北海道大学 2001年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で北海道大学数学を完全攻略しよう！

北海道大学 2001年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、2001年度の文系・理系全大問を藤原先生が丁寧に解説します。この記事を読むことで得られる3つの価値はこちらです。

• ✅ 各大問の解法の本質が理解できる（丸暗記ではなく「なぜ」がわかる）
• ✅ 北海道大学数学の傾向と対策が体系的につかめる
• ✅ 合否を分けるポイントがわかり、得点戦略が立てられる

👨‍🏫 藤原先生より：北海道大学の数学は「標準レベル」と言われますが、それは「簡単」という意味ではありません。基礎をしっかり積み上げた上で、複数の単元を横断する思考力が求められます。この解説記事で、問題の本質を一緒につかんでいきましょう！

北海道大学の数学：入試の全体像

試験形式と基本データ

北海道大学の数学入試は、文系・理系で大きく内容が異なります。

記述式であるため、論理的な答案の書き方が重要です。答えが合っていても、途中の論述が不十分では大きく減点されることがあります。

偏差値帯と求められる数学レベル

北海道大学の理系学部の偏差値帯はおおむね 55〜65（学部によって異なる）です。数学で求められるレベルは「教科書の内容を完全に理解した上で、入試標準問題を確実に解ける力」です。東大・京大のような超難問は出ませんが、複合的な思考が要求される問題が多く、基礎の積み上げが勝負の鍵を握ります。

過去10年の出題傾向まとめ

北海道大学の理系数学では、以下の単元が繰り返し出題されています。

他大学との比較

• 東大：抽象的な思考と証明重視、発想の飛躍が必要
• 京大：計算量が多く、記述の完成度が厳しく問われる
• 北海道大学：標準問題を丁寧に処理する力が軸。ただし、理系では積分・複素数・確率の複合問題が難しい

🧑 生徒：「北海道大学の数学って、どのくらいのレベルの問題集をやればいいんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「まず『青チャート（チャート式 基礎からの数学）』で全単元の基礎をしっかり固めてください。例題を全て自力で解けるようになったら、次は『1対1対応の演習』で入試標準〜やや難レベルの演習を積む。この2冊をしっかりやれば、北海道大学の合格ラインに届くベースができます。理系は数学ⅢCの積分と確率が特に重要ですよ！」

💪 北海道大学数学の全体像がつかめた！次は2001年度の具体的な出題テーマを確認しよう！

2001年度 出題テーマ速報と分析

文系 大問別テーマと難易度

理系 大問別テーマと難易度

合格ラインと得点戦略

理系の場合、数学の配点は200〜300点程度と大きく、全大問で部分点を積み上げる戦略が基本です。2001年度は理系[1]（行列のn乗）と理系[4]（積分と無限級数）が最難関。これら2問は大問の前半だけ完答し後半は部分点狙い、残りの[2][3][5]を完答する方針が現実的です。

💪 2001年度の全体像が見えた！では大問ごとに詳しく解説していこう！

全大問 問題・解説

文系 大問[1]：放物線の接線と関数の繰り返し合成（難易度★★★★☆）

【問題文】

$xy$平面上の曲線 $y = a(x-b)^2 + c$ を考える。ただし、$a, b, c$ は定数で $a \neq 0$ とする。この曲線上の点 $P(p, q)$ での接線が $x$ 軸と交点をもつとき、その交点を $(f(p), 0)$ とする。

(1) $f(p)$ が $p$ の1次関数になるための $a, b, c$ に対する必要十分条件を求めよ。

(2) $x_1 = p,\ x_2 = f(x_1),\ x_3 = f(x_2),\ \ldots,\ x_n = f(x_{n-1})$ とおくとき、(1)で求めた条件の下で $x_n$ ($n \geq 2$) を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① 接線の方程式を求める

$y = a(x-b)^2 + c$ を微分すると $y' = 2a(x-b)$。

点 $P(p, q)$ は曲線上にあるから $q = a(p-b)^2 + c$。

点 $P$ での接線は：

ステップ② $x$ 軸との交点を求める（$y = 0$）

$$-q = 2a(p-b)(x - p)$$
$$x - p = \frac{-q}{2a(p-b)} \quad \text{（}p \neq b\text{ のとき）}$$
$$x = p - \frac{q}{2a(p-b)}$$

