秋田大学 2008年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

= n · (3/5) · (2/5)ⁿ⁻¹ / {1 − (2/5)ⁿ}

これを整理すると：

P(A|B) = (3n · 2ⁿ⁻¹) / (5ⁿ − 2ⁿ)

または、分母分子を 5ⁿ⁻¹ で割って

P(A|B) = 3n · (2/5)ⁿ⁻¹ / {1 − (2/5)ⁿ}

別解・発展

条件付き確率の問題では、ベイズの定理を意識することも重要です。本問では直接的な条件付き確率の計算でしたが、「ある結果が観測されたとき、その原因は何か」を問う逆向きの確率を求める場合にベイズの定理が活躍します。

また、n → ∞ のとき、P(A|B) の極限を考えることも面白い発展問題です：

lim_n→∞ P(A|B) = lim_n→∞ 3n · (2/5)ⁿ⁻¹ / {1 − (2/5)ⁿ}

分子の 3n · (2/5)ⁿ⁻¹ は、指数関数の減少が多項式の増加より速いため 0 に収束します。分母は 1 に収束するので、極限値は 0 となります。これは直感的にも納得できます：試行回数が十分多いとき、「赤玉が出た」という条件下で「ちょうど1回だけ」という確率は極めて小さくなります。

大問4：ベクトルと空間図形

問題

座標空間において、3点 A(1, 0, 0)、B(0, 2, 0)、C(0, 0, 3) を頂点とする三角形 ABC を考える。

(1) 三角形 ABC の面積を求めよ。

(2) 三角形 ABC を含む平面の方程式を求めよ。

(3) 原点 O から平面 ABC に下ろした垂線の足を H とするとき、点 H の座標を求めよ。

(4) 四面体 OABC の体積を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) 三角形の面積（空間ベクトル）

【解法のポイント】

空間における三角形の面積は、2辺のベクトルの外積の大きさの 1/2 で求められます。

S = (1/2)|AB × AC|

【解答】

AB = B − A = (0−1, 2−0, 0−0) = (−1, 2, 0)

AC = C − A = (0−1, 0−0, 3−0) = (−1, 0, 3)

外積の計算：

AB × AC = |i j k |

　　　　　|−1 2 0 |

　　　　　|−1 0 3 |

= i(2·3 − 0·0) − j(−1·3 − 0·(−1)) + k(−1·0 − 2·(−1))

= i(6) − j(−3) + k(2)

= (6, 3, 2)

外積の大きさ：

|AB × AC| = √(6² + 3² + 2²) = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7

三角形の面積：

S = 7/2

(2) 平面の方程式

【解法のポイント】

外積 AB × AC は平面 ABC の法線ベクトルになります。法線ベクトルと平面上の1点がわかれば、平面の方程式が求まります。

【解答】

法線ベクトル n = (6, 3, 2)

平面上の点として A(1, 0, 0) を使うと、平面の方程式は：

6(x − 1) + 3(y − 0) + 2(z − 0) = 0

6x − 6 + 3y + 2z = 0

6x + 3y + 2z = 6

（または 6x + 3y + 2z − 6 = 0）

(3) 垂線の足の座標

【解法のポイント】

原点から平面への垂線は、法線ベクトルの方向に沿っています。直線の媒介変数表示を使い、平面との交点を求めます。

【解答】

原点 O(0, 0, 0) から法線方向 n = (6, 3, 2) に沿った直線：

(x, y, z) = t(6, 3, 2) = (6t, 3t, 2t)　（t は媒介変数）

これが平面 6x + 3y + 2z = 6 と交わる点を求める：

6(6t) + 3(3t) + 2(2t) = 6

36t + 9t + 4t = 6

49t = 6

t = 6/49

したがって、点 H の座標は：

x = 6 · (6/49) = 36/49

y = 3 · (6/49) = 18/49

z = 2 · (6/49) = 12/49

H(36/49, 18/49, 12/49)

(4) 四面体の体積

【解法のポイント】

四面体の体積は「底面積 × 高さ × 1/3」または「スカラー三重積」で求められます。

【解答】

方法1：底面積と高さから求める

底面（三角形 ABC）の面積：S = 7/2（(1)より）

高さ：OH = |OH| = √{(36/49)² + (18/49)² + (12/49)²}

= (1/49)√(36² + 18² + 12²)

