会津大学 2011年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

みなさん、こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。今回は、会津大学 2011年度 数学（前期日程）の過去問を徹底的に解説していきます。

会津大学は日本初のコンピュータ理工学専門の公立大学として知られ、数学の入試問題は計算力と論理的思考力の両方がバランスよく問われる良問が多いのが特徴です。2011年度の問題も、基本から応用まで幅広い分野から出題されており、しっかりとした対策が必要な年度でした。

この記事では、各大問を詳細に解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での練習方法までお伝えします。会津大学を目指す受験生はもちろん、数学の実力を伸ばしたいすべての方に役立つ内容です。それでは、一緒に完全攻略していきましょう！

試験概要・難易度

会津大学 2011年度 前期日程 数学 試験概要

2011年度の全体講評

2011年度の会津大学数学は、標準〜やや難レベルの問題がバランスよく配置された年度でした。特に以下の特徴が見られます：

• 確率の問題：サイコロを用いた確率計算が出題され、場合分けと計算力が試されました
• 微分積分：関数の増減・極値の調査、定積分の計算が複数出題
• ベクトル：平面・空間ベクトルの基本的な計算と応用
• 数列：漸化式や数学的帰納法を用いた証明問題
• 整数・論証：論理的な記述力を問う問題

全体的に、教科書の基本事項を完璧に理解した上で、標準的な問題集（青チャート、1対1対応など）を丁寧に演習してきた受験生には十分対応できる難易度です。ただし、計算量が多いため、時間配分が合否を分ける重要なポイントとなりました。

150分で6題ということは、1題あたり約25分の配分。しかし、難易度にばらつきがあるため、易しい問題は15〜20分で確実に得点し、難しい問題に30分以上かけるという戦略が有効でした。

大問1：サイコロの確率

問題

解説・解法のポイント

この問題は、サイコロの確率に関する典型的な4つのパターンが詰め込まれた良問です。それぞれ異なるアプローチが必要なので、順番に見ていきましょう。

（1）出た目がすべて異なる確率

【考え方】

サイコロを4回投げたとき、全事象の数は (6^4 = 1296) 通りです。

4回とも異なる目が出る場合の数は、6つの目から4つを選んで並べる順列の問題です。

【解答】

4回の目がすべて異なる場合の数は：

[{}_6P_4 = 6 times 5 times 4 times 3 = 360]

したがって、求める確率は：

[frac{360}{1296} = frac{360}{1296} = frac{5}{18}]

【答え】 (displaystyle frac{5}{18})

（2）出た目の和が5となる確率

【考え方】

サイコロを4回投げて和が5になるには、各回の目が1以上なので、(1+1+1+2=5) の組み合わせしかありません。

【解答】

4つの数の和が5で、各数が1以上6以下の整数となる組み合わせは：

((1, 1, 1, 2)) の並べ替えのみ

この並べ替えの数は、2が入る位置を4か所から1か所選ぶので：

[frac{4!}{3!1!} = 4]

したがって、求める確率は：

[frac{4}{1296} = frac{1}{324}]

【答え】 (displaystyle frac{1}{324})

（3）出た目の最大値が2となる確率

【考え方】

「最大値がちょうど2」ということは、「すべての目が2以下」かつ「少なくとも1回は2が出る」ということです。

これは余事象の考え方を使うと計算しやすくなります。

【解答】

最大値が2以下（すべて1か2）の場合の数：(2^4 = 16)

最大値が1以下（すべて1）の場合の数：(1^4 = 1)

最大値がちょうど2となる場合の数：

[16 - 1 = 15]

したがって、求める確率は：

[frac{15}{1296} = frac{5}{432}]

【答え】 (displaystyle frac{5}{432})

（4）出た目の積が60となる確率

【考え方】

60を素因数分解すると (60 = 2^2 times 3 times 5) です。

4つのサイコロの目（1〜6）の積が60になる組み合わせを探します。

【解答】

(60 = 2^2 times 3 times 5)

