法政大学 2021年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事で法政大学数学を完全マスターしよう

法政大学 2021年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、2021年度に出題された全大問を、数強塾グループ代表の藤原進之介が丁寧に・やさしく・楽しく解説します。

この記事を読むと、次の3つの価値が得られます：

• ✅ 出題の本質がわかる：なぜその公式・解法を使うのかを根本から理解できる
• ✅ 解法の手順が身につく：ステップ別解説で、どんな問題でも同じ思考プロセスで解けるようになる
• ✅ 合否を分けるポイントがわかる：どの大問・どの小問で点を取るべきかの戦略が立てられる

👨‍🏫 藤原先生より：「法政大学の数学は『基礎力＋丁寧な思考』で必ず突破できます！一緒に一問ずつ丁寧に見ていきましょう。大丈夫、やればやるほど面白くなるのが数学ですよ！」

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セクション1：法政大学の数学 入試の全体像

試験形式・配点・解答形式

法政大学の数学入試は学部・方式によって異なりますが、一般的に以下のような形式です。

項目	内容
試験時間	60〜90分（学部によって異なる）
大問数	3〜4問（各大問に小問2〜3問）
解答形式	記述式（一部穴埋め）
配点	各大問均等配点が多い
数学の範囲	数学I・A・II・B（文系）／数学I・A・II・B・III（理系）

偏差値帯と求められる数学レベル

法政大学の偏差値は概ね55〜62程度で、MARCH（明治・青山学院・立教・中央・法政）の中では標準的な難易度に位置します。数学の難易度は「標準〜やや難」で、基礎をしっかり固めた上で典型問題のパターンを身につければ十分対応可能です。

求められるレベルイメージ：
- 教科書の内容を完全に理解している
- 青チャートやフォーカスゴールドの例題レベルを自力で解ける
- 複数の単元を組み合わせた問題に慣れている

法政大学数学の頻出単元ランキング

過去5〜10年の出題傾向を分析すると、以下の単元が繰り返し出題されています：

順位	単元	出題頻度	難易度
1位	微分・積分	★★★★★	標準
2位	確率	★★★★★	標準〜やや難
3位	ベクトル	★★★★☆	標準
4位	数列（等差・等比・漸化式）	★★★★☆	標準
5位	二次関数・方程式	★★★☆☆	基礎〜標準
6位	空間座標・空間図形	★★★☆☆	やや難

他大学との違い・特徴

東大・京大のように「論証の厳密さ」や「発想力」を前面に問うのではなく、法政大学は「基礎知識を確実に運用できるか」を問うのが最大の特徴です。早稲田・慶應のような計算量の多さもなく、「標準問題を確実に解ける力」が最重要といえます。

🧑 生徒：「法政大学の数学って、どんな問題が出るんですか？傾向を教えてください！」

👨‍🏫 藤原先生：「法政大学の数学の最大の特徴は、微分・積分、確率、ベクトル、数列がほぼ毎年セットで出ることだよ！特に積分は『面積を求める』問題が頻出で、$S = \int_{\alpha}^{\beta} |f(x) - g(x)|\,dx$ という2曲線で囲まれた面積の公式を使いこなせることが必須。確率も組み合わせの場合分けが重要で、$_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ をベースに丁寧に数え上げる力が問われるよ。この2単元だけで全体の40%以上を占めることも珍しくないから、まずここから固めていこう！」

基礎を丁寧に積み上げれば、必ず得点できる大学です。諦めずに一歩一歩進んでいきましょう！

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セクション2：2021年度 出題テーマ速報と分析

2021年度 出題テーマ一覧（大問別）

大問	テーマ	単元	難易度
大問1【Ⅰ】	xyz空間の長方形・座標・内積	空間ベクトル・空間座標	★★★★☆
大問1【Ⅱ】	球の取り出しと確率（x・y条件）	確率・組み合わせ	★★★☆☆
大問1【Ⅲ】	三次関数の極値・面積	微分・積分	★★★☆☆
大問2【Ⅰ】	放物線の交点・中点座標	二次関数・解と係数の関係	★★★☆☆
大問2【Ⅱ】	動点の確率・漸化式	確率・数列の漸化式	★★★★☆
大問2【Ⅲ】	ベクトルの内積・分点	ベクトル	★★★☆☆
大問3【Ⅰ】	等差数列・等比数列の和	数列	★★☆☆☆
大問3【Ⅱ】	三次関数のグラフと面積	微分・積分	★★★☆☆

（大問3【Ⅲ】は確率と二次方程式の融合問題）

難易度評価と合格ライン

2021年度全体の難易度は「標準レベル」です。

• 取れるべき問題：大問1【Ⅱ】(1)(2)、大問2【Ⅰ】(1)(2)、大問2【Ⅲ】(1)、大問3【Ⅰ】(1)①
• 差がつく問題：大問1【Ⅰ】(1)(2)、大問1【Ⅲ】、大問2【Ⅱ】(1)、大問3【Ⅱ】
• 難問（できなくてもOK）：大問1【Ⅰ】(3)、大問2【Ⅱ】(4)

