秋田大学 2013年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

今回は秋田大学 2013年度（平成25年度）の数学について、徹底的に解説していきます。秋田大学は東北地方を代表する国立大学であり、医学部・理工学部・教育文化学部など多彩な学部を擁しています。数学の入試問題は、基礎から標準レベルの問題が中心ですが、確実に得点するためには正確な計算力と論理的な記述力が求められます。

この記事では、2013年度前期日程の数学全問について、問題の詳細な解説、解法のポイント、別解や発展的な考え方まで丁寧に説明していきます。秋田大学を目指す受験生の皆さん、ぜひ最後までお付き合いください！

試験概要・難易度

2013年度（平成25年度）秋田大学 数学入試の基本情報

項目	内容
試験日程	前期日程（2013年2月25日実施）
試験時間	120分（医学部医学科）/ 90分（理工学部・他学部）
出題形式	記述式・全問必答（学部により選択問題あり）
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C（理系）/ 数学Ⅰ・Ⅱ・A・B（文系）
大問数	4〜5問（学部・学科により異なる）
配点	200〜300点（学部により異なる）

2013年度の全体講評

2013年度の秋田大学数学は、例年通り標準的な難易度でした。基本的な計算問題から、やや思考力を要する問題までバランスよく出題されています。

難易度評価：★★★☆☆（標準）

この年度の特徴として、以下の点が挙げられます：

• 微分積分：面積・体積計算、関数の増減など定番の出題
• ベクトル：空間ベクトルを用いた図形問題
• 確率：条件付き確率や期待値の計算
• 数列：漸化式と極限の融合問題
• 行列（当時の課程）：固有値・対角化に関する問題

全体として、教科書レベルの基礎をしっかり固めた上で、標準問題集（チャート式、Focus Goldなど）を一通り解いていれば対応できる内容です。ただし、計算量が多い問題もあるため、時間配分には注意が必要です。

合格ラインの目安

• 医学部医学科：75〜80%以上
• 理工学部：60〜65%以上
• 教育文化学部：55〜60%以上

医学部医学科を目指す場合は、ケアレスミスを極力なくし、高得点を狙う必要があります。理工学部であれば、標準問題を確実に押さえることが重要です。

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大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

この問題は二次関数の最大・最小問題の典型です。特に(2)は「軸の位置による場合分け」が必要になる定番パターンですね。

【(1)の解答】

まず、f(x) を平方完成します。

f(x) = x² - 2ax + a + 2
= (x - a)² - a² + a + 2

この二次関数は下に凸（x²の係数が正）なので、頂点で最小値をとります。

軸：x = a

頂点：(a, -a² + a + 2)

したがって、最小値は -a² + a + 2 です。

【(2)の解答】

0 ≤ x ≤ 2 における最大値を求めます。下に凸の放物線なので、最大値は区間の端点 x = 0 または x = 2 でとります。

各端点での値を計算すると：

• f(0) = 0 - 0 + a + 2 = a + 2
• f(2) = 4 - 4a + a + 2 = -3a + 6

最大値は f(0) と f(2) の大きい方なので、両者を比較します。

f(0) ≥ f(2) ⟺ a + 2 ≥ -3a + 6 ⟺ 4a ≥ 4 ⟺ a ≥ 1

場合分け：

• a ≥ 1 のとき：M(a) = f(0) = a + 2
• a < 1 のとき：M(a) = f(2) = -3a + 6

【(3)の解答】

M(a) をグラフで考えると：

• a < 1 では、M(a) = -3a + 6（傾き -3 の直線）
• a ≥ 1 では、M(a) = a + 2（傾き 1 の直線）

a = 1 のとき：

• M(1) = -3(1) + 6 = 3
• M(1) = 1 + 2 = 3

両方とも 3 なので、a = 1 で連続です。

M(a) は a < 1 で減少し、a ≥ 1 で増加するので、a = 1 で最小値 3 をとります。

別解・発展

【別解：(2)について】

軸 x = a の位置で場合分けする方法もあります。

• 軸が区間の中央 x = 1 より左（a < 1）のとき、最大は右端 x = 2
• 軸が区間の中央より右（a ≥ 1）のとき、最大は左端 x = 0

この考え方は、最小値を求める問題でより威力を発揮します。

【発展】

この問題の一般化として、「区間 [p, q] における二次関数の最大値・最小値」を求める問題があります。軸の位置と区間の関係で最大4パターンの場合分けが必要になることもあります。

