一橋大学 2015年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事で分かること

一橋大学 2015年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾・日本数学塾代表の藤原進之介です。この記事では、一橋大学2015年度（平成27年度）数学の全大問を、基礎から丁寧に・完全解説します。

この記事を読むことで、次の3つが手に入ります：

• ✅ 2015年度 全大問の完全解説（途中計算ゼロ省略・背景理解まで）
• ✅ 一橋大学数学の出題傾向と合格戦略（どこで点を取るかが丸わかり）
• ✅ 合格に向けた参考書ロードマップ（レベル別・時期別の完全版）

一橋大学の数学は「文系最難関」と呼ばれますが、怖くありません。問われているのは「深く考える力」と「論述で伝える力」。一緒に本質から理解していきましょう！

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セクション2：一橋大学の数学 — 入試の全体像と傾向

試験形式と基本情報

項目	内容
試験時間	120分
大問数	5問（大問5は選択式）
解答形式	記述・論述式（答えだけでは不可）
配点	各大問20点×5＝100点満点
合格ライン目安	3問完答＋部分点で約60〜65点

一橋大学は経済・商・法・社会の文系4学部しか持たない国立大学です。数学は「文系入試」でありながら、理系学部の入試に匹敵する深さと論述力が求められます。東大文系数学と並んで「文系数学の最高峰」と位置づけられています。

偏差値帯と求められる数学レベル

河合塾偏差値で67.5〜70前後。合格者は数学を「得意科目」あるいは「苦手ではない科目」として本番に臨んでいることが多いです。目安としては、数学ⅠAⅡB全分野を標準問題精講レベルまで仕上げた上で、過去問演習を15〜20年分こなせると十分な準備といえます。

過去10年の頻出単元ランキング

順位	単元	頻度	コメント
1位	整数（数論）	ほぼ毎年	オイラーの関数・合同式・素因数分解
2位	確率	ほぼ毎年	条件付き確率・漸化式との融合
3位	図形（座標・ベクトル）	ほぼ毎年	正三角形・円・空間図形
4位	数列	頻出	漸化式・Σ計算
5位	微分・積分	頻出	面積・最大最小との融合
6位	統計・データ分析	近年増加	分散・相関係数

他大学との比較

• 東大文系数学：問題設定がシンプルで誘導が丁寧、高度な論述力が必要
• 京大文系数学：発想の柔軟性・独創性を要求、答えよりプロセス重視
• 一橋大学数学：整数・確率・図形の融合が特徴、「なぜ」を問う証明・論述が頻出。計算量は東大ほど多くないが、論証の精密さが厳しく問われる

👨‍🏫 藤原先生コメント

🧑 生徒：「一橋の数学って、東大と比べてどんな特徴があるんですか？具体的に教えてください。」

👨‍🏫 藤原先生：「良い質問だね！一橋大学の数学で最も特徴的なのは、オイラーのトーシェント関数（$\varphi(n)$）に代表される整数論的な問題が頻出なんだ。今日解く[1]番はまさにそれで、$E(n)$という関数を定義して、その性質を探る問題だよ。東大は誘導がついていることが多いけど、一橋は自分で方針を立てる力が問われる。要は『数学者の思考プロセス』を答案で見せることが求められるんだ。論述は数学の作文、丁寧に書いていこう！」

一橋大学の数学の本質は「深く考え、正確に伝える力」。この力は一朝一夕では身につきませんが、正しい方法で練習すれば必ず伸びます！

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セクション3：2015年度 出題テーマ速報と分析

2015年度 全大問 出題テーマ一覧

大問	テーマ	分野	難易度
[1]	$E(n)$（互いに素な数の個数）	整数・数論	★★★★☆
[2]	正三角形と$OC=1$の条件	図形・座標	★★★★☆
[3]	正$n$角形の平行な弦の確率	確率・場合の数	★★★★★
[4]	空間内の2点間の距離の最大・最小	空間図形・三角関数	★★★☆☆
[5]Ⅰ	数列$a_k = k + \cos\frac{k\pi}{6}$のΣ	数列・三角関数	★★★☆☆
[5]Ⅱ	分散・相関係数・データ分析	統計・データ分析	★★★☆☆

