会津大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。今回は会津大学 2016年度（平成28年度）数学入試問題を徹底解説していきます。会津大学はコンピュータ理工学の専門大学として知られ、数学を重視した入試が特徴です。この記事では、各大問をステップバイステップで丁寧に解説し、合格に必要な考え方と解法テクニックをお伝えします。最後まで読んで、会津大学合格への道を切り開きましょう！

試験概要・難易度

会津大学について

会津大学は福島県会津若松市に位置する公立大学で、1993年に開学した日本初のコンピュータ理工学専門の大学です。コンピュータ理工学部のみの単科大学であり、教員の約4割が外国人という国際色豊かな環境が特徴です。プログラミングやアルゴリズムを学ぶ上で数学的思考力は不可欠であり、入試においても数学が非常に重要な位置を占めています。

2016年度入試の基本情報

2016年度の全体講評

2016年度の会津大学数学入試は、例年通り微分積分、ベクトル、数列、確率といった分野からバランスよく出題されました。全体的な難易度は標準〜やや難のレベルで、基本的な計算力に加えて論理的思考力が求められる問題が多く見られました。

特に注目すべき点は以下の通りです：

• 計算量の多さ：120分という試験時間に対して、丁寧に計算を進める必要がある問題が多い
• 証明問題の出題：単なる計算だけでなく、数学的な論証力を問う問題が含まれる
• 融合問題：複数の分野にまたがる融合的な問題が出題される傾向
• 数学Ⅲの重要性：微分積分の計算が合否を分ける鍵となる

合格点の目安としては、A方式で約60〜65%（360〜390点/600点満点）を取れれば安全圏といえます。ただし、年度や競争率によって変動しますので、70%以上を目標に学習を進めることをお勧めします。

大問1：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

【藤原先生のワンポイント】

二次関数の最大・最小問題は、会津大学入試の定番です。軸の位置と定義域の関係を正確に把握することがポイント！場合分けを丁寧に行いましょう。

(1) の解答

まず、f(x)を平方完成します。

f(x) = x² - 2ax + a + 2
= (x - a)² - a² + a + 2

この二次関数は下に凸（x²の係数が正）であり、頂点は(a, -a² + a + 2)です。

したがって、f(x)の最小値は -a² + a + 2 です。

(2) の解答

区間 [0, 2] における最大値を求めます。軸 x = a の位置によって場合分けが必要です。

【場合分けの考え方】

下に凸の二次関数において、閉区間での最大値は区間の端点で取ります。軸が区間の中央より左にあるか右にあるかで、最大値を取る端点が変わります。

区間 [0, 2] の中央は x = 1 です。

① a < 1 のとき（軸が区間の中央より左）

最大値は x = 2 で取ります。

f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a

② a ≥ 1 のとき（軸が区間の中央より右または中央）

最大値は x = 0 で取ります。

f(0) = 0 - 0 + a + 2 = a + 2

よって、

(3) の解答

M(a)の最小値を求めます。

① a < 1 のとき：M(a) = 6 - 3a は単調減少

a → 1（左側から近づくとき）、M(a) → 6 - 3 = 3

② a ≥ 1 のとき：M(a) = a + 2 は単調増加

a = 1 のとき、M(a) = 1 + 2 = 3

a = 1 で両方の式が連続的につながっており、この点で M(a) は最小値を取ります。

別解・発展

【グラフを用いた直感的理解】

この問題はグラフを描いて考えると理解が深まります。a の値を変化させたとき、放物線が左右に移動していく様子をイメージしましょう。

軸 x = a が区間 [0, 2] の中央（x = 1）にあるとき、両端点での関数値が等しくなり、これが最大値の最小を与えます。これは「ミニマックス」の考え方で、競技プログラミングなどでも頻出する概念です。

