北海道大学 1998年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

---

はじめに：この記事を読めば得られる3つの価値

北海道大学 1998年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、文系・理系それぞれの問題を藤原進之介先生が丁寧に解説します。

• ✅ 1998年度 北海道大学数学の全問題を完全解説（文系5問・理系6問の出題構造を把握）
• ✅ なぜその解法を使うのかという本質的な理由がわかる（丸暗記からの卒業）
• ✅ 合格に向けた学習ロードマップと参考書選びが明確になる

👨‍🏫 藤原先生より：「北海道大学の数学は『標準レベル』と言われますが、だからこそ基礎の徹底が合否を決める！この記事を通じて、1998年度の問題を完全に理解して、本番での得点力を一緒に鍛えていこう！」

---

【セクション2】北海道大学の数学：入試の全体像

試験形式と基本データ

北海道大学の数学入試は、文系と理系で別々に実施されます。

項目	文系数学	理系数学
試験時間	90分（12:40〜14:10）	150分
大問数	5問（うち1問は選択）	6問（うち1問は選択）
解答形式	記述式（論述）	記述式（論述）
配点	非公表（均等配点が目安）	非公表（均等配点が目安）

記述式であることが最大の特徴です。答えだけが合っていても減点される可能性があり、解答の流れ・根拠を明確に書く力が求められます。

偏差値帯と求められる数学レベル

北海道大学（理系）の偏差値帯は概ね 62〜67 程度（学科により異なる）。数学に求められるレベルは「難問を解く力」よりも「標準問題を確実に完答する力」です。旧帝大の中では東大・京大・阪大と比較して取り組みやすい問題が多く、青チャート（チャート式 基礎からの数学）やフォーカスゴールドを完成させた段階で十分に戦えます。

過去10年の出題傾向まとめ

北海道大学数学の頻出単元ランキング（概算）は以下の通りです。

順位	単元	文系	理系
1位	微分・積分	◎	◎
2位	図形と方程式・ベクトル	◎	◎
3位	確率	○	◎
4位	数列・漸化式	○	○
5位	複素数平面	△	○
6位	整数・場合の数	○	◎

理系では特に微分・積分の計算力と空間ベクトルが頻出。文系では二次関数・不等式領域の問題が定期的に出題されます。

他大学との違い・北海道大学数学の特徴

• 東大・京大：発想力・独創性が必要な難問が中心
• 阪大・名大：やや難しめの計算量が多い問題が中心
• 北海道大学：標準的な問題をいかに確実に得点するかが勝負

北大の特徴は「奇問・難問よりも、基本〜標準レベルの問題が多い」ことです。しかし記述式であるため、論理的に筋道を立てて書く力が要求されます。

---

会話①：北海道大学の数学の全体像について

🧑 生徒：「北海道大学の数学って、どんな問題が出るんですか？青チャートだけで対応できますか？」

👨‍🏫 藤原先生：「北大の数学は、基礎〜標準レベルの問題が中心だよ。具体的には『微分・積分』『ベクトル』『確率』『整数』が頻出単元だね。青チャート（チャート式 基礎からの数学）を例題まで完璧にこなせれば、合格ラインの得点は十分狙えるよ。ただ、記述式だから答えが合っているだけじゃなくて、なぜそうなるかの根拠を式で示す必要がある。そこが東大とは違う意味でのハードルになるんだ。フォーカスゴールドも解説が丁寧で自学に最適だから、自分のスタイルに合う方を選ぼう！」

💬 北大の数学は「基礎の完成度」がそのまま得点に直結する試験だよ。焦らず基礎から積み上げよう！

---

【セクション3】1998年度 出題テーマ速報と分析

文系数学（大問1）の出題テーマ一覧

大問	テーマ	単元	難易度
[1]	放物線と長方形の最大値問題	二次関数・最大最小	★★★☆☆
[2]	連立不等式の領域が三角形になる条件	図形と方程式	★★★★☆
[3]	$\frac{1}{\sqrt{n}}$の小数部分と整数問題	整数・場合の数	★★★★☆
[4]（選択）	複素数平面・軌跡	複素数平面	★★★★☆
[5]（選択）	空間ベクトルと角度・垂線の足	空間ベクトル	★★★★☆

