山口大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で得られる3つの価値

山口大学 2017年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、文系・理系を問わず、山口大学の数学を完全攻略するために必要な知識をすべてお届けします。

この記事を読むことで、

• ✅ 2017年度 山口大学 数学の全大問を、途中計算付きで完全理解できる
• ✅ 山口大学数学の出題傾向・頻出単元・攻略法がわかる
• ✅ 合格に直結する学習ロードマップと参考書選びができる

👨‍🏫 藤原先生からひとこと

「山口大学の数学は、基礎〜標準レベルの問題が中心だから、しっかり理解して臨めば必ず点が取れる！丸暗記ではなく『なぜそうなるのか』を大切にして、一緒に合格を目指していこう！」

山口大学の数学：入試の全体像

試験形式・配点・時間

記述式ですから、「答えだけ書けばよい」ではなく、途中の論理展開を丁寧に書く力が求められます。これは一見大変そうに見えますが、逆に言えば部分点が狙えるチャンスでもあります！

偏差値帯と求められる数学レベル

山口大学の偏差値帯はおおよそ47〜55程度（学部によって異なる）です。数学のレベルはセンター試験〜入試標準レベルが中心で、難問奇問はほとんど出題されません。基礎をしっかり固めた上で、標準的な解法パターンを習得すれば十分に対応できます。

「青チャート（チャート式 基礎からの数学）」や「基礎問題精講 数学（旺文社）」で基礎を固め、「数学 標準問題精講（旺文社）」で標準問題に慣れれば、十分な得点力が身につきます。

過去5〜10年の出題傾向まとめ

山口大学数学の頻出単元ランキング（文系・理系共通傾向）：

他大学との違い・特徴

東大や京大では「なぜこの結論が成り立つか」を厳密に論証する高度な記述力が求められますが、山口大学では解法の筋道が正しいかどうかを丁寧に示すことが重要です。また、難問よりも複数の基礎知識を組み合わせて解く問題が多いのが特徴です。

🧑 生徒：「山口大学の数学って、どんなレベルの問題が出るんですか？青チャートをやれば大丈夫でしょうか？」

👨‍🏫 藤原先生：「良い質問だね！山口大学の問題は、標準レベルが中心で、青チャートの例題・練習問題をしっかりマスターすれば対応できるものがほとんどだよ。大事なのは解法の丸暗記ではなくて、なぜその解法を使うのかという理由を自分で説明できるようになること。たとえば、今回の大問1で使う『接線の方程式』は $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ という公式だけど、これは『傾きが $f'(a)$、点 $(a,\ f(a))$ を通る直線』という意味を理解していれば、暗記しなくても自然に書けるんだ。青チャートで基礎を固めた後、『1対1対応の演習（東京出版）』で演習量を積むと、より確実に得点できるようになるよ！」

2017年度 出題テーマ速報と分析

2017年度 出題テーマ一覧（大問別）

文系（大問1）

理系α（大問2）

理系β（大問3）

合格ラインと得点戦略

文系では4問中3問で満点近くを取れれば合格圏内。理系では各問の(1)(2)を確実に取り、(3)で差をつけることが重要です。[3]大問1・文系[1]大問1・3は確実に完答を目指しましょう！

全大問 問題・解説

大問１（文系 [1]）：3次関数の接線と極値（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$f(x) = x^3$ を考える。曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a,\ f(a))$ における接線が、直線 $y = x$ と交わる点を $(b,\ b)$ とする。ただし、$a^2 \geq 1$ とする。

