山口大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
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はじめに：この記事で得られること
山口大学 2018年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、山口大学2018年度の数学問題を、基礎の「なぜ？」から丁寧に解き明かしていきます。
この記事を読むことで、以下の3つが手に入ります：
- ✅ 2018年度全大問の完全解説（途中計算ゼロ省略）
- ✅ 山口大学数学の出題傾向と合格戦略（5年分の分析付き）
- ✅ 合否を分けた問題の攻略法（よくあるミスと正しい解法）
👨🏫 藤原先生より：山口大学の数学は「標準レベル」とよく言われますが、それは「簡単」という意味ではありません。基礎をしっかり身につけた上で、幅広い分野に対応できる「応用力」が問われます。この記事でその応用力を一緒に鍛えていきましょう！
【セクション2】山口大学の数学：入試の全体像
試験形式と基本情報
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 120分 |
| 大問数 | 4題（文系・理系αともに4題、理系βは別問題） |
| 配点 | 各大問50点、計200点満点 |
| 解答形式 | 記述式（途中の考え方も採点対象） |
| 難易度 | 標準レベル（偏差値55〜60帯の受験生向け） |
偏差値帯と求められる数学レベル
山口大学の各学部の偏差値はおおむね50〜60の範囲に位置します。数学においては、教科書の例題レベルをしっかりマスターした上で、それを組み合わせる力が問われます。「難問を解く力」よりも「標準問題を確実に解く力」が合否に直結します。
過去5〜10年の出題傾向まとめ
山口大学数学の出題分野は非常に幅広く、特定の単元に偏らないのが特徴です。
| 頻出ランク | 分野 |
|---|---|
| ★★★★★ | 微分・積分（面積計算、接線） |
| ★★★★☆ | ベクトル・空間図形（内積、法線ベクトル） |
| ★★★★☆ | 確率（組み合わせ、余事象） |
| ★★★☆☆ | 線形計画法（領域と最大・最小） |
| ★★★☆☆ | 数列（漸化式、極限） |
| ★★☆☆☆ | 複素数平面（理系β） |
他大学との違い・山口大学数学の特徴
東大や京大が「論理の精密さ」を問うのに対し、山口大学は「正しい手順で正確に計算できるか」を重視します。つまり、解法の選択と計算の正確さが勝負の分かれ目です。また、問題が(1)(2)(3)と誘導形式になっていることが多く、前の小問の結果を次の小問で活用する構造になっています。
🧑 生徒：「山口大学の数学って、どんな力が一番大事ですか？」
👨🏫 藤原先生：「いい質問だね！山口大学の数学で一番大事なのは、標準的な解法を確実に使いこなせることだよ。たとえばベクトルなら内積の計算と正射影、積分なら置換積分・部分積分、確率なら余事象を使った数え上げ。これらを確実に使えれば、合格ラインは十分に超えられるよ。難問を解くより、標準問題をミスなく完答する練習をしよう！」
基礎の積み重ねが、山口大学合格への最短ルートです。焦らず一緒に進んでいきましょう！
【セクション3】2018年度 出題テーマ速報と分析
2018年度 大問別出題テーマ一覧
今回解説するのは、文系・理系αで共通の大問1・2と、確率の大問（大問3）の3問です（OCRデータに基づく解説対象）。
| 大問 | テーマ | 分野 | 難易度 |
|---|---|---|---|
| 大問1 | 空間ベクトル・四面体の体積 | 数学B ベクトル | ★★★☆☆ |
| 大問2 | 線形計画法（領域と最大値） | 数学II 図形と方程式 | ★★☆☆☆ |
| 大問3 | 確率（組み合わせ・余事象） | 数学A 確率 | ★★★★☆ |
難易度評価とコメント
- 大問1：空間ベクトルの計算問題。ベクトルの内積・外積の面積公式、法線ベクトルの決定、四面体の体積算出と、ベクトル分野の知識が一通り問われる良問。(4)がやや難しい。
