北海道大学 2007年度数学過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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北海道大学 2007年度数学過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で北海道大学 2007年度数学過去問を完全制覇しよう！

北海道大学 2007年度数学過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。

この記事では、北海道大学2007年度の数学（文系・理系）の全大問を、基礎の基礎から丁寧に・やさしく・楽しく解説していきます。「北大の数学って難しそう…」と感じているあなたも、この記事を読み終えるころには「あ、こういうことか！」と本質から理解できるはずです。

この記事で得られる3つの価値：
- ✅ 2007年度北大数学の全問題をステップバイステップで完全解説
- ✅ 北大数学の出題傾向・合格戦略を具体的なデータ付きで把握できる
- ✅ 合否を分けたポイントと部分点を最大化する論述技術が身につく

👨‍🏫 藤原先生より： 北大の数学は「標準問題をしっかり解ける力」が勝負です。奇をてらった問題より、王道の解法をどれだけ確実に使えるか。一緒に丁寧にやっていきましょう！

【セクション2】北海道大学の数学：入試の全体像

試験形式と基本データ

項目	文系数学	理系数学
試験時間	90分	150分
大問数	4問	5問
解答形式	記述式	記述式
難易度感	標準〜やや難	標準〜難

北海道大学の数学は記述式です。採点において「結果を導く過程を重視する」と明記されているほど、論述の質が点数に直結します。答えが合っていても途中の説明が不十分であれば大幅に減点される可能性があります。これは東大・京大の数学と同じ性質を持っています。

偏差値帯と求められるレベル

北大の合格偏差値は学部によって異なりますが、理系は概ね65〜68、文系は60〜65程度です。数学に求められるレベルは「入試標準問題を確実に解けること」です。青チャートや1対1対応の演習レベルを完璧にマスターすることが基本路線になります。

過去10年の頻出単元ランキング（理系）

順位	単元	出題頻度
1位	微分・積分	ほぼ毎年
2位	確率・数列	ほぼ毎年
3位	図形と方程式（円・直線）	非常に多い
4位	ベクトル・空間図形	多い
5位	数列（漸化式を含む）	多い
6位	整数問題	近年増加

文系では上記に加えて「場合の数・確率」「二次関数と領域」が頻出です。

他大学との比較

東大数学：抽象的な思考力と高い論述力が求められる。難易度は高い。
京大数学：発想力・独創性を試す問題が多い。最難関レベル。
北大数学：王道の解法を確実に実行できるかを試す。標準レベルの問題を丁寧に積み重ねることが合格への道。

🧑 生徒：「北大の数学って、どんな問題が出るんですか？特徴を教えてください！」

👨‍🏫 藤原先生：「北大数学の最大の特徴は『幅広い分野からバランスよく出題される』点だよ。例えば2007年度でいうと、二次方程式の解の条件・円の接線・場合の数の漸化式的アプローチ・積分と領域・極限・最適化問題・楕円と双曲線の直交証明と、本当に多岐にわたっている。だから特定の分野だけ集中して勉強しても太刀打ちできないんだ。満遍なく標準問題をマスターすることが北大攻略の王道だよ！」

大丈夫！一つずつ着実に積み上げていけば、必ず力がつきます！

【セクション3】2007年度出題テーマ速報と分析

2007年度出題テーマ一覧

文系数学（大問1）

大問	テーマ	単元	難易度
[1]	二次方程式の解の条件と領域	代数・図形	★★★☆☆
[2]	円の接線と角度の最大・最小	図形と方程式	★★★★☆
[3]	単調数列の個数と漸化式	場合の数・数列	★★★☆☆
[4]	放物線の領域と面積最大・最小	積分・領域	★★★★☆

理系数学（大問2）

大問	テーマ	単元	難易度
[1]	円の接線・角度の最大・最小	図形と方程式	★★★★☆
[2]	単調数列の個数（カード問題）	場合の数・数列	★★★★☆
[3]	積分と極限	積分・極限	★★★★☆
[4]	円柱＋円錐の最適化	微分・最適化	★★★★☆
[5]	楕円と双曲線の接線の直交証明	二次曲線	★★★★★

