山口大学 2014年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で山口大学数学を完全制覇しよう！

山口大学 2014年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、山口大学2014年度（平成26年度）の数学入試問題を、基礎から丁寧に・徹底的に解説していきます。

この記事を読むことで、以下の3つの価値が得られます：

• ✅ 2014年度の全大問を、公式・定理名を明示しながら段階的に完全解説
• ✅ 山口大学数学の出題傾向と、合否を分けるポイントが明確にわかる
• ✅ 合格までの具体的な学習ロードマップと参考書選びの指針が手に入る

👨‍🏫 藤原先生より：「山口大学の数学は、派手な奇問より『基礎をしっかり積み上げたか』を問う良問が多い。だからこそ、一問一問の本質を丁寧に理解していけば、必ず得点できる。一緒に頑張っていこう！」

セクション2：山口大学の数学 入試の全体像

試験形式・配点の基本情報

山口大学の数学は記述式である点が重要です。答えだけではなく、思考の過程を正確に書くことが求められます。

偏差値帯と求められる数学レベル

山口大学（理学部・工学部・医学部など）の偏差値は概ね 50〜65 の幅があります。医学部医学科は別格として、多くの学部では「入試標準レベル」の数学力が求められます。

青チャートや基礎問題精講などで基礎を固め、1対1対応の演習や数学標準問題精講で標準〜やや難問に取り組むことが、合格への王道ルートです。

過去10年の頻出単元ランキング

山口大学では幅広い分野から出題されますが、特に以下の単元は頻出です：

他大学との違い・特徴

東大・京大のような難関大では「一見して方針が立たない」複合問題が多いのに対し、山口大学は「各単元の核心を正確に理解しているかどうか」を試す、丁寧な出題が特徴です。問題の見た目はオーソドックスですが、途中の論証・計算を丁寧に積み上げる力が問われます。

🧑 生徒：「山口大学の数学って、どのくらいのレベルを目指せばいいですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！山口大学は『青チャート』レベルの問題をしっかり解ける力があれば十分戦える。具体的には、三角関数の2倍角公式・極限・数学的帰納法・ベクトルの内積計算などをノーヒントで使いこなせるレベルを目指そう。奇問はほとんどないから、基礎を盤石にするのが最短ルートだよ！」

セクション3：2014年度 出題テーマ速報と分析

2014年度 大問別テーマ一覧

本記事では、以下の3つの大問（理系α[1]・文系[2]・理系β[3]の代表問題群）を解説します。

難易度評価と合格ライン

2014年度は全体として標準〜やや難のセットでした。合格ラインは概ね 120〜140点/200点 程度と推測されます。どの大問にも部分点が取りやすい小問(1)が設けられているため、全問で(1)は確実に取り、(2)(3)は丁寧に論述で部分点を積み上げる作戦が有効です。

セクション4：全大問 完全解説

大問1（理系α）：三角関数の数列・漸化式・極限（難易度★★★☆☆）

[1]-(1)：2倍角公式を用いた漸化式の導出

【問題文】

一般項が $a_n = \tan\!\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)$ で与えられる数列 $\{a_n\}$ について、正接の2倍角の公式

を用いて、数列 $\{a_n\}$ の漸化式を求めなさい。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① $\theta = \dfrac{\pi}{2^{n+2}}$ と置く方針を立てる。

$a_n = \tan\!\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)$、$a_{n+1} = \tan\!\left(\dfrac{\pi}{2^{n+2}}\right)$ であるから、

と見れば、$\theta = \dfrac{\pi}{2^{n+2}}$ のとき $\tan 2\theta = a_n$、$\tan\theta = a_{n+1}$ が成り立つ。

ステップ② 2倍角公式に代入する。

ステップ③ 漸化式を確認する。

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「どこに $\theta$ を置くか」です。$a_n$ と $a_{n+1}$ の添字の関係を見ると、$n \to n+1$ で角度が半分になっています。つまり「$a_n$ の角度は $a_{n+1}$ の角度の2倍」という関係を見抜くことが第一歩です。これはちょうど「ピアノの1オクターブ上の音は周波数が2倍」みたいな感覚で、隣り合う項に2倍の関係がある、ということです。