難易度評価と得点戦略

2015年度は「[4]番と[5]番で確実に得点を積み上げ、[1][2][3]で差をつける」という構成でした。

• [4]空間距離（★★★☆☆）→ 座標設定さえ正しくできれば計算は標準的。必須得点源
• [5]選択問題（★★★☆☆）→ 数列か統計を選択。どちらもプロセスが丁寧。必須得点源
• [1]整数（★★★★☆）→ (1)(2)は確実に、(3)の証明は方針が見えれば満点
• [2]図形（★★★★☆）→ (1)の等式導出が鍵、(2)は面積の範囲を求める
• [3]確率（★★★★★）→ 偶奇で場合分けが必要な最難問、部分点狙いで戦略的に

合格ライン戦略：[4]と[5]で40点確保 → [1]の(1)(2)と[2]の(1)で20点 → 合計60点で合格圏！

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セクション4：全大問 完全解説

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大問1：$E(n)$（互いに素な整数の個数）（難易度★★★★☆）

【問題文】

$n$を2以上の整数とする。$n$以下の正の整数のうち、$n$との最大公約数が1となるものの個数を$E(n)$で表す。たとえば $E(2)=1,\ E(3)=2,\ E(4)=2,\ \cdots,\ E(10)=4,\ \cdots$ である。

(1) $E(1024)$を求めよ。

(2) $E(2015)$を求めよ。

(3) $m$を正の整数とし、$p$と$q$を異なる素数とする。$n = p^m q^m$のとき、$\dfrac{E(n)}{n} \geq \dfrac{1}{3}$ が成り立つことを示せ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
オイラーのトーシェント関数	$E(n) = n\prod_{p \mid n}\left(1 - \frac{1}{p}\right)$
包除原理	$|A \cup B \cup C| = |A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$
素因数分解の一意性	任意の正の整数は素因数の積に一意に表せる

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【(1) の解法ステップ】

ステップ① $1024$を素因数分解する：

ステップ② $1024$以下の正の整数で$1024$と互いに素でないもの（＝2の倍数）の個数を数える：

ステップ③ $E(1024)$を求める：

【別解：公式を使う方法】

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【(2) の解法ステップ】

ステップ① $2015$を素因数分解する：

（$31$は素数：$\sqrt{31} < 6$なので2,3,5で割り切れないことを確認）

ステップ② 包除原理で「$2015$と互いに素でない数」の個数を求める。

$A$ = $5$の倍数の集合、$B$ = $13$の倍数の集合、$C$ = $31$の倍数の集合 とおく：

ステップ③ 包除原理を適用：

ステップ④ $E(2015)$を計算：

【公式による検算】

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【(3) の解法ステップ】

問題文の $n = p^m q^m$（$p, q$：異なる素数、$m$：正の整数）に対して $\dfrac{E(n)}{n} \geq \dfrac{1}{3}$ を示す。