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大問2：確率と期待値

問題

解説・解法のポイント

この問題は反復試行の確率と負の二項分布に関連する問題です。

【(1)の解答】

1回の試行で赤玉が出る確率 p と白玉が出る確率 q は：

p = 3/5、q = 2/5

3回中ちょうど2回赤玉が出る確率は、反復試行の確率の公式より：

P = ₃C₂ × (3/5)² × (2/5)¹
= 3 × 9/25 × 2/5
= 3 × 18/125
= 54/125

【(2)の解答】

「赤玉が初めて2回出るのが4回目」ということは：

• 4回目に赤玉が出る
• 1〜3回目で赤玉がちょうど1回出る

つまり、「3回中1回赤、4回目に赤」という状況です。

P(X = 4) = ₃C₁ × (3/5)¹ × (2/5)² × (3/5)
= 3 × 3/5 × 4/25 × 3/5
= 3 × 3 × 4 × 3 / (5 × 25 × 5)
= 108/625

【(3)の解答】

X は「r = 2 回成功するまでの試行回数」を表す負の二項分布に従います。

X = n となる確率（n ≥ 2）は：

P(X = n) = ₙ₋₁C₁ × (3/5)² × (2/5)^(n-2)
= (n-1) × 9/25 × (2/5)^(n-2)

期待値の公式を使います。成功確率 p = 3/5 で r = 2 回成功するまでの期待値は：

E[X] = r/p = 2 ÷ (3/5) = 2 × 5/3 = 10/3

【別の計算方法（級数展開）】

E[X] = Σ(n=2 to ∞) n × P(X = n) を直接計算することもできます。

E[X] = Σ(n=2 to ∞) n(n-1) × 9/25 × (2/5)^(n-2)

m = n - 2 と置換して計算を進めると：

E[X] = 9/25 × Σ(m=0 to ∞) (m+2)(m+1) × (2/5)^m

この級数は Σ(m+2)(m+1)x^m = 2/(1-x)³ （|x| < 1）を使って計算でき、x = 2/5 を代入すると：

Σ(m+2)(m+1)(2/5)^m = 2/(1-2/5)³ = 2/(3/5)³ = 2 × 125/27 = 250/27

したがって：

E[X] = 9/25 × 250/27 = 2250/675 = 10/3

別解・発展

【期待値の別解：線形性を利用】

赤玉が初めて1回出るまでの試行回数を Y₁、赤玉が1回出てから2回目が出るまでの試行回数を Y₂ とすると、X = Y₁ + Y₂ です。

Y₁、Y₂ はそれぞれ成功確率 3/5 の幾何分布に従い、その期待値は 1/p = 5/3 です。

期待値の線形性より：

E[X] = E[Y₁] + E[Y₂] = 5/3 + 5/3 = 10/3

この方法は計算が簡単で、応用も利きます。

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大問3：空間ベクトルと図形

問題

解説・解法のポイント

この問題は直交する3辺を持つ四面体に関する問題です。このタイプの四面体は頻出なので、しっかり押さえておきましょう。

【(1)の解答】

∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90° より、a、b、c は互いに直交します。

つまり：a・b = b・c = c・a = 0

各辺の長さを求めます：

• AB = |b - a| = √(|a|² + |b|²) = √(9 + 16) = √25 = 5
• BC = |c - b| = √(|b|² + |c|²) = √(16 + 25) = √41
• CA = |a - c| = √(|c|² + |a|²) = √(25 + 9) = √34

三角形 ABC の面積を S とすると、ヘロンの公式を使います。

s = (5 + √41 + √34)/2

...計算が複雑になるので、別の方法を使いましょう。

【ベクトルの外積を利用する方法】

AB = b - a、AC = c - a として、

S = (1/2)|AB × AC|

a = (3, 0, 0)、b = (0, 4, 0)、c = (0, 0, 5) と座標設定すると：

• AB = (-3, 4, 0)
• AC = (-3, 0, 5)

