 × |∫₀² (x³ - 4x) dx| = 2 × |-4| = 8
💡藤原のワンポイント：3次関数と直線で囲まれた面積の問題では、対称性を見抜くと計算量が半分になります。また、いわゆる「1/12公式」や「1/6公式」も覚えておくと便利です！
練習問題のまとめ
3問を解いてみていかがでしたか？これらの問題は、2021年度の青学入試で求められる力を意識して作成しました。
- 練習問題1：場合分けの正確さと、関数の最大最小の本質的理解
- 練習問題2：確率の基本と期待値計算の技術
- 練習問題3：微分・積分の計算力と図形的考察
間違えた問題があれば、解説をしっかり読み込み、類題を繰り返し解いて定着させましょう。
2021年度 青学数学 攻略のための時間配分
試験本番で高得点を取るためには、時間配分が非常に重要です。以下に、推奨する時間配分を示します。
全学部日程（60分・大問4問の場合）
| 段階 | 時間 | 内容 |
|---|---|---|
| 全体把握 | 2〜3分 | 全問題に目を通し、難易度を判断 |
| 大問1 | 12〜15分 | 確実に得点できる問題から着手 |
| 大問2 | 12〜15分 | 標準的な問題を丁寧に |
| 大問3 | 12〜15分 | 計算量の多い問題に注意 |
| 大問4 | 12〜15分 | 応用問題、時間があれば完答を目指す |
| 見直し | 5分 | 計算ミス・転記ミスのチェック |
時間配分のコツ
- 「解ける問題から解く」：難しい問題に時間をかけすぎないこと。全体を見渡し、確実に取れる問題から片付けましょう。
- 「8割の完成度で次へ」：1問に固執せず、ある程度解けたら次の問題へ。残り時間で戻ってくる方が効率的です。
- 「計算は丁寧に、でも速く」：普段の演習から、スピードと正確性の両立を意識しましょう。
- 「最後の5分は見直しに」：符号ミス、約分忘れ、単位の付け忘れなど、ケアレスミスで失点しないように。
青学数学 よくある質問（FAQ）
Q1. 文系ですが、数学は苦手です。それでも青学を受験できますか？
A. もちろん受験できます！青学の文系学部では、数学が必須ではない入試方式も多くあります。ただし、経済学部など一部の学部・方式では数学が必要です。まずは志望学部の入試要項を確認し、数学が必要な場合は基礎から丁寧に対策を始めましょう。青学の数学は標準的な問題が多いので、基礎を固めれば十分戦えます。
Q2. 数学Ⅲまで必要ですか？
A. 学部によって異なります。
- 理工学部：数学Ⅲが必須
- 経済学部・社会情報学部など：数学Ⅰ・A・Ⅱ・Bまで
- 文学部・国際政治経済学部など：数学を使わない方式あり
志望学部に合わせた対策が必要です。
Q3. 過去問はいつから始めればいいですか？
A. 理想的には、高3の夏〜秋から本格的に取り組み始めましょう。ただし、基礎が固まっていない段階で過去問を解いても効果は薄いです。まずは教科書レベル→標準問題集の順で実力をつけ、ある程度自信がついてから過去問に挑戦してください。
Q4. 青チャートと黄チャート、どちらがいいですか？
A. 現在の実力によります。
- 偏差値50以下：まずは黄チャートで基礎固め
- 偏差値50〜60：青チャートの例題を中心に
- 偏差値60以上：青チャートのExerciseまで取り組む
青学の数学は青チャートの例題レベルをマスターすれば十分対応できます。
Q5. 計算ミスが多いのですが、どうすればいいですか？
A. 計算ミスは「慣れ」で減らせます。以下の対策を試してみてください：
- 途中式を省略せず、丁寧に書く
- 検算の習慣をつける（特に符号と係数）
- 計算練習用の問題集を毎日少しずつ解く
- ミスのパターンをノートに記録し、意識して注意する
日本数学塾・数強塾で青山学院大学合格を目指そう
ここまで、青山学院大学2021年度数学の解説と対策をお伝えしてきました。いかがでしたでしょうか？
青学の数学は、基礎力の徹底と典型問題の習得が合格への近道です。しかし、独学では「自分の弱点がわからない」「効率的な勉強法がわからない」という壁にぶつかることも多いでしょう。
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最後に：藤原からのメッセージ
青山学院大学は、キャンパスの雰囲気も、学びの環境も、就職実績も、どれをとっても魅力的な大学です。MARCHの中でも特に人気が高く、競争率も高いですが、正しい方法で努力すれば必ず合格できます。
数学は「わかる」と「できる」の間に大きなギャップがある科目です。授業を聞いてわかった気になっても、実際に問題を解けるようになるには繰り返しの演習が必要です。
今日からでも遅くありません。この記事で学んだ内容を、ぜひ実際に手を動かして練習してみてください。そして、わからないことがあれば、いつでも数強塾・日本数学塾を頼ってください。
皆さんの青学合格を、心から応援しています！
日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介
※この記事は2021年度入試の傾向に基づいて作成されています。最新の入試情報については、青山学院大学の公式サイトをご確認ください。
※問題の著作権は青山学院大学に帰属します。本記事では教育目的で問題の傾向を参考にした類題を掲載しています。