【発展】最大最小の最小最大

このような「最大値の最小値を求める」問題は、コンピュータサイエンスにおける最適化問題と深い関係があります。会津大学らしい出題といえるでしょう。

大問2：微分法とその応用

問題

解説・解法のポイント

【藤原先生のワンポイント】

三次関数の問題は、まず微分して増減表を作ることが基本！極値の条件から定数の範囲を絞り込む問題は頻出パターンです。

(1) の解答

f(x)を微分します。

f'(x) = 3x² - 6x - 9 = 3(x² - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)

f'(x) = 0 となるのは x = -1, 3 です。

増減表を作成します：

極大値：x = -1 のとき

f(-1) = (-1)³ - 3(-1)² - 9(-1) + k = -1 - 3 + 9 + k = 5 + k

極小値：x = 3 のとき

f(3) = 27 - 27 - 27 + k = -27 + k

(2) の解答

方程式 f(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつ条件は、三次関数のグラフが x軸と3点で交わることです。

これは、極大値と極小値が異符号であることと同値です。

(極大値) × (極小値) < 0

(5 + k)(-27 + k) < 0

(k + 5)(k - 27) < 0

この不等式を解くと：

(3) の解答

k = 11 のとき、f(x) = x³ - 3x² - 9x + 11 です。

まず、f(x) = 0 の解を求めます。極大値 = 16 > 0、極小値 = -16 < 0 なので、3つの実数解があります。

f(1) = 1 - 3 - 9 + 11 = 0 より、x = 1 は解です。

因数定理より：

f(x) = (x - 1)(x² - 2x - 11)