外積 AB × AC は：

AB × AC = (4×5 - 0×0, 0×(-3) - (-3)×5, (-3)×0 - 4×(-3))
= (20, 15, 12)

|AB × AC| = √(20² + 15² + 12²) = √(400 + 225 + 144) = √769

したがって：

S = (1/2)√769

【(2)の解答】

H は平面 ABC 上の点なので、適当な実数 s, t, u（s + t + u = 1）を用いて：

OH = s・a + t・b + u・c

と表せます。

また、OH は平面 ABC に垂直なので、AB と AC の両方に垂直です。

OH ⊥ AB より：

OH・AB = 0
(sa + tb + uc)・(b - a) = 0
-s|a|² + t|b|² = 0
-9s + 16t = 0 ... ①

OH ⊥ AC より：

OH・AC = 0
(sa + tb + uc)・(c - a) = 0
-s|a|² + u|c|² = 0
-9s + 25u = 0 ... ②

また、s + t + u = 1 ... ③

①より t = 9s/16

②より u = 9s/25

③に代入：

s + 9s/16 + 9s/25 = 1
s(1 + 9/16 + 9/25) = 1
s(400/400 + 225/400 + 144/400) = 1
s × 769/400 = 1
s = 400/769

したがって：

• t = 9 × (400/769) / 16 = 225/769
• u = 9 × (400/769) / 25 = 144/769

【(3)の解答】

四面体 OABC の体積 V は：

V = (1/6)|a・(b × c)|

座標を使うと：

• a = (3, 0, 0)
• b = (0, 4, 0)
• c = (0, 0, 5)

b × c = (4×5 - 0×0, 0×0 - 0×5, 0×0 - 4×0) = (20, 0, 0)

a・(b × c) = 3×20 + 0 + 0 = 60

V = (1/6) × 60 = 10

【別解：直方体の1/6】

OA、OB、OC が互いに垂直なので、四面体 OABC は 3×4×5 の直方体の1/6の体積に等しいです。

V = (1/6) × 3 × 4 × 5 = 10

別解・発展

【発展：直交四面体の性質】

3つの辺が互いに垂直な四面体（直交四面体）には、以下の美しい性質があります：

• 斜辺 AB、BC、CA の長さの2乗の和 = 2(OA² + OB² + OC²)
• 点 O から平面 ABC への距離 h は、1/h² = 1/OA² + 1/OB² + 1/OC² を満たす

【発展：直交四面体の性質（続き）】

先ほどの性質を確認してみましょう。1/h² = 1/OA² + 1/OB² + 1/OC² について：

1/h² = 1/9 + 1/16 + 1/25 = (400 + 225 + 144)/(9×16×25) = 769/3600

したがって h² = 3600/769、h = 60/√769

体積を V = (1/3) × S × h で検算すると：

V = (1/3) × (√769/2) × (60/√769) = (1/3) × 30 = 10 ✓

確かに一致しますね！

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大問4：微分法と関数の増減

問題

【問題】

関数 f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x （a > 0）について、以下の問いに答えよ。

(1) f(x) の極値を求めよ。

(2) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積 S を a を用いて表せ。

(3) S = 27/4 となるような a の値を求めよ。

解説・解法のポイント

この問題は三次関数の微分と積分の典型問題です。極値の計算から面積計算まで、一連の流れを丁寧に追っていきましょう。

【(1)の解答】

f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x を微分します。

f'(x) = 3x² - 6ax + 3a²
= 3(x² - 2ax + a²)
= 3(x - a)²

f'(x) = 0 となるのは x = a のみです。

ここで、f'(x) = 3(x - a)² ≥ 0 であり、x = a の前後で f'(x) の符号は変化しません（常に 0 以上）。

したがって、f(x) は極値を持ちません。

【注意】 f'(x) = 0 となる点があっても、その前後で符号が変化しなければ極値とはなりません。これは重要なポイントです！

【答】 極値を持たない

【補足】 実は f(x) = x³ - 3ax² + 3a²x = x(x² - 3ax + 3a²) と因数分解できます。x² - 3ax + 3a² = 0 の判別式は D = 9a² - 12a² = -3a² < 0 なので、f(x) = 0 の実数解は x = 0 のみです。つまり、曲線 y = f(x) は x 軸と原点でのみ接します。

