北海道大学 1999年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに｜この記事で北海道大学数学の全てが分かる！

北海道大学 1999年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。

この記事では、北海道大学1999年度の数学（文系・理系）を徹底的に解説します。この1記事を読み込めば、次の3つが手に入ります！

• ✅ 1999年度の全大問の解法と思考プロセスを理解できる
• ✅ 北海道大学数学の出題傾向と合格戦略が明確になる
• ✅ 二度と同じミスをしないための典型的な失敗パターンと対策法を習得できる

👨‍🏫 藤原先生より：「北海道大学の数学は『難しすぎず、簡単すぎず』という絶妙なラインです。幅広い分野を丁寧に対策すれば、必ず得点源にできます。一緒にやっていこう！」

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【セクション2】北海道大学の数学：入試の全体像

試験形式と基本データ

北海道大学の数学は、文系・理系で試験時間が異なります。

項目	文系	理系
試験時間	90分（12:40〜14:10）	120分（12:40〜14:40）
大問数	4問	5問
解答形式	記述式	記述式
難易度	標準レベル	標準〜やや難

記述式で部分点が与えられるため、途中の思考プロセスを丁寧に書くことが非常に重要です。全国的に見ても、北海道大学の数学は「解法の発想力」よりも「基礎知識の確実な運用」を問う傾向が強いのが特徴です。

偏差値帯と求められる数学レベル

北海道大学の偏差値は学部によって異なりますが、理系主要学部（理・工・医）では偏差値60〜65程度が目安です。数学では「青チャート（チャート式 基礎からの数学）」レベルの問題を確実に解き切る力 + 少し難しい問題への対応力が求められます。

北海道大学数学 頻出単元ランキング

過去の出題を分析すると、以下の単元が繰り返し出題されています。

順位	単元	文系	理系
1位	積分・面積	◎	◎
2位	三角関数・図形	◎	◎
3位	確率・場合の数	◎	◎
4位	数列・漸化式	○	◎
5位	論証・整数	◎	○
6位	微分・極値	○	◎
7位	複素数・図形	△	○

他大学との違い・特徴

• 東大・京大は論述の完成度・独創的な発想が重視されるのに対し、北海道大学は標準的な解法の確実な実行が重視されます
• 東北大が計算量の多い問題を好む一方、北海道大学は比較的計算がすっきりした問題が多い
• 文系でも確率や整数論証問題が出やすく、理系的なセンスも問われる

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🧑 生徒：「北海道大学の数学って、どのくらいのレベルの問題が出るんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！北海道大学は『標準問題を確実に解ける力』が最重要で、使われる主な解法は二次関数・三角関数の基本変形、定積分による面積計算、組合せの数え方、背理法による論証あたりが頻出だよ。例えば積分なら $\int_a^b f(x)\,dx$ を正確に計算できるか、確率なら $\binom{n}{k}$ を使った数え上げができるか――この辺りをしっかり固めれば、合格ラインは十分狙えるよ！」

基礎を固めて、着実に得点を積み上げよう！

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【セクション3】1999年度 出題テーマ速報と分析

1999年度 大問別テーマ一覧

文系（全4問）

大問	テーマ	単元	難易度
[1]	三角形の面積と辺の関係・最小値問題	図形と計量	★★★☆☆
[2]	二つの放物線に囲まれた面積の最大化	積分・最大最小	★★★☆☆
[3]	有理数・無理数の論証	整数・論証	★★☆☆☆
[4]	碁盤の目状道路の経路の数え方	場合の数	★★☆☆☆

理系（全5問）

大問	テーマ	単元	難易度
[1]	三角形の最小値問題（文系[1]の発展版）	図形と計量	★★★☆☆
[2]	碁盤の目状道路の経路（文系[4]の発展版）	場合の数	★★★☆☆
[3]	直線に関する対称点と軌跡・面積最大	図形と方程式	★★★★☆
[4]	周期関数と積分・極限	積分・数列	★★★★☆
[5]	シグモイド関数の極値条件	微分	★★★★☆