ステップ① $E(n)/n$を公式で表す：

（※$n = p^m q^m$の場合、$E(n)/n$の値は指数$m$によらず素数$p,q$のみに依存する）

ステップ② 示すべき不等式を整理する：

左辺を$F$とおく：

ステップ③ $p < q$として一般性を失わず、$p, q$は2以上の異なる素数なので場合分けする：

【場合(i)】$p = 2$のとき（$q$は3以上の素数）：

$q \geq 3$より $F = q - 3 \geq 0$。等号は $q = 3$（すなわち $p=2, q=3$）のとき成立。

【場合(ii)】$p = 3$のとき（$q$は5以上の素数）：

$q \geq 5 > 2$より $F = 3(q-2) > 0$。

【場合(iii)】$p \geq 5$のとき（$p < q$より $q \geq 7$）：

$q \geq 7$より $2q - 3 \geq 11 > 0$、また $p \geq 5$なので：

$q \geq 7$より $7q - 12 \geq 49 - 12 = 37 > 0$。

ステップ④ 以上(i)(ii)(iii)いずれの場合も $F \geq 0$、すなわち：

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【藤原先生の解説】

$E(n)$は数学ではオイラーのトーシェント関数（$\varphi(n)$）として知られています。この関数、実は暗号理論（RSA暗号）の核心部分で使われているんです！身近な例でいうと、「100人のクラスで、ある生徒と誕生日が被らない人数を数える」感覚に似ています。

(3)の証明のポイントは「$E(n)/n$の値が指数$m$によらない」ことに気づくことです。$n = p^m q^m$でも$p^1 q^1$でも$E(n)/n$は同じ！なぜなら、$E(n)/n = (1-1/p)(1-1/q)$という積の形で、指数が消えてしまうからです。この「指数が消える」ことに気づけば、あとは$p, q$の値による場合分けで丁寧に不等式を処理するだけです。

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🧑 生徒：「(3)で、$E(n)/n$の計算をどうやってするんですか？$p^m q^m$って指数があるのに、どう処理するんでしょうか？」

👨‍🏫 藤原先生：「鋭い疑問だね！実はここが(3)の最大のポイントなんだ。オイラーのトーシェント関数の積の公式を使うと、$\dfrac{E(n)}{n} = \prod_{p|n}\left(1 - \dfrac{1}{p}\right)$となるんだよ。$n = p^m q^m$の場合、素因数は$p$と$q$だけだから、$\dfrac{E(n)}{n} = \left(1-\dfrac{1}{p}\right)\left(1-\dfrac{1}{q}\right) = 1 - \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{q} + \dfrac{1}{pq}$になる。指数$m$は完全に消えてしまうんだ！あとはこれが$\dfrac{1}{3}$以上であることを$p < q$として場合分けで示せばいいよ。」

【この大問で身につく力】
素因数分解・包除原理の運用力、および不等式の場合分けによる証明力。整数問題の核心的技術が凝縮されています。

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大問2：正三角形と$OC=1$の条件（難易度★★★★☆）

【問題文】

座標平面上の原点をOとする。点$A(a,0)$、点$B(0,b)$および点$C$が

を満たしながら動く。

(1) $s = a^2 + b^2$、$t = ab$とするとき、$s$と$t$の関係を表す等式を求めよ。

(2) $\triangle ABC$の面積のとりうる値の範囲を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
正三角形の面積	$S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times \text{(一辺)}^2$
2点間の距離	$|PQ|^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$
2次方程式の判別式	$D = b^2 - 4ac \geq 0$（実数解の条件）

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【(1) の解法ステップ】

ステップ① 条件を設定する。$C(x,y)$とおく。

条件は：
- (イ) $OC = 1$：$x^2 + y^2 = 1$
- (ロ) $OA^2 = AB^2$は不要。$AB^2 = a^2 + b^2 = s$
- $BC = CA = AB$（正三角形）

ステップ② $CA^2 = AB^2$から：

$x^2 + y^2 = 1$を使うと：

（$s = a^2 + b^2$より $1 + a^2 - s = 1 - b^2$）

ステップ③ $CB^2 = AB^2$から：

$1 - 2by + b^2 = s \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{1 + b^2 - s}{2b} = \frac{1 - a^2}{2b} \quad \cdots (**)$$