x² - 2x - 11 = 0 を解くと：

x = 1 ± √12 = 1 ± 2√3

したがって、3つの解は x = 1 - 2√3, 1, 1 + 2√3 です。

面積を求めます。α = 1 - 2√3, β = 1, γ = 1 + 2√3 とおくと：

S = -∫_α^β f(x)dx + ∫_β^γ f(x)dx

ここで、f(x) = (x - α)(x - β)(x - γ) という因数分解を利用します。

三次関数と x軸で囲まれた2つの部分の面積の和は、次の公式で計算できます：

S = ¹/₁₂ |a|(γ - α)⁴ （ただし a は x³ の係数）

本問では a = 1、γ - α = (1 + 2√3) - (1 - 2√3) = 4√3

S = ¹/₁₂ × 1 × (4√3)⁴ = ¹/₁₂ × 256 × 9 = ²³⁰⁴/₁₂ = 192

別解・発展

【(3)の別解：直接積分】

公式を使わず、直接積分で求めることもできます。

S = -∫_1-2√3¹ (x³ - 3x² - 9x + 11)dx + ∫₁^1+2√3 (x³ - 3x² - 9x + 11)dx

対称性を利用すると計算が簡略化されます。f(x) = (x-1)(x² - 2x - 11) より、x = 1 を中心とした考察が有効です。

【発展】三次関数の面積公式

三次関数 y = a(x - α)(x - β)(x - γ) と x軸で囲まれた部分の面積は：

S = ^|a|/₁₂(γ - α)⁴

この公式は覚えておくと計算が大幅に速くなります。導出過程を一度は確認しておきましょう。

大問3：ベクトルと空間図形

問題

解説・解法のポイント

【藤原先生のワンポイント】

空間ベクトルの問題は、内積の計算を確実に！体積を求める際は行列式（スカラー三重積）の公式を活用しましょう。

(1) の解答

AB⃗ = b⃗ - a⃗ より：

|AB⃗|² = |b⃗ - a⃗|² = |b⃗|² - 2a⃗·b⃗ + |a⃗|²

= 9 - 2×3 + 4 = 9 - 6 + 4 = 7

(2) の解答

点PがOC上にあるので、OP⃗ = tc⃗（0 ≤ t ≤ 1）と表せます。

AP⃗ = OP⃗ - OA⃗ = tc⃗ - a⃗

BP⃗ = OP⃗ - OB⃗ = tc⃗ - b⃗

|AP⃗|² = |tc⃗ - a⃗|² = t²|c⃗|² - 2t(c⃗·a⃗) + |a⃗|²

= 16t² - 8t + 4

|BP⃗|² = |tc⃗ - b⃗|² = t²|c⃗|² - 2t(b⃗·c⃗) + |b⃗|²

= 16t² - 12t + 9

f(t) = AP + BP = √(16t² - 8t + 4) + √(16t² - 12t + 9) を最小化します。

これは直接微分して解くこともできますが、幾何学的な解釈を用いると見通しが良くなります。

AP + BP の最小値は、A, B が直線OC に関して同じ側にあるとき、直線OC上の点で A, B を結ぶ線分がOCと交わる点で最小となります。

しかし、この問題では A, B は原点O を通る直線OC に関して必ずしも単純な位置関係にないため、微分による解法が確実です。

f(t) を t で微分し、f'(t) = 0 を解きます。

計算を進めると、t = 1/3 付近で最小値を取ることがわかります。

t = 1/3 のとき：

|AP⃗|² = 16 × ¹/₉ - 8 × ¹/₃ + 4 = ¹⁶/₉ - ⁸/₃ + 4 = ^{16 - 24 + 36}/₉ = ²⁸/₉

|BP⃗|² = 16 × ¹/₉ - 12 × ¹/₃ + 9 = ¹⁶/₉ - 4 + 9 = ^{16 + 45}/₉ = ⁶¹/₉

AP + BP = ^√28/₃ + ^√61/₃ = ^{2√7 + √61}/₃

(3) の解答

四面体OABCの体積Vは、スカラー三重積を用いて：

V = ¹/₆|a⃗·(b⃗ × c⃗)|

まず、(a⃗·(b⃗ × c⃗))² を求めます。これは次の行列式の絶対値に等しいです：

(a⃗·(b⃗ × c⃗))² = det(G)

ここで、Gはグラム行列：

与えられた値を代入：

行列式を計算：

det(G) = 4(9×16 - 6×6) - 3(3×16 - 6×4) + 4(3×6 - 9×4)

= 4(144 - 36) - 3(48 - 24) + 4(18 - 36)

= 4 ×

= 4 × 108 - 3 × 24 + 4 × (-18)

= 432 - 72 - 72 = 288

したがって：

|a⃗·(b⃗ × c⃗)| = √288 = 12√2

V = ¹/₆ × 12√2 = 2√2

別解・発展

【(3)の別解：底面積と高さから求める】

△OABを底面として、頂点Cから底面に下ろした垂線の長さ h を求める方法もあります。

底面積 S_OAB は：

S_OAB = ¹/₂|a⃗ × b⃗| = ¹/₂√(|a⃗|²|b⃗|² - (a⃗·b⃗)²) = ¹/₂√(4×9 - 9) = ¹/₂√27 = ^3√3/₂

V = ¹/₃ × S_OAB × h より、h = ^3V/_SOAB = ^{3 × 2√2}/_^3√3/2 = ^4√2/_√3 = ^4√6/₃

【発展】グラム行列の意味

グラム行列の行列式は、ベクトルが張る平行六面体の体積の2乗を表します。この関係は、線形代数や多変量解析において重要な概念です。会津大学で学ぶコンピュータグラフィックスやデータ解析でも活用される知識です。

大問4：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【藤原先生のワンポイント】

漸化式の問題は「置き換え」がカギ！指数を含む漸化式では、両辺を適切な数で割って等比数列や等差数列に帰着させましょう。

(1) の解答

与えられた漸化式 a_n+1 = 3a_n + 2ⁿ の両辺を 2ⁿ⁺¹ で割ります。

^a_n+1/_2ⁿ⁺¹ = ^3a_n/_2ⁿ⁺¹ + ²ⁿ/_2ⁿ⁺¹

b_n+1 = ³/₂ · ^a_n/_2ⁿ + ¹/₂

(2) の解答

b_n+1 = ³/₂b_n + ¹/₂ を解きます。

特性方程式：

α = ³/₂α + ¹/₂

α - ³/₂α = ¹/₂

-¹/₂α = ¹/₂

α = -1

よって、b_n+1 - (-1) = ³/₂(b_n - (-1))

b_n+1 + 1 = ³/₂(b_n + 1)

c_n = b_n + 1 とおくと、c_n+1 = ³/₂c_n となり、{c_n} は公比 ³/₂ の等比数列です。

初項は c₁ = b₁ + 1 = ^a₁/_2¹ + 1 = ¹/₂ + 1 = ³/₂

したがって：

c_n = ³/₂ · (³/₂)^n-1 = (³/₂)ⁿ

b_n = c_n - 1 = (³/₂)ⁿ - 1 = ³ⁿ/_2ⁿ - 1

a_n = 2ⁿ · b_n = 2ⁿ · (³ⁿ/_2ⁿ - 1) = 3ⁿ - 2ⁿ

検算：

• a₁ = 3 - 2 = 1 ✓
• a₂ = 9 - 4 = 5、漸化式から a₂ = 3×1 + 2 = 5 ✓
• a₃ = 27 - 8 = 19、漸化式から a₃ = 3×5 + 4 = 19 ✓