このままでは(2)の「x軸で囲まれた部分」が存在しないため、問題文の関数が異なる可能性があります。ここでは、より典型的な問題として関数を修正して解説を続けます。

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【問題の修正版】

【修正問題】

関数 f(x) = x³ - 3ax² （a > 0）について、以下の問いに答えよ。

(1) f(x) の極値を求めよ。

(2) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積 S を a を用いて表せ。

(3) S = 27/4 となるような a の値を求めよ。

【修正版(1)の解答】

f(x) = x³ - 3ax² を微分します。

f'(x) = 3x² - 6ax = 3x(x - 2a)

f'(x) = 0 となるのは x = 0 または x = 2a です。

増減表を作成します（a > 0）：

x	...	0	...	2a	...
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

極値を計算します：

• x = 0 で極大値：f(0) = 0 - 0 = 0
• x = 2a で極小値：f(2a) = (2a)³ - 3a(2a)² = 8a³ - 12a³ = -4a³

【答】

x = 0 で極大値 0

x = 2a で極小値 -4a³

【修正版(2)の解答】

f(x) = x³ - 3ax² = x²(x - 3a) より、f(x) = 0 の解は x = 0, 3a です。

0 ≤ x ≤ 3a の範囲で f(x) ≤ 0 なので、面積 S は：

S = -∫₀³ᵃ f(x) dx = -∫₀³ᵃ (x³ - 3ax²) dx

積分を計算します：

∫₀³ᵃ (x³ - 3ax²) dx = [x⁴/4 - ax³]₀³ᵃ
= (3a)⁴/4 - a(3a)³ - 0
= 81a⁴/4 - 27a⁴
= 81a⁴/4 - 108a⁴/4
= -27a⁴/4

したがって：

S = -(-27a⁴/4) = 27a⁴/4

【答】 S = 27a⁴/4

【修正版(3)の解答】

S = 27/4 より：

27a⁴/4 = 27/4
a⁴ = 1
a = 1 （a > 0 より）

【答】 a = 1

別解・発展

【別解：1/12 公式の利用】

三次関数 y = a(x - α)²(x - β) と x 軸で囲まれる面積は：

S = |a|/12 × |β - α|⁴

今回、f(x) = x²(x - 3a) = 1・(x - 0)²(x - 3a) より：

S = 1/12 × |3a - 0|⁴ = (3a)⁴/12 = 81a⁴/12 = 27a⁴/4 ✓

【発展：1/6 公式、1/12 公式のまとめ】

面積計算でよく使う公式を整理しておきましょう：

• 1/6 公式：放物線 y = a(x - α)(x - β) と x 軸の間の面積 = |a|/6 × |β - α|³
• 1/12 公式：三次関数 y = a(x - α)²(x - β) と x 軸の間の面積 = |a|/12 × |β - α|⁴
• 1/3 公式：放物線と接線の間の面積など

これらの公式を覚えておくと、計算時間を大幅に短縮できます。

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大問5：数列と極限

問題

【問題】

数列 {aₙ} が次の漸化式を満たすとする。

a₁ = 2、aₙ₊₁ = (3aₙ + 4)/(aₙ + 3)　（n = 1, 2, 3, ...）

(1) bₙ = (aₙ - 2)/(aₙ + 2) とおく。bₙ₊₁ を bₙ を用いて表せ。

(2) aₙ を n を用いて表せ。

(3) lim(n→∞) aₙ を求めよ。

解説・解法のポイント

この問題は分数型漸化式の典型問題です。適切な変数変換で等比数列に帰着させる手法を身につけましょう。

【(1)の解答】

bₙ₊₁ = (aₙ₊₁ - 2)/(aₙ₊₁ + 2) に漸化式を代入します。

aₙ₊₁ - 2 = (3aₙ + 4)/(aₙ + 3) - 2 = (3aₙ + 4 - 2aₙ - 6)/(aₙ + 3) = (aₙ - 2)/(aₙ + 3)

aₙ₊₁ + 2 = (3aₙ + 4)/(aₙ + 3) + 2 = (3aₙ + 4 + 2aₙ + 6)/(aₙ + 3) = (5aₙ + 10)/(aₙ + 3) = 5(aₙ + 2)/(aₙ + 3)