**ステップ④** $(*)(**)$を $x^2 + y^2 = 1$ に代入：

$$\left(\frac{1-b^2}{2a}\right)^2 + \left(\frac{1-a^2}{2b}\right)^2 = 1$$

$$\frac{b^2(1-b^2)^2 + a^2(1-a^2)^2}{4a^2 b^2} = 1$$

$$b^2(1-b^2)^2 + a^2(1-a^2)^2 = 4a^2 b^2$$

**ステップ⑤** 左辺を展開して整理する：

$$b^2(1 - 2b^2 + b^4) + a^2(1 - 2a^2 + a^4) = 4a^2 b^2$$

$$a^2 + b^2 - 2(a^4 + b^4) + a^6 + b^6 = 4a^2 b^2$$

$s = a^2+b^2$, $t = ab$を使い、以下の恒等式を利用：

$$a^2 + b^2 = s$$

$$a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 = s^2 - 2t^2$$

$$a^6 + b^6 = (a^2+b^2)^3 - 3a^2b^2(a^2+b^2) = s^3 - 3t^2 s$$

代入：

$$s - 2(s^2 - 2t^2) + (s^3 - 3t^2 s) = 4t^2$$

$$s^3 - 3t^2 s - 2s^2 + 4t^2 + s = 4t^2$$

$$s^3 - 3t^2 s - 2s^2 + s = 0$$

$$s(s^2 - 2s + 1 - 3t^2) = 0$$

$s = a^2 + b^2 > 0$（$a, b$が同時に0なら$C$が原点になり矛盾）なので：

$$s^2 - 2s + 1 - 3t^2 = 0$$

$$(s-1)^2 = 3t^2$$

$$\boxed{(s - 1 - \sqrt{3}\,t)(s - 1 + \sqrt{3}\,t) = 0}$$

すなわち $s = 1 + \sqrt{3}\,t$ または $s = 1 - \sqrt{3}\,t$。

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#### 【(2) の解法ステップ】

**ステップ①** 面積を$s$で表す：

$$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot AB^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s$$

$s$の取りうる範囲を求めればよい。

**ステップ②** $a, b$が実数であるための条件を求める。

$a + b = \sqrt{s + 2t}$（または$-\sqrt{s+2t}$）、$ab = t$として、$a, b$は2次方程式 $X^2 \mp \sqrt{s+2t}\,X + t = 0$ の実数解。

判別式 $D \geq 0$：

$$D = s + 2t - 4t = s - 2t \geq 0 \quad \cdots \text{(A)}$$

また $s + 2t \geq 0$ も必要 $\cdots \text{(B)}$

**ステップ③** $s = 1 + \sqrt{3}\,t$の場合（$t = \dfrac{s-1}{\sqrt{3}}$）：

条件(A)：$s - 2t \geq 0 \Longleftrightarrow s \geq \dfrac{2(s-1)}{\sqrt{3}} \Longleftrightarrow \sqrt{3}\,s \geq 2s - 2 \Longleftrightarrow (2-\sqrt{3})s \leq 2$

$$s \leq \frac{2}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2(2+\sqrt{3})}{1} = 2(2+\sqrt{3})$$

また $s > 0$かつ$s + 2t = s + \frac{2(s-1)}{\sqrt{3}} = s\left(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}\right) - \frac{2}{\sqrt{3}} \geq 0$を確認。

小さい方の下限：$t = \dfrac{s-1}{\sqrt{3}}$を代入して $s - 2t = s - \dfrac{2(s-1)}{\sqrt{3}} \geq 0$より、$s \geq 0$かつ$s \leq 2(2+\sqrt{3})$。

また $t = \frac{s-1}{\sqrt{3}} \geq 0$の場合 $s \geq 1$、$t < 0$も可。 **ステップ④** $s = 1 - \sqrt{3}\,t$の場合（$t = \dfrac{1-s}{\sqrt{3}}$）： 条件(A)：$s \geq 2t = \dfrac{2(1-s)}{\sqrt{3}} \Longleftrightarrow \sqrt{3}\,s \geq 2 - 2s \Longleftrightarrow (2+\sqrt{3})s \geq 2$ $$s \geq \frac{2}{2+\sqrt{3}} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{1} = 2(2-\sqrt{3})$$ **ステップ⑤** 両方の場合をまとめると： $$2(2-\sqrt{3}) \leq s \leq 2(2+\sqrt{3})$$

（ただし境界値は$a =

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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