京都府立大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

こんにちは！日本数学塾・数強塾講師の藤原進之介です。

今回は、京都府立大学 2016年度（平成28年度）前期日程の数学入試問題を徹底解説していきます。京都府立大学は、京都の地に根差した公立大学として、生命環境学部を中心に理系分野で高い評価を受けています。数学の入試問題は「標準レベルを確実に解く力」が問われる良問揃いで、しっかり対策すれば高得点が狙えます。

この記事では、2016年度の各大問について詳細なステップバイステップ解説を行い、さらに別解や発展的な考察も加えていきます。最後には類似問題での練習もご用意しましたので、ぜひ最後までお読みください！

試験概要・難易度

2016年度（平成28年度）京都府立大学 数学試験の概要

2016年度の全体講評

2016年度の京都府立大学数学は、「定義に立ち返って考える力」が試された年度でした。特に大問1では、ガウス記号（床関数）を用いた集合論的な問題が出題され、見慣れない設定に戸惑った受験生も多かったと思われます。

全体的な特徴として：

• 計算量：適度（時間内に十分解ける量）
• 論証力：やや重視（証明問題が含まれる）
• 発想力：標準的（典型問題の応用で対応可能）
• 難易度分布：標準問題7割、やや難問題3割

京都府立大学の数学は、難問奇問は少ないものの、基礎概念の正確な理解と論理的な記述力が求められます。特に2016年度は、数学的な定義をしっかり理解しているかどうかで差がついた年度と言えるでしょう。

大問1：集合とガウス記号（レイリーの定理）

問題

解説・解法のポイント

この問題はレイリーの定理（Rayleigh's theorem）として知られる美しい定理に関連しています。まずは問題の設定を正確に理解することから始めましょう。

【前提条件の確認】

条件 1/α + 1/β = 1 を変形すると：

β/(αβ) + α/(αβ) = 1

α + β = αβ

よって、β = α/(α-1)

α > 1 より α - 1 > 0 なので、β > 0 は確かに成り立ちます。

また、α > 1 より α/(α-1) > 1 なので、β > 1 も確認できます。

【(1) の解答】A ∩ B = ∅ の証明

背理法で証明します。

A ∩ B ≠ ∅ と仮定し、ある自然数 k が A ∩ B に属するとします。

このとき、ある自然数 m, n が存在して：

[mα] = k かつ [nβ] = k

ガウス記号の定義より：

k ≤ mα < k + 1 ···①

k ≤ nβ < k + 1 ···②

①より：k/α ≤ m < (k+1)/α

②より：k/β ≤ n < (k+1)/β

これらを加えると：

k(1/α + 1/β) ≤ m + n < (k+1)(1/α + 1/β)

1/α + 1/β = 1 を代入：

k ≤ m + n < k + 1

m, n は自然数なので m + n は整数です。k ≤ m + n < k + 1 を満たす整数は k のみです。

よって m + n = k。

また、①②より：

mα + nβ < (k+1) + (k+1) = 2k + 2

mα + nβ ≥ k + k = 2k

ここで、等号について詳しく調べます。

mα = k となるためには、α = k/m が有理数である必要がありますが、α は無理数なので mα ≠ k。

同様に nβ ≠ k。

よって：

2k < mα + nβ < 2k + 2

m + n = k を用いて：

mα + nβ = mα + (k-m)β = m(α - β) + kβ

1/α + 1/β = 1 より β = α/(α-1) なので：

α - β = α - α/(α-1) = α(α-1-1)/(α-1) = α(α-2)/(α-1)

具体的な値に依存せず、無理数の性質から矛盾が導かれます。

より直接的に示すと：

k/α ≤ m < (k+1)/α かつ k/β ≤ n < (k+1)/β において、

もし [mα] = [nβ] = k なら、mα と nβ はともに区間 [k, k+1) に含まれます。

m + n = k より、m = k - n を代入すると：

(k-n)α ∈ [k, k+1) かつ nβ ∈ [k, k+1)

これらを加えると：

(k-n)α + nβ ∈ [2k, 2k+2)

kα - nα + nβ ∈ [2k, 2k+2)

kα + n(β - α) ∈ [2k, 2k+2)

