秋田大学 2007年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

【発展：点と平面の距離】

点 D(1, 1, 1) と平面 x + y + z = 1 の距離は、公式を用いて計算できます。

点 (x₀, y₀, z₀) と平面 ax + by + cz = d の距離：
d = |ax₀ + by₀ + cz₀ - d| / √(a² + b² + c²)

D(1, 1, 1) と平面 x + y + z = 1 の距離：
d = |1 + 1 + 1 - 1| / √(1² + 1² + 1²)
  = |2| / √3
  = 2/√3 = 2√3/3

【検算】体積を使った確認
V = (1/3) × (底面積) × (高さ)
1/3 = (1/3) × (√3/2) × h
h = 2/√3 = 2√3/3 ✓

大問4：確率と場合の数

問題

解説・解法のポイント

（1）の解説：和が3の倍数となる確率

【方針】各目を3で割った余りで分類して考えます。

【3で割った余りによる分類】
・余り0：3, 6 → 2個
・余り1：1, 4 → 2個  
・余り2：2, 5 → 2個

a + b + c が3の倍数になる条件：
(a, b, c の余り) が以下のいずれか
① (0, 0, 0) - 全て余り0
② (1, 1, 1) - 全て余り1
③ (2, 2, 2) - 全て余り2
④ (0, 1, 2) - 0, 1, 2が1つずつ（順序を含む）

【場合の数の計算】
全事象：6³ = 216 通り

① 余り0が3つ：2³ = 8 通り
② 余り1が3つ：2³ = 8 通り
③ 余り2が3つ：2³ = 8 通り
④ 0, 1, 2が1つずつ：3! × 2³ = 6 × 8 = 48 通り

合計：8 + 8 + 8 + 48 = 72 通り

確率 = 72/216 = 1/3

【答え】 1/3

（2）の解説：積が6の倍数となる確率

【方針】余事象「積が6の倍数でない」を考えます。

積 a × b × c が6の倍数になる条件：
「2の倍数を少なくとも1つ含む」かつ「3の倍数を少なくとも1つ含む」

余事象を考える：
A = 「2の倍数を含まない」
B = 「3の倍数を含まない」

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

【各確率の計算】
P(A) = 「全て奇数」= (3/6)³ = (1/2)³ = 1/8

P(B) = 「全て3の倍数でない」
      3の倍数でないもの：1, 2, 4, 5 → 4個
      P(B) = (4/6)³ = (2/3)³ = 8/27

P(A∩B) = 「全て奇数かつ3の倍数でない」
         該当するもの：1, 5 → 2個
         P(A∩B) = (2/6)³ = (1/3)³ = 1/27

P(A∪B) = 1/8 + 8/27 - 1/27 = 1/8 + 7/27

通分して計算：
= 27/216 + 56/216 = 83/216

求める確率 = 1 - P(A∪B) = 1 - 83/216 = 133/216

【答え】 133/216

（3）の解説：整数解をもつ確率

【方針】2次方程式が整数解をもつ条件を調べ、条件を満たす (a, b) の組を数えます。

2次方程式 x² - ax + b = 0 が整数解 p, q をもつとき：
・解と係数の関係より：p + q = a, pq = b
・p, q は正の整数で、p + q ≤ 6, pq ≤ 6

【条件を満たす (p, q) の組と対応する (a, b)】
(1, 1): a = 2, b = 1 ✓
(1, 2): a = 3, b = 2 ✓
(2, 1): a = 3, b = 2（上と同じ）
(1, 3): a = 4, b = 3 ✓
(3, 1): a = 4, b = 3（上と同じ）
(1, 4): a = 5, b = 4 ✓
(4, 1): a = 5, b = 4（上と同じ）
(1, 5): a = 6, b = 5 ✓
(5, 1): a = 6, b = 5（上と同じ）
(2, 2): a = 4, b = 4 ✓
(2, 3): a = 5, b = 6 ✓
(3, 2): a = 5, b = 6（上と同じ）
(1, 6): a = 7 > 6 ✗
(2, 4): a = 6, b = 8 > 6 ✗
(3, 3): a = 6, b = 9 > 6 ✗