$q = a(p-b)^2 + c$ を代入すると：

$$f(p) = p - \frac{a(p-b)^2 + c}{2a(p-b)}$$
$$= p - \frac{(p-b)}{2} - \frac{c}{2a(p-b)}$$
$$= \frac{p}{2} + \frac{b}{2} - \frac{c}{2a(p-b)}$$

ステップ③ $f(p)$ が1次関数になる条件

$f(p)$ が $p$ の1次関数になるためには、$\frac{c}{2a(p-b)}$ の部分が「$p$ の0次（定数）」または「$p$ の1次」の一部になる必要があります。

$\frac{c}{2a(p-b)}$ は $p \neq b$ のときに $\frac{1}{p-b}$ 型の分数式です。これが $p$ の多項式（1次関数）になるためには、分子が0 でなければなりません。

つまり $c = 0$ が必要十分条件。

• $c = 0$ のとき：$f(p) = \frac{p}{2} + \frac{b}{2} = \frac{1}{2}p + \frac{b}{2}$　→　確かに $p$ の1次関数 ✅
• $c \neq 0$ のとき：$f(p)$ は分数式を含み、1次関数にならない ✅

（注意） $p = b$ のとき、接線は $y - c = 0$（水平線）となり、$c \neq 0$ なら $x$ 軸と交点をもたない。$c = 0$ なら頂点が原点で全部ゼロになる別ケースが必要だが、問題の設定上「交点をもつとき」という条件がついているので、$c = 0$ の下では $p = b$ で $f(b) = b$ と定義できる。

必要十分条件：$c = 0$

ステップ④ (2) 漸化式を解く

$c = 0$ の下で $f(p) = \frac{p+b}{2}$ なので、漸化式は：

これを変形する。固定点（$x = f(x)$ となる $x$）を求めると：

固定点 $b$ を引いた形に変形：

これは公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列！

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは、「$f(p)$ が1次関数になる」という条件の意味を分数式の視点で捉えることです。

料理に例えると、$f(p)$ という「レシピ」の中に「$\frac{c}{2a(p-b)}$」という材料が入っています。この材料が入っていると、どんなに頑張っても1次式の「形」にはなれない。この材料を取り除く（$c = 0$）ことが必要十分条件というわけです。

(2) の漸化式は、固定点に向かって収束する等比数列の典型パターン。$n \to \infty$ のとき $x_n \to b$（放物線の軸）に収束するのも美しいですね！

🧑 生徒：「ステップ③で $c = 0$ が必要十分条件になるのはわかりましたが、$p = b$ のケースは完全に無視していいんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「鋭い質問！$p = b$ のとき、放物線の頂点での接線は $y = c$（水平線）になります。これが $x$ 軸と交わるのは $c = 0$ のときだけで、そのとき接線は $y = 0$ つまり $x$ 軸そのものです。問題文には『$x$ 軸と交点をもつとき』という条件がついているので、$p = b$ かつ $c = 0$ のとき $f(b) = b$ と設定でき、$f(p) = \frac{p+b}{2}$ は $p = b$ でも成り立ちます（$f(b) = \frac{b+b}{2} = b$ ✓）。だから整合性はとれているんです！」

【この大問で身につく力】

微分で接線を求め、条件を整理して「係数比較」する論理的思考力。漸化式の固定点変換（等比数列型）の解法パターンが確実に身につきます。

💪 接線と漸化式の美しいつながりが見えてきた！

文系 大問[2]：絶対値関数のグラフと最小値の一般化（難易度★★★☆☆）

【問題文】

(1) 関数 $y = |x-1| + |x-2| + |x-3|$ のグラフをかけ。

(2) $n = 1, 2, 3, \ldots$ のとき、$x$ の関数 $y = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} |x-k|$ の最小値とそれを与える $x$ を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① (1) $x$ の範囲で場合分け

$x < 1,\ 1 \leq x < 2,\ 2 \leq x < 3,\ x \geq 3$ の4区間で考える。

• $x < 1$：$y = (1-x) + (2-x) + (3-x) = 6 - 3x$（傾き$-3$）
• $1 \leq x < 2$：$y = (x-1) + (2-x) + (3-x) = 4 - x$（傾き$-1$）
• $2 \leq x < 3$：$y = (x-1) + (x-2) + (3-x) = x$（傾き$+1$）
• $x \geq 3$：$y = (x-1) + (x-2) + (x-3) = 3x - 6$（傾き$+3$）