理系数学（大問2）の出題テーマ一覧

大問	テーマ	単元	難易度
[1]	2円に接する円の軌跡（双曲線）	図形と方程式	★★★☆☆
[2]	対数を含む関数の接線・回転体	微分・積分	★★★★☆
[3]	組合せの証明	場合の数・整数	★★★★★
[4]	三角形の内部になる$(a,b)$の条件	図形と方程式	★★★★☆
[5]（選択）	複素数の条件と図示	複素数平面	★★★★☆
[6]（選択）	多項分布と確率の最大化	確率・統計	★★★★☆

1998年度の特徴と合格ライン

1998年度は文系・理系ともに整数問題と図形系問題が高難度でした。理系[3]の組合せ証明は完答できた受験生は少数で、部分点をどれだけ積み上げられるかが合否のカギとなりました。合格ラインは全体の6割程度と推測されます。

💬 難しい問題ばかりに時間を取られないよう、「解ける問題から確実に」という戦略が重要！

---

【セクション4】全大問 問題・解説

---

大問1（文系）：放物線と長方形の最大値問題（難易度★★★☆☆）

【問題文】

正の数 $a$ に対し、関数 $y = x^2 - ax$（$\frac{a}{6} \leq x \leq \frac{5a}{6}$）のグラフを $C$ とする。長方形 $T$ で、一辺が $x$ 軸に合致され、その対辺の両端が $C$ 上にあるものをすべて考える。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 長方形 $T$ の周の長さの最大値を、$a$ を用いて表せ。

(2) 長方形 $T$ の面積の最大値を、$a$ を用いて表せ。

---

【使う公式・定理】

公式名	内容
二次関数の頂点公式	$y = x^2 - ax = \left(x - \frac{a}{2}\right)^2 - \frac{a^2}{4}$
長方形の周の長さ	$2(\text{縦} + \text{横})$
長方形の面積	$\text{縦} \times \text{横}$
微分による最大最小	$f'(x) = 0$ の解を求め、増減表で確認

---

【解法ステップ（問題設定の整理）】

まず、問題の設定を正確に把握しましょう。

ステップ① 問題設定の把握

$y = x^2 - ax$ を変形すると：

この放物線は $x = 0$ と $x = a$ で $x$ 軸と交わり、頂点は $x = \frac{a}{2}$ です。

定義域は $\frac{a}{6} \leq x \leq \frac{5a}{6}$ であり、頂点 $x = \frac{a}{2}$ がこの定義域内に含まれていることを確認します（$\frac{a}{6} < \frac{a}{2} < \frac{5a}{6}$ は明らかに成立）。

ステップ② 長方形の設定

定義域内の $x = t$（$\frac{a}{6} \leq t \leq \frac{5a}{6}$）に対して、曲線 $C$ 上の点は $(t, t^2 - at)$ です。

ここで重要な観察：$y = x^2 - ax = x(x-a)$ は $0 \leq x \leq a$ で $y \leq 0$ です。

定義域 $\frac{a}{6} \leq x \leq \frac{5a}{6}$ では常に $y \leq 0$（$y = 0$ は $x = 0$ か $x = a$ のときのみ）。

「一辺が $x$ 軸に合致し、その対辺の両端が $C$ 上にある長方形」を考えます。

$x$ 軸上の辺の両端を $(t_1, 0)$、$(t_2, 0)$（$t_1 < t_2$）とすると、$C$ 上の対辺の両端は $(t_1, t_1^2 - at_1)$ と $(t_2, t_2^2 - at_2)$ です。

長方形になるためには、$x$ 軸上の辺と対辺が平行（つまり $C$ 上の2点が同じ $y$ 座標を持つ）必要があります：

$t_1 \neq t_2$ より：

これが長方形の条件です！つまり、$t_1 + t_2 = a$ を満たす $t_1, t_2$ を選べばよいことがわかります。

ステップ③ 変数の設定

対称性から $t_1 = \frac{a}{2} - s$、$t_2 = \frac{a}{2} + s$（$s > 0$）と置きます。

定義域の制約：
$$\frac{a}{6} \leq \frac{a}{2} - s \quad \Rightarrow \quad s \leq \frac{a}{3}$$
$$\frac{a}{2} + s \leq \frac{5a}{6} \quad \Rightarrow \quad s \leq \frac{a}{3}$$