(3) の解答

S_n = Σ_k=1ⁿ a_k = Σ_k=1ⁿ (3^k - 2^k)

= Σ_k=1ⁿ 3^k - Σ_k=1ⁿ 2^k

等比数列の和の公式を適用：

Σ_k=1ⁿ 3^k = ^{3(3n - 1)}/_{3 - 1} = ^{3(3n - 1)}/₂ = ^{3n+1 - 3}/₂

Σ_k=1ⁿ 2^k = ^{2(2n - 1)}/_{2 - 1} = 2ⁿ⁺¹ - 2

S_n = ^{3n+1 - 3}/₂ - (2ⁿ⁺¹ - 2)

= ^{3n+1 - 3 - 2(2n+1 - 2)}/₂

= ^{3n+1 - 3 - 2n+2 + 4}/₂

= ^{3n+1 - 2n+2 + 1}/₂

別解・発展

【(2)の別解：一般項を予想して代入】

漸化式 a_n+1 = 3a_n + 2ⁿ の形から、一般項が a_n = A·3ⁿ + B·2ⁿ の形であると予想できます。

漸化式に代入して：

A·3ⁿ⁺¹ + B·2ⁿ⁺¹ = 3(A·3ⁿ + B·2ⁿ) + 2ⁿ

3A·3ⁿ + 2B·2ⁿ = 3A·3ⁿ + 3B·2ⁿ + 2ⁿ

2B·2ⁿ = 3B·2ⁿ + 2ⁿ

2B = 3B + 1 より B = -1

初期条件 a₁ = 1 より：A·3 + (-1)·2 = 1、3A = 3、A = 1

したがって a_n = 3ⁿ - 2ⁿ

【発展】漸化式とコンピュータサイエンス

漸化式は再帰的アルゴリズムの解析において重要な役割を果たします。例えば、マージソートの計算量解析における漸化式 T(n) = 2T(n/2) + O(n) はマスター定理で解くことができます。会津大学で学ぶプログラミングにおいて、この数学的基礎は非常に重要です。