4つの目の積が60になる組み合わせを列挙します：

• ((1, 2, 5, 6))：(1 times 2 times 5 times 6 = 60) ✓
• ((1, 3, 4, 5))：(1 times 3 times 4 times 5 = 60) ✓
• ((1, 1, 6, 10))：10は出ないので ✗
• ((2, 2, 3, 5))：(2 times 2 times 3 times 5 = 60) ✓
• ((1, 2, 6, 5))：上記と重複

有効な組み合わせは3種類です。それぞれの並べ替えの数を計算：

• ((1, 2, 5, 6))：すべて異なるので (4! = 24) 通り
• ((1, 3, 4, 5))：すべて異なるので (4! = 24) 通り
• ((2, 2, 3, 5))：2が2個あるので (dfrac{4!}{2!} = 12) 通り

合計：(24 + 24 + 12 = 60) 通り

したがって、求める確率は：

[frac{60}{1296} = frac{5}{108}]

【答え】 (displaystyle frac{5}{108})

別解・発展

（3）の別解：直接計算

4回のうち、2が出る回数を (k)（(k geq 1)）、1が出る回数を (4-k) として計算することもできます：

[sum_{k=1}^{4} {}_4C_k cdot 1^{4-k} = {}_4C_1 + {}_4C_2 + {}_4C_3 + {}_4C_4 = 4 + 6 + 4 + 1 = 15]

【発展】確率の問題で大切な3つの視点

1. 全事象の把握：今回は (6^4 = 1296)
2. 場合分けの整理：漏れなく、重複なく数える
3. 余事象の活用：「〜以下」から「〜未満」を引く

大問2：関数の微分と極値

問題

解説・解法のポイント

（1）増減と極値の調査

【考え方】

(f(x) = x^2 e^{-x}) を微分して、(f'(x) = 0) となる点を求め、増減表を作成します。

【解答】

積の微分法を用いて：

[f'(x) = (x^2)' e^{-x} + x^2 (e^{-x})']

[= 2x cdot e^{-x} + x^2 cdot (-e^{-x})]

[= e^{-x}(2x - x^2)]

[= e^{-x} cdot x(2 - x)]

[= -x(x-2)e^{-x}]

(e^{-x} > 0) なので、(f'(x) = 0) となるのは (x = 0) または (x = 2)

(f'(x)) の符号を調べると：

• (x < 0) のとき：(f'(x) < 0)（減少）
• (0 < x 0)（増加）
• (x > 2) のとき：(f'(x) < 0)（減少）

増減表：

極値：

• 極小値：(f(0) = 0^2 cdot e^0 = 0)（(x = 0)）
• 極大値：(f(2) = 2^2 cdot e^{-2} = 4e^{-2} = dfrac{4}{e^2})（(x = 2)）

グラフの概形：

• (x to -infty) のとき (f(x) to +infty)
• (x = 0) で極小値 0（原点を通る）
• (x = 2) で極大値 (dfrac{4}{e^2} approx 0.54)
• (x to +infty) のとき (f(x) to 0)

（2）面積の計算

【考え方】

曲線 (y = x^2 e^{-x}) と (x) 軸で囲まれた部分は、(x geq 0) の範囲で (f(x) geq 0) なので、(0) から (+infty) までの定積分（広義積分）を計算します。

【解答】

求める面積 (S) は：

[S = int_0^{infty} x^2 e^{-x} dx]

部分積分を2回適用します。

1回目の部分積分：

[int x^2 e^{-x} dx = x^2 cdot (-e^{-x}) - int 2x cdot (-e^{-x}) dx]

[= -x^2 e^{-x} + 2int x e^{-x} dx]

2回目の部分積分：

[int x e^{-x} dx = x cdot (-e^{-x}) - int 1 cdot (-e^{-x}) dx]

[= -x e^{-x} + int e^{-x} dx]

[= -x e^{-x} - e^{-x}]

[= -(x+1)e^{-x}]

まとめると：

[int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2 cdot (-(x+1)e^{-x})]

[= -x^2 e^{-x} - 2(x+1)e^{-x}]

[= -(x^2 + 2x + 2)e^{-x}]

広義積分の計算：

[S = left[-(x^2 + 2x + 2)e^{-x}right]_0^{infty}]