よって $0 < s \leq \frac{a}{3}$。

長方形の横の長さ（$x$ 軸方向）：

長方形の縦の長さ（$y$ 軸方向の絶対値）：

$0 < s \leq \frac{a}{3} < \frac{a}{2}$ より $s^2 < \frac{a^2}{4}$ なので：

---

【(1)の解法：周の長さの最大値】

ステップ④ 周の長さの式を作る

周の長さ $L$ は：

ステップ⑤ $s$ で微分して最大値を求める

$\frac{dL}{ds} = 0$ より $s = 1$。

ただし、$s$ の範囲は $0 < s \leq \frac{a}{3}$ なので、$a$ の値によって場合分けが必要です。

場合1：$\frac{a}{3} \geq 1$、つまり $a \geq 3$ のとき

$s = 1$ が範囲内に入るので、$s = 1$ で $L$ は最大。

場合2：$\frac{a}{3} < 1$、つまり $0 < a < 3$ のとき

$\frac{dL}{ds} > 0$ なので $L$ は $s$ について単調増加。$s = \frac{a}{3}$ で最大。

答え（(1)）：

---

【(2)の解法：面積の最大値】

ステップ⑥ 面積の式を作る

面積 $S$ は：

ステップ⑦ $s$ で微分して最大値を求める

$\frac{dS}{ds} = 0$ より：

$s$ の範囲は $0 < s \leq \frac{a}{3}$ なので、$\frac{a\sqrt{3}}{6}$ と $\frac{a}{3}$ を比較：

$\frac{a\sqrt{3}}{6} < \frac{a}{3}$ なので、$s = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ は常に範囲内。

答え（(2)）：

---

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「長方形の条件 $t_1 + t_2 = a$」を導き出せるかどうかです。料理に例えると、「食材を均等に分けるとき、両側の量の合計は常に同じ」というイメージ。放物線の対称性を使って条件を整理することが、この問題の核心です。

変数 $s$ を使って対称的に置いた瞬間に、問題がぐっとシンプルになります。場合分けの必要性に気づくかどうかも重要な見どころです。

---

会話②：放物線と長方形問題について

🧑 生徒：「長方形の条件の $t_1 + t_2 = a$ って、どうやって出てくるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「鋭い質問！これは放物線の対称性から出てくるんだよ。$y = x^2 - ax$ 上の2点が同じ $y$ 座標を持つ条件として、$t_1^2 - at_1 = t_2^2 - at_2$ という等式を作るんだ。これを整理すると $(t_1 - t_2)(t_1 + t_2 - a) = 0$、$t_1 \neq t_2$ だから $t_1 + t_2 = a$ という対称軸 $x = \frac{a}{2}$ に関する対称性が出てくる。要するに放物線の軸について対称な2点は常に同じ高さにある、っていう性質を使ってるんだよ！」

💬 「対称性を見抜く」のが数学のセンスを磨く第一歩。ここが自然に見えたら一流！

---

【この大問で身につく力】

放物線の対称性の活用と、変数置換による最大最小問題への帰着力。場合分けの判断力も合わせて鍛えられます。

---

大問2（文系[2]・理系[4]共通）：連立不等式の領域が三角形になる条件（難易度★★★★☆）

【問題文（文系[2]）】

次の連立不等式の表す領域が三角形の内部になるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

【問題文（理系[4]）】

次の連立不等式の表す領域が三角形の内部になるような点 $(a, b)$ の集合を式で表し、図示せよ。

---

【使う公式・定理】

公式名	内容
直線の交点	連立方程式で求める
三角形になる条件	3直線が1点に集まらず、かつ2本が平行にならない
領域の境界	不等式の $=$ で結んだ直線が境界

---

【文系[2]の解法ステップ】

ステップ① 境界直線を整理する

3つの不等式の境界直線は：

• $\ell_1$：$x - y = 0$（つまり $y = x$）
• $\ell_2$：$x + y = 2$（つまり $y = 2 - x$）
• $\ell_3$：$ax + (2a+3)y = 1$

