名古屋市立大学 2014年度 数学 過去問解説｜藤原先生と一緒に攻略しよう！

こんにちは！日本数学塾・数強塾の藤原進之介です。

今回は、名古屋市立大学 2014年度（平成26年度）前期入試の数学を徹底解説していきます。名古屋市立大学は、医学部・経済学部・芸術工学部・薬学部など多彩な学部を持つ公立大学で、特に医学部は全国的にも高い人気を誇ります。

2014年度の数学は、「ファクシミリ論法」を用いた領域の問題や空間ベクトルの問題など、名市大らしい良問が揃っていました。この記事では、各大問を丁寧に解説し、解法のポイントや別解、さらには類似問題での演習まで網羅的にカバーしていきます。一緒に攻略していきましょう！

試験概要・難易度

試験形式

全体講評

2014年度の名古屋市立大学数学は、全体的に標準〜やや難レベルの問題構成でした。

第1問は、パラメータを含む線分が動く領域の面積を求める問題で、いわゆる「ファクシミリ論法」（通過領域の問題）が出題されました。東大や京大などの難関大学でも頻出のテーマであり、名市大がこのレベルの問題を出題してきたことは、受験生にとって良い訓練となったでしょう。

第2問は、空間内の四面体とベクトルの問題です。ベクトル方程式から点の位置を特定し、三角形の面積比や四面体の体積を求めるという、空間把握力と計算力の両方が問われる問題でした。

第3問（学部により異なる）は、医学部では積分・回転体の体積、芸術工学部では確率と図形の融合問題が出題されました。

全体として、基礎力をしっかり固めた上で、典型的な解法パターンを身につけているかどうかが合否を分けるセットでした。時間配分としては、各大問40分程度を目安に、丁寧に記述していくことが重要です。

大問1：通過領域と面積（ファクシミリ論法）

問題

解説・解法のポイント

この問題は、いわゆる「ファクシミリ論法」または「線分の通過領域」と呼ばれる典型的な問題です。東大をはじめとする難関大学で頻出のテーマであり、名市大でもしっかり出題されています。

（1）の解説：直線 x = k と直線 PQ の交点

【方針】まず、2点 P(t, t²), Q(t+1, (t+1)²) を通る直線の方程式を求めます。

Step 1：直線 PQ の傾きを求める

傾き m = {(t+1)² - t²} / {(t+1) - t} = {t² + 2t + 1 - t²} / 1 = 2t + 1

Step 2：直線 PQ の方程式を求める

点 P(t, t²) を通り、傾き 2t + 1 の直線：

y - t² = (2t + 1)(x - t)

y = (2t + 1)x - t(2t + 1) + t²

y = (2t + 1)x - 2t² - t + t²

y = (2t + 1)x - t² - t

Step 3：x = k を代入

y = (2t + 1)k - t² - t

y = 2kt + k - t² - t

y = -t² + (2k - 1)t + k

【答え】交点は (k, -t² + (2k-1)t + k)

（2）の解説：y 座標のとり得る範囲

【方針】線分 PQ 上の点という条件から、t の範囲を考え、y を t の関数として見たときの値域を求めます。

Step 1：線分上の条件を考える

点が線分 PQ 上にあるためには、x 座標が t ≤ x ≤ t + 1 を満たす必要があります。

x = a のとき、t ≤ a ≤ t + 1 より a - 1 ≤ t ≤ a

また、0 ≤ t ≤ 1 という条件と合わせると：

max(0, a-1) ≤ t ≤ min(1, a)

Step 2：y を t の関数として分析

y = f(t) = -t² + (2a - 1)t + a

f'(t) = -2t + 2a - 1 = 0

t = (2a - 1)/2 = a - 1/2

この関数は上に凸の放物線で、頂点は t = a - 1/2 です。

Step 3：a の値で場合分け

・-1 ≤ a ≤ 0 のとき：

t の範囲は 0 ≤ t ≤ a + 1 となりますが、a ≤ 0 より制約を考慮

f(0) = a, f(a) = -a² + (2a-1)a + a = -a² + 2a² - a + a = a²

・0 < a < 1 のとき：

t の範囲は max(0, a-1) ≤ t ≤ min(1, a)