(1) $b$ を $a$ を用いて表しなさい。

(2) 関数 $y = f(x) - x$ の極値を求め、グラフの概形をかきなさい。

(3) $a - b = -\dfrac{6}{11}$ となるとき、$a$ の値を求めなさい。

【使う公式・定理】

【解法ステップ：(1)】

ステップ① $f'(x)$ を求める：

ステップ② 点 $(a,\ a^3)$ における接線の方程式を立てる：

ステップ③ この接線と $y = x$ の交点を求める。$y = x$ を代入：

ここで $a^2 \geq 1$ より $3a^2 \geq 3 > 1$ なので $3a^2 - 1 > 0$、ゼロ除算は起きない。

ステップ④ 交点は $(b,\ b)$ なので：

【解法ステップ：(2)】

$y = f(x) - x = x^3 - x$ とおく。

ステップ① 微分する：

ステップ② 増減表を作る：

ステップ③ 極値を計算する：

【解法ステップ：(3)】

ステップ① $(1)$ の結果を使って $a - b$ を計算する：

ステップ② $a - b = -\dfrac{6}{11}$ を代入：

ステップ③ 因数分解（$a = 2$ を試す）：

$a = \dfrac{1}{2}$：$11 \cdot \dfrac{1}{8} + 18 \cdot \dfrac{1}{4} - 11 \cdot \dfrac{1}{2} - 6 = \dfrac{11}{8} + \dfrac{36}{8} - \dfrac{44}{8} - \dfrac{48}{8} = \dfrac{-45}{8} \neq 0$

※ OCR解答では $(a-2)(11a^2+4a-3)=0$ と因数分解されており、$a=2, \dfrac{-2 \pm \sqrt{37}}{11}$ が解。

ステップ④ 条件 $a^2 \geq 1$（すなわち $a \leq -1$ または $a \geq 1$）を確認：

• $a = 2$：$4 \geq 1$ ✅
• $a = \dfrac{-2 + \sqrt{37}}{11} \approx \dfrac{-2 + 6.08}{11} \approx 0.37$：$a^2 < 1$ ❌
• $a = \dfrac{-2 - \sqrt{37}}{11} \approx \dfrac{-8.08}{11} \approx -0.73$：$a^2 < 1$ ❌

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「接線を立てて、別の直線との交点を求める」という流れです。料理で例えると、「まず材料（接線の式）を準備して、次に調理（連立方程式）する」イメージ！

(3)では $a - b$ を分数で表してから方程式を解く流れで、「通分→整理→因数分解」という定番の計算手順が求められます。ここで $a^2 \geq 1$ の条件を忘れないことが合否を分けるポイントです。

🧑 生徒：「(1)で $3a^2 - 1 > 0$ を確認するのはなぜ必要なんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「鋭い質問だね！分数 $\dfrac{2a^3}{3a^2-1}$ の分母が0になると、交点が存在しない（接線が $y = x$ と平行になる）場合があるからだよ。$a^2 \geq 1$ という条件から $3a^2 \geq 3$、よって $3a^2 - 1 \geq 2 > 0$ が確認できて、はじめて『交点が存在する』と安心して計算を進められるんだ。条件の確認は数学の証明の命！絶対に省略しないようにしよう。」

【この大問で身につく力】
接線の方程式の立て方・連立方程式での交点の求め方・条件を使った絞り込みという、微分の総合的な応用力が身につきます。

大問２（文系 [3]）：等比数列の和の比（難易度★★★☆☆）

【問題文】

初項 $a$、公比 $r$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$m$ を自然数とするとき、次の問いに答えなさい。ただし、$a \neq 0,\ r > 0$ とする。

(1) $\dfrac{S_{2m}}{S_m}$ を $r$ と $m$ を用いて表しなさい。

(2) $\dfrac{S_{3m}}{S_m}$ を $r$ と $m$ を用いて表しなさい。

(3) $S_m = 4,\ S_{2m} = 20$ のとき、$S_{3m}$ の値を求めなさい。

【使う公式・定理】

【解法ステップ：(1)】

ステップ① $r = 1$ の場合：

ステップ② $r \neq 1$ の場合：

ステップ③ $r = 1$ のとき $r^m + 1 = 1 + 1 = 2$ となり、①と一致するので：

【解法ステップ：(2)】

ステップ① $r \neq 1$ の場合：

ステップ② 因数分解：

ステップ③ $r = 1$ でも $1 + 1 + 1 = 3 = \dfrac{3ma}{ma}$ となり一致するので：

【解法ステップ：(3)】

ステップ① (1) の結果を使う：

ステップ② (2) の結果に代入：

ステップ③ $S_{3m}$ を求める：

※ OCRの解答では $S_{3m} = 5460$ とありますが、$S_m = 4$ のとき $S_{3m} = 21 \times 4 = 84$ が正解です。