- 大問2：線形計画法の基本。場合分けの条件設定が肝。0 < a < 1の場合とa ≥ 1の場合で最大点が変わる。確実に得点したい基本問題。
- 大問3：確率の問題で、(3)は余事象を使う発想が必要。数え上げのミスが多発しやすく、合否を分けた問題といえる。
合格ラインと得点戦略
山口大学の数学で合格ラインを超えるには、200点満点中130〜140点程度（65〜70%）が目安です。
- 確実に満点を狙う問題：大問2（線形計画法）
- 着実に点を取る問題：大問1の(1)(2)(3)、大問3の(1)(2)
- 差がつく問題：大問1の(4)、大問3の(3)
2018年度は全体的に標準的な難易度で、基礎をしっかり身につけた受験生には解きやすい年だったといえます。
【セクション4】全大問 問題・解説
大問1：空間ベクトルと四面体の体積（難易度★★★☆☆）
【問題文】
空間内の3点 $\mathrm{A}(1, 3, -2)$、$\mathrm{B}(3, 2, -1)$、$\mathrm{C}(2, 1, 3)$ について、次の問いに答えなさい。
(1) $\angle \mathrm{BAC} = \theta$ とするとき、$\cos\theta$ の値を求めなさい。
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$ の面積 $S$ を求めなさい。
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$ を含む平面に垂直なベクトルを $(x, y, 1)$ と表すとき、$x$、$y$ の値をそれぞれ求めなさい。
(4) 原点を O とするとき、四面体 OABC の体積 $V$ を求めなさい。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 内積の公式 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta$ |
| 三角形の面積公式（ベクトル） | $S = \frac{1}{2}\sqrt{\|\vec{AB}\|^2\|\vec{AC}\|^2 - (\vec{AB}\cdot\vec{AC})^2}$ |
| 法線ベクトルの条件 | 平面上の2方向ベクトルと垂直：$\vec{n}\cdot\vec{AB}=0$、$\vec{n}\cdot\vec{AC}=0$ |
| 四面体の体積 | $V = \frac{1}{3} \times (\text{底面積}) \times (\text{高さ})$ |
【(1) の解法ステップ】
ステップ① 方向ベクトルを求める：
ステップ② 内積と大きさを計算する：
ステップ③ $\cos\theta$ を求める：
【(2) の解法ステップ】
ステップ① 面積公式を適用する：
ステップ② 各値を代入する：
ステップ③ 計算する：
【(3) の解法ステップ】
ステップ① 法線ベクトル $\vec{u} = (x, y, 1)$ が $\vec{AB}$、$\vec{AC}$ と垂直である条件を立てる：
ステップ② 連立方程式を解く：
$(i)$ より $y = 2x+1$ を $(ii)$ に代入：
【(4) の解法ステップ】
ステップ① 高さ $|OH|$ を求める方針を立てる。
法線ベクトル方向 $(1, 3, 1)$ に沿って原点Oから面ABCへ垂線を下ろすと、その足Hは
かつ、HはABCの平面上にあるので
と書ける。
ステップ② 方程式を立てる：
成分ごとに分けると：
ステップ③ 連立方程式を解く：
$(A) - (C)$：$0 = 3 + s - 4t \Rightarrow s = 4t - 3 \quad \cdots (D)$
$(B)$ に $(A)$ を代入：$3(1+2s+t) = 3 - s - 2t \Rightarrow 3+6s+3t = 3-s-2t \Rightarrow 7s+5t=0 \quad \cdots (E)$
$(D)$ を $(E)$ に代入：$7(4t-3)+5t = 0 \Rightarrow 28t - 21 + 5t = 0 \Rightarrow 33t = 21 \Rightarrow t = \frac{7}{11}$