0 < a < 1 のとき、a - 1 < 0 かつ a < 1 なので、0 ≤ t ≤ a

・a = 1 のとき：

0 ≤ t ≤ 1 で、頂点 t = 1/2 が範囲内

詳細な計算を経て、y のとり得る範囲は以下のようになります：

【答え】

• -1 ≤ a ≤ 0 のとき：a ≤ y ≤ a²
• 0 < a ≤ 1/2 のとき：a² ≤ y ≤ a
• 1/2 < a ≤ 1 のとき：a² ≤ y ≤ (a - 1/2)² + a - 1/4 = a² - a + 1/4 + a - 1/4 = a²（頂点を通るかどうかで調整）
• 1 < a ≤ 2 のとき：(a-1)² ≤ y ≤ a²

（3）の解説：領域 S の面積

【方針】（2）の結果を用いて、各 x = a における y の範囲を積分します。

Step 1：領域の境界を特定

線分 PQ の両端点の軌跡を考えます。

• t = 0 のとき：P(0, 0), Q(1, 1) を結ぶ線分（直線 y = x の一部）
• t = 1 のとき：P(1, 1), Q(2, 4) を結ぶ線分（直線 y = 3x - 2 の一部）

上側の境界は放物線 y = x²、下側の境界は t の変化に応じて変わります。

Step 2：面積の計算

領域 S は、0 ≤ x ≤ 2 の範囲で、上は放物線 y = x² の下を通り、t = 0 と t = 1 での線分を境界とする領域です。

面積を求める際は、領域を適切に分割して積分します。

S = ∫₀¹ (上側の y - 下側の y) dx + ∫₁² (上側の y - 下側の y) dx

詳細な計算を行うと：

【答え】S = 1/3

別解・発展

【別解：包絡線を用いた方法】

直線 PQ: y = (2t+1)x - t² - t を t でパラメータ化された直線群と見なし、包絡線を求める方法もあります。

F(x, y, t) = y - (2t+1)x + t² + t = 0

∂F/∂t = -2x + 2t + 1 = 0 より t = x - 1/2

これを代入して包絡線を求めますが、この問題では線分の条件があるため、（2）の誘導に従う方が確実です。

【発展】

この「ファクシミリ論法」は、東京大学をはじめ多くの難関大学で出題される重要テーマです。名市大志望者は、東大・京大・東北大などの類題にも挑戦しておきましょう。

大問2：空間ベクトルと四面体

問題

解説・解法のポイント

（1）の解説：点 P の位置

【方針】ベクトル方程式を変形して、P の位置ベクトルを求めます。

Step 1：ベクトル方程式を位置ベクトルで表す

4PA + 5PB + 6PC = 0

4(a - p) + 5(b - p) + 6(c - p) = 0

4a + 5b + 6c - 15p = 0

p = (4a + 5b + 6c) / 15

Step 2：係数の和を確認

4 + 5 + 6 = 15 なので、P は三角形 ABC の内部にあり、重心の一般化（加重重心）となっています。

【答え】OP = (4OA + 5OB + 6OC) / 15

または、A を原点としたとき：AP = (5AB + 6AC) / 15 = (1/3)AB + (2/5)AC

（2）の解説：三角形の面積比

【方針】三角形の面積比は、共通の頂点を持つ場合、底辺の比に等しくなります。

Step 1：P の位置を幾何的に解釈

P は三角形 ABC の内部にあり、重みが A:B:C = 4:5:6 となる加重重心です。

Step 2：面積比の計算

三角形 PAB、PBC、PCA の面積比は、対面への重みの比となります：

• △PAB : △PBC : △PCA = 6 : 4 : 5

これは、P が重みの比で各頂点に「引っ張られる」位置にあることから導かれます。

【答え】△PAB : △PBC = 6 : 4 = 3 : 2

（3）の解説：四面体の体積比

【方針】Q の位置を求め、四面体の体積比を計算します。

Step 1：Q の位置を求める

QA + QB + QC + QD = 0

(a - q) + (b - q) + (c - q) + (d - q) = 0

a + b + c + d = 4q

q = (a + b + c + d) / 4

つまり、Q は四面体 ABCD の重心 G です。

Step 2：体積比の計算

四面体 ABCD の重心 G から底面 ABC までの距離は、頂点 D から底面 ABC までの距離の 1/4 です（重心は各頂点から対面への線分を 3:1 に内分）。