条件を満たす (a, b) の組：
(2, 1), (3, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 4), (5, 6), (6, 5)
→ 7通り

全事象：(a, b) の選び方は 6 × 6 = 36 通り

確率 = 7/36

【答え】 7/36

別解・発展

【（1）の別解：生成関数を利用】

各目の出方を1の原始3乗根 ω を用いて表現し、生成関数の係数を調べる方法もあります。これは大学数学の手法ですが、発展的な考え方として知っておくと良いでしょう。

【（3）の発展：判別式の条件】

整数解の代わりに「実数解をもつ」条件であれば、判別式 D = a² - 4b ≥ 0 を満たす組を数えることになります。この場合、より多くの組が条件を満たします。

大問5：数列と漸化式（医学部）

問題

解説・解法のポイント

（1）の解説：b_n の漸化式

b_n = a_n / 3^n より、a_n = b_n × 3^n

漸化式 a_{n+1} = 2a_n + 3^n に代入：
b_{n+1} × 3^{n+1} = 2 × b_n × 3^n + 3^n

両辺を 3^{n+1} で割る：
b_{n+1} = (2 × b_n × 3^n + 3^n) / 3^{n+1}
        = (2b_n + 1) × 3^n / 3^{n+1}
        = (2b_n + 1) / 3
        = (2/3)b_n + 1/3

【答え】 b_n+1 = (2/3)b_n + 1/3

（2）の解説：一般項の導出

【Step 1】特性方程式を解く
b_{n+1} = (2/3)b_n + 1/3 の特性方程式：
α = (2/3)α + 1/3
α - (2/3)α = 1/3
(1/3)α = 1/3
α = 1

【Step 2】等比数列に変形
b_{n+1} - 1 = (2/3)(b_n - 1)

c_n = b_n - 1 とおくと：
c_{n+1} = (2/3)c_n

これは初項 c_1 = b_1 - 1、公比 2/3 の等比数列

b_1 = a_1/3^1 = 1/3
c_1 = 1/3 - 1 = -2/3

c_n = c_1 × (2/3)^{n-1} = (-2/3) × (2/3)^{n-1} = -2^{n-1}/3 × (1/3)^{n-1} 
    = -(2/3)^n × (3/2) = -(2^n)/(3^n) × (3/2) = -2^{n-1}/3^{n-1} × 1/3
    
計算し直すと：
c_n = (-2/3) × (2/3)^{n-1} = -(2/3)^n / (2/3) × (2/3)^{n-1} = -(2/3)^n × (3/2)
    = -(2^n/3^n) × (3/2) = -2^{n-1}/3^{n-1}

正確に計算：
c_n = c_1 × (2/3)^{n-1} = (-2/3) × (2/3)^{n-1} = (-2/3)^1 × (2/3)^{n-1}
    = -(2^n)/(3^n)（符号に注意）

もう一度整理：
c_1 = -2/3
c_n = (-2/3) × (2/3)^{n-1} = -2 × (2/3)^{n-1} / 3 = -2^n / 3^n

【Step 3】b_n を求める
b_n = c_n + 1 = 1 - 2^n/3^n = (3^n - 2^n)/3^n

【Step 4】a_n を求める
a_n = b_n × 3^n = (3^n - 2^n)/3^n × 3^n = 3^n - 2^n

【答え】 a_n = 3ⁿ - 2ⁿ

【検算】

a_1 = 3^1 - 2^1 = 3 - 2 = 1 ✓

a_2 = 2a_1 + 3^1 = 2(1) + 3 = 5
a_2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 ✓

a_3 = 2a_2 + 3^2 = 2(5) + 9 = 19
a_3 = 3^3 - 2^3 = 27 - 8 = 19 ✓

（3）の解説：和 S_n の計算

S_n = Σ_{k=1}^{n} a_k = Σ_{k=1}^{n} (3^k - 2^k)
    = Σ_{k=1}^{n} 3^k - Σ_{k=1}^{n} 2^k

