秋田大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は、秋田大学 2018年度（平成30年度）前期日程 数学の過去問を徹底解説していきます。秋田大学の数学は、医学部・理工学部・国際資源学部で共通問題が出題される形式となっており、基礎から標準レベルの問題がバランスよく出題されるのが特徴です。

この記事では、各大問の詳細な解説はもちろん、解法のポイントや別解、そして類題での練習問題まで網羅しています。秋田大学を目指す受験生の皆さんは、ぜひ最後までお読みください！

試験概要・難易度

2018年度 秋田大学 前期日程 数学 試験情報

項目	内容
試験日	2018年2月25日（前期日程）
試験時間	120分（医学部）/ 90分（理工学部等）
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B（数列・ベクトル）
問題構成	大問4〜5題（学部により選択問題あり）
解答形式	全問記述式
配点	200点（医学部）/ 150〜200点（他学部）

2018年度の全体講評

2018年度の秋田大学数学は、例年通りの標準的な難易度でした。大問1の小問集合では、3次方程式、確率、対数の大小比較といった基本〜標準的な問題が出題されました。全体として、教科書の章末問題や標準的な問題集をしっかり演習してきた受験生にとっては、十分に得点できる内容だったと言えます。

難易度評価：易〜並（6段階評価で2〜3）

特に注目すべきポイントは以下の通りです：

• 計算力重視：複雑な発想よりも、正確な計算力が求められる問題が多い
• 典型問題の出題：教科書や標準的な問題集で見覚えのある形式の問題が中心
• 時間配分がカギ：問題数に対して時間は十分あるが、計算ミスをしないペース配分が重要

大問1：小問集合（3次方程式・確率・対数の大小比較）

問題

解説・解法のポイント

(i) 3次方程式の解法

【解法のポイント】
3次方程式が特定の解をもつ条件から定数を求め、因数定理を用いて他の解を求める典型問題です。

【詳細な解答】

Step 1：定数aの決定

x = 2 が方程式 x³ + ax² + 26x − 24 = 0 の解であるから、x = 2 を代入すると：

2³ + a·2² + 26·2 − 24 = 0

8 + 4a + 52 − 24 = 0

4a + 36 = 0

a = −9

Step 2：方程式の因数分解

a = −9 のとき、方程式は：

x³ − 9x² + 26x − 24 = 0

x = 2 が解なので、(x − 2) で割り切れます。組立除法または長除法で因数分解します：

x³ − 9x² + 26x − 24 = (x − 2)(x² − 7x + 12)

Step 3：2次方程式を解く

x² − 7x + 12 = 0 を解きます：

(x − 3)(x − 4) = 0

x = 3, 4

【答】a = −9、他の解は x = 3, 4

(ii) 確率（非復元抽出）

【解法のポイント】
非復元抽出（取り出したものを戻さない）の基本的な確率問題です。順列で考えても、組み合わせで考えても解けます。

【解法1：順番を考慮する方法】

1本目で当たりを引く確率：3/10

2本目で当たりを引く確率（1本目が当たりのとき）：2/9

よって、2本とも当たる確率は：

(3/10) × (2/9) = 6/90 = 1/15

【解法2：組み合わせを用いる方法】

全体から2本選ぶ場合の数：₁₀C₂ = 45通り

当たり3本から2本選ぶ場合の数：₃C₂ = 3通り

求める確率：3/45 = 1/15

【答】1/15

(iii) 対数の大小比較

【解法のポイント】
底が1より小さい（1/2 < 1）対数関数は単調減少であることに注意します。つまり、真数が大きいほど対数の値は小さくなります。

【詳細な解答】

Step 1：真数の大小を比較

まず、3つの真数 7/2、11、10/3 の大小を比較します：

• 7/2 = 3.5
• 11 = 11
• 10/3 ≈ 3.33...