各区間の境界での値：
- $x = 1$：$y = 3$
- $x = 2$：$y = 2$（最小値）
- $x = 3$：$y = 3$

グラフは折れ線で、$x = 2$ で最小値 $2$ をとる V 字型。

ステップ② (2) 一般化：中央値の性質を使う

$y = \sum_{k=1}^{n} |x - k|$ は $x$ について凸な関数で、最小値は中央値で達成される。

（n が奇数のとき） $n = 2m-1$（$m = 1, 2, 3, \ldots$）

中央値は $\frac{n+1}{2} = m$ 番目の値 $k = m$。

最小値を計算する（$x = m$ として）：

（n が偶数のとき） $n = 2m$（$m = 1, 2, 3, \ldots$）

中央値は $m$ 番目と $(m+1)$ 番目の間、つまり $m \leq x \leq m+1$ の範囲で最小値をとる。

最小値の計算（$x = m$ として）：

まとめ：

【藤原先生の解説】

この問題は「絶対値の和の最小値は中央値で達成される」という重要な定理の証明問題です。スポーツの例で言えば、全員の選手に最も近い「集合場所」を選ぶ問題。一列に並んだ選手たちの真ん中に集合場所を置くのが、移動距離の合計を最小化する最善策なんです。

奇数個なら「真ん中の一点」、偶数個なら「中間の区間全体」が答えになる——この対称性の美しさが北大らしい出題です！

🧑 生徒：「絶対値の和の最小値が中央値で達成されることを、どうやって論理的に示せばいいんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「場合分けによる直接計算か、微分の考え方を使います。$y = \sum_{k=1}^{n}|x-k|$ は区間ごとに線形（一次関数）で、傾きは左から右へ $-n, -(n-2), \ldots, (n-2), n$ と2ずつ増加します。傾きが負→正に変わる点、つまり傾きが0になる区間が最小値の場所です。奇数個の場合は傾きが $-1$ から $+1$ に変わる点（中央値）、偶数個の場合は傾きが $0$ になる区間（中央の2値の間）が答えになりますよ！」

【この大問で身につく力】

絶対値関数の場合分けと、「中央値最適性」という統計・最適化の概念を結び付ける思考力が身につきます。

💪 絶対値と中央値の関係、しっかり理解できた！

理系 大問[1]：ωの性質・行列・行列のn乗（難易度★★★★★）

【問題文】

$\omega = \dfrac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}$ とおく（$i$ は虚数単位）。

(1) 実数 $a, b, c, d$ に対して $a + b\omega = c + d\omega$ が成り立つとき、$a = c$ かつ $b = d$ であることを示せ。

(2) 実数 $x, y$ に対して、実数 $s, t$ を $s + t\omega = \omega(x + y\omega)$ によって定めるとき、$\begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ となる2次正方行列 $A$ を求めよ。

(3) $n = 1, 2, 3, \ldots$ のとき、$(A^2 + E)^n$ を求めよ（$E$ は単位行列）。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① (1) を証明する

$a + b\omega = c + d\omega$ を変形：

$\omega = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ を代入：

実部・虚部がともに0：

よって $a = c$ かつ $b = d$ が示された。 $\square$

ステップ② (2) 行列 $A$ を求める

$\omega(x + y\omega) = x\omega + y\omega^2$ を計算する。

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より $\omega^2 = -\omega - 1$。

これが $s + t\omega$ なので：

ステップ③ (3) $(A^2 + E)^n$ を計算する

まず $A^2$ を求める：

（注目！） $A^2 + E$ の固有多項式を求める：

固有値は $\lambda = \dfrac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$、これは $|\lambda| = 1$、偏角 $\pm \dfrac{\pi}{3}$ の複素数です。

別の方法：ケーリー・ハミルトンにより $B = A^2 + E$ とおくと $B^2 - B + E = O$。

ここで $B^3 = -E$ を使って：

$$B^n = \begin{cases} E & n \equiv 0 \pmod{6} \ B & n \equiv 1 \pmod{6} \ B^2 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix} & n \equiv 2 \pmod{6} \

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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