合格ラインの目安：全体の約60〜65%の得点で合格圏内。「取れるべき問題」を確実に正解し、「差がつく問題」で半分取れれば十分です。

2021年度は特に空間座標と確率の漸化式が難所でした。逆に数列の基本問題（大問3【Ⅰ】）は完答必須の易問です。得点の柱を「基礎問題の確実な正解」に置く戦略が有効でした。

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セクション3：全大問 問題・解説

大問1【Ⅰ】：空間座標とベクトル（難易度★★★★☆）

【問題文】

$xyz$空間の長方形$ABCD$について、$A$の座標は$(5,0,0)$、$D$の座標は$(-5,0,0)$であり、辺$AB$の長さは5である。$B$のy座標とz座標はいずれも正であり、$B$からxy平面に下した垂線の長さは3である。原点を$O$とおく。

(1) $B$および$C$の座標を求めよ。
(2) 面$ABCD$上の点$P$が$OP=5$および$\angle AOP = \frac{\pi}{3}$を満たすとき、$P$の座標を求めよ。
(3) 面$ABCD$上の2点$Q,R$が$OQ=OR=5$、$0<\angle AOQ < \frac{\pi}{2}$および$\angle QOR = \frac{\pi}{2}$を満たすとき、線分$Q_0R_0$の長さのとり得る値の範囲を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
2点間の距離	$\|AB\| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$
内積の定義	$\vec{a}\cdot\vec{b} = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$
cos の加法定理	$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

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【(1) の解法ステップ】

ステップ① $AD$は$x$軸上にあり、$ABCD$は長方形なので$AB \perp AD$を確認する。

$\vec{AD} = (-5-5, 0, 0) = (-10, 0, 0)$なので$AD$は$x$軸方向。$AB \perp AD$より$B$は$A$から$y$・$z$方向に移動する。

ステップ② $B$の座標を$(5, \beta, \gamma)$とおく。$B$のy座標・z座標は正、$B$からxy平面への垂線の長さは3なので：

ステップ③ $AB = 5$を使って$\beta$を求める：

よって $B(5, 4, 3)$

ステップ④ $ABCD$は長方形なので$\vec{DC} = \vec{AB}$：

$$\vec{AB} = (0, 4, 3)$$
$$C = D + \vec{AB} = (-5+0,\ 0+4,\ 0+3) = (-5, 4, 3)$$

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【(2) の解法ステップ】

ステップ① 面$ABCD$上の点$P$を$P = A + s\cdot\vec{AB} + t\cdot\vec{AD}$とパラメータ表示する。

ここで $0 \le s \le 1$、$0 \le t \le 1$

ステップ② 条件$OP = 5$を使う：

ステップ③ 条件$\angle AOP = \frac{\pi}{3}$を使う（内積で計算）：

ステップ④ $t = \frac{1}{4}$を①に代入：

ステップ⑤ $P$の座標：

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【(3) の解法ステップ】

ステップ① $\angle AOQ = \theta$ とおく（$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$）。面$ABCD$上で$OQ=5$の点$Q$は：

（$A=(5,0,0)$方向が$\theta=0$、$B=(5,4,3)$方向が$\theta = \frac{\pi}{2}$に対応する面内の角）

ステップ② $\angle QOR = \frac{\pi}{2}$なので$\vec{OQ}\cdot\vec{OR} = 0$。同様に$R = (5\cos\phi, 4\sin\phi, 3\sin\phi)$（$\phi$は別の角度）として：

よって $\phi = \theta - \frac{\pi}{2}$（または $\theta + \frac{\pi}{2}$）

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$の条件と面内の制約から$\phi = \theta - \frac{\pi}{2}$を取ると：

$$R = (5\cos(\theta - \frac{\pi}{2}),\ 4\sin(\theta-\frac{\pi}{2}),\ 3\sin(\theta-\frac{\pi}{2}))$$
$$= (5\sin\theta,\ -4\cos\theta,\ -3\cos\theta)$$

ただしy座標・z座標の符号に注意が必要（面内の方向の整合性から適切に対応する）。

ステップ③ $Q$と$R$のxy平面への射影$Q_0$、$R_0$を求める（z座標を0に）：

ステップ④ $Q_0R_0^2$を計算：

ステップ⑤ $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$より$0 < 2\theta < \pi$なので$0 < \sin 2\theta \le 1$：

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【藤原先生の解説】

この問題は「空間の長方形を座標で扱う」問題です。ポイントはパラメータ表示ですね。面上の点を$P = A + s\cdot\vec{AB} + t\cdot\vec{AD}$と書くことで、2条件（距離と角度）から$s$と$t$が求まる。サッカーに例えると、「フィールド（面$ABCD$）の上のどこにいるか」を縦横の座標$(s,t)$で表すようなものです。