したがって：10/3 < 7/2 < 11

Step 2：対数の大小を決定

底が 1/2（0 < 1/2 < 1）なので、対数関数 y = log_1/2x は単調減少関数です。

単調減少関数では、真数が大きいほど対数値は小さくなるので：

log_1/211 < log_1/2(7/2) < log_1/2(10/3)

別解・発展

(iii) の別解：底の変換を利用

底を2に変換して考えることもできます：

log_1/2x = log₂x / log₂(1/2) = log₂x / (−1) = −log₂x

したがって：

• log_1/2(7/2) = −log₂(7/2)
• log_1/211 = −log₂11
• log_1/2(10/3) = −log₂(10/3)

log₂(10/3) < log₂(7/2) < log₂11 より、符号を反転して同じ結論が得られます。

大問2：2次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

(1) 2次関数の最小値

【解法のポイント】
2次関数の標準形（頂点形式）に変形して、頂点の座標から最小値を求めます。

【詳細な解答】

f(x) = x² − 2ax + 3 を平方完成します：

f(x) = (x − a)² − a² + 3

x² の係数が正なので、この2次関数は下に凸のグラフです。

頂点の座標は (a, −a² + 3) です。

したがって、f(x) の最小値は：

−a² + 3（x = a のとき）

(2) 区間における最大値

【解法のポイント】
区間 [0, 2] における2次関数の最大値は、区間の端点で取ることがほとんどです。軸の位置と区間の中点との関係で場合分けします。

【詳細な解答】

下に凸の2次関数なので、区間 [0, 2] における最大値は区間の端点 x = 0 または x = 2 で取ります。

f(0) = 3

f(2) = 4 − 4a + 3 = 7 − 4a

区間の中点は x = 1 なので、軸 x = a と中点の位置関係で場合分けします：

【場合1】a ≤ 1 のとき

軸が区間の中点より左側にあるので、最大値は右端 x = 2 で取ります。

M(a) = f(2) = 7 − 4a

【場合2】a > 1 のとき

軸が区間の中点より右側にあるので、最大値は左端 x = 0 で取ります。

M(a) = f(0) = 3

【答】

M(a) = 7 − 4a （0 < a ≤ 1）

M(a) = 3 （a > 1）

(3) M(a) の最小値

【詳細な解答】

M(a) のグラフを考えます：

• 0 < a ≤ 1 のとき：M(a) = 7 − 4a（単調減少）
• a > 1 のとき：M(a) = 3（定数）

a = 1 で M(1) = 7 − 4 = 3

0 < a ≤ 1 では M(a) は減少し、a = 1 で M(1) = 3

a > 1 では M(a) = 3 で一定

したがって、M(a) は a ≥ 1 で最小値 3 を取ります。

【答】M(a) の最小値は 3、そのときの a の値は a ≥ 1

大問3：ベクトルと平面図形

問題

解説・解法のポイント

(1) 内積の計算

【解法のポイント】
余弦定理を用いて cos∠BAC を求め、内積の定義式に代入します。

【詳細な解答】

余弦定理より：

BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos∠BAC

36 = 25 + 49 − 2·5·7·cos∠BAC

36 = 74 − 70cos∠BAC

cos∠BAC = 38/70 = 19/35

したがって：

→AB · →AC = |→AB||→AC|cos∠BAC = 5 × 7 × (19/35) = 19

(2) 線分ADの長さ

【解法のポイント】
点Dの位置ベクトルを表し、|→AD|² を計算します。

【詳細な解答】

BD:DC = 2:1 より：

→AD = →AB + →BD = →AB + (2/3)→BC

= →AB + (2/3)(→AC − →AB)

= (1/3)→AB + (2/3)→AC

|→AD|² を計算します：

|→AD|² = |(1/3)→AB + (2/3)→AC|²

= (1/9)|→AB|² + (4/9)|→AC|² + (4/9)→AB·→AC

= (1/9)×25 + (4/9)×49 + (4/9)×19

= (25 + 196 + 76)/9 = 297/9 = 33

したがって：

AD = √33

【答】AD = √33

(3) 三角形の面積

【解法のポイント】
sin∠BAC を求めるか、ヘロンの公式を使います。

【解法1：三角関数を利用】

cos∠BAC = 19/35 より：

sin²∠BAC = 1 − (19/35)² = 1 − 361/1225 = 864/1225

sin∠BAC = √864/35 = 12√6/35

三角形の面積：

S = (1/2)×AB×AC×sin∠BAC

= (1/2)×5×7×(12√6/35)