前年度との傾向変化と得点戦略

1999年度は文系・理系で大問の共通化が特徴的で、文系[1][4]が理系[1][2]に対応しています。文系受験生はまず[3][4]（論証・場合の数）で確実に得点し、[1][2]で上積みを狙うのが王道戦略です。理系受験生は[1][2]を素早く解いて時間を生み出し、[3][4][5]の難問に集中することが合否を分けます。

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【セクション4】全大問 問題・解説

文系 大問1・理系 大問1：〔三角形の面積条件下での二次式の最小値〕（難易度★★★☆☆）

【問題文】

文系版：
面積 $1$ の $\triangle ABC$ の各辺の長さをそれぞれ $AB = 2,\, BC = a,\, CA = b$ とする。さらに、$C$ から直線 $AB$ へ下ろした垂線の足 $D$ が線分 $AB$ 上にあるとする。

(1) $AD = x$ とするとき、$a^2 + (2\sqrt{3} - 1)b^2$ を $x$ を用いて表せ。

(2) $a^2 + (2\sqrt{3} - 1)b^2$ を最小にする $x$ を求めよ。また、そのときの $\angle BAC$ の大きさを求めよ。

理系版： 三角形 $ABC$ において、面積が $1$ で $AB = 2$ であるとき、$BC^2 + (2\sqrt{3} - 1)AC^2$ の値を最小にするような $\angle BAC$ の大きさを求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
三角形の面積公式	$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$（$h$ は $AB$ 上の高さ）
ピタゴラスの定理	$a^2 = BD^2 + CD^2,\quad b^2 = AD^2 + CD^2$
三角関数の定義	$\tan(\angle BAC) = \frac{CD}{AD}$
二次関数の最小値	$f(x) = px^2 + qx + r$ の頂点で最小

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【解法ステップ（文系(1)）】

ステップ①　設定の整理

$C$ から $AB$ への垂線の足を $D$、$CD = h$（高さ）、$AD = x$ とおく。

$AB = 2$ なので $BD = 2 - x$。

三角形の面積が $1$ より：
$$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h = h = 1$$

よって $h = 1$（高さは $1$ に確定！）

ステップ②　$a^2, b^2$ を $x$ で表す

$\triangle ACD$ でピタゴラスの定理を使うと：
$$b^2 = AD^2 + CD^2 = x^2 + h^2 = x^2 + 1$$

$\triangle BCD$ でピタゴラスの定理を使うと：
$$a^2 = BD^2 + CD^2 = (2-x)^2 + h^2 = (2-x)^2 + 1$$

ステップ③　$a^2 + (2\sqrt{3}-1)b^2$ を計算

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【解法ステップ（文系(2)）】

ステップ④　二次関数として最小化

$f(x) = 2\sqrt{3}\,x^2 - 4x + 4 + 2\sqrt{3}$ は $x$ の二次関数（$2\sqrt{3} > 0$ なので下に凸）。

条件確認：$D$ が線分 $AB$ 上にある条件は $0 \leq x \leq 2$。

頂点の $x$ 座標：
$$x = \frac{4}{2 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

$0 < \frac{\sqrt{3}}{3} < 2$ を確認 ✓

ステップ⑤　$\angle BAC$ の大きさを求める

$AD = x = \frac{\sqrt{3}}{3}$、$CD = h = 1$ より：

$0 < \angle BAC < 90°$（$D$ が線分 $AB$ 上にあるので $\angle BAC$ は鋭角）より：

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【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「面積条件から高さを先に固定する」ことです。料理で例えると、「材料（面積 = 1）が決まっているから、まず何が決まるかを考える」感覚です。面積 $= \frac{1}{2} \times 底辺 \times 高さ$ なので、底辺 $AB = 2$ が決まれば高さ $h$ も自動的に $1$ に決まります。この気づきがあれば、後は「$x$ の二次関数の最小化」という見慣れた問題に帰着します。

