青山学院大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、青山学院大学 2012年度 数学の入試問題を徹底解説していきます。MARCHの一角として人気の高い青山学院大学ですが、数学の入試問題は標準的な良問が多く、基礎力をしっかり固めた受験生が報われる試験構成になっています。

この記事では、2012年度の数学入試問題を大問ごとに詳しく解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での演習まで網羅的にカバーしていきます。青山学院大学を目指す受験生はもちろん、MARCH全般の数学対策にも役立つ内容になっていますので、ぜひ最後までお読みください！

試験概要・難易度

2012年度 青山学院大学 数学入試の基本情報

2012年度の全体講評

2012年度の青山学院大学数学入試は、全体的に標準レベルの問題が中心でした。特に以下の特徴が見られました：

• 計算力重視：複雑な発想を要する問題は少なく、正確かつ迅速な計算が求められた
• 典型問題の出題：教科書レベルの基礎から、標準的な入試問題集で見られるパターンが多い
• 時間配分がカギ：問題数に対して時間がやや厳しく、効率的な解法選択が重要
• 小問の誘導活用：大問内の小問が次の問題へのヒントになっている構成

難易度としては、MARCHの中では標準〜やや易しめに位置し、基礎力がしっかりしている受験生にとっては高得点を狙いやすい年度でした。目標得点は70〜80%を設定するとよいでしょう。