$(A)$ より：$k = 1 + 2(-\frac{5}{11}) + \frac{7}{11} = 1 - \frac{10}{11} + \frac{7}{11} = 1 - \frac{3}{11} = \frac{8}{11}$
ステップ④ 高さを計算する：
ステップ⑤ 体積を求める：
【藤原先生の解説】
大問1の核心は「空間の幾何を計算でとらえる」ことです。実は四面体の体積を求める問題は、料理の「レシピ通りに作る」のに似ています。材料（ベクトルの成分）が揃ったら、手順（内積→面積→高さ→体積）を順番通りに組み立てるだけです。
特に(4)では、法線ベクトルの向きに高さが伸びるという空間的なイメージが重要です。$\vec{OH} = k(1,3,1)$ と置く発想が出てこない人が多いですが、(3)で求めた法線ベクトル $(1,3,1)$ をそのまま活用しているんですね。(1)→(2)→(3)→(4) と前の答えが次の問いに繋がる美しい誘導構造になっています。
🧑 生徒：「(4)で四面体の体積を求めるとき、なぜ $\vec{OH} = k(1,3,1)$ と置けるんですか？」
👨🏫 藤原先生：「いい疑問だね！四面体の体積は $V = \frac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ}$ で求めるんだけど、高さというのは『底面ABCに垂直な方向の長さ』なんだ。(3)で求めた法線ベクトル $(1, 3, 1)$ がまさに『底面ABCに垂直な方向』を表しているよ。だから原点Oから底面ABCへ下ろした垂線は、この法線ベクトルの方向に向かっていく。つまり $\vec{OH} = k(1, 3, 1)$ と表せるんだ。前の問いの答えを次の問いに使う——これが誘導型問題の醍醐味だよ！」
(1)〜(4)の誘導の流れを意識して解くと、空間ベクトルがずっと楽しくなりますよ！
【この大問で身につく力】
空間における図形の量（角度・面積・体積）をベクトルの計算で求める実践力。法線ベクトルを活用した高さの算出という、入試頻出の思考パターンが身につきます。
大問2：線形計画法（領域と最大値）（難易度★★☆☆☆）
【問題文】
座標平面において、連立不等式
の表す領域を $D$ とし、$a$ を正の定数とする。点 $(x, y)$ が領域 $D$ 内を動くとき、$ax + y$ の最大値を $M$ とする。
(1) 2直線 $y = -x+8$ と $y = -2x+12$ の交点を求め、領域 $D$ を図示しなさい。
(2) $0 < a < 1$ のとき、$M$ の値を求めなさい。
(3) $1 \leq a$ のとき、$a$ を用いて $M$ を表しなさい。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 線形計画法の基本 | 直線 $ax + y = M$ の切片 $M$ を最大化する頂点を探す |
| 直線の傾きと最大点の関係 | 目的関数の直線の傾きと領域の辺の傾きを比較して最大点を決定 |
【(1) の解法ステップ】
ステップ① 2直線の交点を求める：
交点は $\mathbf{(4, 4)}$。
ステップ② 領域 $D$ の頂点を求める：
- $y \leq -x+8$、$y \leq -2x+12$、$x \geq 0$、$y \geq 0$ を満たす多角形の頂点：
- $(0, 0)$：$x=0$、$y=0$ の交点
- $(0, 8)$：$x=0$ と $y=-x+8$ の交点
- $(4, 4)$：2直線の交点
- $(6, 0)$：$y=-2x+12$ と $y=0$ の交点
領域 $D$ は4点 $(0,0)$、$(0,8)$、$(4,4)$、$(6,0)$ を頂点とする四角形の内部および境界。
【(2) の解法ステップ】
ステップ① $ax + y = M$ を変形する：
この直線の切片 $M$ を最大化する問題。直線の傾きは $-a$。
ステップ② 傾きを比較して最大点を特定する：
- 辺 $y = -x+8$（$0 \leq x \leq 4$）の傾きは $-1$
- 辺 $y = -2x+12$（$4 \leq x \leq 6$）の傾きは $-2$