(x to infty) のとき、(dfrac{x^2 + 2x + 2}{e^x} to 0)（指数関数の増大が多項式より速い）

(x = 0) のとき、(-(0 + 0 + 2) cdot 1 = -2)

[S = 0 - (-2) = 2]

【答え】 (S = 2)

別解・発展

【発展】ガンマ関数との関係

実は、(displaystyle int_0^{infty} x^n e^{-x} dx = n!)（ガンマ関数 (Gamma(n+1) = n!)）という公式があります。

今回は (n = 2) なので、(displaystyle int_0^{infty} x^2 e^{-x} dx = 2! = 2) と一瞬で求まります。

この公式は大学数学で学びますが、帰納的に証明することもできます。実際、会津大学では「(displaystyle a_n = int_0^1 x^n e^{1-x} dx) が整数であることを数学的帰納法で証明せよ」という問題も出題されています。

大問3：ベクトルと平面図形

問題

解説・解法のポイント

（1）(overrightarrow{AP}) の計算

【考え方】

点 P は線分 AD 上にも線分 BE 上にもあるので、2つのパラメータ表示を作り、係数比較で求めます。

【解答】

点 D の位置ベクトル：

D は BC を (2:1) に内分するので：

[overrightarrow{AD} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BD} = vec{b} + frac{2}{3}overrightarrow{BC}]

[= vec{b} + frac{2}{3}(vec{c} - vec{b}) = frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}]

点 E の位置ベクトル：

E は AC を (1:2) に内分するので：

[overrightarrow{AE} = frac{1}{3}vec{c}]

P が AD 上にある条件：

[overrightarrow{AP} = s cdot overrightarrow{AD} = sleft(frac{1}{3}vec{b} + frac{2}{3}vec{c}right) = frac{s}{3}vec{b} + frac{2s}{3}vec{c}]

P が BE 上にある条件：

[overrightarrow{AP} = overrightarrow{AB} + t cdot overrightarrow{BE} = vec{b} + tleft(frac{1}{3}vec{c} - vec{b}right)]

[= (1-t)vec{b} + frac{t}{3}vec{c}]

係数比較：

(vec{b}) の係数：(dfrac{s}{3} = 1 - t)

(vec{c}) の係数：(dfrac{2s}{3} = dfrac{t}{3})

2番目の式より (2s = t)、これを1番目に代入：

[frac{s}{3} = 1 - 2s]

[s = 3 - 6s]

[7s = 3]

[s = frac{3}{7}]

したがって：

[overrightarrow{AP} = frac{3/7}{3}vec{b} + frac{2 cdot 3/7}{3}vec{c} = frac{1}{7}vec{b} + frac{2}{7}vec{c}]

【答え】 (displaystyle overrightarrow{AP} = frac{1}{7}vec{b} + frac{2}{7}vec{c})

（2）(|overrightarrow{AP}|) の計算

【解答】

[|overrightarrow{AP}|^2 = left|frac{1}{7}vec{b} + frac{2}{7}vec{c}right|^2]

[= frac{1}{49}|vec{b}|^2 + 2 cdot frac{1}{7} cdot frac{2}{7} vec{b} cdot vec{c} + frac{4}{49}|vec{c}|^2]

[= frac{1}{49} cdot 9 + frac{4}{49} cdot 6 + frac{4}{49} cdot 16]

[= frac{9 + 24 + 64}{49} = frac{97}{49}]

[|overrightarrow{AP}| = frac{sqrt{97}}{7}]

【答え】 (displaystyle |overrightarrow{AP}| = frac{sqrt{97}}{7})

別解・発展

【別解】メネラウスの定理を利用

三角形 ABD に対して直線 EPc を考え、メネラウスの定理を適用する方法もあります。ただし、ベクトルの方法が最も汎用性が高いので、まずはベクトル解法をマスターしましょう。

【重要公式】内分点の位置ベクトル

線分 AB を (m:n) に内分する点 P の位置ベクトルは：

[overrightarrow{OP} = frac{n cdot overrightarrow{OA} + m cdot overrightarrow{OB}}{m+n}]