大問1：二次関数の最大・最小問題

問題

解説・解法のポイント

【解法の方針】

この問題は、軸が動く二次関数の最大・最小という、青学をはじめMARCHで頻出のテーマです。定義域と軸の位置関係によって場合分けする必要があります。

【(1) の解答】

まず、f(x) を平方完成します。

f(x) = x² - 2ax + 3 = (x - a)² - a² + 3

頂点は (a, -a² + 3) であり、下に凸の放物線なので、最小値は -a² + 3 です。

【(2) の解答：最大値 M(a) の場合分け】

軸 x = a と定義域 [0, 2] の中点 x = 1 の位置関係で場合分けします。

場合1：a ≤ 1 のとき

軸が定義域の中点より左側（または中点）にあるので、x = 2 で最大値をとります。

M(a) = f(2) = 4 - 4a + 3 = 7 - 4a

場合2：a > 1 のとき

軸が定義域の中点より右側にあるので、x = 0 で最大値をとります。

M(a) = f(0) = 3

【(3) の解答：最小値 m(a) の場合分け】

軸 x = a が定義域 [0, 2] に含まれるかどうかで場合分けします。

場合1：a < 0 のとき

軸が定義域の左側にあるので、x = 0 で最小値。

m(a) = f(0) = 3

※ただし問題文より a > 0 なので、この場合は考えません。

場合2：0 ≤ a ≤ 2 のとき

軸が定義域内にあるので、頂点で最小値。

m(a) = -a² + 3

場合3：a > 2 のとき

軸が定義域の右側にあるので、x = 2 で最小値。

m(a) = f(2) = 7 - 4a

【(4) の解答】

M(a) - m(a) を各場合で計算します。

0 < a ≤ 1 のとき

M(a) = 7 - 4a, m(a) = -a² + 3 より

M(a) - m(a) = (7 - 4a) - (-a² + 3) = a² - 4a + 4 = (a - 2)²

0 < a ≤ 1 で (a - 2)² は減少関数なので、a = 1 のとき最小値 1

1 < a ≤ 2 のとき

M(a) = 3, m(a) = -a² + 3 より

M(a) - m(a) = 3 - (-a² + 3) = a²

1 < a ≤ 2 で最小値は a = 1 に近づくとき 1 に近づく

a > 2 のとき

M(a) = 3, m(a) = 7 - 4a より

M(a) - m(a) = 3 - (7 - 4a) = 4a - 4

これは a > 2 で増加するので、最小値は a = 2 に近づくとき 4 に近づく

以上より、a = 1 のとき M(a) - m(a) の最小値は 1 となります。

別解・発展

【グラフを描いて視覚的に理解する方法】

この問題は、軸 x = a が動くにつれて、定義域内での最大値・最小値の取り方がどう変化するかをグラフで追跡すると理解が深まります。

特に重要なのは：

• 最大値は「定義域の端点のうち、軸から遠い方」で取る
• 最小値は「軸が定義域内なら頂点、外なら軸に近い端点」で取る

この考え方は、軸が動く問題や定義域が動く問題で共通して使える普遍的な原理です。

大問2：三角関数と図形

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

三角形の面積公式「2辺とその間の角」を使います。

S = (1/2) × AB × BC × sin∠ABC = (1/2) × 2 × 3 × sinθ = 3sinθ

【(2) の解答】

余弦定理を使ってACを求めます。

AC² = AB² + BC² - 2・AB・BC・cos∠ABC

AC² = 4 + 9 - 2・2・3・cosθ = 13 - 12cosθ

AC = √(13 - 12cosθ)

【(3) の解答】

正弦定理 AC/sin∠ABC = 2R を使います。

2R = AC/sinθ = √(13 - 12cosθ)/sinθ

R = √(13 - 12cosθ)/(2sinθ)

【(4) の解答】

S = 3sinθ は 0 < θ < π/2 において、θ = π/2 のとき最大値 3 をとります。

このとき：

• cosθ = 0, sinθ = 1
• AC = √(13 - 0) = √13
• R = √13/(2×1) = √13/2

答え：θ = π/2 のとき面積最大、外接円の半径は √13/2

別解・発展

【ベクトルによる別解】

点Bを原点として、ベクトル BA = (2, 0)、BC = (3cosθ, 3sinθ) と設定すると：

• 面積 S = (1/2)|BA × BC| = (1/2)|2・3sinθ - 0| = 3sinθ
• AC² = |BC - BA|² = (3cosθ - 2)² + (3sinθ)² = 9cos²θ - 12cosθ + 4 + 9sin²θ = 13 - 12cosθ

この方法は座標を使った計算が得意な人には有効です。

大問3：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【漸化式の型を見抜く】

aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 は「aₙ₊₁ = paₙ + q」型の漸化式です。特性方程式 α = 2α + 3 より α = -3 を使って変換します。

【(1) の解答】

bₙ = aₙ + 3 とおくと：

bₙ₊₁ = aₙ₊₁ + 3 = (2aₙ + 3) + 3 = 2aₙ + 6 = 2(aₙ + 3) = 2bₙ

よって {bₙ} は公比 2 の等比数列。

b₁ = a₁ + 3 = 1 + 3 = 4

bₙ = 4・2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹

【(2) の解答】

bₙ = aₙ + 3 より：

aₙ = bₙ - 3 = 2ⁿ⁺¹ - 3

【検証】

• a₁ = 2² - 3 = 1 ✓
• a₂ = 2³ - 3 = 5 ✓（漸化式：2×1 + 3 = 5）
• a₃ = 2⁴ - 3 = 13 ✓（漸化式：2×5 + 3 = 13）

【(3) の解答】

Σ(k=1 to n) aₖ = Σ(k=1 to n) (2ᵏ⁺¹ - 3)

= Σ(k=1 to n) 2ᵏ⁺¹ - 3n

= 2² + 2³ + ... + 2ⁿ⁺¹ - 3n

= 4(2ⁿ - 1)/(2 - 1) - 3n

= 2ⁿ⁺² - 4 - 3n

【(4) の解答】

Sₙ = Σ(k=1 to n) aₖ/2ᵏ = Σ(k=1 to n) (2ᵏ⁺¹ - 3)/2ᵏ とおきます。

Sₙ = Σ(k=1 to n) 2 - Σ(k=1 to n) 3/2ᵏ = 2n - 3・(1/2)(1 - (1/2)ⁿ)/(1 - 1/2)