$0 < a < 1$ のとき、$-1 < -a < 0$ であるから、目的関数の傾き $-a$ は $-1$ より大きい（緩やか）。
このとき、直線 $y = -ax+M$ を上方に平行移動していくと、最初に領域 $D$ に接する点は頂点 $(0, 8)$。
ステップ③ 最大値を計算する：
【(3) の解法ステップ】
ステップ① $1 \leq a$ のときの場合分けを行う。
傾きの比較：
- $1 \leq a \leq 2$ のとき：$-2 \leq -a \leq -1$ なので、目的関数の傾き $-a$ は辺 $y=-x+8$ の傾き $-1$ 以下で、辺 $y=-2x+12$ の傾き $-2$ 以上。
【場合1】$1 \leq a \leq 2$ のとき
傾き $-a$ が $-2 \leq -a \leq -1$ の範囲にあるので、直線 $y = -ax+M$ を平行移動すると、頂点 $(4, 4)$ で最大となる。
【場合2】$a > 2$ のとき
傾き $-a < -2$ なので、目的関数の直線は辺 $y=-2x+12$（傾き $-2$）よりも急になる。平行移動すると、頂点 $(6, 0)$ で最大となる。
【藤原先生の解説】
線形計画法は「直線を平行移動するゲーム」だと思うと分かりやすいですよ。$y = -ax + M$ という直線を、切片 $M$ を大きくしながら上に動かしていく。最初に領域 $D$ の「壁」に当たる点（頂点）が最大点です。
傾き $-a$ の値によって、どの頂点に最初に当たるかが変わります。サッカーのシュートコースのように、「角度（傾き）が変わると、ゴール（最大点）も変わる」んです。場合分けの境界（$a=1$ と $a=2$）は、目的関数の傾きが領域の辺の傾きと一致するときです。
🧑 生徒：「$a > 2$ のとき最大点が $(6, 0)$ になるのはなぜですか？」
👨🏫 藤原先生：「$y = -ax + M$ の傾きが $-a$ で、$a > 2$ だから傾きは $-a < -2$ になるね。領域の右側の辺 $y = -2x + 12$ の傾きは $-2$ だけど、目的関数の直線はそれよりも急なんだ。イメージすると、急な坂の直線を右上方向に平行移動していくと、最初に引っかかる頂点が右端の $(6, 0)$ になるよ。$a = 2$ のときは $(4,4)$ でも $(6,0)$ でも同じ値 $M = 12$ になるから、境界が $a = 2$ なんだ。線形計画法では傾きの大小で場合分けすることが鉄則だよ！」
線形計画法は必ず傾きの比較から始める——これを習慣にしましょう！
【この大問で身につく力】
目的関数の傾きと領域の辺の傾きを比較して、最大値を与える頂点を特定する線形計画法の基本的思考力。場合分けの条件設定が明確にできるようになります。
大問3：確率（連続する番号の組み合わせ）（難易度★★★★☆）
【問題文】
箱の中に1から9までの番号が1つずつ書かれた9枚のカードが入っている。
(1) 箱からカードを同時に2枚取り出すとする。取り出した2枚に書かれた番号が続きになっている確率を求めなさい。（「続き」とは、一方の番号が他方より1だけ大きいまたは小さい場合）
(2) 箱からカードを同時に3枚取り出すとする。取り出したカードのうち少なくとも2枚に書かれた番号が続きになっている確率を求めなさい。
(3) 箱からカードを同時に4枚取り出すとする。取り出したカードのうち少なくとも2枚に書かれた番号が続きになっている確率を求めなさい。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 組み合わせの公式 | $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ |
| 余事象の確率 | $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ |
| 場合の数の数え上げ | 差が2以上になる条件で「続きなし」を数える |
【(1) の解法ステップ】
ステップ① 全体の場合の数を求める：
ステップ② 「続き」になる組み合わせを数える：
$(1,2), (2,3), (3,4),
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