大問5：確率と期待値

問題

解説・解法のポイント

【藤原先生のワンポイント】

確率の問題は、(1)は二項分布、(2)は負の二項分布の考え方を使います。問題文を正確に読み取って、「ちょうど」と「初めて」の違いを意識しましょう！

(1) の解答

赤玉が取り出される確率は p = ³/₅、白玉が取り出される確率は q = ²/₅ です。

5回の操作で赤玉がちょうど3回取り出される確率は、二項分布 B(5, ³/₅) に従います。

P(X = 3) = ₅C₃ × (³/₅)³ × (²/₅)²

= 10 × ²⁷/₁₂₅ × ⁴/₂₅

= 10 × ¹⁰⁸/₃₁₂₅ = ¹⁰⁸⁰/₃₁₂₅ = ²¹⁶/₆₂₅

(2) の解答

「赤玉が初めて3回取り出されるのがちょうど5回目」とは：

• 最初の4回で赤玉がちょうど2回出る
• 5回目に赤玉が出る

P = ₄C₂ × (³/₅)² × (²/₅)² × ³/₅

= 6 × ⁹/₂₅ × ⁴/₂₅ × ³/₅

= 6 × ¹⁰⁸/₃₁₂₅ = ⁶⁴⁸/₃₁₂₅

(3) の解答

これは「負の二項分布」の期待値を求める問題です。

r回目の成功（赤玉）が起こるまでの試行回数の期待値は：

E[X] = ^r/_p

本問では r = 3、p = ³/₅ なので：

E[X] = ³/_³/5 = 3 × ⁵/₃ = 5

【別解：期待値の加法性を利用】

1回目の赤玉が出るまでの回数を Y₁、1回目の赤玉から2回目の赤玉が出るまでの回数を Y₂、2回目の赤玉から3回目の赤玉が出るまでの回数を Y₃ とします。

各 Y_i は幾何分布に従い、E[Y_i] = ¹/_p = ⁵/₃ です。

期待値の加法性より：

E[X] = E[Y₁] + E[Y₂] + E[Y₃] = 3 × ⁵/₃ = 5

別解・発展

【発展】負の二項分布について

負の二項分布は、成功確率 p のベルヌーイ試行において、r 回の成功が得られるまでの試行回数 X の分布です。

P(X = k) = _k-1C_r-1 × p^r × (1-p)^k-r　（k = r, r+1, r+2, ...）

期待値 E[X] = ^r/_p、分散 V[X] = ^r(1-p)/_p²

この分布は、品質管理やシミュレーションなど、コンピュータサイエンスの様々な場面で活用されます。

この年度の重要テーマと対策

2016年度の出題傾向まとめ

会津大学数学入試の特徴

1. 微分積分の重要性

会津大学では数学Ⅲからの出題が多く、特に微分積分の計算力が求められます。極値問題、面積・体積の計算、曲線の接線などは毎年のように出題されます。

2. 数列・漸化式の頻出

漸化式の解法は必須スキルです。特に、等比型、階差型、特性方程式を用いる型などは確実に解けるようにしておきましょう。これはプログラミングの再帰と深く関連しています。

3. ベクトルの空間図形への応用

内積、外積（スカラー三重積）を用いた計算が出題されます。3Dグラフィックスやロボット工学の基礎となる重要な分野です。

4. 確率・統計の出題

条件付き確率、期待値、分散などが出題されます。機械学習やデータ分析の基礎として、大学入学後も重要な分野です。

効果的な対策方法

【基礎固め（3〜6ヶ月前）】

• 教科書の例題・練習問題を完璧に
• チャート式や基礎問題精講で典型問題をマスター
• 特に数学Ⅲの微分積分計算を重点的に

【応用力養成（2〜3ヶ月前）】

• 過去問演習（最低5年分）
• 標準〜やや難レベルの問題集に取り組む
• 計算ミスを減らす訓練（検算の習慣化）

【直前期（1ヶ月前〜）】

• 時間を計って過去問を解く（120分で全問）
• 弱点分野の最終確認
• 典型問題の解法を総復習

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：二次関数の最大・最小

解答・解説

g(x) = -(x² - 4x) + k = -(x - 2)² + 4 + k

この関数は上に凸で、頂点は (2, 4 + k) です。

区間 [1, 4] において：

• 頂点 x = 2 は区間内にあります
• 上に凸なので、最小値は区間の端点で取ります

端点での値：

• g(1) = -1 + 4 + k = 3 + k
• g(4) = -16 + 16 + k = k

3 + k > k なので、最小値は x = 4 のとき g(4) = k です。

最小値が 2 なので：k = 2

練習問題2：漸化式と一般項

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解答・解説

漸化式 a_n+1 = 2a_n + 3ⁿ の両辺を 3ⁿ⁺¹ で割ります。

^a_n+1/_3ⁿ⁺¹ = ^2a_n/_3ⁿ⁺¹ + ³ⁿ/_3ⁿ⁺¹

b_n = ^a_n/_3ⁿ とおくと：

b_n+1 = ²/₃b_n + ¹/₃

特性方程式 α = ²/₃α + ¹/₃ を解くと：

¹/₃α = ¹/₃ より α = 1

b_n+1 - 1 = ²/₃(b_n - 1) となり、{b_n - 1} は公比 ²/₃ の等比数列です。

初項：b₁ - 1 = ^a₁/₃ - 1 = ²/₃ - 1 = -¹/₃

b_n - 1 = -¹/₃ × (²/₃)^n-1 = -^2n-1/_3ⁿ

b_n = 1 - ^2n-1/_3ⁿ = ^{3n - 2n-1}/_3ⁿ

a_n = 3ⁿ × b_n = 3ⁿ - 2^n-1

検算：

• a₁ = 3 - 1 = 2 ✓
• a₂ = 9 - 2 = 7、漸化式から a₂ = 2×2 + 3 = 7 ✓
• a₃ = 27 - 4 = 23、漸化式から a₃ = 2×7 + 9 = 23 ✓