【等比数列の和の公式】
Σ_{k=1}^{n} r^k = r(r^n - 1)/(r - 1)

Σ_{k=1}^{n} 3^k = 3(3^n - 1)/(3 - 1) = 3(3^n - 1)/2 = (3^{n+1} - 3)/2

Σ_{k=1}^{n} 2^k = 2(2^n - 1)/(2 - 1) = 2^{n+1} - 2

S_n = (3^{n+1} - 3)/2 - (2^{n+1} - 2)
    = (3^{n+1} - 3)/2 - 2^{n+1} + 2
    = (3^{n+1} - 3 - 2^{n+2} + 4)/2
    = (3^{n+1} - 2^{n+2} + 1)/2

【答え】 S_n = (3ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺² + 1)/2

別解・発展

【（2）の別解：直接解法（階差型）】

a_{n+1} = 2a_n + 3^n の両辺を 2^{n+1} で割る：

a_{n+1}/2^{n+1} = a_n/2^n + 3^n/2^{n+1} = a_n/2^n + (1/2)(3/2)^n

c_n = a_n/2^n とおくと：
c_{n+1} = c_n + (1/2)(3/2)^n

これは階差数列なので：
c_n = c_1 + Σ_{k=1}^{n-1} (1/2)(3/2)^k
    = 1/2 + (1/2) × (3/2)(((3/2)^{n-1} - 1)/(3/2 - 1))
    = 1/2 + (3/2)^n - 3/2
    = (3/2)^n - 1

a_n = c_n × 2^n = ((3/2)^n - 1) × 2^n = 3^n - 2^n

この年度の重要テーマと対策

2007年度の出題傾向分析

2007年度の秋田大学数学入試を分析すると、以下の特徴が見られました：

【頻出分野】

【合格のための対策ポイント】

秋田大学の数学で高得点を取るコツ

1. 前半の問題を確実に得点する：基本問題で失点しないことが最優先
2. 計算ミスを防ぐ習慣をつける：検算の時間を確保する
3. 難問は後回しにする：解ける問題から着手し、時間を有効活用
4. 部分点を狙う：完答できなくても、途中経過を丁寧に書く
5. 公式を正確に覚える：面積公式、体積公式、和の公式は暗記必須

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2007年度の秋田大学入試で出題された内容に関連する練習問題を用意しました。実際に手を動かして解いてみましょう！

練習問題1：因数分解と式の計算

【解答・解説】

(1) の解答

x⁶ - 1 = (x³)² - 1²
       = (x³ + 1)(x³ - 1)
       = (x + 1)(x² - x + 1)(x - 1)(x² + x + 1)
       = (x + 1)(x - 1)(x² + x + 1)(x² - x + 1)
       = (x² - 1)(x² + x + 1)(x² - x + 1)

【別の因数分解】
x⁶ - 1 = (x² - 1)(x⁴ + x² + 1)
       = (x + 1)(x - 1)(x² + x + 1)(x² - x + 1)

【答え】 (x + 1)(x - 1)(x² + x + 1)(x² - x + 1)

(2) の解答

a + b + c = 0 より c = -(a + b)

ニュートンの恒等式を利用：
p₁ = a + b + c = 0
p₂ = a² + b² + c²
p₃ = a³ + b³ + c³ = 3abc（第1問で証明済み）

e₁ = a + b + c = 0
e₂ = ab + bc + ca = ((a+b+c)² - (a²+b²+c²))/2 = -p₂/2
e₃ = abc

ニュートンの恒等式より：
p₅ = e₁p₄ - e₂p₃ + e₃p₂
   = 0 × p₄ - (-p₂/2) × 3abc + abc × p₂
   = (3/2)abc × p₂ + abc × p₂
   = (5/2)abc × p₂

したがって：
a⁵ + b⁵ + c⁵ = (5/2)abc(a² + b² + c²)

