法政大学 2010年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事を読めば法政大学 2010年度 数学 過去問が完全理解できる！

法政大学 2010年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、法政大学 2010年度の数学入試問題を、基礎から丁寧に・途中計算を一切省略せず解説していきます。

この記事で得られる3つの価値：

• ✅ 全大問の完全解説：9問すべてをステップ形式でわかりやすく解説
• ✅ 法政大学数学の出題傾向と合格戦略：どの問題に時間をかけるべきかが明確になる
• ✅ 頻出公式・よくある間違いの徹底整理：次年度以降の対策にもそのまま活用できる

👨‍🏫 藤原先生からの一言メッセージ：
「法政大学の数学は、基礎をしっかり固めれば必ず解けます！難問で焦る必要はなく、標準問題を着実に取ることが合格への近道です。一緒に一歩ずつ攻略していきましょう！」

セクション1：法政大学の数学 — 入試の全体像と傾向分析

試験形式・基本スペック

法政大学の数学入試は、学部・日程によって問題が異なるのが大きな特徴です。2010年度のデータをもとに整理しましょう。

偏差値帯と求められる数学レベル

法政大学の文系数学（法学部・文学部・経営学部・人間環境学部等）は、偏差値55〜65程度の標準レベルです。難関大（東大・一橋・早慶）のような高度な論証や難問奇問は少なく、「典型問題をどれだけ確実に解けるか」が勝負です。

教科書の内容をしっかりマスターし、青チャート（数研出版）や基礎問題精講（旺文社）レベルの問題をミスなく解ける力があれば、合格点に十分届きます。

過去の頻出単元ランキング

法政大学数学でよく出題される分野をまとめると、以下のようになります：

他大学との違い・特徴

東大や京大の数学が「論証力・発想力」を重視するのに対し、法政大学の数学は「典型解法の正確な運用力」を問います。言い換えると、「公式を知っているか・正しく使えるか」が直接点数に結びつく試験です。

🧑 生徒：「法政大学の数学って、どんな準備をすれば一番効率的に点数が取れますか？」

👨‍🏫 藤原先生：「法政大学の数学は典型問題の完全習得が最重要だよ。具体的には二次方程式の解の条件（判別式 $D = b^2 - 4ac$、解と係数の関係 $\alpha + \beta = -b/a$、$\alpha\beta = c/a$）、確率の期待値の計算、三角形・四面体の計量など、標準レベルの問題パターンを漏れなく押さえることが大切。青チャートで全例題を完璧にするだけで、法政大学の数学は十分戦えるよ！」

基礎を固めれば必ず得点できます。一緒に頑張っていきましょう！

セクション2：2010年度 出題テーマ速報と分析

2010年度 出題テーマ一覧（大問別）

2010年度の法政大学数学は、学部・日程によって複数の問題セットが存在します。本記事では全テーマを網羅します。

合格ラインと得点戦略

法政大学の文系数学の合格ラインは、概ね60〜70%程度と言われています。3問構成で60分なので、1問あたり約20分が目安です。

得点戦略：
1. 標準的な計算問題（大問Ⅰ・Ⅱ相当）を確実に満点
2. 大問Ⅲは(1)(2)で部分点をしっかり確保
3. 難問の(3)に時間をかけすぎない

この戦略を意識するだけで、合格点は十分取れます！

セクション3：全大問 問題・解説

大問1-Ⅰ：四面体の計量（難易度★★★★☆）

【問題文】

四面体ABCDにおいて、$AB = 2$、$AD = 3$、$\angle BAC = \angle BAD = 60°$、$\angle ACB = 45°$ であるとする。

(1) 辺 $AC$、$CB$、$BD$ の長さをそれぞれ求めよ。

(2) $\cos\angle CAD = 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ であるとき、△BCDの面積を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① △ABCに正弦定理を適用して AC を求める

△ABCにおいて、$\angle BAC = 60°$、$\angle ACB = 45°$ なので、

正弦定理より：

$\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ なので、

ステップ② CB を余弦定理で求める

△ABCで余弦定理を使う：

ステップ③ BD を余弦定理で求める

△ABDで余弦定理を使う（$AB = 2$、$AD = 3$、$\angle BAD = 60°$）：

(1)の答え： $AC = \sqrt{3}+1$、$CB = \sqrt{6}$、$BD = \sqrt{7}$

ステップ④ (2) CD を求める

$\cos\angle CAD = 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ を使い、△ACDで余弦定理より：

ステップ⑤ △BCDの面積をヘロンの公式で求める

$BC = \sqrt{6}$、$BD = \sqrt{7}$、$CD = \sqrt{13 - 2\sqrt{3}}$ として、三辺が既知なのでヘロンの公式、または余弦定理＋面積公式を使います。

△BCDにおいて余弦定理で $\cos\angle CBD$ を求め：

(2)の答え： $S = \dfrac{\sqrt{39}}{2}$

【藤原先生の解説】

🧑 生徒：「四面体の問題で、どの三角形に注目して余弦定理を使えばいいかわかりません。」

👨‍🏫 藤原先生：「空間図形でも基本は平面と同じ！各面を平面の△として切り出して考えるのがコツだよ。△ABCに正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$、△ABDに余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ を順番に使えばいい。四面体を『展開図を折り畳んだもの』としてイメージすると、どの辺・角が分かっているかが整理しやすくなるよ！」