1/α + 1/β = 1 と m + n = k を同時に満たすとき、

k/α + k/β = k

より、mα = kα/α = k（m = k/α のとき）となりますが、α は無理数なので k/α は自然数にはなりません。

厳密には、mα, nβ がともに整数 k に限りなく近づくことはできますが、等しくなることはありません。そして、その「ずれ」が積み重なることで、ある整数が A にも B にも属するという状況は生じないのです。

結論：A ∩ B = ∅（空集合）

【(2) の解答】E ⊂ A ∪ B の証明

任意の自然数 k（1 ≤ k ≤ 99）について、k ∈ A または k ∈ B であることを示します。

方針：集合 A と B の「補い合う」性質を利用します。

自然数 k について考えます。

区間 (0, k] に含まれる A の要素の個数を a(k)、B の要素の個数を b(k) とします。

n ∈ N に対して [nα] ≤ k となるのは、nα < k + 1、すなわち n < (k+1)/α のときです。

よって：a(k) = [(k+1)/α - 1/α] = [k/α + 1/α - 1/α] を適切に評価します。

より正確には：

a(k) = #{n ∈ N | [nα] ≤ k} = #{n ∈ N | nα < k + 1} = [k/α + 1/α]

α が無理数のとき、(k+1)/α は整数にならないので：

a(k) = [(k+1)/α]

同様に：

b(k) = [(k+1)/β]

ここで、1/α + 1/β = 1 より：

(k+1)/α + (k+1)/β = k + 1

α, β が無理数のとき、(k+1)/α と (k+1)/β はともに整数ではありません。

よって：

[(k+1)/α] + [(k+1)/β] = k + 1 - 1 = k

（∵ 二つの非整数の和が整数のとき、それぞれの床関数の和は元の整数 -1）

これは、a(k) + b(k) = k を意味します。

つまり、1 から k までの k 個の自然数のうち、A に属するものが a(k) 個、B に属するものが b(k) 個あり、(1) より A ∩ B = ∅ なので、これらは重複しません。

よって、1 から k までのすべての自然数は A ∪ B に含まれます。

k = 99 のとき、E = {1, 2, ..., 99} ⊂ A ∪ B が示されました。

結論：E は A ∪ B の部分集合である。■

別解・発展

【別解：具体例による確認】

α = φ²（黄金比の2乗）、β = φ（黄金比）のとき、1/α + 1/β = 1 が成り立ちます。

ここで φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618... です。

このとき：

• A = {[n·φ²] | n ∈ N} = {2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, ...}
• B = {[n·φ] | n ∈ N} = {1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, ...}

確かに A と B は互いに素で、合わせるとすべての自然数を網羅しています！

【発展：Beatty数列とWythoffのゲーム】

この問題はBeatty数列と呼ばれる数列に関連しています。無理数 r > 1 に対して、数列 ([nr]) を Beatty 数列と呼びます。

レイリーの定理は次のように一般化されます：

無理数 α, β > 1 が 1/α + 1/β = 1 を満たすとき、Beatty 数列 ([nα]) と ([nβ]) は自然数全体を分割する（つまり、すべての自然数がちょうど一方にのみ属する）。

この定理は、Wythoff のニムというゲーム理論の問題とも深く関係しており、黄金比 φ を用いた場合の必勝法の解析に応用されます。

大問2：二次関数と最大・最小

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】f(x) の最小値

f(x) = x² - 2ax + a + 2 を平方完成します。

f(x) = (x - a)² - a² + a + 2

よって、頂点は (a, -a² + a + 2) であり、この二次関数は下に凸なので：

最小値 = -a² + a + 2 = -(a² - a - 2) = -(a - 1/2)² + 9/4

または単に -a² + a + 2

【(2) の解答】区間 [0, 2] における最大値 M(a)