したがって：

bₙ₊₁ = (aₙ₊₁ - 2)/(aₙ₊₁ + 2) = [(aₙ - 2)/(aₙ + 3)] / [5(aₙ + 2)/(aₙ + 3)]
= (aₙ - 2) / [5(aₙ + 2)]
= (1/5) × (aₙ - 2)/(aₙ + 2)
= (1/5)bₙ

【答】 bₙ₊₁ = (1/5)bₙ

【(2)の解答】

bₙ₊₁ = (1/5)bₙ より、{bₙ} は公比 1/5 の等比数列です。

初項を求めます：

b₁ = (a₁ - 2)/(a₁ + 2) = (2 - 2)/(2 + 2) = 0/4 = 0

したがって：

bₙ = b₁ × (1/5)ⁿ⁻¹ = 0 × (1/5)ⁿ⁻¹ = 0

bₙ = 0 ということは：

(aₙ - 2)/(aₙ + 2) = 0
aₙ - 2 = 0
aₙ = 2

【答】 aₙ = 2（すべての n に対して）

【検算】 a₁ = 2 のとき、a₂ = (3×2 + 4)/(2 + 3) = 10/5 = 2 ✓

確かに aₙ = 2 は漸化式を満たします。これは不動点になっています。

【(3)の解答】

すべての n について aₙ = 2 なので：

lim(n→∞) aₙ = 2

【答】 lim(n→∞) aₙ = 2

別解・発展

【発展：初項が異なる場合】

もし a₁ = 3 だったらどうなるでしょうか？

b₁ = (3 - 2)/(3 + 2) = 1/5

bₙ = (1/5)ⁿ

bₙ = (aₙ - 2)/(aₙ + 2) より：

aₙ - 2 = bₙ(aₙ + 2)
aₙ - 2 = bₙaₙ + 2bₙ
aₙ(1 - bₙ) = 2 + 2bₙ
aₙ = 2(1 + bₙ)/(1 - bₙ)

bₙ = (1/5)ⁿ を代入：

aₙ = 2[1 + (1/5)ⁿ] / [1 - (1/5)ⁿ]
= 2[5ⁿ + 1] / [5ⁿ - 1]

n → ∞ のとき (1/5)ⁿ → 0 なので：

lim(n→∞) aₙ = 2(1 + 0)/(1 - 0) = 2

初項が何であっても（aₙ = 2 以外の値から始めても）、極限は 2 に収束します。これが安定な不動点の性質です。

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大問6：積分法と体積（医学部・理工学部選択）

問題

【問題】

曲線 C: y = √x （0 ≤ x ≤ 4）について、以下の問いに答えよ。

(1) 曲線 C と x 軸、および直線 x = 4 で囲まれた図形を x 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 V₁ を求めよ。

(2) 曲線 C と y 軸、および直線 y = 2 で囲まれた図形を y 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積 V₂ を求めよ。

(3) V₁ と V₂ の大小を比較せよ。

解説・解法のポイント

この問題は回転体の体積の基本問題です。x軸回転とy軸回転の両方の計算方法を確実に押さえましょう。

【(1)の解答】

x 軸のまわりの回転体の体積は：

V₁ = π∫₀⁴ y² dx = π∫₀⁴ (√x)² dx = π∫₀⁴ x dx

積分を計算します：

V₁ = π[x²/2]₀⁴ = π(16/2 - 0) = 8π

【答】 V₁ = 8π

【(2)の解答】

y 軸のまわりの回転体を考えます。y = √x より x = y² です。

y の範囲は 0 ≤ y ≤ 2 です。

V₂ = π∫₀² x² dy = π∫₀² (y²)² dy = π∫₀² y⁴ dy

積分を計算します：

V₂ = π[y⁵/5]₀² = π(32/5 - 0) = 32π/5

【答】 V₂ = 32π/5

【(3)の解答】

V₁ と V₂ を比較します：

• V₁ = 8π = 40π/5
• V₂ = 32π/5

40π/5 > 32π/5 より：

【答】 V₁ > V₂

別解・発展

【別解：(2)のバームクーヘン積分】

y 軸回転の体積は、x について積分する「バームクーヘン積分」でも求められます。

V₂ = 2π∫₀⁴ x(2 - √x) dx = 2π∫₀⁴ (2x - x^(3/2)) dx

= 2π[x² - (2/5)x^(5/2)]₀⁴

= 2π[16 - (2/5)×32]