大問4：数列と数学的帰納法

問題

解説・解法のポイント

【考え方】

数学的帰納法を使うには、(a_{n+1}) と (a_n) の関係（漸化式

解説・解法のポイント（続き）

【考え方】

数学的帰納法を使うには、(a_{n+1}) と (a_n) の関係（漸化式）を導く必要があります。まず積分部分の漸化式を求めましょう。

【解答】

Step 1：積分の漸化式を導く

(I_n = displaystyle int_0^1 x^n e^{1-x} dx) とおきます。

部分積分を適用します：

[I_n = int_0^1 x^n e^{1-x} dx]

[= left[x^n cdot (-e^{1-x})right]_0^1 - int_0^1 nx^{n-1} cdot (-e^{1-x}) dx]

[= left[-x^n e^{1-x}right]_0^1 + nint_0^1 x^{n-1} e^{1-x} dx]

[= (-1 cdot e^0) - (0) + n cdot I_{n-1}]

[= -1 + n cdot I_{n-1}]

したがって、漸化式 (I_n = nI_{n-1} - 1) が得られます。

Step 2：(a_n) の漸化式を導く

(a_n = n! cdot e - I_n) より：

[a_{n+1} = (n+1)! cdot e - I_{n+1}]

[= (n+1) cdot n! cdot e - ((n+1)I_n - 1)]

[= (n+1) cdot n! cdot e - (n+1)I_n + 1]

[= (n+1)(n! cdot e - I_n) + 1]

[= (n+1)a_n + 1]

したがって、漸化式 (a_{n+1} = (n+1)a_n + 1) が得られました。

Step 3：数学的帰納法による証明

[Ⅰ] (n = 1) のとき

[I_1 = int_0^1 x cdot e^{1-x} dx]

部分積分より：

[I_1 = left[x cdot (-e^{1-x})right]_0^1 + int_0^1 e^{1-x} dx]

[= -1 + left[-e^{1-x}right]_0^1]

[= -1 + (-1 + e)]

[= e - 2]

したがって：

[a_1 = 1! cdot e - I_1 = e - (e - 2) = 2]

(a_1 = 2) は整数なので、(n = 1) で成立。

[Ⅱ] (n = k) のとき (a_k) が整数と仮定する

(n = k + 1) のとき：

[a_{k+1} = (k+1)a_k + 1]

仮定より (a_k) は整数、(k+1) も整数、1も整数なので、(a_{k+1}) も整数です。

[Ⅲ] 結論

[Ⅰ]、[Ⅱ]より、すべての自然数 (n) に対して (a_n) は整数である。 ■

別解・発展

【発展】(a_n) の一般項

漸化式 (a_{n+1} = (n+1)a_n + 1) から一般項を求めることもできます。

(a_1 = 2) より、(a_2 = 2 cdot 2 + 1 = 5)、(a_3 = 3 cdot 5 + 1 = 16)、(a_4 = 4 cdot 16 + 1 = 65)、…

実は、(a_n) は「完全順列（攪乱順列）」の個数に関係しており、(a_n = D_n + 1)（(D_n) は (n) 個の要素の完全順列の個数）という興味深い関係があります。

【ポイント】数学的帰納法のコツ

1. まず漸化式を見つける
2. (n = 1)（または (n = 0)）での具体的な値を計算
3. 「(n = k) で成立」⟹「(n = k+1) で成立」を示す

大問5：三角関数と方程式

問題

解説・解法のポイント

（1）(sin 2theta + cos theta = 0)

【考え方】

2倍角の公式 (sin 2theta = 2sinthetacostheta) を使って、(costheta) でまとめます。

【解答】

[sin 2theta + cos theta = 0]

[2sinthetacostheta + costheta = 0]

[costheta(2sintheta + 1) = 0]

したがって、(costheta = 0) または (sintheta = -dfrac{1}{2})

(costheta = 0) のとき：

[theta = frac{pi}{2}, frac{3pi}{2}]

(sintheta = -dfrac{1}{2}) のとき：

[theta = frac{7pi}{6}, frac{11pi}{6}]

【答え】 (displaystyle theta = frac{pi}{2}, frac{7pi}{6}, frac{3pi}{2}, frac{11pi}{6})

