山形大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で山形大学数学を完全制覇しよう！

山形大学 2012年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾・日本数学塾代表の藤原進之介です。この記事では、2012年度山形大学数学の全大問を、基礎から丁寧に、途中計算を一切省かずに解説します。

この記事を読めば、次の3つの価値が手に入ります：

• ✅ 解法の本質：なぜその公式・手法を使うのかが根本からわかる
• ✅ 計算の流れ：途中式を完全公開し、どこでミスが起きやすいかが見える
• ✅ 合否を分けるポイント：2012年度で得点差がついた問題と攻略法がわかる

👨‍🏫 藤原先生より：「山形大学の数学は、奇をてらった問題は少なく、標準的な解法をしっかりマスターした人が報われる試験です。焦らず一緒に一問ずつ攻略していきましょう！」

セクション2：山形大学の数学 入試の全体像と傾向分析

試験形式・基本情報

山形大学の数学入試は、学部によって問題が異なります。2012年度のOCRデータからは、主に以下の形式が確認できます。

山形大学数学の偏差値帯と求められるレベル

山形大学の数学は、センター試験（共通テスト）で7割以上、そして二次試験では標準的な問題を確実に解き切る力が必要です。東大・京大のように高度な発想力は必要ありませんが、計算の正確さと論述の丁寧さが合否を分けます。

過去の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）

他大学との違い・特徴

「東大数学は論述の緻密さと発想力、京大数学は独創的なアプローチが問われますが、山形大学は標準的な解法を確実に使いこなす力と丁寧な論述が重要です。」発想力よりも、基礎の徹底が合格への最短ルートです。

🧑 生徒：「山形大学の数学って、どんな問題が多いんですか？青チャートを使って勉強しているんですが、レベルは合っていますか？」

👨‍🏫 藤原先生：「山形大学は微分・積分、確率、数列が毎年コアになる出題です。青チャートの例題・練習問題をしっかりこなせば基礎は固まります。さらに余裕があれば1対1対応の演習（東京出版）で標準〜やや難レベルの問題に慣れると、二次試験でも十分戦えますよ！」

基礎を固めたら、過去問で実戦感覚を磨こう！

セクション3：2012年度 出題テーマ速報と分析

2012年度 大問別テーマ一覧

合格ラインと得点戦略

2012年度の山形大学数学では、大問1（確率）・大問2（積分）・大問7（接線と面積）・大問8（積分） が比較的取り組みやすい問題でした。これらで7〜8割の得点を確保し、難問は部分点狙いで臨むのが賢明な戦略です。

セクション4：全大問 問題・解説

大問1：単位円と確率・面積・期待値（難易度★★★☆☆）

【問題文】

単位円の円周を6等分する点を時計回りの順に $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$ とする。さいころを投げて出た目 $i$ と点 $P_i$ を対応させる。さいころを3回投げて出た目が全て異なる場合は対応する点を結ぶと三角形ができる。次の問に答えよ。

(1) $\triangle P_1P_2P_5$ と $\triangle P_1P_3P_6$ の面積をそれぞれ求めよ。
(2) さいころを3回投げて、三角形ができる確率を求めよ。
(3) さいころを3回投げて、二等辺三角形（正三角形は除く）ができる確率を求めよ。
(4) さいころを3回投げてできる図形の面積の期待値を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

まず座標を設定します。単位円の円周を6等分する点を時計回りに並べると：

(1) $\triangle P_1P_2P_5$ と $\triangle P_1P_3P_6$ の面積

ステップ① $\triangle P_1P_2P_5$ の面積

座標代入：

ステップ② $\triangle P_1P_3P_6$ の面積

$P_1=(1,0)$，$P_3=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，$P_6=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$$\triangle P_1P_2P_5 \text{ の面積} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \triangle P_1P_3P_6 \text{ の面積} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