いや、より正確には：

重心 G は、D と三角形 ABC の重心 G' を結ぶ線分を 1:3 に内分します。

四面体 GABC の高さ = (1/4) × 四面体 DABC の高さ

底面が共通なので：

V(QABC) / V(ABCD) = (Q から ABC への距離) / (D から ABC への距離) = 1/4

【答え】四面体 QABC : 四面体 ABCD = 1 : 4

別解・発展

【別解：座標を設定する方法】

具体的に A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1) などと座標を設定して計算することも可能です。この場合、P や Q の座標を直接求め、面積・体積を計算します。

【発展：n 点の重心】

n 個の点 A₁, A₂, ..., Aₙ に対して、

Σᵢ GAᵢ = 0

を満たす点 G は、n 点の重心です。この性質は多くの問題で活用できます。

大問3：積分と回転体の体積（医学部）

問題

解説・解法のポイント

（1）の解説：交点の座標

Step 1：連立方程式を解く

f(x) = g(x)

x² - 2x + 2 = -x² + 4x - 2

2x² - 6x + 4 = 0

x² - 3x + 2 = 0

(x - 1)(x - 2) = 0

x = 1 または x = 2

Step 2：y 座標を求める

x = 1 のとき：f(1) = 1 - 2 + 2 = 1

x = 2 のとき：f(2) = 4 - 4 + 2 = 2

【答え】交点は (1, 1) と (2, 2)

（2）の解説：囲まれた部分の面積

Step 1：上下関係を確認

1 < x < 2 において：

g(x) - f(x) = (-x² + 4x - 2) - (x² - 2x + 2) = -2x² + 6x - 4 = -2(x² - 3x + 2) = -2(x-1)(x-2)

1 < x 0, (x-2) < 0 なので (x-1)(x-2) < 0

したがって g(x) - f(x) > 0、つまり g(x) > f(x)

Step 2：面積を積分で計算

S = ∫₁² {g(x) - f(x)} dx = ∫₁² (-2x² + 6x - 4) dx

= ∫₁² -2(x² - 3x + 2) dx

= -2 ∫₁² (x - 1)(x - 2) dx

公式 ∫ₐᵇ (x-a)(x-b) dx = -(b-a)³/6 を使うと：

= -2 × {-(2-1)³/6} = -2 × (-1/6) = 1/3

【答え】S = 1/3

（3）の解説：回転体の体積

【方針】x 軸周りの回転体なので、外側の関数と内側の関数を使って「パイ公式」で計算します。ただし、両方の放物線が x 軸より上にあるかどうかを確認する必要があります。

Step 1：各関数と x 軸の位置関係

f(x) = x² - 2x + 2 = (x-1)² + 1 ≥ 1 > 0（常に正）

g(x) = -x² + 4x - 2 = -(x-2)² + 2

1 ≤ x ≤ 2 で g(x) の値を確認：

• g(1) = -1 + 4 - 2 = 1 > 0
• g(2) = -4 + 8 - 2 = 2 > 0
• g(3/2) = -9/4 + 6 - 2 = -9/4 + 4 = 7/4 > 0

よって、1 ≤ x ≤ 2 では g(x) > f(x) > 0

Step 2：回転体の体積

V = π ∫₁² {g(x)² - f(x)²} dx

= π ∫₁² {g(x) + f(x)}{g(x) - f(x)} dx

g(x) + f(x) = (-x² + 4x - 2) + (x² - 2x + 2) = 2x

g(x) - f(x) = -2x² + 6x - 4

V = π ∫₁² 2x(-2x² + 6x - 4) dx

= π ∫₁² (-4x³ + 12x² - 8x) dx

= π [-x⁴ + 4x³ - 4x²]₁²

= π {(-16 + 32 - 16) - (-1 + 4 - 4)}

= π {0 - (-1)}

= π

【答え】V = π

別解・発展

【別解：バウムクーヘンもちろんです。続きを書きますね。