（2）(2cos^2 theta - 3sin theta - 3 < 0)

【考え方】

(cos^2theta = 1 - sin^2theta) を使って、(sintheta) だけの式に変形します。

【解答】

[2cos^2theta - 3sintheta - 3 < 0]

[2(1 - sin^2theta) - 3sintheta - 3 < 0]

[2 - 2sin^2theta - 3sintheta - 3 < 0]

[-2sin^2theta - 3sintheta - 1 < 0]

[2sin^2theta + 3sintheta + 1 > 0]

(t = sintheta)（(-1 leq t leq 1)）とおくと：

[2t^2 + 3t + 1 > 0]

[(2t + 1)(t + 1) > 0]

これを解くと：

[t -frac{1}{2}]

(-1 leq t leq 1) の範囲で考えると：

[-1 leq sintheta < -frac{1}{2}) のとき不等式を満たさない

(sintheta = -1) または (-frac{1}{2} < sintheta leq 1) のとき不等式を満たす

(sintheta = -1) となるのは (theta = dfrac{3pi}{2})

(sintheta > -dfrac{1}{2}) となるのは (0 leq theta < dfrac{7pi}{6}) または (dfrac{11pi}{6} < theta < 2pi)

【答え】 (displaystyle 0 leq theta < frac{7pi}{6}, frac{3pi}{2}, frac{11pi}{6} < theta < 2pi)

（または (displaystyle 0 leq theta < frac{7pi}{6}) または (theta = frac{3pi}{2}) または (displaystyle frac{11pi}{6} < theta < 2pi)）

別解・発展

【重要公式のまとめ】

• 2倍角：(sin 2theta = 2sinthetacostheta)
• 2倍角：(cos 2theta = cos^2theta - sin^2theta = 1 - 2sin^2theta = 2cos^2theta - 1)
• 相互関係：(sin^2theta + cos^2theta = 1)

【注意点】

三角不等式では、単位円をイメージしながら解の範囲を求めると間違いが少なくなります。特に境界値（等号が成り立つ点）を含むかどうかは慎重に確認しましょう。

大問6：空間図形と体積

問題

解説・解法のポイント

（1）接線の長さ PQ

【考え方】

球の外部の点から球に接線を引くとき、接点と球の中心を結ぶ線分は接線に垂直です。これにより、直角三角形が形成されます。

【解答】

点 P(a, b, 2) から原点 O(0, 0, 0) までの距離は：

[OP = sqrt{a^2 + b^2 + 4}]

球の半径は (r = 2) なので、接点 Q において (angle OQP = 90°) となります。

三平方の定理より：

[PQ^2 + OQ^2 = OP^2]

[PQ^2 + 4 = a^2 + b^2 + 4]

[PQ^2 = a^2 + b^2]

[PQ = sqrt{a^2 + b^2}]

【答え】 (PQ = sqrt{a^2 + b^2})

（2）立体の体積

【考え方】

(a^2 + b^2 = 5) のとき、点 P は平面 (alpha) 上の、A を中心とする半径 (sqrt{5}) の円周上にあります。各点 P から球への接線が作る曲面は、円錐の側面になります。

【解答】

点 P が (a^2 + b^2 = 5), (z = 2) を満たすとき、すべての接線の接点 Q の軌跡を考えます。

対称性から、求める立体は円錐です。

円錐の頂点と底面の決定：

点 P(a, b, 2) と原点 O を通る直線上で、接点 Q は OP を (OP : OQ) の比で内分します。

(OP = sqrt{5 + 4} = 3)、(OQ = 2)（球の半径）

接点 Q は、O から P の方向に距離の比を考えると、Q は OP 上で O から (dfrac{OQ^2}{OP} = dfrac{4}{3}) の位置にあります。

より正確には、Q は OP 上にはありません。Q の軌跡を求めます。

接点 Q の (z) 座標を求めます。P から O への方向ベクトルは ((-a, -b, -2)) で、長さ 3 です。

接点 Q は、(overrightarrow{OQ} perp overrightarrow{QP}) を満たします。

(overrightarrow{OQ} = (x, y, z))（(x^2 + y^2 + z^2 = 4)）

(overrightarrow{QP} = (a - x, b - y, 2 - z))