(2) 三角形ができる確率

ステップ① 全試行の場合の数

さいころを3回投げる全場合の数：$6^3 = 216$

ステップ② 三角形ができない場合（目が同じか、3点が共線）

• 3点が一致または2点一致（目が全て同じ or 2回同じ目が出る）
• 3点が一直線上に並ぶ場合：$P_1, P_4$；$P_2, P_5$；$P_3, P_6$ が直径上の対点。この3点が選ばれた場合に一直線になるが、3つの点が共線になるには2点が直径の両端で3点目がそのどちらかになるか…実際には6等分点で3点が真に共線（直線上）になる組み合わせは存在しません（6等分点では2点を結ぶ直線が他の分点を通るケースは中心を通る直径のみで、3点が選ばれるとき直径上に3点が並ぶことはない）。

ステップ③ 目が全て異なる場合の数

さいころは順序があるので、3回で全て異なる目が出る確率：

3点が異なれば必ず三角形ができる（単位円上の6等分点では3点が同一直線上に乗ることはない）ので：

(3) 二等辺三角形（正三角形を除く）ができる確率

正三角形になる点の組合せは $\{P_1,P_3,P_5\}$ と $\{P_2,P_4,P_6\}$ の2組。それぞれを順序ありで選ぶ場合の数は $3! = 6$ 通りずつ、計12通り。

二等辺三角形（正三角形含む）になる組み合わせを数えます。6等分点のラベルを円周上の距離（隣接数）で考えます。3点の選び方（非順序）は $\binom{6}{3} = 20$ 通り。

このうち「隣接差のパターン」が一致するものが二等辺三角形です。6等分点で3点を選ぶとき、円周上の弧の長さの組み合わせ（隣接数の組）は：

• $(1,1,4)$：例 $\{P_1,P_2,P_3\}$ など → 二等辺三角形
• $(1,2,3)$：例 $\{P_1,P_2,P_4\}$ など → 不等辺三角形
• $(1,3,2)$：同上
• $(2,2,2)$：正三角形 → 除外
• $(1,4,1)$：二等辺三角形
• $(2,1,3)$：不等辺三角形

実際に数えると、二等辺三角形（正三角形含む）の組合せ数は $12$ 通り（正三角形2通り + 二等辺非正三角形10通り）です。

二等辺三角形（正三角形除く）の組合せ：$12 - 2 = 10$ 通り。

順序ありの選び方：$10 \times 6 = 60$ 通り。

(4) 面積の期待値

さいころを3回投げるとき、できる「図形」（三角形でない場合は面積0）の期待値を求めます。

三角形を作る6等分点の組合せは $\binom{6}{3}=20$ 通り。各組の面積を求め、それぞれが出る確率を掛けて合計します。面積の種類と出現組み合わせ数を整理：

• 正三角形 $\{P_1,P_3,P_5\}$ または $\{P_2,P_4,P_6\}$：面積 $= \frac{3\sqrt{3}}{4}$（単位円内接正三角形），2通り
• 弧の差が $(1,1,4)$ 型 の二等辺三角形：面積計算から $\frac{\sqrt{3}}{2}$，6通り
• 弧の差が $(1,2,3)$ 型 の不等辺三角形：面積 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ または異なる値，12通り

実際の期待値計算は各組み合わせの面積を丁寧に出す必要がありますが、対称性から主要パターンは3種類です。面積の平均値（期待値）：

三角形でない（重複あり）場合は $S = 0$。三角形ができる場合の数は120通り（順序あり）。

各面積型の期待値への寄与を計算し：

【藤原先生の解説】

🧑 生徒：「(4)の期待値の計算で、面積が0になるケースをどう扱えばいいんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問！期待値の定義は $E[X] = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)$ だよね。面積が0（三角形ができない）の場合は $x_i = 0$ だから、$0 \times P(\text{三角形なし})$ の項は 合計に何も加えないんだ。だから『三角形ができる場合だけ』を丁寧に数えて、それぞれの面積 × 確率を足せばOK。サイコロの全場合 $6^3 = 216$ を分母にして計算するのが確実だよ！」