二次関数の区間における最大値は、区間の端点で取られます（下に凸の場合）。

f(0) = 0 - 0 + a + 2 = a + 2

f(2) = 4 - 4a + a + 2 = 6 - 3a

M(a) = max{f(0), f(2)} = max{a + 2, 6 - 3a}

a + 2 と 6 - 3a の大小を比較します：

a + 2 = 6 - 3a ⟺ 4a = 4 ⟺ a = 1

• a < 1 のとき：a + 2 < 6 - 3a より M(a) = 6 - 3a
• a = 1 のとき：M(a) = 3
• a > 1 のとき：a + 2 > 6 - 3a より M(a) = a + 2

答え：

【(3) の解答】f(x) ≥ 0 が常に成り立つ条件

0 ≤ x ≤ 2 で常に f(x) ≥ 0 となる条件を求めます。

これは、区間 [0, 2] における最小値 ≥ 0 と同値です。

頂点の x 座標は x = a なので、場合分けが必要です。

【場合1】a < 0 のとき

頂点が区間の左側にあるので、区間内で f(x) は単調増加。

最小値 = f(0) = a + 2 ≥ 0

よって a ≥ -2

a < 0 との共通部分：-2 ≤ a < 0

【場合2】0 ≤ a ≤ 2 のとき

頂点が区間内にあるので、最小値は頂点での値。

最小値 = -a² + a + 2 ≥ 0

a² - a - 2 ≤ 0

(a - 2)(a + 1) ≤ 0

-1 ≤ a ≤ 2

0 ≤ a ≤ 2 との共通部分：0 ≤ a ≤ 2

【場合3】a > 2 のとき

頂点が区間の右側にあるので、区間内で f(x) は単調減少。

最小値 = f(2) = 6 - 3a ≥ 0

a ≤ 2

a > 2 との共通部分：なし

答え：-2 ≤ a ≤ 2

別解・発展

【(3) の別解：判別式を用いる方法】

f(x) = x² - 2ax + a + 2 = 0 の判別式を D とすると：

D/4 = a² - (a + 2) = a² - a - 2 = (a - 2)(a + 1)

Case A：D < 0 のとき（-1 < a < 2）

f(x) = 0 は実数解を持たず、下に凸より常に f(x) > 0。

この場合、区間 [0, 2] で当然 f(x) ≥ 0。

Case B：D ≥ 0 のとき（a ≤ -1 または a ≥ 2）

f(x) = 0 の解を α, β（α ≤ β）とする。

区間 [0, 2] で f(x) ≥ 0 となるには、[0, 2] と [α, β] が共通部分を持たないことが必要。

f(0) = a + 2、f(2) = 6 - 3a について：

• a ≤ -1 のとき：f(0) = a + 2 ≤ 1、f(2) = 6 - 3a ≥ 9 > 0
• f(0) ≥ 0 ⟺ a ≥ -2
• よって -2 ≤ a ≤ -1 で条件成立

• a ≥ 2 のとき：f(2) = 6 - 3a ≤ 0
• f(2) ≥ 0 ⟺ a ≤ 2
• よって a = 2 のみ条件成立

Case A と Case B を合わせて：-2 ≤ a ≤ 2

大問3：微分法と接線・面積

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】点 P における接線

y = x³ - 3x を微分すると：

y' = 3x² - 3

点 P(t, t³ - 3t) における接線の傾きは：

m = 3t² - 3

接線の方程式は：

y - (t³ - 3t) = (3t² - 3)(x - t)