【藤原先生の解説】

この問題の核心は「等比数列の和を比で扱うことで、公比だけに着目できる」という点です。スポーツに例えると、「チームの総得点（$S_n$）ではなく、得点の伸び率（$r$）に注目する」イメージです。

(3)では(1)(2)の結果を道具として使う「積み上げ型」の問題です。（1）→（2）→（3）と順番に使っていけば自然に解けます。こういう積み上げ型の問題こそ、前の小問の結果を活用する習慣が大切です！

🧑 生徒：「$r=1$ の場合と $r \neq 1$ の場合に分けるのはなぜですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問！等比数列の和の公式 $S_n = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$ の分母に $r-1$ があるでしょ？$r=1$ だと分母がゼロになって公式が使えなくなるんだよ。だから必ず $r=1$ の場合を別に確認する必要があるんだ。でも今回は $r=1$ のときでも $r^m+1 = 2$ になって同じ式で表せることがわかる。こういう『場合分けの後で合体する』パターンは入試でよく出るから、覚えておこう！等比数列の和の場合分けは絶対に忘れないようにね。」

【この大問で身につく力】
等比数列の和の公式の本質的な理解と、比を利用した計算の効率化、積み上げ型問題への対応力が養われます。

大問３（理系α [1]）：2次関数の最大・最小と場合分け（難易度★★★★☆）

【問題文】

$2$ 次関数 $f(x) = x^2 + 2ax + 2a^2 - a + 1$ について、次の問いに答えなさい。ただし、$a$ は正の定数とする。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表しなさい。

(2) $-1 \leq x \leq 1$ における $f(x)$ の最小値が $2a$ となる $a$ の値をすべて求めなさい。

(3) $-1 \leq x \leq 1$ における $f(x)$ の最小値を $m$、最大値を $M$ とするとき、$3m - 2M + 3 = 0$ を満たす $a$ の値をすべて求めなさい。

【使う公式・定理】

【解法ステップ：(1)】

ステップ① 平方完成する：

ステップ② 頂点を読み取る：

【解法ステップ：(2)】

放物線の軸は $x = -a$（$a > 0$ より $-a < 0$）。

ステップ① 場合分け：

[i] $-1 < -a$、すなわち $0 < a < 1$ のとき：軸は区間 $[-1,1]$ の内部に存在

• 区間内の最小値は頂点の $y$ 座標：
  $$m = a^2 - a + 1$$
• $m = 2a$ とおく：
  $$a^2 - a + 1 = 2a \Rightarrow a^2 - 3a + 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$$
• $0 < a < 1$ を満たすのは $a = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のみ（$\approx 0.382$ で条件を満たす）。

[ii] $-a \leq -1$、すなわち $a \geq 1$ のとき：軸は区間 $[-1,1]$ の左外

• 区間内の最小値は $x = -1$ での値：
  $$m = f(-1) = (-1)^2 + 2a(-1) + 2a^2 - a + 1 = 2a^2 - 3a + 2$$
• $m = 2a$ とおく：
  $$2a^2 - 3a + 2 = 2a \Rightarrow 2a^2 - 5a + 2 = 0 \Rightarrow (2a-1)(a-2) = 0$$
  $$a = \frac{1}{2},\ 2$$
• $a \geq 1$ を満たすのは $a = 2$。

ステップ② まとめ：

【解法ステップ：(3)】

まず $m$（最小値）と $M$（最大値）を $a$ で表す。

$m$ について（(2)と同様）：

• $0 < a < 1$：$m = a^2 - a + 1$
• $a \geq 1$：$m = 2a^2 - 3a + 2$

$M$ について：軸が $x = -a < 0$ なので、$f$ は $[-1,1]$ 上で $x = 1$ のとき最大。

ステップ① $0 < a < 1$ の場合：

$$3m

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