ステップ② 最初の2直線の交点を求める

$\ell_1$ と $\ell_2$ の交点：$x = y$ かつ $x + y = 2$ より $x = y = 1$。

交点は $(1, 1)$。

ステップ③ 三角形にならない条件を考える

3直線が三角形を作らない（つまり三角形の内部が定義されない）のは以下の場合：

1. $\ell_3$ が $\ell_1$ または $\ell_2$ と平行
2. 3直線が1点で交わる（$\ell_3$ が交点 $(1,1)$ を通る）

場合1：$\ell_3 \parallel \ell_1$（$\ell_3$ の傾きが 1）

$ax + (2a+3)y = 1$ を $y$ について解くと：

傾きが $1$ になる条件：

場合2：$\ell_3 \parallel \ell_2$（$\ell_3$ の傾きが $-1$）

ただし $2a + 3 = 0$（$a = -\frac{3}{2}$）のとき、$\ell_3$ は $ax = 1$（$a \neq 0$）つまり $x = \frac{1}{a}$ の鉛直線になります。これは $\ell_1, \ell_2$ と平行ではなく、それぞれ1点で交わるので三角形を作ります（後で確認）。

場合3：$\ell_3$ が交点 $(1,1)$ を通る

ステップ④ さらに、不等式の向きを確認する

さらに、$\ell_3$ が作る半平面が $\ell_1, \ell_2$ の作る半平面と交わって有界な三角形を作るかどうかも確認が必要です。

まず $\ell_1$: $x - y < 0$（$y > x$、$\ell_1$ の上側）と $\ell_2$: $x + y < 2$（$y < 2 - x$、$\ell_2$ の下側）の共通部分は、頂点 $(1,1)$ を右上の端点とする無限に広がる（左方向）領域です。

正確には、$y > x$ かつ $y < 2-x$ の共通部分は $x < 1$、$x < y < 2-x$ という三角形状の領域ですが、$x$ が $-\infty$ に向かって広がります。

$\ell_3$ がこの領域を切り取って有界な三角形を作るためには、$\ell_3$ が適切な方向の半平面を作る必要があります。

$a = -\frac{3}{2}$ のとき（$2a + 3 = 0$）：

$\ell_3$：$-\frac{3}{2}x = 1$、つまり $x = -\frac{2}{3}$

不等式は $-\frac{3}{2}x < 1$、つまり $x > -\frac{2}{3}$（右半平面）

$\ell_1 \cap \ell_2$ の領域で $x > -\frac{2}{3}$ の部分は有界な三角形になる。→ OK

ステップ⑤ 三角形になる条件をまとめる

三角形にならない $a$ の値は：$a = -1$, $a = -3$, $a = -\frac{2}{3}$

ただし、$\ell_3$ の向きも確認が必要です。$\ell_3$: $ax + (2a+3)y < 1$ の不等式が、$\ell_1, \ell_2$ の共通部分と組み合わさって有界な三角形を作るかどうかを調べます。

$y > x$, $y < 2-x$ の共通部分（$x < 1$, $x < y < 2-x$）に対し、$\ell_3$ が有界な三角形を切り取るためには、$\ell_3$ が左方向（$x \to -\infty$）に開いている領域を右側から閉じる役割を持つ必要があります。

これを考えると、$\ell_3: ax + (2a+3)y = 1$ において $x \to -\infty$ のとき $ax + (2a+3)y$ が増加する

---

---

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

📲 無料プレゼント付き！公式LINEに登録しよう

情報Iや数学に関する有益な情報発信・無料授業の告知をLINEで行っています！

LINEに登録すると受け取れる特典 🎁

• ✅ 数学・情報Iの無料授業動画
• ✅ 入試傾向の最新分析レポート
• ✅ 藤原進之介先生からの限定学習アドバイス
• ✅ 英検合格保証の英論会情報もこちらから

👉 プレゼント付き公式LINE ▶ 今すぐ登録（無料）

数学が苦手でも大丈夫。一緒に一歩ずつ進んでいきましょう！

---

🎓 数強塾オンラインでマンツーマン指導を受けよう

藤原進之介の厳選した一流講師が、あなただけのために徹底指導します！
会話しながら、どんな基礎的なことでも根本から理解していこう！

👉 数強塾オンライン公式サイト（sukyojuku.com）

---