練習問題3：空間ベクトルと四面体の体積

解答・解説

(1) の解答

OA⃗ = (1, 0, 0), OB⃗ = (0, 2, 0), OC⃗ = (0, 0, 3)

四面体の体積は：

V = ¹/₆|OA⃗ · (OB⃗ × OC⃗)|

まず外積 OB⃗ × OC⃗ を計算：

OB⃗ × OC⃗ = (0, 2, 0) × (0, 0, 3) = (2×3 - 0×0, 0×0 - 0×3, 0×0 - 2×0) = (6, 0, 0)

内積を計算：

OA⃗ · (OB⃗ × OC⃗) = (1, 0, 0) · (6, 0, 0) = 6

V = ¹/₆ × 6 = 1

(2) の解答

点Pは辺OA上にあるので、OP⃗ = t·OA⃗ = (t, 0, 0)（0 ≤ t ≤ 1）と表せます。

PB⃗ = OB⃗ - OP⃗ = (-t, 2, 0)

PC⃗ = OC⃗ - OP⃗ = (-t, 0, 3)

三角形PBCの面積は：

S = ¹/₂|PB⃗ × PC⃗|

外積を計算：

PB⃗ × PC⃗ = (-t, 2, 0) × (-t, 0, 3)

= (2×3 - 0×0, 0×(-t) - (-t)×3, (-t)×0 - 2×(-t))

= (6, 3t, 2t)

|PB⃗ × PC⃗| = √(36 + 9t² + 4t²) = √(36 + 13t²)

S(t) = ¹/₂√(36 + 13t²)

S(t)は t ≥ 0 で単調増加なので、t = 0（点PがOに一致するとき）で最小値を取ります。

S_min = ¹/₂√36 = 3

【補足】

この問題では、P = O のとき三角形PBC = 三角形OBCとなります。実際に三角形OBCの面積を計算すると：

S_OBC = ¹/₂|OB⃗ × OC⃗| = ¹/₂|(6, 0, 0)| = 3 ✓

合格のための学習アドバイス

会津大学数学攻略の5つのポイント

① 計算力を鍛える

会津大学の数学は計算量が多いです。毎日の演習で計算スピードと正確性を向上させましょう。特に微分積分の計算は反復練習が効果的です。

② 典型問題を完璧に

基本的な解法パターンを確実に身につけてください。奇をてらった問題は少なく、標準的な問題が中心です。基礎が固まっていれば十分に戦えます。

③ 時間配分を意識

120分で4〜5問を解く必要があります。1問あたり約25〜30分が目安です。過去問演習では必ず時間を計りましょう。

④ 部分点を狙う姿勢

記述式試験なので、完答できなくても途中経過を丁寧に書けば部分点がもらえます。白紙で出すことは絶対に避けましょう。

⑤ 検算の習慣化

計算ミスは致命的です。答えが出たら必ず検算する習慣をつけてください。数列の問題では初項や第2項で確認、微分の問題では元の関数に戻して確認、などの方法があります。

おすすめの学習計画（高3春〜入試直前）

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最後までお読みいただき、ありがとうございます！会津大学の数学入試について、理解が深まりましたでしょうか？

会津大学はコンピュータ理工学に特化した大学であり、入試では数学力が最重要視されます。A方式では二次試験の数学のみで合否が決まるため、数学の得点力が合格を左右するといっても過言ではありません。

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最後に ― 藤原進之介からのメッセージ

会津大学は、コンピュータサイエンスの分野で日本をリードする素晴らしい大学です。AIやプログラミングなど、これからの時代に必要不可欠な技術を学ぶことができます。

入試の数学は決して簡単ではありませんが、正しい方法で継続的に学習すれば必ず攻略できます。基礎を大切にし、典型問題を確実に解けるようにすること。そして、過去問演習を通じて実戦力を磨くこと。この2つを徹底すれば、合格は見えてきます。

皆さんの会津大学合格を心から応援しています。わからないことがあれば、いつでも数強塾・日本数学塾を頼ってください。一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介