確率と面積の組み合わせ問題は、場合を漏れなく整理することが鍵だよ！

【この大問で身につく力】

確率の場合分けと図形的考察を組み合わせる複合的な思考力、および期待値計算の系統的な処理能力が鍛えられます。

大問2：放物線の面積・共通接線・軌跡（難易度★★★☆☆）

【問題文】

2曲線 $C_1: y = (x-a)^2$（$a \geq 0$），$C_2: y = -x^2 + b$（$b \geq 0$）を考える。

(1) $a=1, b=1$ のとき，$C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
(2) $a=1, b=0$ のとき，$C_1$ と $C_2$ の共通接線を求めよ。
(3) $C_1$ と $C_2$ が共有点を1つだけもつための条件を $a, b$ で表せ。
(4) (3)の条件のもとでの $C_1$ と $C_2$ の共有点の軌跡を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

(1) $a=1, b=1$ のときの面積

ステップ① 交点を求める

ステップ② 面積を計算する

$0 \leq x \leq 1$ で $C_2 - C_1 = (-x^2+1) - (x-1)^2 = -2x^2+2x$

(2) $a=1, b=0$ のときの共通接線

ステップ① 各曲線の接線の方程式

$C_1: y=(x-1)^2$ 上の点 $(s, (s-1)^2)$ での接線：

整理して：$y = 2(s-1)x - s^2 + 1$

$C_2: y=-x^2$ 上の点 $(t, -t^2)$ での接線：

ステップ② 共通接線の条件

傾きが等しい：$2(s-1) = -2t$ より $s - 1 = -t$，すなわち $s = 1 - t$

$y$ 切片が等しい：$-s^2+1 = t^2$

$s = 1-t$ を代入：$-(1-t)^2 + 1 = t^2$

• $t = 0$：接線 $y = 0$（$x$ 軸）
• $t = 1$：接線 $y = -2x + 1$

(3) 共有点が1つだけの条件

$C_1 = C_2$ として：

共有点が1つだけ ⟺ 判別式 $= 0$：

(4) 共有点の軌跡

$b = \frac{a^2}{2}$ のとき，方程式 $2x^2 - 2ax + a^2 - b = 0$ の重解は：

そのときの $y$ 座標：

$x = \frac{a}{2}$，$y = \frac{a^2}{4}$ より $a = 2x$ を代入：

また $a \geq 0$ より $x = \frac{a}{2} \geq 0$，$b = \frac{a^2}{2} \geq 0$ から条件は $x \geq 0$。

【藤原先生の解説】

🧑 生徒：「(2)の共通接線を求めるとき、どうして2曲線それぞれで接線の式を立てるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「共通接線とは『1本の直線が2つの曲線に同時に接する』ということだよ。だから、$C_1$ 上の接点を $(s, f(s))$，$C_2$ 上の接点を $(t, g(t))$ として、それぞれの接線の方程式を $y = f'(s)(x-s)+f(s)$ と $y = g'(t)(x-t)+g(t)$ と立てて、傾きが等しいかつ$y$ 切片が等しいという2つの条件を解くんだ。料理で言うと、2種類の食材が『同じ味付け』になるように調味料を合わせる感じだね！」

軌跡問題では「パラメータを消去する」操作が核心。ここを押さえると軌跡問題が一気に解けるようになるよ！

【この大問で身につく力】

放物線の交点計算・面積公式の活用、接線の方程式と共通接線の導出、および軌跡のパラメータ消去という3つの重要技術が総合的に鍛えられます。

大問3：数列（不等式から一般項の推定・証明）（難易度★★★★☆）

【問題文】

正の整数からなる数列 $\{a_n\}$ が $n = 1, 2, 3, \ldots$ に対して

を満たし，かつ $a_2 = 2$ とする。

(1) $a_1$ を求めよ。　(2) $a_3$ を求めよ。　(3) 一般項 $a_n$ を推定し，正しいことを証明せよ。
(4) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+

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