= (1/49)√(1296 + 324 + 144)

= (1/49)√1764

= (1/49) · 42

= 42/49 = 6/7

四面体の体積：

V = (1/3) × S × h = (1/3) × (7/2) × (6/7) = (1/3) × 3 = 1

方法2：スカラー三重積を使う

OA = (1, 0, 0)、OB = (0, 2, 0)、OC = (0, 0, 3)

V = (1/6)|OA · (OB × OC)|

OB × OC = |i j k|

　　　　　|0 2 0|

　　　　　|0 0 3|

= i(2·3 − 0·0) − j(0·3 − 0·0) + k(0·0 − 2·0)

= (6, 0, 0)

OA · (OB × OC) = (1, 0, 0) · (6, 0, 0) = 6

V = (1/6) × 6 = 1

別解・発展

座標軸上に頂点がある四面体の体積には、簡便な公式があります：

3点 A(a, 0, 0)、B(0, b, 0)、C(0, 0, c) と原点 O で作る四面体の体積は

V = (1/6)|abc|

本問では a = 1, b = 2, c = 3 なので、V = (1/6) × 1 × 2 × 3 = 1 と即座に求まります。

大問5：複素数平面（医学部）

問題

複素数 z = cos θ + i sin θ（0 < θ < π/2）について、次の問いに答えよ。

(1) w = z + 1/z とするとき、w を θ を用いて表せ。

(2) w² を θ を用いて表せ。

(3) z⁴ + 1/z⁴ を cos 4θ を用いて表せ。

(4) ∫₀^π/4 cos⁴θ dθ を求めよ。

解説・解法のポイント

(1) w = z + 1/z の計算

【解法のポイント】

z = cos θ + i sin θ = e^iθ（オイラーの公式）を使うと、1/z = e^−iθ = cos θ − i sin θ となります。

【解答】

z = cos θ + i sin θ

|z| = √(cos²θ + sin²θ) = 1 より、z は単位円上の点

1/z = 1/(cos θ + i sin θ)

= (cos θ − i sin θ)/((cos θ + i sin θ)(cos θ − i sin θ))

= (cos θ − i sin θ)/(cos²θ + sin²θ)

= cos θ − i sin θ

したがって：

w = z + 1/z = (cos θ + i sin θ) + (cos θ − i sin θ)

w = 2 cos θ

(2) w² の計算

【解答】

w = 2 cos θ より

w² = 4 cos²θ

または、倍角の公式を使って：

w² = 4 cos²θ = 4 · (1 + cos 2θ)/2 = 2(1 + cos 2θ) = 2 + 2 cos 2θ

(3) z⁴ + 1/z⁴ の計算

【解法のポイント】

ド・モアブルの定理：(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ を使います。

【解答】

ド・モアブルの定理より：

z⁴ = (cos θ + i sin θ)⁴ = cos 4θ + i sin 4θ

1/z⁴ = (cos θ − i sin θ)⁴ = cos 4θ − i sin 4θ

したがって：

z⁴ + 1/z⁴ = (cos 4θ + i sin 4θ) + (cos 4θ − i sin 4θ)

= 2 cos 4θ

(4) 定積分の計算

【解法のポイント】

(1)〜(3)の結果を使って cos⁴θ を表し、積分します。

【解答】

w = 2 cos θ より cos θ = w/2

w⁴ = (z + 1/z)⁴ を展開：

w⁴ = z⁴ + 4z³ · (1/z) + 6z² · (1/z²) + 4z · (1/z³) + 1/z⁴

= z⁴ + 4z² + 6 + 4/z² + 1/z⁴

= (z⁴ + 1/z⁴) + 4(z² + 1/z²) + 6

ここで：

z² + 1/z² = (cos θ + i sin θ)² + (cos θ − i sin θ)² = 2 cos 2θ

z⁴ + 1/z⁴ = 2 cos 4θ（(3)より）

したがって：

w⁴ = 2 cos 4θ + 4 · 2 cos 2θ + 6 = 2 cos 4θ + 8 cos 2θ + 6

w = 2 cos θ より w⁴ = 16 cos⁴θ なので：

16 cos⁴θ = 2 cos 4θ + 8 cos 2θ + 6

cos⁴θ = (1/8)(cos 4θ + 4 cos 2θ + 3)