🧑 生徒：「2倍角公式を使うのはわかるんですが、$\theta$ をどう置けばいいか迷いました。」

👨‍🏫 藤原先生：「いいところに気づいたね！ポイントは $a_n = \tan\!\left(\dfrac{\pi}{2^{n+1}}\right)$ と $a_{n+1} = \tan\!\left(\dfrac{\pi}{2^{n+2}}\right)$ の関係を見ることだよ。$\dfrac{\pi}{2^{n+1}} = 2 \times \dfrac{\pi}{2^{n+2}}$ だから、$a_n$ の角度は $a_{n+1}$ の角度のちょうど2倍！だから 2倍角公式 $\tan 2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$ を $\theta = \dfrac{\pi}{2^{n+2}}$ として使えばいいんだ。」

【この大問で身につく力】

角度と添字の「倍数関係」を見抜く洞察力と、2倍角公式を逆向きに適用する柔軟な発想力が鍛えられます。

[1]-(2)：極限値 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$ の計算

【解法ステップ】

ステップ① (1)の漸化式 $a_n = \dfrac{2a_{n+1}}{1 - a_{n+1}^2}$ を変形する。

両辺を $a_{n+1}$ で割ると（$a_{n+1} \neq 0$ に注意）、

したがって

ステップ② $n \to \infty$ のときの $a_{n+1}$ の極限を求める。

ステップ③ 極限値を計算する。

【藤原先生の解説】

$n$ が大きくなるにつれて角度 $\dfrac{\pi}{2^{n+2}}$ は限りなく $0$ に近づき、$\tan$ の値も $0$ に近づきます。極限では「$x$ が小さいとき $\tan x \approx x$」という近似（$\tan x \approx x$ for $x \to 0$）が使える感覚も大事です。実際、$a_{n+1}/a_n \approx (1/2)$ は「角度が半分になれば $\tan$ の値もおおよそ半分になる」という直感と一致します。

大問1（理系α）：[2] 球に内接する円柱・直円錐の体積（難易度★★★★☆）

[2]-(1)：円柱Eの底面の半径と直円錐Fの高さ

【問題文】

半径 $1$ の球に内接する円柱 $E$（高さ $h$）と直円錐 $F$ が共通の底面を持つとき、底面の半径と直円錐 $F$ の高さを $h$ を用いて表せ。

【解法ステップ】

ステップ① 座標設定を行う。

球の中心を原点 $O$ とし、円柱と直円錐の共通の底面（円）の中心を通る軸を $z$ 軸とする。円柱Eの底面は球の内側にあり、底面の中心は $z$ 軸上の点 $(0, 0, -h/2 + h_0)$ …とするより、直接関係式を立てる。

ステップ② 円柱Eの底面の半径 $r$ を求める。

球の半径を $1$、円柱の高さを $h$ とすると、円柱の底面の中心は球の中心から鉛直方向に距離 $h/2$ だけ離れた位置にある（上下対称に内接）。したがって、球面上の底面の円周の点について、

（ただし $0 < h < 2$）

ステップ③ 直円錐 $F$ の高さ $H$ を求める。

直円錐 $F$ の底面は円柱 $E$ の底面と一致し（半径 $r$）、直円錐の頂点は球面上にある。頂点は底面と反対側の球面上の点であり、底面中心から頂点までの距離が直円錐の高さ $H$ となる。