(3)は$\sin 2\theta$の範囲が鍵。三角関数の合成はよく練習しておきましょう！

🧑 生徒：「(2)の$\angle AOP = \frac{\pi}{3}$という角度の条件は、どうやって式にするんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「角度の条件は内積の定義 $\vec{OA}\cdot\vec{OP} = |\vec{OA}||\vec{OP}|\cos\theta$ を使うんだよ！$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$だから、$\frac{\vec{OA}\cdot\vec{OP}}{|\vec{OA}||\vec{OP}|} = \frac{1}{2}$ という方程式に変換できる。$\vec{OA} = (5,0,0)$と$\vec{OP} = (5-10t, 4s, 3s)$の内積は $5(5-10t)$ だけ（y・z成分は0で消える）だから、$\frac{5(5-10t)}{5\times5} = \frac{1}{2}$ と整理して $t = \frac{1}{4}$ が出てくるよ！角度→内積、という変換が空間ベクトル問題の鉄板パターンだ！」

空間座標の問題は「見える化（パラメータ表示）」が最強の武器です！

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大問1【Ⅱ】：球を取り出す確率（難易度★★★☆☆）

【問題文】

袋の中に20個の球が入っており、1から20の数が書かれている。この袋から同時に5個の球を取り出すとき、残った15個の中で2番目に小さい数を$x$、2番目に大きい数を$y$とおく。

(1) $x=2$ かつ $y=19$ となる確率を求めよ。
(2) $x=4$ となる確率を求めよ。
(3) $y-x=15$ となる確率を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
組み合わせ	$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
古典的確率	$P = \frac{\text{(条件を満たす場合の数)}}{\text{(全事象の数)}}$

全事象：$_{20}C_5 = \frac{20!}{5! \cdot 15!} = 15504$ 通り

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【(1) の解法ステップ】

ステップ① $x=2$かつ$y=19$の意味を整理：

残った15個の中で「2番目に小さい数が2」→ 1と2は残っていて、最小は1、2番目が2。
残った15個の中で「2番目に大きい数が19」→ 19と20は残っていて、最大は20、2番目が19。

ステップ② 取り出した5個の条件：1と2と19と20は袋に残っている→取り出されていない。3〜18（16個）から何個か取り出された。x=2の条件より、1と2の次の数（3以上）は全て取り出されるか残るかで、3は取り出されている（でないとx=3になる）。

実は最もシンプルな解釈：「1,2が残り、19,20が残り、かつ3〜18の16個から5個を取り出す」場合。

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【(2) の解法ステップ】

ステップ① $x=4$の意味：残った15個の2番目に小さい数が4。
→ 1,2,3の中から2個が取り出され（1個だけ残る）、さらに4は残っていて4が2番目に小さい。
→ 取り出された5個は：1,2,3から2個 ＋ 5以上の数から3個。

ステップ② 1,2,3から2個選ぶ：$_3C_2 = 3$通り
5〜20（16個）から3個選ぶ：$_{16}C_3 = 560$通り

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【(3) の解法ステップ】

ステップ① $y - x = 15$となる$(x,y)$の組を列挙する。$x$の最小は2、$y$の最大は19なので：

$y - x = 15$から$(x,y) = (2,17), (3,18), (4,19)$

ステップ② 各場合の確率を計算：

[1] $(x,y) = (2,17)$のとき：
取り出す5個：3〜16（14個）から3個 ＋ 18,19,20（3個）から2個

[2] $(x,y) = (3,18)$のとき：
取り出す5個：1,2（2個）から1個 ＋ 4〜17（14個）から3個 ＋ 19,20（2個）から1個

[3] $(x,y) = (4,19)$のとき：
取り出す5個：1,2,3（3個）から2個 ＋ 5〜18（14個）から3個

ステップ③ 合計：

通分：$1292 = 4 \times 323$、$969 = 3 \times 323$、最小公倍数$= 12 \times 323 = 3876$

🧑 生徒：「$x$と$y$の条件がわかりにくいです。取り出す球と残す球の関係をどう整理すればいいですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「これはね、『取り出した5個の球が何を決めるか』を考えるといいよ！$x$（2番目に小さい残り数）を決めるには、$x$より小さい数の球が1個だけ取り出されずに残っている状況が必要。$x=4$なら『1,2,3のうち2個が取り出され、1個だけ残っている』状態だよ。つまり$x-1$より小さい数の球は$(x-2)$個が取り出されている、という逆算の発想が大事なんだ！まず言葉で整理してから式を作る習慣をつけよう！」

場合分けを丁寧にやれば確率は必ず解ける！焦らず一つずつ確認しよう！

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大問1【Ⅲ】：三次関数の極値と面積（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$a$は負の定数とし、$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{a+2}{2}x^2 + 2ax - \frac{7}{6}$とおく。

(1) $f(x)$の極値を求めよ。
(2) 曲線$y = f(x)

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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