理系版はさらに直接的で、文系(2)の結果を一気に求める問題です。文系版を丁寧に解いた人は理系版もスムーズに解けるでしょう。

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🧑 生徒：「ステップ②で $a^2 = (2-x)^2 + 1$ としたのはなぜですか？$BD = 2 - x$ はどこから来たんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい着眼点だね！これはピタゴラスの定理を使っているんだよ。$D$ は $AB$ 上の点で $AD = x$、$AB = 2$ だから、$BD = AB - AD = 2 - x$ となるんだ。そして $\triangle BCD$ で直角は $D$ にあるから、$BC^2 = BD^2 + CD^2 = (2-x)^2 + 1^2$ というわけ。ポイントは『垂線の足』が作る直角三角形が2つある、という図形の構造を見抜くことだよ！」

$x$ を使って整理する発想、これが図形問題の核心だよ。一つ一つ丁寧に進めよう！

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【この大問で身につく力】

面積条件から高さを固定し、ピタゴラスの定理で辺を $x$ で表した上で二次関数の最小値を求める——という「設定→式化→最適化」の三段階思考力が徹底的に鍛えられます。

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文系 大問2：〔2つの放物線に囲まれた面積の最大化〕（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$0 < a < 1$ とする。曲線 $y = 1 - x^2$ と $y = \left(\dfrac{1}{a^2} - 1\right)x^2$ の第1象限内での交点を $A$ とし、$A$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足を $B$ とする。また、原点を $O$ とし、線分 $OB$ と線分 $AB$ と曲線 $y = \left(\dfrac{1}{a^2} - 1\right)x^2$ で囲まれた図形の面積を $S$ とする。

(1) 点 $B$ の座標を求めよ。

(2) 面積 $S$ を $a$ を用いて表せ。

(3) 面積 $S$ を最大にする $a$ の値を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
曲線の交点	連立方程式で解く
定積分による面積	$S = \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx$
微分による最大化	$\frac{dS}{da} = 0$ を解く

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【解法ステップ（(1)）】

ステップ①　交点 $A$ を求める

$y = 1 - x^2$ と $y = \left(\dfrac{1}{a^2} - 1\right)x^2$ を連立する：

このとき $y = 1 - a^2$。

ステップ②　$B$ の座標

$B$ は $A$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足なので：

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【解法ステップ（(2)）】

ステップ③　図形の確認

$0 < a < 1$ の条件のもと、第1象限で $y = \left(\dfrac{1}{a^2} - 1\right)x^2$ は $x \geq 0$ で $y \geq 0$（なぜなら $\dfrac{1}{a^2} - 1 > 0$）。

面積 $S$ は、$x$ 軸（線分 $OB$）、$x = a$（線分 $AB$）、曲線 $y = \left(\dfrac{1}{a^2} - 1\right)x^2$ に囲まれた領域。

これは $x = 0$ から $x = a$ の範囲で、放物線 $y = \left(\dfrac{1}{a^2} - 1\right)x^2$ と $x$ 軸の間の面積：

ステップ④　積分計算

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【解法ステップ（(3)）】

ステップ⑤　$S$ を $a$ で微分

ステップ⑥　最大値を与える $a$ を求める

$\dfrac{dS}{da} = 0$ とすると：

$0 < a < 1$ の範囲で $a = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ✓

増減表を確認：

$a$	$(0,\, \frac{\sqrt{3}}{3})$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$(\frac{\sqrt{3}}{3},\, 1)$
$\frac{dS}{da}$	$+$	$0$	$-$
$S$	↗	極大	↘

このとき $S = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{9}\right) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2\sqrt{3}}{9} = \dfrac{2\sqrt{3}}{27}$