難易度評価と合格ライン

2007年度の全体的な難易度は標準〜やや難程度です。理系の[5]（楕円と双曲線）は高難度ですが、[1]〜[3]は標準的な問題です。合格ラインの目安は、文系で約60〜65%、理系で約55〜60%程度と思われます。

前年度との傾向変化

2006年度と比較すると、2007年度は場合の数の数列的なアプローチが文系・理系双方に出題された点が特徴的です。また理系では二次曲線（楕円・双曲線）が出題されており、この単元の対策が必要であることが示されています。

【セクション4】全大問問題・解説

文系大問1：二次方程式の解の条件と領域（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$a, b$ を実数とする。方程式 $x^2 + ax + b = 0$ が実数解をもち、すべての解の絶対値が1以下であるとする。

(1) この条件を満たす点 $(a, b)$ 全体を $ab$ 平面上に図示せよ。

(2) $a + 2b$ の最大値と最小値を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
判別式	$D = a^2 - 4b \geq 0$（実数解条件）
頂点の $x$ 座標	$x = -\frac{a}{2}$（二次関数の軸）
解の存在条件	$f(1) \geq 0$、$f(-1) \geq 0$、かつ軸が $[-1, 1]$ 内
線形計画法	直線 $a + 2b = k$ を領域上で動かす

【解法ステップ】

ステップ① 条件の整理

$f(x) = x^2 + ax + b$ とおく。$f(x) = 0$ が実数解をもち、すべての解が $-1 \leq x \leq 1$ に入るための条件を求める。

$$f(x) = \left(x + \frac{a}{2}\right)^2 + b - \frac{a^2}{4}$$

軸は $x = -\frac{a}{2}$ である。

ステップ② 3つの条件を立てる

条件は次の3つが同時に成立することである：

$$\text{（条件1）判別式：} D = a^2 - 4b \geq 0$$

$$\text{（条件2）軸の範囲：} -1 \leq -\frac{a}{2} \leq 1 \iff -2 \leq a \leq 2$$

$$\text{（条件3）端点での値：} f(1) = 1 + a + b \geq 0 \text{ かつ } f(-1) = 1 - a + b \geq 0$$

ステップ③ 各不等式を $b$ について整理

$$D \geq 0 \iff b \leq \frac{a^2}{4}$$

$$f(1) \geq 0 \iff b \geq -a - 1$$

$$f(-1) \geq 0 \iff b \geq a - 1$$

また $-2 \leq a \leq 2$。

ステップ④ 領域の図示

$ab$ 平面上で、以上4条件が同時に満たされる領域は：
- 上の境界：放物線 $b = \frac{a^2}{4}$
- 下の境界（左半分）：直線 $b = -a - 1$
- 下の境界（右半分）：直線 $b = a - 1$
- $a$ の範囲：$-2 \leq a \leq 2$

これらで囲まれた領域（境界を含む）が答えです。主な頂点は $(2, 1)$、$(-2, 1)$、$(0, -1)$ です。

ステップ⑤ $a + 2b$ の最大・最小（線形計画法）

$a + 2b = k$ とおくと：

$$b = -\frac{a}{2} + \frac{k}{2}$$

これは傾き $-\frac{1}{2}$、$y$ 切片 $\frac{k}{2}$ の直線。$k$ を最大・最小にするには、この直線が領域の端点を通るときを調べる。

点 $(2, 1)$ を通るとき：$k = 2 + 2 \times 1 = \mathbf{4}$
点 $(0, -1)$ を通るとき：$k = 0 + 2 \times (-1) = \mathbf{-2}$

$$\boxed{a + 2b \text{ の最大値} = 4, \quad \text{最小値} = -2}$$

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「すべての解の絶対値が1以下」という条件を、3つの不等式に分解することです。