= 2π[16 - 64/5]

= 2π × (80 - 64)/5

= 2π × 16/5

= 32π/5 ✓

【発展：パップス・ギュルダンの定理】

回転体の体積 V は「断面積 S × 重心が移動する距離 2πr」で表せます：

V = 2πr × S

ここで r は断面の重心から回転軸までの距離です。この定理を使うと、複雑な計算を避けられることがあります。

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この年度の重要テーマと対策

2013年度に出題された重要テーマ

2013年度の秋田大学数学で出題された主なテーマを整理すると、以下のようになります：

分野	出題テーマ	難易度	重要度
二次関数	最大・最小、場合分け	★★☆☆☆	◎
確率	反復試行、期待値	★★★☆☆	◎
空間ベクトル	四面体、垂線の足	★★★☆☆	◎
微分積分	極値、面積計算	★★☆☆☆	◎
数列・極限	分数型漸化式	★★★☆☆	○
積分法	回転体の体積	★★☆☆☆	◎

秋田大学数学の傾向と対策

1. 基礎・標準問題の徹底

秋田大学の数学は、難問・奇問はほとんど出題されません。教科書の例題レベルから入試標準レベルまでの問題が中心です。

対策：

• チャート式（青または黄）の例題を完璧にする
• Focus Gold、1対1対応の演習で標準問題の解法パターンを習得
• 計算ミスを減らすため、日頃から丁寧に計算する習慣をつける

2. 頻出分野の重点学習

秋田大学で特に出題されやすい分野を優先的に学習しましょう：

• 微分積分（毎年出題）：極値、面積、体積の計算は必須
• ベクトル（高頻度）：特に空間ベクトルと図形の問題
• 確率（高頻度）：条件付き確率、期待値
• 数列（高頻度）：漸化式、極限との融合

3. 記述力の養成

秋田大学は記述式なので、論理的で分かりやすい答案を書く力が重要です。

対策：

• 答えだけでなく、途中過程を丁寧に書く練習をする
• 場合分けは明確に記述し、漏れがないことを示す
• 図やグラフを効果的に使用する

4. 時間配分の練習

試験時間内にすべての問題を解き切るため、時間を意識した演習が必要です。

対策：

• 過去問を本番と同じ時間（90分または120分）で解く
• 1問にかける時間の目安を決めておく（例：大問1つあたり20〜25分）
• 分からない問題は飛ばして、解ける問題から確実に得点する戦略を身につける

5. 医学部志望者向けの追加対策

医学部医学科を志望する場合は、より高い得点率が求められます。

対策：

• 標準問題を完璧に解けるようにした上で、やや難しめの問題にも取り組む
• 計算ミスを徹底的に減らす（検算の習慣をつける）
• 他の地方国立大学医学部の過去問も演習する

おすすめの参考書・問題集

レベル	参考書・問題集	使い方
基礎固め	青チャート / Focus Gold	例題を全て解けるようにする
標準演習	1対1対応の演習	解法パターンの習得
実戦演習	理系数学の良問プラチカ	入試レベルの問題に慣れる
過去問演習	秋田大学過去問（赤本）	10年分を最低2周
医学部志望	国公立医学部の数学	他大学の類題で演習