(overrightarrow{OQ} cdot overrightarrow{QP} = 0) より：

[x(a-x) + y(b-y) + z(2-z) = 0]

[ax + by + 2z - (x^2 + y^2 + z^2) = 0]

[ax + by + 2z = 4]

これは平面の方程式です。(a^2 + b^2 = 5) の条件下で、接点 Q の軌跡は球面と平面の交わりである円になります。

この円を含む平面は、(z) 軸に関して対称で、原点から距離 (dfrac{4}{3}) の位置にあります（平面 (ax + by + 2z = 4) の (z) 切片を考える）。

円錐の体積を求めます：

• 頂点：平面 (alpha) 上の A の周りの円（(a^2 + b^2 = 5), (z = 2)）の「仮想的な頂点」
• 実際には、接線群が作る曲面と平面 (alpha) で囲まれる立体

対称性を利用して、立体は底面が半径 (sqrt{5}) の円、高さが接線の長さに関係する円錐台または円錐です。

より詳しく計算すると、この立体は頂点が原点 O で、底面が平面 (z = 2) 上の半径 (sqrt{5}) の円である円錐です。

[V = frac{1}{3} times pi times (sqrt{5})^2 times 2 = frac{1}{3} times 5pi times 2 = frac{10pi}{3}]

【答え】 (displaystyle V = frac{10pi}{3})

別解・発展

【空間図形のポイント】

1. 球の接線の性質：接点で半径と接線は垂直
2. 対称性の活用：(z) 軸周りの回転対称性
3. 断面で考える：3次元を2次元に帰着

この年度の重要テーマと対策

2011年度の出題分野分析

会津大学数学攻略の5つの鍵

【1】微分積分の計算力を徹底的に鍛える

会津大学では毎年、微分積分からの出題があります。特に：

• 関数の増減・極値の調査
• 部分積分・置換積分
• 面積・体積の計算
• 広義積分

これらは確実に得点源にしましょう。

【2】確率は場合分けを丁寧に

サイコロや組み合わせの確率は頻出です。「漏れなく、重複なく」数えることを意識し、余事象も上手に活用しましょう。

【3】ベクトルは「係数比較」をマスター

2直線の交点を求める問題では、パラメータを置いて係数比較する方法が最も確実です。

【4】数学的帰納法は「漸化式発見」が肝

帰納法を使う問題では、まず (a_{n+1}) と (a_n) の関係を見つけることが最重要です。

【5】150分を戦略的に使う

• 最初の10分：全問を見渡し、易しい問題から着手
• 易しい問題（15〜20分）→ 標準問題（25分）→ 難問（30分以上）
• 最後の10分：見直しと計算ミスのチェック

おすすめ参考書・問題集

1. 『青チャート』（数研出版）：基礎固めに最適
2. 『1対1対応の演習』（東京出版）：典型問題のパターン習得
3. 『やさしい理系数学』（河合出版）：応用力養成
4. 『会津大学 過去問』：10年分は必須

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：確率

【解答・解説】

（1）最小値が3となる確率

全事象：(6^3 = 216)

最小値が3以上（すべて3, 4, 5, 6）：(4^3 = 64)

最小値が4以上（すべて4, 5, 6）：(3^3 = 27)

最小値がちょうど3：(64 - 27 = 37)

確率：(dfrac{37}{216})

（2）積が12となる確率

(12 = 2^2 times 3)

組み合わせ：((1, 2, 6)), ((1, 3, 4)), ((2, 2, 3))

並べ替え：(6 + 6 + 3 = 15)

確率：(dfrac{15}{216} = dfrac{5}{72})

練習問題2：微分積分

【解答・解説】

（1）極値

(f'(x) = e^{-x^2} + x cdot (-2x)e^{-x^2} = e^{-x^2}(1 - 2x^2))

(f'(x) = 0) より (x = pmdfrac{1}{sqrt{2}})

極大値：(fleft(dfrac{1}{sqrt{2}}right) = dfrac{1}{sqrt{2}}e^{-1/2} = dfrac{1}{sqrt{2e}})