= 2n - 3(1 - (1/2)ⁿ) = 2n - 3 + 3/2ⁿ = 2n - 3 + 3・2⁻ⁿ

別解・発展

【(4) の別解：部分和の公式を使う方法】

Σk・rᵏ 型の和を求める公式を応用できます。ただし、今回の解法のように項を分解する方が計算が楽です。

【発展：階差数列への応用】

この漸化式の解法パターンは、より複雑な漸化式（例：aₙ₊₁ = paₙ + f(n)）を解く際の基礎となります。

大問4：微分法と接線

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】

y = x³ - 3x を微分すると y' = 3x² - 3

点 (t, t³ - 3t) における接線の傾きは 3t² - 3

接線の方程式：

y - (t³ - 3t) = (3t² - 3)(x - t)

y = (3t² - 3)x - 3t³ + 3t + t³ - 3t

y = (3t² - 3)x - 2t³

【(2) の解答】

点 (0, a) を通る接線の条件は、(1)の接線が点 (0, a) を通ること。

a = (3t² - 3)・0 - 2t³ = -2t³

t³ = -a/2 ・・・①

ここで g(t) = t³ とすると、g(t) = -a/2 の実数解の個数が接線の本数に対応します。

しかし、同じ t の値から引ける接線は1本なので、①の解の個数を調べます。

y = t³ は単調増加なので、任意の -a/2 に対して t は一意に定まります。

ただし、曲線の対称性から、y軸上の点から曲線に接線を引くとき：

• 変曲点 (0, 0) からは接線1本（x軸方向）
• 極値の y 座標（±2）付近で接線の本数が変化

f(x) = x³ - 3x の極値：

• f'(x) = 3x² - 3 = 0 より x = ±1
• f(1) = 1 - 3 = -2（極小値）
• f(-1) = -1 + 3 = 2（極大値）

接線の本数の変化を詳しく調べると：

-2 < a < 2 のとき、接線は2本

【(3) の解答】

a = 2 のとき、-2t³ = 2 より t³ = -1、t = -1

ただし、a = 2 は極大値に等しいので、点 (-1, 2) で曲線に接する接線と、もう1本の接線があります。

t = -1 のとき：

接線：y = (3・1 - 3)x - 2・(-1) = 2

これは y = 2（水平線）です。

もう1本の接線を求めるため、別の接点を探します。

接線 y = (3t² - 3)x - 2t³ が (0, 2) を通る：

2 = -2t³

t³ = -1

t = -1（重解）

この場合、t = -1 が唯一の解となり、接線は y = 2 の1本のみとなります。

※ a = 2 は接線が1本から2本に変わる境界値であるため、厳密には2本引ける条件 -2 < a < 2 の境界です。

別解・発展

【グラフを活用した考察】

曲線 y = x³ - 3x と直線 y = a の交点の状況を考えると、接線の本数問題を視覚的に理解できます。

【発展：3次関数の接線の本数】

一般に、3次関数 y = ax³ + bx² + cx + d に対し、外部の点から引ける接線の本数は1本、2本、または3本です。この問題は青学の微分法の定番パターンです。

大問5：確率と期待値

問題

解説・解法のポイント

【問題の構造を把握する】

この問題は反復試行の確率と二項分布に関する典型問題です。赤玉が出る確率は 3/5、白玉が出る確率は 2/5 で、これを n 回独立に繰り返します。

【(1) の解答】

n 回の試行で赤玉がちょうど2回出る確率は、二項分布の公式を使います。

P(X = 2) = ₙC₂ × (3/5)² × (2/5)ⁿ⁻²

= n(n-1)/2 × 9/25 × (2/5)ⁿ⁻²

= 9n(n-1)/2 × (2/5)ⁿ⁻² / 25

これを整理すると：

P(X = 2) = 9n(n-1)・2ⁿ⁻² / (2・5ⁿ)