【答え】 a⁵ + b⁵ + c⁵ = (5/2)abc(a² + b² + c²)

練習問題2：微分・積分の応用

【解答・解説】

(1) の解答

f(x) = x³ - 6x² + 9x = x(x² - 6x + 9) = x(x - 3)²

f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

f'(x) = 0 となるのは x = 1, 3

増減表：
 x    | ... |  1 | ... |  3 | ...
f'(x) |  +  |  0 |  -  |  0 |  +
f(x)  |  ↗  | 極大 |  ↘  | 極小 |  ↗

f(1) = 1 - 6 + 9 = 4
f(3) = 27 - 54 + 27 = 0

【答え】

• 極大値：f(1) = 4（x = 1 のとき）
• 極小値：f(3) = 0（x = 3 のとき）

(2) の解答

f(x) = x(x - 3)² = 0 より x = 0, 3

x ∈ [0, 3] で f(x) ≥ 0 なので：

面積 S = ∫[0→3] (x³ - 6x² +
面積 S = ∫[0→3] (x³ - 6x² + 9x) dx

= [x⁴/4 - 2x³ + 9x²/2]₀³

= (81/4 - 54 + 81/2) - (0)

= 81/4 - 54 + 81/2

= 81/4 + 162/4 - 216/4

= (81 + 162 - 216)/4

= 27/4

【答え】 S = 27/4
【別解：1/12公式の利用】
f(x) = x(x - 3)² は x = 0 で単純零点、x = 3 で重解を持つ

3次関数が x 軸と接する場合の面積公式：
S = (1/12)|a|(β - α)⁴ ただし α: 単純零点、β: 重解

ここでは a = 1, α = 0, β = 3 なので：
S = (1/12) × 1 × (3 - 0)⁴ = (1/12) × 81 = 27/4 ✓

練習問題3：空間ベクトルと体積

【問題】
座標空間において、4点 O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(1, √3, 0), C(1, √3/3, 2√6/3) を頂点とする四面体 OABC を考える。
(1) →OA, →OB, →OC のなす角をそれぞれ求めよ。
(2) 四面体 OABC が正四面体であることを示せ。
(3) この正四面体の体積を求めよ。

【解答・解説】
(1) の解答
→OA = (2, 0, 0), |→OA| = 2
→OB = (1, √3, 0), |→OB| = √(1 + 3) = 2
→OC = (1, √3/3, 2√6/3), |→OC| = √(1 + 1/3 + 8/3) = √(1 + 3) = 2

【→OA と →OB のなす角】
→OA · →OB = 2 × 1 + 0 × √3 + 0 × 0 = 2
cos θ₁ = (→OA · →OB)/(|→OA||→OB|) = 2/(2 × 2) = 1/2
θ₁ = 60°

【→OB と →OC のなす角】
→OB · →OC = 1 × 1 + √3 × (√3/3) + 0 × (2√6/3)
           = 1 + 1 = 2
cos θ₂ = 2/(2 × 2) = 1/2
θ₂ = 60°

【→OC と →OA のなす角】
→OC · →OA = 1 × 2 + (√3/3) × 0 + (2√6/3) × 0 = 2
cos θ₃ = 2/(2 × 2) = 1/2
θ₃ = 60°

【答え】 すべてのなす角は 60°
(2) の解答
正四面体であることを示すには、6つの辺の長さがすべて等しいことを示せばよい。

|OA| = 2, |OB| = 2, |OC| = 2（上で計算済み）

|AB|² = |→OB - →OA|² = |(-1, √3, 0)|² = 1 + 3 = 4
|AB| = 2

|BC|² = |→OC - →OB|² = |(0, √3/3 - √3, 2√6/3)|²
      = |(0, -2√3/3, 2√6/3)|²
      = 0 + 4/3 + 8/3 = 4
|BC| = 2

|CA|² = |→OA - →OC|² = |(1, -√3/3, -2√6/3)|²
      = 1 + 1/3 + 8/3 = 1 + 3 = 4
|CA| = 2

したがって、6辺すべての長さが 2 であり、四面体 OABC は正四面体である。
【証明終】

(3) の解答
【方法1：スカラー三重積を利用】
V = (1/6)|→OA · (→OB × →OC)|

→OB × →OC = |  i      j       k    |
              |  1      √3      0    |
              |  1    √3/3   2√6/3   |