例え話をしましょう。二次関数のグラフを「橋」だと思ってください。この橋が $[-1, 1]$ の区間で「$x$ 軸より下を通る」か「$x$ 軸に接する」ためには、
1. そもそも橋が下に凸の形（判別式 $\geq 0$）
2. 橋の最低点（頂点）が区間内にある（軸の条件）
3. 橋の両端（$x = \pm 1$）が $x$ 軸以下でない（端点条件）

という3つが同時に必要です。このように幾何的なイメージと代数的な条件を結びつけることが、北大数学を解く上でとても大切です！

🧑 生徒：「3つの条件のうち、どれが一番大事ですか？どれかを忘れたらどうなりますか？」

👨‍🏫 藤原先生：「3つ全部大事なんだけど、受験生が一番忘れやすいのが判別式 $D \geq 0$ の条件だよ。例えば $f(1) \geq 0$、$f(-1) \geq 0$、軸の条件だけでは、『解が実数でない場合』が排除できないんだ。複素数解の場合は絶対値の定義が変わってくるから、実数解の存在を保証する $D \geq 0$ は絶対に忘れちゃダメ！答案に書かないと減点されるよ。判別式は $D = a^2 - 4b \geq 0$、つまり $b \leq \frac{a^2}{4}$ という放物線以下の条件になるね。」

【この大問で身につく力】
不等式の連立による領域確定と、線形計画法による最大・最小の求め方という、入試頻出の2大技術を同時に鍛えられます。

文系大問2 / 理系大問1：円の接線と角度の最大・最小（難易度★★★★☆）

【問題文（文系・理系共通テーマ）】

方程式 $x^2 + y^2 - 4y + 2 = 0$ で定義される円 $C$ を考える。

文系(1)： 点 $A(-\sqrt{2}, 0)$ と $O(0, 0)$ を通り中心の座標が $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$ および $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2\right)$ である2つの円は、どちらも円 $C$ に接することを示せ。

理系(1)： 点 $A(-\sqrt{2}, 0)$ と $O(0, 0)$ を通り、円 $C$ に接する円の中心の座標を求めよ。

共通(2)： 点 $P$ が円 $C$ 上を動くとき、$\cos \angle APO$ の最大値と最小値を求めよ。

【使う公式・定理】

公式名	内容
円の標準形	$(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2$（中心 $(p,q)$、半径 $r$）
2円の接触条件	外接：中心距離 $= r_1 + r_2$、内接：中心距離 $= \|r_1 - r_2\|$
内接円定理	弦に対する円周角と接線の関係
内角の余弦定理	$\cos\angle APO = \frac{\vec{PA} \cdot \vec{PO}}{\|\vec{PA}\|\|\vec{PO}\|}$

【解法ステップ】

ステップ① 円 $C$ を標準形に直す

$$x^2 + y^2 - 4y + 2 = 0$$
$$x^2 + (y-2)^2 = 2$$

よって円 $C$ は中心 $(0, 2)$、半径 $\sqrt{2}$ である。

ステップ② 接触の確認（文系）/ 中心の求め方（理系）

理系の解法：中心を求める

求める円は2点 $A(-\sqrt{2}, 0)$、$O(0, 0)$ を通るので、その中心は線分 $AO$ の垂直二等分線上にある。

$A$ と $O$ の中点は $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$、$AO$ の方向ベクトルは $(\sqrt{2}, 0)$ なので、垂直二等分線は $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ という鉛直線。

よって中心を $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, t\right)$ とおく。

このとき円の半径 $r$ は：

$$r = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - 0\right)^2 + t^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + t^2}$$

この円が円 $C$（中心 $(0,2)$、半径 $\sqrt{2}$）に接する条件（外接または内接）：

$$\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + (t-2)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + t^2} \pm \sqrt{2}$$

両辺を整理して：

$$\frac{1}{2} + (t-2)^2 = \frac{1}{2} + t^2 \pm 2\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{2}+t^2} + 2$$

$$t^2 - 4t + 4 = t^2 + 2 \pm 2\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{2}+t^2}$$

$$-4t + 2 = \pm 2\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{2}+t^2}$$