【(2) の解答】

赤玉が出た回数 X は、各試行で赤玉が出る確率 p = 3/5 の二項分布 B(n, 3/5) に従います。

二項分布の期待値の公式 E(X) = np より：

E(X) = n × 3/5 = 3n/5

【別解：期待値の線形性を使う方法】

i 回目の試行で赤玉が出たら Xᵢ = 1、出なければ Xᵢ = 0 とすると、X = X₁ + X₂ + ... + Xₙ

各 Xᵢ の期待値は E(Xᵢ) = 1 × 3/5 + 0 × 2/5 = 3/5

期待値の線形性より：E(X) = E(X₁) + E(X₂) + ... + E(Xₙ) = n × 3/5 = 3n/5

【(3) の解答】

n = 5 のとき、赤玉が3回以上出る確率は：

P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

P(X = 3) の計算：

P(X = 3) = ₅C₃ × (3/5)³ × (2/5)² = 10 × 27/125 × 4/25 = 10 × 108/3125 = 1080/3125

P(X = 4) の計算：

P(X = 4) = ₅C₄ × (3/5)⁴ × (2/5)¹ = 5 × 81/625 × 2/5 = 5 × 162/3125 = 810/3125

P(X = 5) の計算：

P(X = 5) = ₅C₅ × (3/5)⁵ × (2/5)⁰ = 1 × 243/3125 × 1 = 243/3125

合計：

P(X ≥ 3) = (1080 + 810 + 243)/3125 = 2133/3125 = 2133/3125

これを約分すると（2133 = 3 × 711 = 3 × 3 × 237 = 9 × 237、3125 = 5⁵ で互いに素）

P(X ≥ 3) = 2133/3125（既約分数）

【別解：余事象を使う方法】

P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2)

P(X = 0) = (2/5)⁵ = 32/3125

P(X = 1) = ₅C₁ × (3/5) × (2/5)⁴ = 5 × 3/5 × 16/625 = 240/3125

P(X = 2) = ₅C₂ × (3/5)² × (2/5)³ = 10 × 9/25 × 8/125 = 720/3125

P(X ≤ 2) = (32 + 240 + 720)/3125 = 992/3125

P(X ≥ 3) = 1 - 992/3125 = 2133/3125 ✓

【(4) の解答】

二項分布 B(n, p) の分散は V(X) = np(1-p) で与えられます。

p = 3/5 より 1 - p = 2/5 なので：

V(X) = n × 3/5 × 2/5 = 6n/25

【分散の導出（参考）】

V(X) = E(X²) - {E(X)}² を使って導出することもできます。

Xᵢ² = Xᵢ（Xᵢ は 0 か 1 なので）より E(Xᵢ²) = E(Xᵢ) = 3/5

V(Xᵢ) = E(Xᵢ²) - {E(Xᵢ)}² = 3/5 - 9/25 = 15/25 - 9/25 = 6/25

独立な確率変数の和の分散は分散の和に等しいので：

V(X) = V(X₁) + V(X₂) + ... + V(Xₙ) = n × 6/25 = 6n/25

別解・発展

【発展：チェビシェフの不等式への応用】

分散が分かると、チェビシェフの不等式を使って「平均から大きく外れる確率の上界」を評価できます。例えば n = 100 のとき、E(X) = 60、V(X) = 24 となり、P(|X - 60| ≥ 10) ≤ 24/100 = 0.24 などと評価できます。

【実際の入試での注意点】

確率の計算では計算ミスが致命的です。特に組み合わせの数や累乗の計算は慎重に行いましょう。余事象を使う方法と直接計算する方法の両方で検算することをお勧めします。

大問6：ベクトルと空間図形

問題

解説・解法のポイント

【座標設定の工夫】

この問題では、OA, OB, OC が互いに直交しているので、これらを座標軸に取ると計算が楽になります。

【(1) の解答】

OP⃗ について：

P は辺 OA を 1:1 に内分するので：

OP⃗ = (1/2)a⃗

OQ⃗ について：

Q は辺 BC を B から 2:1 に内分するので：

OQ⃗ = OB⃗ + BQ⃗ = OB⃗ + (2/3)BC⃗

= b⃗ + (2/3)(OC⃗ - OB⃗) = b⃗ + (2/3)(c⃗ - b⃗)