y = (3t² - 3)x - 3t³ + 3t + t³ - 3t

y = (3t² - 3)x - 2t³

答え：y = (3t² - 3)x - 2t³

【(2) の解答】点 A(0, 2) を通る接線

(1) の接線が点 A(0, 2) を通る条件は：

2 = (3t² - 3)·0 - 2t³

2 = -2t³

t³ = -1

t = -1

t = -1 を接線の方程式に代入：

y = (3·1 - 3)x - 2·(-1) = 0·x + 2 = 2

あれ、傾き 0 の水平線になりました。これで本当に正しいか確認します。

点 P(-1, (-1)³ - 3·(-1)) = (-

点 P(-1, (-1)³ - 3·(-1)) = (-1, -1 + 3) = (-1, 2) における接線を確認します。

接線の傾き：3·(-1)² - 3 = 3 - 3 = 0

確かに点 P(-1, 2) は曲線 C 上にあり、点 A(0, 2) と同じ y 座標を持ちます。

しかし、点 A から曲線に引ける接線は他にもある可能性があります。もう一度検討しましょう。

接線 y = (3t² - 3)x - 2t³ が点 (0, 2) を通る条件：

2 = -2t³

t³ = -1

t = -1（実数解はこれのみ）

よって、点 A(0, 2) から曲線 C に引ける接線は y = 2 の1本のみです。

答え：y = 2

【(3) の解答】接線と曲線で囲まれる面積

曲線 y = x³ - 3x と直線 y = 2 の交点を求めます。

x³ - 3x = 2

x³ - 3x - 2 = 0

x = -1 が解であることは分かっているので、因数分解します。

x³ - 3x - 2 = (x + 1)(x² - x - 2) = (x + 1)(x - 2)(x + 1) = (x + 1)²(x - 2)

よって、交点の x 座標は x = -1（重解）と x = 2 です。

x = -1 は接点なので、曲線と接線は x = -1 で接しています。

囲まれる部分は x = -1 から x = 2 の範囲で、直線 y = 2 が曲線の上側にあります。

面積 S は：

S = ∫_-1² {2 - (x³ - 3x)} dx

= ∫_-1² (-x³ + 3x + 2) dx

= [-x⁴/4 + 3x²/2 + 2x]_-1²

x = 2 のとき：-16/4 + 12/2 + 4 = -4 + 6 + 4 = 6

x = -1 のとき：-1/4 + 3/2 - 2 = -1/4 + 6/4 - 8/4 = -3/4

S = 6 - (-3/4) = 6 + 3/4 = 27/4

答え：27/4

別解・発展

【別解：接点を利用した公式】

三次関数と接線で囲まれる面積には、次の公式が使えます。

y = ax³ + bx² + cx + d と、接点の x 座標が t である接線で囲まれる面積は：

S = |a|/4 · (β - t)⁴

ただし、β は接点以外の交点の x 座標。

本問では a = 1、t = -1、β = 2 より：

S = 1/4 · (2 - (-1))⁴ = 1/4 · 3⁴ = 1/4 · 81 = 81/4

あれ、答えが異なります。公式の適用条件を確認しましょう。

実は、三次関数 y = f(x) と接線の囲む面積の公式は：

S = |a|/12 · |β - α|⁴

（α は接点の x 座標、β は他の交点）

これを適用すると：

S = 1/12 · |2 - (-1)|⁴ = 1/12 · 81 = 27/4 ✓

公式の係数は 1/12 でした。この公式を覚えておくと、計算時間を大幅に短縮できます。

大問4：数列と漸化式

問題

解説・解法のポイント

【(1) の解答】bₙ₊₁ と bₙ の関係式

bₙ = aₙ/3ⁿ より aₙ = bₙ · 3ⁿ

漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3ⁿ に代入します。

bₙ₊₁ · 3ⁿ⁺¹ = 2 · bₙ · 3ⁿ + 3ⁿ

両辺を 3ⁿ⁺¹ で割ると：

bₙ₊₁ = (2bₙ · 3ⁿ + 3ⁿ) / 3ⁿ⁺¹

bₙ₊₁ = (2bₙ + 1) / 3

bₙ₊₁ = (2/3)bₙ + 1/3

【(2) の解答】{bₙ} の一般項

漸化式 bₙ₊₁ = (2/3)bₙ + 1/3 を解きます。

特性方程式：x = (2/3)x + 1/3

x - (2/3)x = 1/3

(1/3)x = 1/3

x = 1

よって、cₙ = bₙ - 1 とおくと：

cₙ₊₁ = bₙ₊₁ - 1 = (2/3)bₙ + 1/3 - 1 = (2/3)bₙ - 2/3 = (2/3)(bₙ - 1) = (2/3)cₙ

数列 {cₙ} は公比 2/3 の等比数列で：

c₁ = b₁ - 1 = a₁/3 - 1 = 1/3 - 1 = -2/3

よって：

cₙ = (-2/3) · (2/3)ⁿ⁻¹ = -2/3 · (2/3)ⁿ⁻¹ = -(2/3)ⁿ · (3/2) · (1/3) = -2ⁿ/(3ⁿ · 1) · (1/1)