両辺を二乗すると：

$$16t^2 - 16t + 4 = 8\left(\frac{1}{2}+t^2\right) = 4 + 8t^2$$

$$8t^2 - 16t = 0 \iff 8t(t-2) = 0 \iff t = 0 \text{ または } t = 2$$

$$\boxed{\text{中心：} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) \text{ と } \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2\right)}$$

ステップ③ 各円の半径を確認

$t = 0$ のとき：$r_1 = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$t = 2$ のとき：$r_2 = \sqrt{\frac{1}{2}+4} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$

ステップ④ 接触条件の検証（文系の証明部分）

円 $C_1$（中心 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$、半径 $\frac{1}{\sqrt{2}}$）と円 $C$ の中心距離：

$$\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{\frac{1}{2}+4} = \frac{3}{\sqrt{2}}$$

$$r_C + r_1 = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \quad \checkmark \text{（外接）}$$

円 $C_2$（中心 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2\right)$、半径 $\frac{3}{\sqrt{2}}$）と円 $C$ の中心距離：

$$\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + (2-2)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$r_2 - r_C = \frac{3}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} = \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \checkmark \text{（内接）}$$

ステップ⑤ $\cos\angle APO$ の最大・最小

$C_1$ と $C$ の接点 $P_1$：$C_1$ の外側は円 $C$ の外側に対応。$P_1$ 以外の $C$ 上の点 $P$ は $C_1$ の外部にある。

$\angle APO$ の関係： 点 $A$、$O$ は $C_1$ 上にあるから、$\angle APO$ は弦 $AO$ に対する円周角。$P_1$ での $\angle AP_1O = 90°$（$AO$ が直径となる）。

$C$ 上の他の点 $P$ は $C_1$ の外部にあるので $\angle APO < 90°$、つまり $\cos\angle APO > 0$。

よって $\cos\angle APO$ の最小値は 0。

$C_2$ の接点 $P_2$：$C_2$ 内部は円 $C$ 内部に対応。$P_2$ での角度を計算する。

$C_2$ と $C$ の接点 $P_2$ の座標：$C_2$ の中心 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 2\right)$ と $C$ の中心 $(0,2)$ を結ぶ線上で、$C$ 上の点。

$$P_2 = \left(\sqrt{2}, 2\right)$$

$$\overrightarrow{P_2A} = \left(-\sqrt{2} - \sqrt{2},\ 0-2\right) = (-2\sqrt{2},\ -2)$$

$$\overrightarrow{P_2O} = \left(0 - \sqrt{2},\ 0-2\right) = (-\sqrt{2},\ -2)$$

$$\cos\angle AP_2O = \frac{\overrightarrow{P_2A}\cdot\overrightarrow{P_2O}}{|\overrightarrow{P_2A}||\overrightarrow{P_2O}|}$$

$$= \frac{(-2\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (-2)(-2)}{\sqrt{8+4}\cdot\sqrt{2+4}} = \frac{4+4}{\sqrt{12}\cdot\sqrt{6}} = \frac{8}{\sqrt{72}} = \frac{8}{6\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

$$\boxed{\cos\angle APO \text{ の最大値 } = \frac{2\sqrt{2}}{3},\quad \text{最小値 } = 0}$$

【藤原先生の解説】

この問題は「接円を使って角度の範囲を決める」という発想が鍵です。

例え話で言うと、円 $C_1$ はちょうど $A$ と $O$ を通る「ちょうどよいサイズの鍋のふた」です。$\angle APO = 90°$ のとき、$P$ はその鍋のふた（円 $C_1$）の縁上にいます。鍋のふた（$C_1$）よりも大きな舞台（$C$）の上で $P$ が動く場合、$P$ はふたの外側にいるので角度は必ず鋭角（90°未満）になる。最大角度を決めるのが $C_2$ との接点 $P_2$ というわけです。このように「接円の大小関係で角度を絞り込む」発想は入試で繰り返し使えます！