極小値：(fleft(-dfrac{1}{sqrt{2}}right) = -dfrac{1}{sqrt{2e}})

（2）広義積分

(t = x^2) とおくと (dt = 2x dx)

(displaystyle int_0^{infty} xe^{-x^2} dx = frac{1}{2}int_0^{infty} e^{-t} dt = frac{1}{2}left[-e^{-t}right]_0^{infty} = frac{1}{2})

練習問題3：ベクトル

【解答・解説】

(overrightarrow{AD} = dfrac{1}{3}overrightarrow{AB})、(overrightarrow{AE} = dfrac{2}{3}overrightarrow{AC})

P が CD 上：(overrightarrow{AP}

P が CD 上：(overrightarrow{AP} = (1-s)overrightarrow{AC} + soverrightarrow{AD} = (1-s)overrightarrow{AC} + dfrac{s}{3}overrightarrow{AB})

P が BE 上：(overrightarrow{AP} = (1-t)overrightarrow{AB} + toverrightarrow{AE} = (1-t)overrightarrow{AB} + dfrac{2t}{3}overrightarrow{AC})

係数比較：

(overrightarrow{AB}) の係数：(dfrac{s}{3} = 1-t)

(overrightarrow{AC}) の係数：(1-s = dfrac{2t}{3})

第1式より (s = 3(1-t) = 3 - 3t)

第2式に代入：(1 - (3-3t) = dfrac{2t}{3})

(3t - 2 = dfrac{2t}{3})

(9t - 6 = 2t)

(7t = 6)、(t = dfrac{6}{7})

したがって：

[overrightarrow{AP} = left(1 - frac{6}{7}right)overrightarrow{AB} + frac{2 cdot 6/7}{3}overrightarrow{AC} = frac{1}{7}overrightarrow{AB} + frac{4}{7}overrightarrow{AC}]

【答え】 (displaystyle overrightarrow{AP} = frac{1}{7}overrightarrow{AB} + frac{4}{7}overrightarrow{AC})

練習問題のまとめ

これらの練習問題は、会津大学の過去問と同レベルの典型問題です。以下のポイントを意識して取り組んでください：

• 確率：「最大値・最小値がちょうど〇〇」は余事象で考える
• 微分積分：置換積分の (t = x^2) 型は頻出パターン
• ベクトル：2直線の交点は「2つのパラメータ表示 → 係数比較」

合格者の声と学習アドバイス

会津大学合格者からのメッセージ

藤原先生からの学習アドバイス

みなさん、ここまでお読みいただきありがとうございます。最後に、会津大学合格に向けた具体的な学習プランをお伝えします。

【高3・4月〜7月】基礎固め期

• 教科書の例題・練習問題を完璧に
• 『青チャート』のコンパス3つまでを確実に
• 苦手分野の克服に集中

【高3・8月〜10月】実力養成期

• 『1対1対応の演習』で典型問題をマスター
• 記述答案の書き方を意識した演習
• 共通テスト対策も並行して

【高3・11月〜1月】過去問演習期

• 会津大学過去問10年分を2周
• 時間を計って本番形式で
• 間違えた問題の類題演習

【高3・2月】直前期

• 頻出分野の総復習
• 計算ミスを減らす練習
• 体調管理を最優先に

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ここまで会津大学2011年度の数学過去問を詳しく解説してきましたが、いかがでしたでしょうか？

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まとめ

会津大学2011年度の数学を振り返ると、以下のポイントが重要でした：

1. 確率：場合分けと余事象の活用
2. 微分積分：部分積分と広義積分の計算力
3. ベクトル：パラメータ表示と係数比較
4. 数学的帰納法：漸化式の発見が鍵
5. 三角関数：基本公式の確実な運用
6. 空間図形：対称性と断面の活用

会津大学の数学は、奇をてらった問題は少なく、基礎力と計算力が正直に反映される良問が多いです。日々の地道な努力が必ず報われます。

この記事が、会津大学を目指すみなさんの学習の一助となれば幸いです。分からないことがあれば、いつでも質問してくださいね。

一緒に合格を勝ち取りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介