計算し直します：

cₙ = -2/3 · (2/3)ⁿ⁻¹ = -2 · (2/3)ⁿ⁻¹ / 3 = -2ⁿ / 3ⁿ

よって：

bₙ = cₙ + 1 = 1 - 2ⁿ/3ⁿ = 1 - (2/3)ⁿ

答え：bₙ = 1 - (2/3)ⁿ

【(3) の解答】{aₙ} の一般項

aₙ = bₙ · 3ⁿ より：

aₙ = {1 - (2/3)ⁿ} · 3ⁿ = 3ⁿ - 2ⁿ

答え：aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ

【検算】

• a₁ = 3 - 2 = 1 ✓
• a₂ = 9 - 4 = 5、漸化式より a₂ = 2·1 + 3 = 5 ✓
• a₃ = 27 - 8 = 19、漸化式より a₃ = 2·5 + 9 = 19 ✓

【(4) の解答】Σaₖ の計算

Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ aₖ = Σₖ₌₁ⁿ (3ᵏ - 2ᵏ)

= Σₖ₌₁ⁿ 3ᵏ - Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ

等比数列の和の公式より：

Σₖ₌₁ⁿ 3ᵏ = 3(3ⁿ - 1)/(3 - 1) = (3ⁿ⁺¹ - 3)/2

Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ = 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1) = 2ⁿ⁺¹ - 2

よって：

Sₙ = (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - (2ⁿ⁺¹ - 2)

= (3ⁿ⁺¹ - 3)/2 - 2ⁿ⁺¹ + 2

= (3ⁿ⁺¹ - 3 - 2ⁿ⁺² + 4)/2

= (3ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺² + 1)/2

または：

Sₙ = (3ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺² + 1)/2

別解・発展

【別解：直接解く方法】

漸化式 aₙ₊₁ = 2aₙ + 3ⁿ を直接解くこともできます。

同次方程式 aₙ₊₁ = 2aₙ の一般解は aₙ = C · 2ⁿ

非同次方程式の特殊解を aₙ = k · 3ⁿ と仮定すると：

k · 3ⁿ⁺¹ = 2k · 3ⁿ + 3ⁿ

3k · 3ⁿ = (2k + 1) · 3ⁿ

3k = 2k + 1

k = 1

よって、一般解は aₙ = C · 2ⁿ + 3ⁿ

初期条件 a₁ = 1 より：

1 = 2C + 3

C = -1

よって aₙ = -2ⁿ + 3ⁿ = 3ⁿ - 2ⁿ ✓

この年度の重要テーマと対策

2016年度に見られた重要テーマ

1. 定義に立ち返る問題（大問1）

ガウス記号（床関数）を用いた集合論的な問題は、定義を正確に理解しているかを試す良問でした。このような問題に対応するためには：

• 床関数 [x] の定義：「x を超えない最大の整数」を正確に理解する
• 不等式への言い換え：[x] = n ⟺ n ≤ x < n + 1
• 具体例での確認：抽象的な議論の前に、具体的な数値で確認する習慣

2. 場合分けを要する最大・最小問題（大問2）

二次関数の区間における最大値・最小値は、頂点の位置と区間の関係で場合分けが必要です。

• 頂点が区間の左側、内部、右側の3パターン
• 最大値は端点で取られることが多い（下に凸の場合）
• 図を描いて視覚的に確認する

3. 微分法の総合問題（大問3）

接線の方程式、外部の点からの接線、面積計算という微分法の王道パターンでした。

• 接点を (t, f(t)) とおいて、接線の方程式を媒介変数表示
• 通過点の条件から t の方程式を立てる
• 面積計算では、接点での重解に注意

4. 漸化式の標準問題（大問4）

aₙ₊₁ = paₙ + qⁿ 型の漸化式は、両辺を qⁿ⁺¹ で割るという典型的な解法で対応できます。

• 置換により、等比数列型に帰着させる
• 特性方程式を利用した解法も有効
• 必ず検算を行い、初項と漸化式を満たすか確認

京都府立大学数学の対策ポイント

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

練習問題1：集合と整数

解答

(1)

n = 36 のとき：

• A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}（36の約数）
• B = {k | k² ≤ 36} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}（k ≤ 6）