= b⃗ + (2/3)c⃗ - (2/3)b⃗ = (1/3)b⃗ + (2/3)c⃗

OQ⃗ = (1/3)b⃗ + (2/3)c⃗

【(2) の解答】

PQ⃗ = OQ⃗ - OP⃗ = (1/3)b⃗ + (2/3)c⃗ - (1/2)a⃗

PQ⃗ = -(1/2)a⃗ + (1/3)b⃗ + (2/3)c⃗

|PQ⃗|² を計算します。条件より：

• |a⃗|² = |b⃗|² = |c⃗|² = 4
• a⃗・b⃗ = b⃗・c⃗ = c⃗・a⃗ = 0（直交条件）

|PQ⃗|² = (1/4)|a⃗|² + (1/9)|b⃗|² + (4/9)|c⃗|²

= (1/4)×4 + (1/9)×4 + (4/9)×4

= 1 + 4/9 + 16/9 = 1 + 20/9 = 29/9

PQ = √(29/9) = √29/3

【(3) の解答】

直線 PQ 上の点は OR⃗ = OP⃗ + t・PQ⃗ = (1/2)a⃗ + t{-(1/2)a⃗ + (1/3)b⃗ + (2/3)c⃗} と表せます。

OR⃗ = (1/2 - t/2)a⃗ + (t/3)b⃗ + (2t/3)c⃗

R が平面 ABC 上にある条件は、OR⃗ = αa⃗ + βb⃗ + γc⃗ と表したとき α + β + γ = 1 です。

(1/2 - t/2) + (t/3) + (2t/3) = 1

1/2 - t/2 + t = 1

1/2 + t/2 = 1

t/2 = 1/2

t = 1

t = 1 を代入して：

OR⃗ = (1/2 - 1/2)a⃗ + (1/3)b⃗ + (2/3)c⃗

OR⃗ = (1/3)b⃗ + (2/3)c⃗

（これは OQ⃗ と一致するので、R = Q となります。つまり点 Q は既に平面 ABC 上にあります。）

【(4) の解答】

三角形 OPQ の面積は S = (1/2)|OP⃗ × OQ⃗| で求められます。

座標を設定します：O を原点、a⃗ = (2, 0, 0), b⃗ = (0, 2, 0), c⃗ = (0, 0, 2)

OP⃗ = (1, 0, 0)

OQ⃗ = (0, 2/3, 4/3)

外積を計算：

OP⃗ × OQ⃗ = (1, 0, 0) × (0, 2/3, 4/3) = (0×4/3 - 0×2/3, 0×0 - 1×4/3, 1×2/3 - 0×0)

= (0, -4/3, 2/3)

|OP⃗ × OQ⃗| = √(0 + 16/9 + 4/9) = √(20/9) = 2√5/3

三角形 OPQ の面積 = (1/2) × 2√5/3 = √5/3

別解・発展

【面積の別解：ヘロンの公式】

OP = 1, OQ = √(4/9 + 16/9) = √(20/9) = 2√5/3, PQ = √29/3 を求め、ヘロンの公式を使うこともできます。ただし、外積を使う方が計算量は少ないです。

【発展：四面体の体積への応用】

この四面体 OABC の体積は V = (1/6)|a⃗・(b⃗ × c⃗)| = (1/6) × 2 × 2 × 2 = 4/3 です。直交座標系を設定することで、空間ベクトルの問題は大幅に簡略化できます。