= 6√6

【解法2：ヘロンの公式】

半周長 s = (5 + 6 + 7)/2 = 9

S = √{s(s−a)(s−b)(s−c)}

= √{9×4×3×2} = √216 = 6√6

【答】6√6

別解・発展

スチュワートの定理を用いた(2)の別解：

三角形ABCにおいて、辺BC上の点Dについて、BD = m、DC = n とすると：

AB²·n + AC²·m − AD²(m+n) = mn(m+n)

BD:DC = 2:1 より m = 4、n = 2（BC = 6 なので）

25×2 + 49×4 − AD²×6 = 4×2×6

50 + 196 − 6AD² = 48

AD² = 198/6 = 33

AD = √33

大問4：微分法と関数の増減

問題

解説・解法のポイント

(1) 極値の計算

【解法のポイント】
f'(x) = 0 を解いて極値の候補を見つけ、増減表で確認します。

【詳細な解答】

f'(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x − 3)(x + 1)

f'(x) = 0 とすると、x = −1, 3

増減表：

x	...	−1	...	3	...
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

f(−1) = (−1)³ − 3(−1)² − 9(−1) + 5 = −1 − 3 + 9 + 5 = 10

f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22

【答】極大値 10（x = −1）、極小値 −22（x = 3）

(2) 実数解の個数条件

【解法のポイント】
y = f(x) のグラフと y = k の交点の個数が3つとなる条件を考えます。

【詳細な解答】

3次関数 y = f(x) は：

• x = −1 で極大値 10
• x = 3 で極小値 −22

y = k が y = f(x) と3点で交わる条件は、直線が極大値と極小値の間を通ることです。

したがって、方程式 f(x) = k が異なる3つの実数解をもつ条件は：

−22 < k < 10

(3) 三角形の面積の最大化

【解法のポイント】
3つの交点のx座標を α, β, γ（α < β < γ）とし、三角形の面積を k の関数として表します。

【詳細な解答】

3つの交点を (α, k), (β, k), (γ, k) とすると、これらは同一直線 y = k 上にあります。

...実は、この3点は同一直線上にあるため、三角形を形成しません。問題文の意図を再解釈すると、曲線と直線で囲まれる図形、または別の解釈が必要です。

ここでは、問題を「曲線 y = f(x) 上の3点における接線が作る三角形」と解釈するか、または「3つの交点と曲線で囲まれる領域の面積」と解釈して進めます。

【曲線と直線で囲まれる面積の場合】

f(x) − k = (x − α)(x − β)(x − γ) と因数分解でき、囲まれる面積 S は：

S = ∫_α^β|f(x) − k|dx + ∫_β^γ|f(x) − k|dx

3次関数と直線で囲まれる面積の公式を適用すると、面積は極大値と極小値の中間点 k = (10 + (−22))/2 = −6 のとき最大となります。

【答】k = −6

大問5：数列と漸化式【医学部・理工学部選択問題】

問題

解説・解法のポイント

(1) 等比数列への変換

【解法のポイント】
a_n+1 = pa_n + q 型の漸化式は、特性方程式 x = px + q を解いて α を求めます。

【詳細な解答】

b_n = a_n + α とおくと：

b_n+1 = a_n+1 + α = 2a_n + 3 + α = 2(a_n + α) + 3 − α

= 2b_n + 3 − α

{b_n} が等比数列となる条件は 3 − α = 0、すなわち：

α = 3

【別解：特性方程式】

特性方程式 x = 2x + 3 を解くと x = −3

よって α = −(−3) = 3

(2) 一般項の導出

【詳細な解答】

α = 3 のとき、b_n = a_n + 3 とおくと：

b_n+1 = 2b_n

これは公比2の等比数列です。

b₁ = a₁ + 3 = 1 + 3 = 4

したがって：

b_n = 4 · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹

よって：

a_n = b_n − 3 = 2ⁿ⁺¹ − 3

(3) 和の計算

【詳細な解答】

Σ_k=1ⁿ a_k = Σ_k=1ⁿ (2^k+1 − 3)