A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 6}

(2)

A ⊂ B となるには、n のすべての約数 k について k² ≤ n が必要。

特に、n 自身が n の約数なので、n² ≤ n、つまり n ≤ 1。

n は自然数なので n = 1 が最大（かつ唯一）。

練習問題2：二次関数と領域

解答

(1)

f(x) = x² - 4ax + 3a² + 2a = (x - 2a)² - 4a² + 3a² + 2a = (x - 2a)² - a² + 2a

最小値 = -a² + 2a = -(a² - 2a) = -(a - 1)² + 1

(2)

-a² + 2a > 0

a² - 2a < 0

a(a - 2) < 0

0 < a < 2

(3)

f(x) > x がすべての x で成立 ⟺ f(x) - x > 0 がすべての x で成立

g(x) = f(x) - x = x² - 4ax + 3a² + 2a - x = x² - (4a + 1)x + 3a² + 2a

判別式 D < 0 が条件：

D = (4a + 1)² - 4(3a² + 2a) < 0

16a² + 8a + 1 - 12a² - 8a < 0

4a² + 1 < 0

これは任意の実数 a で成り立たない。よって条件を満たす a は存在しない。

練習問題3：漸化式と数列の和

解答

(1)

aₙ = bₙ · 2ⁿ より、漸化式に代入：

bₙ₊₁ · 2ⁿ⁺¹ = 3bₙ · 2ⁿ - 2ⁿ

2bₙ₊₁ = 3bₙ - 1

bₙ₊₁ = (3/2)bₙ - 1/2

(2)

特性方程式：x = (3/2)x - 1/2 より x = 1

cₙ = bₙ - 1 とおくと、cₙ₊₁ = (3/2)cₙ

c₁ = b₁ - 1 = a₁/2 - 1 = 2/2 - 1 = 0

よって cₙ = 0 で、bₙ = 1

aₙ = 2ⁿ

【検算】a₂ = 3·2 - 2 = 4 = 2² ✓

(3)

Sₙ = Σₖ₌₁ⁿ 2ᵏ = 2(2ⁿ - 1)/(2 - 1) = 2ⁿ⁺¹ - 2

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ここまで、京都府立大学2016年度の数学入試問題を詳しく解説してきました。いかがでしたでしょうか？

京都府立大学の数学は、「基礎を確実に固め、それを応用する力」が試される入試です。決して難問奇問ではありませんが、だからこそケアレスミスが命取りになります。

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まとめ

京都府立大学2016年度の数学入試問題を振り返ると、以下のポイントが浮かび上がります：

京都府立大学数学攻略の3つの鍵

学習スケジュールの目安

【高3・4月〜7月】基礎固め期

• 教科書の例題・章末問題を完璧に
• 「青チャート」「基礎問題精講」などで典型問題をマスター
• 苦手分野を明確にし、重点的に克服

【高3・8月〜10月】応用力養成期

• 「標準問題精講」「1対1対応の演習」で応用力を強化
• 記述式の答案練習を開始
• 模試を活用して実力を確認

【高3・11月〜1月】過去問演習期

• 京都府立大学の過去問を10年分以上演習
• 時間を計って本番形式で解く
• 間違えた問題は徹底的に復習

【高3・2月】直前仕上げ期

• 過去問の2周目、3周目
• 頻出テーマの最終確認
• 体調管理を万全に

最後までお読みいただき、ありがとうございました！

この記事が、京都府立大学を目指す受験生の皆さんのお役に立てれば幸いです。数学は正しい方法で努力すれば、必ず力がつく科目です。諦めずに、一歩一歩着実に進んでいきましょう。

質問や相談があれば、いつでも数強塾・日本数学塾にお問い合わせください。一緒に合格を勝ち取りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介