この年度の重要テーマと対策

2012年度に見られた頻出テーマ

2012年度の青山学院大学数学入試を分析すると、以下のテーマが重要であったことがわかります。

青学数学攻略の5つのポイント

【1】基礎の徹底が最優先

青学の数学は、難問・奇問は少なく、教科書レベルの基礎がしっかりしていれば7割以上は取れる構成です。まずは教科書の例題・練習問題を完璧にしましょう。

【2】計算力を磨く

時間内に解き切るには、正確かつ迅速な計算力が不可欠です。特に分数・ルートの計算、因数分解、展開は毎日練習しましょう。

【3】場合分けを恐れない

二次関数の最大・最小、絶対値を含む問題など、場合分けが必要な問題は青学の定番です。場合分けの基準を正しく設定し、もれなく処理する練習を重ねましょう。

【4】公式の導出過程を理解

期待値や分散の公式など、なぜその公式が成り立つのかを理解していると、応用問題にも対応できます。単なる暗記ではなく、理解を深めましょう。

【5】過去問演習で傾向を把握

最低でも5年分以上の過去問を解いて、出題傾向と時間配分を体に染み込ませましょう。

分野別おすすめ学習法

【二次関数】

• 平方完成を瞬時にできるようにする
• 軸・定義域が動く問題を集中的に演習
• グラフを描いて視覚的に理解する習慣

【微分積分】

• 3次関数のグラフの特徴（極値、変曲点）を完全理解
• 接線の問題は「接点を t とおく」解法を徹底
• 面積計算は 1/6 公式、1/12 公式を活用

【確率】

• 反復試行・二項分布の公式を導出から理解
• 期待値の線形性を使いこなす
• 条件付き確率の問題にも対応できるよう準備

【ベクトル】

• 内積の計算を素早く正確に
• 空間座標の設定の仕方を複数パターン練習
• 平面・直線の方程式の扱いに慣れる

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

ここでは、2012年度の青山学院大学の出題傾向に合わせた練習問題を3問用意しました。実際に手を動かして解いてみてください。

【練習問題1】二次関数の最大・最小

【解答・解説】

f(x) = -x² + 4x - 1 = -(x² - 4x) - 1 = -(x - 2)² + 4 - 1 = -(x - 2)² + 3

頂点は (2, 3) で、上に凸の放物線です。定義域は [a, a+2] で幅は 2 です。

最大値 M(a)：

上に凸なので、軸 x = 2 が定義域内にあれば頂点で最大、なければ軸に近い端点で最大。

場合1：a + 2 < 2、つまり a < 0 のとき

（a > 0 より、この場合はなし）

場合2：a ≤ 2 ≤ a + 2、つまり 0 ≤ a ≤ 2 のとき

M(a) = f(2) = 3

場合3：a > 2 のとき

M(a) = f(a) = -(a - 2)² + 3 = -a² + 4a - 1

最小値 m(a)：

上に凸なので、軸から遠い端点で最小。定義域の中点は a + 1。

場合1：a + 1 < 2、つまり a < 1 のとき

x = a で最小：m(a) = f(a) = -(a - 2)² + 3 = -a² + 4a - 1

場合2：a + 1 ≥ 2、つまり a ≥ 1 のとき

x = a + 2 で最小：m(a) = f(a + 2) = -(a + 2 - 2)² + 3 = -a² + 3

まとめ（a > 0 の範囲で）：

• 0 < a < 1 のとき：M(a) = 3, m(a) = -a² + 4a - 1
• 1 ≤ a ≤ 2 のとき：M(a) = 3, m(a) = -a² + 3
• a > 2 のとき：M(a) = -a² + 4a - 1, m(a) = -a² + 3

【練習問題2】数列の和

【解答・解説】

(1) 漸化式 aₙ₊₁ = 3aₙ - 4 の特性方程式 α = 3α - 4 より α = 2。

bₙ = aₙ - 2 とおくと：bₙ₊₁ = aₙ₊₁ - 2 = 3aₙ - 4 - 2 = 3aₙ - 6 = 3(aₙ - 2) = 3bₙ

{bₙ} は公比 3 の等比数列。b₁ = a₁ - 2 = 0

bₙ = 0 より aₙ = 2（定数数列）

(2) aₙ = 2 より Sₙ = 2n

(3)もちろん、続きを書いていきます。

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(3) aₖ = 2 より：

Tₙ = Σ(k=1 to n) k・aₖ = Σ(k=1 to n) 2k = 2・Σ(k=1 to n) k = 2・n(n+1)/2 = n(n+1)

【別解の検討】

もし初項が a₁ = 3 など、2 以外の値だった場合は：

bₙ = aₙ - 2 とおくと bₙ = b₁・3ⁿ⁻¹ = (a₁ - 2)・3ⁿ⁻¹ となり、aₙ = (a₁ - 2)・3ⁿ⁻¹ + 2

例えば a₁ = 3 なら aₙ = 3ⁿ⁻¹ + 2 となります。

この問題では a₁ = 2 という特殊な初期条件により、数列が定数列になる点に注意しましょう。入試では計算結果が予想外にシンプルになることもあります。

【練習問題3】確率と期待値

【解答・解説】

(1) X = 5 となる確率

4回の目の和が 5 になる場合を考えます。各回の目を (a, b, c, d) とすると、a + b + c + d = 5 かつ 1 ≤ a, b, c, d ≤ 6。