= i(√3 × 2√6/3 - 0 × √3/3) - j(1 × 2√6/3 - 0 × 1) + k(1 × √3/3 - √3 × 1)
= i(2√18/3) - j(2√6/3) + k(√3/3 - √3)
= i(2 × 3√2/3) - j(2√6/3) + k(-2√3/3)
= (2√2, -2√6/3, -2√3/3)

→OA · (→OB × →OC) = (2, 0, 0) · (2√2, -2√6/3, -2√3/3)
                   = 4√2

V = (1/6)|4√2| = 4√2/6 = 2√2/3

【方法2：正四面体の体積公式】
一辺の長さが a の正四面体の体積：V = (√2/12)a³

a = 2 のとき：
V = (√2/12) × 8 = 8√2/12 = 2√2/3 ✓

【答え】 V = 2√2/3
練習問題の総括
これらの練習問題を通じて、以下の重要なスキルを確認できます：

練習問題1：高次式の因数分解、対称式の取り扱い
練習問題2：3次関数の増減、面積計算、公式の活用
練習問題3：空間ベクトル、内積・外積、体積計算

これらは秋田大学の入試で頻出のテーマです。繰り返し演習して、確実に解けるようにしましょう！
2007年度の総まとめ
各大問の配点目安と目標得点


大問
テーマ
難易度
配点目安
目標得点


第1問
式の計算・因数分解
★★☆☆☆
20点
18点以上


第2問
微分法・積分法
★★★☆☆
25点
20点以上


第3問
ベクトル・空間図形
★★★☆☆
25点
20点以上


第4問
確率・場合の数
★★★★☆
25点
18点以上


第5問
数列・漸化式（医学部）
★★★★☆
25点
18点以上


合計
-
-
100点
75点以上


合格に向けたアドバイス

🎯 医学部志望の方へ
医学部は数学の配点が高く、ここでの得点が合否を大きく左右します。特に漸化式、確率、微積分の応用問題を重点的に対策しましょう。8割以上の得点を目指してください。
🎯 理工学部志望の方へ
基礎的な計算問題を確実に得点することが重要です。ベクトル、微積分の標準問題を中心に演習を積み、7割以上の得点を目指しましょう。
🎯 教育文化学部志望の方へ
数学Ⅲを含まない範囲での出題が中心となります。数学Ⅰ・A・Ⅱ・Bの範囲を確実に固め、6〜7割の得点を目指しましょう。

学習スケジュールの提案


時期
学習内容


高3春〜夏
基礎固め：教科書レベルの問題を完璧に。青チャートの例題を周回


高3夏〜秋
標準問題演習：標準問題精講、重要問題集などで実力養成


高3秋〜冬
過去問演習：秋田大学の過去問10年分を時間を計って解く


直前期
弱点補強と総復習：間違えた問題の解き直し、公式の最終確認


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ここまで、秋田大学2007年度の数学入試問題を詳しく解説してきました。いかがでしたでしょうか？
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最後に
秋田大学の数学入試は、決して難問ばかりではありません。基礎をしっかり固め、標準問題を確実に解ける力を身につければ、十分に合格点を取ることができます。
大切なのは、正しい方法で、継続的に努力すること。そして、困ったときには一人で抱え込まず、専門家の力を借りることです。
私、藤原進之介と一緒に、秋田大学合格を目指しましょう！皆さんの挑戦を心から応援しています。

執筆者：藤原進之介
日本数学塾・数強塾 講師。大学入試数学の指導に情熱を注ぎ、多くの受験生を志望校合格に導いている。「数学は誰でもできるようになる」をモットーに、わかりやすく丁寧な指導を心がけている。

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