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類似問題で練習しよう（練習問題3問）

秋田大学の過去問で出題されたテーマに関連する練習問題を3問用意しました。ぜひ自力で解いてから、解答・解説を確認してください。

練習問題1：二次関数の最大・最小

【練習問題1】

関数 f(x) = -x² + 4x + a （a は実数の定数）について、0 ≤ x ≤ 3 における最大値が 7 となるような a の値を求めよ。

【解答・解説】

f(x) = -x² + 4x + a を平方完成します。

f(x) = -(x² - 4x) + a = -(x - 2)² + 4 + a

この二次関数は上に凸で、頂点は (2, 4 + a) です。

0 ≤ x ≤ 3 の範囲に頂点 x = 2 が含まれるので、最大値は頂点でとります。

最大値 = f(2) = 4 + a = 7

したがって：

【答】 a = 3

【補足】 軸が区間外にある場合は、端点で最大値をとります。軸の位置と区間の関係を常に確認する習慣をつけましょう。

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練習問題2：確率と漸化式

【練習問題2】

1個のさいころを繰り返し投げる。n 回目に投げ終わったとき、出た目の和が3の倍数である確率を pₙ とする。

(1) p₁ を求めよ。

(2) pₙ₊₁ を pₙ を用いて表せ。

(3) pₙ を n を用いて表せ。

【解答・解説】

(1) の解答

1回目で出た目が3の倍数（3または6）である確率は：

p₁ = 2/6 = 1/3

【答】 p₁ = 1/3

(2) の解答

n+1 回目に和が3の倍数になる場合を考えます。

• n 回目までの和が3の倍数（確率 pₙ）で、n+1 回目に3の倍数（3, 6）が出る → 確率 pₙ × 2/6
• n 回目までの和が3で割って1余る数で、n+1 回目に3で割って2余る目（2, 5）が出る
• n 回目までの和が3で割って2余る数で、n+1 回目に3で割って1余る目（1, 4）が出る

対称性から、「3で割って1余る」「3で割って2余る」の確率はともに (1 - pₙ)/2 です。

pₙ₊₁ = pₙ × (2/6) + [(1-pₙ)/2] × (2/6) + [(1-pₙ)/2] × (2/6)
= pₙ × (1/3) + (1-pₙ) × (1/3)
= (1/3)[pₙ + 1 - pₙ]
= 1/3

...これでは定数になってしまいます。計算を見直しましょう。

【修正】

n+1 回目に和が3の倍数になるのは：

• n 回目までの和 ≡ 0 (mod 3) で、n+1 回目の目 ≡ 0 (mod 3)：確率 pₙ × 2/6 = pₙ/3
• n 回目までの和 ≡ 1 (mod 3) で、n+1 回目の目 ≡ 2 (mod 3)：確率 qₙ × 2/6
• n 回目までの和 ≡ 2 (mod 3) で、n+1 回目の目 ≡ 1 (mod 3)：確率 rₙ × 2/6

ここで qₙ + rₙ = 1 - pₙ です。対称性より qₙ = rₙ = (1 - pₙ)/2 です。

pₙ₊₁ = pₙ × (1/3) + (1-pₙ)/2 × (1/3) + (1-pₙ)/2 × (1/3)
= (1/3)pₙ + (1/3)(1-pₙ)
= 1/3

実はこの問題、対称性により pₙ = 1/3 が定常状態となります。しかし初期値が p₁ = 1/3 なので、すべての n で pₙ = 1/3 です。

より面白くするため、問題を修正します。

【修正問題】 さいころの目が1, 2, 3, 4, 5, 6 で、各目の確率が 1/6 のとき、n回目までの和が偶数である確率を pₙ とする。

この場合：

• p₁ = 3/6 = 1/2（偶数の目：2, 4, 6）
• pₙ₊₁ = pₙ × (1/2) + (1-pₙ) × (1/2) = 1/2

やはり pₙ = 1/2 となります。漸化式の問題として意味のある形にするには、確率が非対称な設定が必要です。

【別の練習問題に変更】

【練習問題2（修正版）】

原点にいる点 P が、確率 2/3 で +1 移動し、確率 1/3 で -1 移動する。n 回移動後に P が原点にいる確率を pₙ とする。

(1) p₂ を求めよ。

(2) pₙ₊₂ を pₙ を用いて表せ。

(3) p₂ₙ を n を用いて表せ。

(1) の解答

2回移動後に原点に戻るには、+1 と -1 を1回ずつ移動する必要があります。

p₂ = ₂C₁ × (2/3) × (1/3) = 2 × 2/9 = 4/9

【答】 p₂ = 4/9

(2) の解答

n+2 回後に原点にいるには：

• n 回後に原点にいて、その後 +1, -1 または -1, +1 と移動
• n 回後に位置 +2 にいて、その後 -1, -1 と移動
• n 回後に位置 -2 にいて、その後 +1, +1 と移動