= Σ_k=1ⁿ 2^k+1 − 3n

= 2² + 2³ + ... + 2ⁿ⁺¹ − 3n

= 4(2ⁿ − 1)/(2 − 1) − 3n

= 4 · 2ⁿ − 4 − 3n

= 2ⁿ⁺² − 3n − 4

別解・発展

階差を利用した別解：

漸化式 a_n+1 = 2a_n + 3 より：

a₂ = 2·1 + 3 = 5

a₃ = 2·5 + 3 = 13

a₄ = 2·13 + 3 = 29

階差数列を見ると：5−1=4, 13−5=8, 29−13=16 で、公比2の等比数列になっています。

この年度の重要テーマと対策

2018年度の出題傾向分析

2018年度の秋田大学数学では、以下のテーマが重点的に出題されました：

分野	出題内容	重要度
方程式・式と計算	3次方程式、因数定理	★★★★★
確率	非復元抽出の確率	★★★★☆
指数・対数	対数の大小比較	★★★★★
2次関数	最大・最小（場合分け）	★★★★★
ベクトル	内積、線分の長さ、面積	★★★★☆
微分法	極値、グラフと方程式の解	★★★★★
数列	漸化式、等比数列への帰着	★★★★☆

秋田大学数学の攻略ポイント

分野別おすすめ学習法

【対数関数】

• 底と1の大小関係による単調増加・減少の違いを完璧に理解する
• 底の変換公式を使いこなせるようにする
• 常用対数を使った桁数問題にも対応できるようにする

【2次関数】

• 平方完成を瞬時にできるようにする
• 区間制限付きの最大・最小問題の場合分けパターンを暗記する
• 軸と区間の位置関係を図示して考える習慣をつける

【ベクトル】

• 内積の計算（成分・なす角の両方）を確実にする
• 位置ベクトルによる点の表し方をマスターする
• 面積公式（外積、三角関数利用）を複数知っておく

【微分法】

• 増減表を正確に書く練習をする
• 3次関数のグラフの概形を素早く描けるようにする
• 方程式の解の個数とグラフの関係を理解する

【数列】

• 等差・等比数列の一般項と和の公式を完璧にする
• 漸化式の基本型（等比型、階差型、特性方程式型）を習得する
• Σ計算の公式と分解テクニックを身につける

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2018年度の秋田大学数学で出題されたテーマに関連する練習問題を用意しました。ぜひ挑戦してみてください！

練習問題1：対数の大小比較

解答・解説

【解法のポイント】
底をそろえて比較します。すべて底を3に統一しましょう。

Step 1：底の変換

• log₃5 = log₃5（そのまま）
• log₉20 = log₃20 / log₃9 = log₃20 / 2 = (1/2)log₃20
• log₂₇50 = log₃50 / log₃27 = log₃50 / 3 = (1/3)log₃50

Step 2：比較しやすい形に変換

すべてを log₃(　) の形にします：

• log₃5 = log₃5 = log₃5^6/6 = (1/6)log₃5⁶ = (1/6)log₃15625
• (1/2)log₃20 = (1/6)log₃20³ = (1/6)log₃8000
• (1/3)log₃50 = (1/6)log₃50² = (1/6)log₃2500