定積分の計算：

∫₀^π/4 cos⁴θ dθ = (1/8) ∫₀^π/4 (cos 4θ + 4 cos 2θ + 3) dθ

= (1/8) [(sin 4θ)/4 + 4 · (sin 2θ)/2 + 3θ]₀^π/4

= (1/8) [(sin π)/4 + 2 sin(π/2) + 3π/4 − 0]

= (1/8) [0 + 2 · 1 + 3π/4]

= (1/8) [2 + 3π/4]

= (1/8) · (8 + 3π)/4

= (8 + 3π)/32

別解・発展

cos⁴θ の積分は、半角公式を繰り返し適用する方法でも解けます：

cos⁴θ = (cos²θ)² = ((1 + cos 2θ)/2)² = (1/4)(1 + 2 cos 2θ + cos²2θ)

= (1/4)(1 + 2 cos 2θ + (1 + cos 4θ)/2)

= (1/4)(3/2 + 2 cos 2θ + cos 4θ/2)

= (1/8)(3 + 4 cos 2θ + cos 4θ)

これは(4)で求めた結果と一致します。複素数を使う方法は、より高次の場合（cos⁶θ、cos⁸θ など）でも系統的に計算できる利点があります。

この年度の重要テーマと対策

2008年度の出題傾向まとめ

2008年度の秋田大学数学入試を振り返ると、以下の特徴が見られました：

秋田大学数学攻略のための5つのポイント

学部別の対策ポイント

【医学部医学科】

試験時間120分で5問を解く必要があり、時間配分が重要です。複素数平面や数列の証明問題など、やや難度の高い問題も含まれるため、過去問演習を通じて出題パターンに慣れておきましょう。目標得点率は70%以上です。

【理工学部（旧工学資源学部）】

試験時間90分で4問という構成で、比較的時間に余裕があります。基礎〜標準レベルの問題が中心なので、教科書の例題・章末問題レベルを確実に解けるようにすることが重要です。目標得点率は65%以上です。

【教育文化学部】

数学の配点比率がやや低めですが、得意な人は得点源にできます。基礎的な問題を確実に解くことを意識しましょう。

類似問題で練習しよう（練習問題3問）

2008年度の秋田大学入試で出題された分野の類似問題を用意しました。ぜひチャレンジしてみてください！

【練習問題1】定積分（部分積分）

【練習問題2】確率（条件付き確率）

【練習問題3】空間ベクトルと四面体

秋田大学 数学攻略のための学習計画

時期別の学習スケジュール

おすすめ参考書・問題集

日本数学塾・数強塾で秋田大学合格を目指そう

ここまで2008年度秋田大学数学の過去問解説をお読みいただき、ありがとうございます。

「解説を読めば分かるけど、自分で解くとなると...」

「計算ミスがなかなか減らない...」

「記述答案の書き方に自信がない...」

そんな悩みを抱えている受験生も多いのではないでしょうか？

無料体験授業のご案内

数強塾・日本数学塾では、無料体験授業を実施しています。

体験授業では：

• 現在の学力レベルの診断
• 志望校合格までの学習計画の提案
• 実際の授業の雰囲気を体験
• 学習に関する相談

を行います。「数学が苦手...」という方も、「もっと得点を伸ばしたい！」という方も、ぜひお気軽にお申し込みください。

まとめ

2008年度の秋田大学数学入試について、全問題の詳細な解説をお届けしました。

この年度のポイント：

• ✅ 微分積分：部分積分の計算、面積の求め方が問われた
• ✅ 確率：反復試行と条件付き確率の理解が必要
• ✅ 空間ベクトル：外積を使った面積・体積計算が出題
• ✅ 複素数平面：ド・モアブルの定理と三角関数の融合問題
• ✅ 全体として標準的な難易度で、基礎力があれば高得点が狙える

秋田大学の数学は、奇をてらった問題は少なく、基礎をしっかり固めた受験生が報われる試験です。日々の学習を大切にし、過去問演習を通じて出題傾向をつかめば、必ず合格点に到達できます。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。皆さんの秋田大学合格を心より応援しています！

数強塾・日本数学塾 講師
藤原 進之介

※本記事の問題は、2008年度秋田大学入試問題を参考に作成した類似問題を含みます。実際の入試問題とは一部異なる場合があります。
※最新の入試情報は、必ず秋田大学公式サイトでご確認ください。