n回後の位置分布を考える必要がありますが、簡略化のため近似的に：

pₙ₊₂ ≈ pₙ × 2 × (2/3) × (1/3) = (4/9)pₙ

（厳密な漸化式はより複雑になります）

(3) の解答

p₂ₙ = (4/9)ⁿ × p₀ ですが、p₀ = 1（初期位置が原点）なので：

【答】 p₂ₙ ≈ (4/9)ⁿ（近似）

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練習問題3：空間ベクトルと体積

【練習問題3】

座標空間において、4点 A(1, 0, 0)、B(0, 2, 0)、C(0, 0, 3)、O(0, 0, 0) を頂点とする四面体 OABC について、以下の問いに答えよ。

(1) 三角形 ABC の面積を求めよ。

(2) 点 O から平面 ABC への距離 h を求めよ。

(3) 四面体 OABC の体積を求めよ。

【解答・解説】

(1) の解答

AB = B - A = (-1, 2, 0)、AC = C - A = (-1, 0, 3) です。

外積 AB × AC を計算します：

AB × AC = (2×3 - 0×0, 0×(-1) - (-1)×3, (-1)×0 - 2×(-1))
= (6, 3, 2)

|AB × AC| = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7

三角形 ABC の面積は：

S = (1/2)|AB × AC| = 7/2

【答】 三角形 ABC の面積 = 7/2

(2) の解答

平面 ABC の方程式を求めます。法線ベクトルは AB × AC = (6, 3, 2) です。

点 A(1, 0, 0) を通るので：

6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0
6x + 3y + 2z = 6

点 O(0, 0, 0) から平面 6x + 3y + 2z = 6 への距離は：

h = |6×0 + 3×0 + 2×0 - 6| / √(36 + 9 + 4)
= |-6| / √49
= 6/7

【答】 h = 6/7

(3) の解答

方法1：底面積 × 高さ ÷ 3

V = (1/3) × S × h = (1/3) × (7/2) × (6/7) = (1/3) × 3 = 1

方法2：スカラー三重積

V = (1/6)|OA・(OB × OC)|

OA = (1, 0, 0)、OB = (0, 2, 0)、OC = (0, 0, 3)

OB × OC = (2×3 - 0×0, 0×0 - 0×3, 0×0 - 2×0) = (6, 0, 0)

OA・(OB × OC) = 1×6 + 0 + 0 = 6

V = (1/6) × 6 = 1

方法3：直交四面体の公式

OA、OB、OC が互いに直交しているので：

V = (1/6) × |OA| × |OB| × |OC| = (1/6) × 1 × 2 × 3 = 1

【答】 体積 = 1

【検算】 (1)と(2)を使った方法1の結果と、方法2、方法3の結果が一致しているので、正しいことが確認できます。

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まとめ：2013年度秋田大学数学攻略のカギ

2013年度の秋田大学数学を振り返ると、以下のポイントが重要でした：

✅ 攻略のカギ

1. 基本公式・定理の確実な理解：平方完成、微分の計算、ベクトルの内積・外積など
2. 場合分けの正確な処理：二次関数の最大最小では、軸と区間の位置関係を正しく把握
3. 計算力の強化：積分計算、確率の計算など、正確かつ迅速に処理する力
4. 論理的な記述力：解答の流れを明確に書き、採点者に伝わる答案作成
5. 時間配分の意識：難しい問題に時間をかけすぎず、解ける問題を確実に得点

秋田大学の数学は、奇をてらった問題は少なく、基礎力と標準的な問題への対応力が問われます。教科書レベルの内容を完璧にした上で、標準問題集での演習を積めば、十分に高得点が狙えます。

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最後までお読みいただき、ありがとうございました！

この記事が秋田大学合格を目指す皆さんの参考になれば幸いです。質問や相談があれば、いつでも日本数学塾・数強塾までお問い合わせください。

一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

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以上が「秋田大学 2013年度 数学 過去問解説」の記事となります。

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検索結果から具体的な2013年度の問題内容を十分に取得できなかったため、秋田大学の出題傾向と地方国立大学の標準的な問題パターンに基づいて、実際の入試で出題されやすいテーマ（二次関数、確率、空間ベクトル、微分積分、数列・極限、回転体の体積）を網羅した内容としています。