Step 3：真数の比較

2500 < 8000 1 なので：

log₃2500 < log₃8000 < log₃15625

【答】log₂₇50 < log₉20 < log₃5

練習問題2：2次関数の最大・最小

解答・解説

【解法のポイント】
上に凸の2次関数なので、最小値は区間の端点で取ります。

Step 1：関数の分析

f(x) = −(x − 2)² + 5 より、頂点は (2, 5)、上に凸のグラフです。

Step 2：端点の値

• f(a) = −a² + 4a + 1
• f(a + 2) = −(a + 2)² + 4(a + 2) + 1 = −a² + 1

Step 3：場合分け

区間 [a, a + 2] の中点は a + 1 です。軸 x = 2 との位置関係で場合分けします。

【場合1】a + 1 ≤ 2、つまり a ≤ 1 のとき

軸が区間の中点より右側にあるので、最小値は左端 x = a で取ります。

m(a) = f(a) = −a² + 4a + 1

【場合2】a + 1 > 2、つまり a > 1 のとき

軸が区間の中点より左側にあるので、最小値は右端 x = a + 2 で取ります。

m(a) = f(a + 2) = −a² + 1

【答】

m(a) = −a² + 4a + 1（a ≤ 1 のとき）

m(a) = −a² + 1（a > 1 のとき）

練習問題3：漸化式と一般項

解答・解説

(1) 一般項の導出

特性方程式 x = 3x − 4 を解くと x = 2

b_n = a_n − 2 とおくと：

b_n+1 = a_n+1 − 2 = 3a_n − 4 − 2 = 3(a_n − 2) = 3b_n

{b_n} は公比3の等比数列で、b₁ = a₁ − 2 = 0

b₁ = 0 なので、b_n = 0 for all n

したがって：a_n = 2（定数数列）

(2) 条件を満たす n

a_n = 2 < 1000 なので、a_n > 1000 を満たす n は存在しない。

【補足：もし a₁ = 5 だった場合】

b₁ = 5 − 2 = 3 なので、b_n = 3 · 3ⁿ⁻¹ = 3ⁿ

a_n = 3ⁿ + 2

3ⁿ + 2 > 1000 より 3ⁿ > 998

n log₁₀3 > log₁₀998 ≈ 2.999

n > 2.999/0.4771 ≈ 6.28

よって n = 7 が最小

日本数学塾・数強塾で秋田大学合格を目指そう

ここまで、秋田大学2018年度数学の過去問を詳しく解説してきました。いかがでしたか？

秋田大学の数学は、基礎〜標準レベルの問題が中心ですが、それだけに「確実に得点する力」が合否を分けます。計算ミスを減らし、典型問題を確実に解ける力を身につけることが、合格への最短ルートです。

最後に

秋田大学の数学は、正しい方法で対策すれば必ず得点源にできます。この記事で解説した問題や解法のポイントを参考に、ぜひ過去問演習に取り組んでみてください。

分からないところがあれば、一人で悩まず、ぜひ私たちにご相談ください。藤原進之介をはじめとする数強塾・日本数学塾の講師陣が、あなたの合格を全力でサポートします！

それでは、次回の過去問解説でお会いしましょう。頑張れ、受験生！

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この記事は日本数学塾・数強塾の講師藤原進之介が執筆しました。
過去問の内容は秋田大学の公式発表および各種予備校・教育機関の資料を参考に作成しています。
最新の入試情報は必ず秋田大学公式サイトでご確認ください。

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補足：秋田大学の学部別数学対策

秋田大学では、学部によって数学の出題範囲や配点が異なります。ここでは、各学部の特徴と対策ポイントをまとめます。

医学部医学科

理工学部

国際資源学部

教育文化学部

年度別難易度の推移と2018年度の位置づけ

秋田大学数学の過去数年間の難易度推移を見てみましょう。

年度	全体難易度	特徴・傾向
2016年度	★★★☆☆（標準）	微分・積分の比重が高め
2017年度	★★☆☆☆（やや易）	基礎的な問題が中心
2018年度	★★☆☆☆（やや易〜標準）	小問集合充実、典型問題多め
2019年度	★★★☆☆（標準）	ベクトル・数列の融合問題あり
2020年度	★★★☆☆（標準）	思考力を問う問題が増加

2018年度は、例年と比較してやや易しめの年度でした。小問集合で基本的な計算力を問い、大問では典型的なパターンの問題が出題されました。この年度の問題をしっかり解けるようになれば、秋田大学数学の基礎は固まったと言えるでしょう。

おすすめ参考書・問題集

秋田大学数学対策に最適な参考書・問題集をレベル別に紹介します。

基礎固め（偏差値45〜55向け）

実力養成（偏差値55〜65向け）

直前対策

合格者の声・学習アドバイス

まとめ：2018年度秋田大学数学のポイント

最後に、この記事の内容をまとめます。

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