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【藤原先生の解説】

この問題のキモは「$S$ がどの部分の面積か」を正確に把握することです。ゲームで言えば、マップの「どのエリアを計算するか」を先に確認するようなものです。「$OB$ と $AB$ と曲線で囲まれた図形」は、原点から $x = a$ まで、曲線と $x$ 軸の間の面積です。$y = \left(\dfrac{1}{a^2} - 1\right)x^2$ は $0 < a < 1$ のとき正の値をとる（係数が正）ことを確認してから積分しましょう。

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🧑 生徒：「(2)の面積 $S$ の計算で、なぜ $y = 1 - x^2$ の方は使わないんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「鋭い質問！図をよく読むと、囲まれた図形は『線分 $OB$（$x$ 軸の一部）』・『線分 $AB$（$x = a$ の垂線）』・『曲線 $y = \left(\dfrac{1}{a^2}-1\right)x^2$』の3つで囲まれているんだよ。$y = 1 - x^2$ は交点 $A$ を決めるためだけに使って、面積計算には登場しないんだ。これは定積分 $\int_0^a \left(\dfrac{1}{a^2}-1\right)x^2\,dx$ で計算できるよ。図形の形を正確に把握するのが積分問題の第一歩だからね！」

積分の前に「どの部分を計算するか」を図で確認する習慣をつけよう！

【この大問で身につく力】

「交点の座標を求め→囲まれた図形を正確に把握し→定積分で面積を表し→パラメータについて最大化する」という積分・最大化問題の完全な流れを習得できます。

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文系 大問3：〔有理数・無理数の論証〕（難易度★★☆☆☆）

【問題文】

次の命題の真偽を述べ、その理由を説明せよ。$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}$ が無理数であることを用いてよい。

(1) $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ は無理数である。

(2) $x$ が実数であるとき、$x^2 + x$ が有理数ならば $x$ は有理数である。

(3) $x, y$ がともに無理数ならば、$x + y$、$x^2 + y^2$ のうち少なくとも一方は無理数である。

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【解法ステップ】

【(1) の解答】 　真

$\sqrt{2} - \sqrt{3}$ が有理数だと仮定すると、ある有理数 $r$ が存在して $\sqrt{2} - \sqrt{3} = r$。

両辺を2乗すると：
$$(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = r^2$$
$$2 - 2\sqrt{6} + 3 = r^2$$
$$\sqrt{6} = \frac{5 - r^2}{2}$$

右辺は有理数だが、$\sqrt{6}$ は無理数（仮定より）。矛盾。よって $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ は無理数。（真）

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【(2) の解答】 　偽

反例を挙げる。$x = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ とすると（これは無理数）：

$x^2 + x = 1$（有理数）だが $x = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$（無理数）。（偽）

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【(3) の解答】 　真

$x, y$ がともに無理数であるとする。$x + y$ も $x^2 + y^2$ もともに有理数だと仮定して矛盾を導く。

$x + y = p$（有理数）、$x^2 + y^2 = q$（有理数）とおく。

$x, y$ は二次方程式 $t^2 - pt + \dfrac{p^2-q}{2} = 0$ の解。

この方程式の判別式：
$$D = p^2 - 4 \cdot \frac{p^2 - q}{2} = p^2 - 2(p^2 - q) = 2q - p^2$$

もし $D < 0$：実数解なし（$x, y$ が実数であることに矛盾）

もし $D \geq 0$：解は $t = \dfrac{p \pm \sqrt{2q - p^2}}{2}$

$x, y$ が無理数であるためには $\sqrt{2q - p^2}$ が無理数でないといけない（有理数なら $x, y$ が有理数になってしまう）。

しかし $\sqrt{2q - p^2}$ が無理数なら、$x = \dfrac{p + \sqrt{2q-p^2}}{2}$ と $y = \dfrac{p - \sqrt{2q-p^2}}{2}$ で：

これは仮定と矛盾しない……が、$x + y$ が有理数であっても問題ない。つまり「$x + y$ も $x^2 + y^2$ もともに有理数」となる $x, y$ が存在するかを確認する。

実は $x = \sqrt{2},\ y = -\sqrt{2}$ のとき：

$$x^2 + y^2

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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