球の中心から底面まで $h/2$、球面から頂点までの距離は $1$（半径）であるから、

…より正確には、底面の中心は球の中心から $z$ 方向に $-\dfrac{h}{2}$ の位置、円錐の頂点は球面上の最上点（$z = 1$）に相当するから、

正確に整理すると：底面中心の $z$ 座標は $-\dfrac{h}{2}$（球の中心を原点とする）、円錐の頂点は $z = 1$（球の最上点）なので、

ただし、これは底面が下側（$z = -h/2$）、頂点が $z = 1$ の場合。底面の円が球面と接するには：

[2]-(2)：円柱Eの体積の最大値

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① 体積を $h$ の関数で表す。

ステップ② 微分して増減を調べる。

$V'(h) = 0$ とおくと

（$0 < h < 2$ の範囲で）

ステップ③ 最大値を計算する。

[2]-(3)：くり抜かれて残った立体の体積

【問題文】

円柱 $E$ と直円錐 $F$ の体積が等しいとする。円柱 $E$ から直円錐 $F$ が飛び出ている部分をくり抜いたとき、残った立体の体積を求めよ。

【解法ステップ】

ステップ① $V_E = V_F$ の条件から $h$ を求める。

$V_E = V_F$ より：

$1 - \dfrac{h^2}{4} \neq 0$ で割ると（$h \neq 2$ の範囲）、

ステップ② くり抜かれて残った立体の体積を求める。

直円錐 $F$ は高さ $H = 1 + \dfrac{h}{2} = 1 + \dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{5}$、底面半径 $r = \sqrt{1 - \dfrac{h^2}{4}} = \sqrt{1 - \dfrac{1}{25}} = \sqrt{\dfrac{24}{25}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}$。

円柱の高さは $h = \dfrac{2}{5}$、直円錐は底面から高さ $H = \dfrac{6}{5}$ まで伸びるので、$\dfrac{h}{H} = \dfrac{2/5}{6/5} = \dfrac{1}{3}$ の位置（高さ $\dfrac{2}{5}$）で円柱の上面と交わる。

直円錐の高さ $h = \dfrac{2}{5}$ における断面の半径 $r'$ は相似比より：

ステップ③ くり抜かれて残った立体の体積。

くり抜く前の立体（円柱）の体積：$V_E = \pi r^2 h = \pi \cdot \dfrac{24}{25} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{48\pi}{125}$

円柱の上面から飛び出た直円錐の部分（円錐の頂部）の体積：高さ $H - h = \dfrac{4}{5}$、底面（円柱上面での断面）の半径 $r' = \dfrac{4\sqrt{6}}{15}$ の円錐。

くり抜かれて残った立体の体積：

【藤原先生の解説】

この問題は「くり抜く部分がどこか」をきちんと図でイメージすることが最大のポイントです。「円柱から直円錐が飛び出ている部分」というのは、ちょうど円柱の上面より上に突き出た円錐の頂部のことです。料理に例えると、ケーキ型（円柱）から生地がふくらんで飛び出た部分を切り落とすイメージですね！

🧑 生徒：「[2]-(3)で『飛び出ている部分をくり抜く』って、どの立体を引けばいいかわかりません。」

👨‍🏫 藤原先生：「いいね、そこが一番悩むポイントだよ！整理するとこうだ。円柱Eの高さは $h = \dfrac{2}{5}$、直円錐Fの高さは $H = \dfrac{6}{5}$ だから、直円錐は円柱よりずっと背が高い。その差 $H - h = \dfrac{4}{5}$ の分だけ、円柱の上面からはみ出ているよね。だから残った立体の体積は 円柱Eの体積 から 円柱の上面より上にある円錐の頂部（小さな円錐）の体積 を引けばいい。相似比 $\dfrac{H-h}{H} = \dfrac{2}{3}$ を使って小さな円錐の底面半径を求めるんだ！」

大問1（理系α）：[3] 行列のn乗と漸化式（難易度★★★☆☆）

[3]-(1)：数学的帰納法でAⁿの形を示す

【問題文】

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$ について、すべての自然数 $n$ に対して $A^n = \begin{pmatrix} a_n & b_n \\ b_n & a_n \end{pmatrix}$ となる実数 $a_n, b_n$ が存在することを数学的帰納法で示し、$a_{n+1}, b_{n+1}$ を $a_n, b_n$ で表せ。

【解法ステップ】

ステップ① $n = 1$ の場合を確認する。

$a_1 = a$、$b_1 = b$ とおけば成立。✓

ステップ② $n = k$ で成立を仮定する。

ステップ③ $n = k+1$ の場合を示す。

ただし、

これで $n = k+1$ でも成立し、帰納法が完成する。

[3]-(2)：$c_n = a_n + b_n$、$d_n = a_n - b_n$ の漸化式と一般項

【解法ステップ】

ステップ① 漸化式を加減して変数変換する。

$a_{n+1} = a\,a_n + b\,b_n$ と $b_{n+1} = b\,a_n + a\,b_n$ を加える：

引く：

$$d_{n+1} = a_{n+1} - b_{n+1} = (a-b)a_n + (b-a)b_n = (a-b)(a_n - b_n) = (a-b