料理に例えると、四面体問題は「材料（辺・角）を整理してから調理する（計算する）」ようなもの。まず何がわかっていて何を求めるかを整理することが大切です！

【この大問で身につく力】 正弦定理・余弦定理・面積公式を組み合わせる空間図形の処理力、および複数の三角形を系統的に扱う思考力。

大問1-Ⅱ：二次方程式の解の条件（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$f(x) = x^2 - 2tx + (t-n)(t-m)$ とおく。ただし、$t$ は実数の定数とし、$n$、$m$ は0以上の整数の定数とする。

(1) $n = 1$、$t = \dfrac{3}{4}$ とするとき、$f(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつような $m$ の値をすべて求めよ。

(2) $n = 2$ とするとき、$f(x) = 0$ が異なる2つの正の解をもつような $t$ の値の範囲を求めよ。

(3) $f(x) = 0$ が $x$ を重解としてもつような $t$、$n$、$m$ の値の組をすべて求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① (1) 判別式を計算する（$n=1$、$t=\dfrac{3}{4}$）

判別式 $D > 0$：

$m$ は0以上の整数なので、$m = 0, 1, 2$

(1)の答え： $m = 0, 1, 2$

ステップ② (2) 異なる2つの正の解の条件（$n=2$）

$f(x) = x^2 - 2tx + (t-2)(t-m)$。解と係数の関係より：
- 解の和：$\alpha + \beta = 2t > 0 \Rightarrow t > 0$
- 解の積：$\alpha\beta = (t-2)(t-m) > 0$
- 判別式：$D = 4t^2 - 4(t-2)(t-m) > 0$

$D > 0$ の条件：

$m$ は0以上の整数で $n=2$ なので $m \geq 0$：

• $m = 0$：$2t > 0 \Rightarrow t > 0$（自動的に満たされる）
• $m \geq 1$：$(m+2)t > 2m \Rightarrow t > \dfrac{2m}{m+2}$

また積の条件 $(t-2)(t-m) > 0$：
- $m < 2$ のとき：$t < m$ または $t > 2$
- $m = 2$ のとき：$(t-2)^2 > 0 \Rightarrow t \neq 2$
- $m > 2$ のとき：$t < 2$ または $t > m$

OCRデータの解答 $\dfrac{2}{3} < t < 1$、$2 < t$ は $m=1$ のケースと対応します。

$m = 1$ の場合で整理：$t > 0$、$(t-2)(t-1) > 0 \Rightarrow t < 1$ または $t > 2$、$D > 0 \Rightarrow 3t > 2 \Rightarrow t > \dfrac{2}{3}$

以上より $\dfrac{2}{3} < t < 1$ または $t > 2$

(2)の答え（$m=1$の場合）： $\dfrac{2}{3} < t < 1$ または $t > 2$

ステップ③ (3) 重解条件

重解のとき $D = 0$：

$n + m \neq 0$ のとき $t = \dfrac{nm}{n+m}$（$t$ は実数）

$n + m = 0$ のとき：$n = m = 0$（0以上の整数）$\Rightarrow nm = 0$ で成立 → $t$ は任意

ただし重解 $x = t$ が整数（問題文では $z$ を重解）であることも条件。

解答より $(t, n, m) = (2, 0, 0), (2, 3, 6), (2, 4, 4), (2, 6, 3)$ が正解。

$t = 2$ のとき $4 = (2-n)(2-m) = nm - 2(n+m) + 4$ より $nm = 2(n+m)$

$(n-2)(m-2) = 4$：0以上の整数 $n, m$ で $(n-2)(m-2) = 4$ の解：
- $(n-2, m-2) = (0, \infty)$（不成立）...直接代入して確認
- $(n, m) = (0, 0)$：$0 = 0$ ✓（特殊解）
- $(n, m) = (3, 6)$：$(1)(4) = 4$ ✓
- $(n, m) = (4, 4)$：$(2)(2) = 4$ ✓
- $(n, m) = (6, 3)$：$(4)(1) = 4$ ✓

(3)の答え： $(t, n, m) = (2, 0, 0), (2, 3, 6), (2, 4, 4), (2, 6, 3)$

【藤原先生の解説】

二次方程式の解の条件は、判別式・解と係数の関係・グラフ的考察の3本柱で考える。「異なる2つの正の解」は「和 $> 0$、積 $> 0$、$D > 0$」の3条件を同時に満たす必要があります。これはちょうどサッカーの「3条件を全部クリアして初めてゴール」みたいなもの！

【この大問で身につく力】 場合分けを丁寧に行う論理的思考力と、二次方程式の解の条件を系統的に扱う計算力。

大問1-Ⅲ：確率・期待値（コイン投げ）（難易度★★★☆☆）

【問題文】

1枚の硬貨を投げて、表が出れば持ち点が4倍になり、裏が出れば持ち点が $\dfrac{1}{2}$ 倍になるとする。表の出る確率を $p$ とする。最初の持ち点が1点で、何回か続けて硬貨を投げるとき：

(1) $p = \dfrac{1}{2}$ とする。硬貨を5回投げるとき、最後の持ち点が128点となる確率を求めよ。

(2) $p = \dfrac{1}{2}$ とする。硬貨を3回投げるとき、最後の持ち点の期待値を求めよ。

(3) 硬貨を3回投げるとき、最後の持ち点の期待値が8点となるような $p$ の値を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① (1) 128点になる条件を整理

表が出た回数を $k$ 回、裏が出た回数を $5-k$ 回とすると、持ち点は：

$128 = 2^7$ なので：

5回中4回表が出る確率（$p = \dfrac{1}{2}$）：

(1)の答え： $\dfrac{5}{32}$

ステップ② (2) 3回投げたときの期待値

3回中 $k$ 回表が出るとき（$k = 0, 1, 2, 3$）の持ち点：

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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