最小値は 1+1+1+1 = 4 なので、和が 5 になるのは「3つが1で、1つが2」のパターンのみ。

このパターンの組み合わせは ₄C₁ = 4 通り（どの回で2が出るか）

全事象は 6⁴ = 1296 通り

P(X = 5) = 4/1296 = 1/324

(2) X の期待値

i 回目に出る目を Xᵢ とすると、X = X₁ + X₂ + X₃ + X₄

サイコロ1回の期待値は：

E(Xᵢ) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 7/2

期待値の線形性より：

E(X) = E(X₁) + E(X₂) + E(X₃) + E(X₄) = 4 × 7/2 = 14

(3) X ≥ 22 となる確率

最大値は 6+6+6+6 = 24 なので、X = 22, 23, 24 の場合を数えます。

X = 24 の場合：

(6, 6, 6, 6) の1通りのみ。

X = 23 の場合：

「3つが6で、1つが5」のパターン。₄C₁ = 4 通り。

X = 22 の場合：

以下の2パターンがあります。

• 「3つが6で、1つが4」：₄C₁ = 4 通り
• 「2つが6で、2つが5」：₄C₂ = 6 通り

合計 4 + 6 = 10 通り

したがって X ≥ 22 となる場合は 1 + 4 + 10 = 15 通り

P(X ≥ 22) = 15/1296 = 5/432

【検算のポイント】

確率の問題では、数え上げが正しいか確認することが重要です。特に「重複がないか」「漏れがないか」をチェックしましょう。

青山学院大学 数学攻略のための年間学習計画

最後に、青山学院大学合格を目指す受験生のための具体的な学習計画を提案します。

高3・4月〜7月：基礎固め期

高3・8月〜10月：応用力養成期

高3・11月〜1月：実戦演習期

直前期（2月）の過ごし方

• 新しい問題には手を出さない：今まで解いた問題の復習に徹する
• 計算練習は毎日継続：本番で手が動くように
• 苦手分野の公式・解法を再確認：ノートにまとめておく
• 体調管理を最優先：十分な睡眠と栄養を

日本数学塾・数強塾で青山学院大学合格を目指そう

ここまで、青山学院大学 2012年度の数学入試問題を詳しく解説してきました。青学の数学は、基礎力と計算力があれば確実に得点できる良問が多いことがお分かりいただけたと思います。

しかし、独学では以下のような悩みを抱える受験生も多いのではないでしょうか。

• 「解説を読んでも、なぜその発想に至るのかわからない」
• 「自分の弱点がどこなのか客観的に把握できない」
• 「計画通りに学習が進まない」
• 「記述答案の書き方に自信がない」

そんな悩みをお持ちの方は、ぜひ日本数学塾・数強塾の指導を体験してみてください。

日本数学塾の特徴

数強塾の特徴

無料体験授業のご案内

「どんな授業なのか体験してみたい」「自分に合うか確かめたい」という方のために、無料体験授業をご用意しています。

青学合格者の声

「高2の冬まで数学が苦手で、模試では偏差値50を切ることもありました。数強塾で基礎から丁寧に教えていただき、高3の秋には偏差値62まで上がりました。青学の過去問対策も的確で、本番では数学で8割取れました！」

— 青山学院大学 経済学部 合格 Kさん

「藤原先生の授業は、単に解き方を教えるだけでなく、なぜその方法が有効なのかを論理的に説明してくださるので、応用力がつきました。おかげで初見の問題にも対応できるようになりました。」

— 青山学院大学 理工学部 合格 Mさん

最後に：藤原進之介からのメッセージ

青山学院大学の数学入試は、決して「才能」だけで決まるものではありません。正しい方法で、必要な量の練習を積めば、必ず結果はついてきます。

この記事で解説した内容を参考に、ぜひ自分の手で問題を解いてみてください。最初はうまくいかなくても大丈夫。大切なのは諦めずに続けることです。

もし学習の途中で壁にぶつかったら、いつでも日本数学塾・数強塾を頼ってください。私たちは、数学を通じて皆さんの夢を応援することを使命としています。

青山学院大学合格を目指して、一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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