🧑 生徒：「$\cos\angle APO$ の最大値がなぜ接点 $P_2$ で達成されるんですか？直感的に教えてください！」

👨‍🏫 藤原先生：「良い質問だね！これは内接円・外接円と円周角の定理の考え方を応用しているんだ。$A$ と $O$ を通る円 $C_2$（大きい方の円）は $C$ に内接している。$C$ 上の点 $P$ は $C_2$ の内部または境界にあるから、弦 $AO$ に対する円周角 $\angle APO$ は $C_2$ 上の接点 $P_2$ での角度以上になる。角度が小さいほど $\cos$ は大きくなるから、最大の $\cos$ は最小角度に対応、つまり $C_2$ の接点 $P_2$ で達成されるんだ！円周角の定理 $\angle APO$ は同じ円の内側にいるほど小さくなるというのがポイントだよ。」

【この大問で身につく力】
接円を利用した角度の最大・最小問題という、受験では非常に頻出の技術と、内積を使った角度計算の練習になります。

文系大問3：単調数列の個数と漸化式（難易度★★★☆☆）

【問題文】

数 $1, 2, 3$ を重複を許して $n$ 個並べてできる数列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ を考える。

(1) 条件 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n = j$ を満たす数列が $A_j(n)$ 通りあるとする（$j = 1, 2, 3$）。

(i) $A_1(1)$, $A_2(2)$ を求めよ。

(ii) $n \geq 2$ のとき、$A_3(n)$ を $A_1(n-1)$, $A_2(n-1)$, $A_3(n-1)$ で表し、$A_3(n)$ を求めよ。

(2) $n \geq 2$ のとき、条件 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_{n-1}$ かつ $a_{n-1} > a_n$ を満たす数列は何通りあるか。

【使う公式・定理】

公式名	内容
分類による加法	最後の項の値で場合分け → 前半部分との対応
隣接漸化式	$A_3(n) - A_3(n-1) = n$ から一般項を求める
シグマの公式	$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

【解法ステップ】

ステップ① $A_1(n)$、$A_2(n)$ を求める

$A_1(n)$：$a_1 \leq \cdots \leq a_n = 1$ を満たすには $a_1 = \cdots

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

**藤原進之介**（数強塾グループ代表）

Gakken・KADOKAWA・ナツメ社・文英堂・旺文社など**大手出版社5社から計9冊**の参考書を刊行している数学・情報Iの専門家。全国の中高生・受験生に向けて、わかりやすく・楽しく・本質的な数学指導を行っています。

**主要著書：**
- 『オールカラー高校の数学を身近な例からもういちど学びなおす』（ナツメ社）
- 『きめる! 共通テスト情報I』（Gakken）
- 『ライバルに差をつける情報 I 鉄板の100 題』（KADOKAWA）
- 『共通テストパターンドリル情報Ⅰ』（文英堂）
- 『資格試験ムビスタ藤原のたった９時間でＩＴパスポート令和８年度版（２０２６年）』（Gakken）
- 『大学JUKEN新書共通テスト７日で完成情報Ⅰ』（旺文社）
- 『藤原のたった9時間で情報I』（Gakken）
- 『藤原進之介の情報I プログラミング・データの活用が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
- 『藤原進之介のゼロから始める情報I』（KADOKAWA）

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カテゴリー: 北海道大学

タグ: 2007年度図形と方程式図形・幾何方程式・不等式

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【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

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文系大問2 / 理系大問1：円の接線と角度の最大・最小（難易度★★★★☆）

【問題文（文系・理系共通テーマ）】

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

【藤原先生の解説】

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【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

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難易度評価と合格ライン

前年度との傾向変化

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【問題文】

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

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【問題文（文系・理系共通テーマ）】

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

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【セクション4】全大問問題・解説

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文系大問2 / 理系大問1：円の接線と角度の最大・最小（難易度★★★★☆）

文系大問3：単調数列の個数と漸化式（難易度★★★☆☆）

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