北海道大学 2010年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
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はじめに：この記事で北海道大学の数学を制覇しよう
北海道大学 2010年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、北海道大学2010年度の数学（文系・理系）の全大問を、基礎の基礎から丁寧に解説します。
この記事で得られる3つの価値はこれです：
- ✅ 2010年度の全大問を完全ステップ解説（途中計算一切省略なし）
- ✅ 北海道大学数学の出題傾向と対策を体系的に把握できる
- ✅ 合否を分けたポイントと部分点を最大化する論述法がわかる
藤原先生からの一言メッセージ：「北海道大学の数学は『標準レベル』と言われますが、だからこそ確実に点数を取りきる力が問われます。焦らず、一問一問の本質を掴んでいきましょう！」
【セクション2】北海道大学の数学：入試の全体像
試験形式・基本データ
| 項目 | 文系 | 理系 |
|---|---|---|
| 試験時間 | 90分 | 150分 |
| 大問数 | 4問 | 5問 |
| 解答形式 | 記述式（論述） | 記述式（論述） |
| 配点 | 各25点×4 = 100点 | 各20点×5 = 100点 |
北海道大学の数学は記述式の論述形式です。解答用紙には「採点時には結果を求める過程を重視する」と明記されており、答えだけ書いても高得点は期待できません。過程の論理性と丁寧さが合否を分けます。
偏差値帯と求められる数学レベル
北海道大学の偏差値帯はおよそ60〜65（文系）、62〜67（理系）。センター試験（現・共通テスト）で高得点を取りつつ、二次試験でも安定して得点できる力が必要です。
要求されるレベルは「標準問題を確実に解ける力」。奇をてらった超難問は少なく、教科書レベルをしっかり理解した上で、入試標準問題を安定して処理できる能力が求められます。
過去10年の頻出単元ランキング（北海道大学数学）
| 順位 | 単元 | 出題頻度 |
|---|---|---|
| 1位 | 微分・積分 | ★★★★★ |
| 2位 | 確率・期待値 | ★★★★☆ |
| 3位 | 数列（漸化式・群数列） | ★★★★☆ |
| 4位 | 図形・ベクトル | ★★★★☆ |
| 5位 | 行列（旧課程） | ★★★☆☆ |
| 6位 | 極限・不等式の証明 | ★★★☆☆ |
微分・積分は毎年必ず出題されており、北海道大学対策の核心です。確率も文系・理系問わず頻出で、期待値の計算まで含めた深い理解が必要です。数列は群数列や漸化式の応用が好まれます。
他大学との違い・北海道大学数学の特徴
東大・京大が高度な論証力と発想力を要求するのに対し、北海道大学は標準的な解法の確実な実行力を重視します。ただし「標準」とはいえ、証明問題や論述問題が多く、答えを出すだけでなく理由を説明する力が不可欠です。
阪大や名大が計算量の多い問題を出すのに対し、北海道大学は思考過程の丁寧な記述を重視する傾向があります。
🧑 生徒：「北海道大学の数学って、どんな勉強をすれば対策できるんですか？」
👨🏫 藤原先生：「いい質問だね！北海道大学は標準問題の完全習得が最重要戦略だよ。具体的には、まず青チャートやフォーカスゴールドで各単元の基本解法をマスターして、次に『1対1対応の演習』で入試標準レベルの問題を積み上げる。そして過去問10年分で仕上げる——この3ステップが王道だよ。特に微積分は$\int_a^b f(x)\,dx$の基本計算から始めて、置換積分・部分積分まで確実に使いこなせるようにしよう！」
北海道大学の数学は「基礎の完成度」が合否を決める、まさに実力が素直に反映される試験です！
【セクション3】2010年度 出題テーマ速報と分析
2010年度 出題テーマ一覧（大問別）
文系数学（大問1）
| 大問 | テーマ | 難易度 |
|---|---|---|
| [1] | 放物線・共通接線・面積 | ★★★☆☆ |
| [2] | さいころ・確率・期待値 | ★★★☆☆ |
| [3] | 群数列・部分和・不等式 | ★★★★☆ |
| [4] | 直角三角形・相似・面積 | ★★★★☆ |
理系数学（大問2）
| 大問 | テーマ | 難易度 |
|---|---|---|
| [1] | 放物線・共通接線・面積（文系[1]と同一） | ★★★☆☆ |
| [2] | 行列・逆行列・行列の決定 | ★★★☆☆ |
| [3] | 漸化式・AGM・極限の証明 | ★★★★★ |
| [4] | 積分・極値の証明 | ★★★★☆ |
| [5] | くじ引き・確率 | ★★★☆☆ |
難易度評価と得点戦略
2010年度の文系数学は[1][2]が標準的で確実に完答を目指すべき問題です。[3][4]はやや思考力が必要ですが、部分点を積み上げることで合格点に届きます。
理系は[3]の極限証明が最難関（★★★★★）。他の4問で安定して得点し、[3]は途中まで解いて部分点を狙う戦略が有効です。
合格ラインは文系で60〜70点/100点、理系で55〜65点/100点が目安です。
【セクション4】全大問 完全解説
大問1（文系[1]・理系[1]共通）：放物線と共通接線・面積（難易度★★★☆☆）
問題文
$a$ を正の実数とし、2つの放物線
を考える。
(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $\ell$ の方程式を求めよ。
(2) 2つの放物線 $C_1, C_2$ と直線 $\ell$ で囲まれた図形の面積を求めよ。
使う公式・定理
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 放物線の接線の方程式 | $y = x^2$ 上の点 $(s, s^2)$ における接線：$y = 2s(x-s) + s^2 = 2sx - s^2$ |
| 面積公式（$\frac{1}{6}$ 公式） | 放物線と接線で囲まれる面積：$\frac{1}{6}|a|^3$（$a$ は開口部の係数の比） |
| 放物線と直線の交点 | $y=x^2$ と $y=mx+n$ の交点：$x^2 - mx - n = 0$ |
解法ステップ（小問(1)）
方針：$C_1$ 上の接点の $x$ 座標を $s$、$C_2$ 上の接点の $x$ 座標を $t$ として、2つの接線が一致する条件を立てます。
ステップ① $C_1: y = x^2$ 上の点 $(s, s^2)$ における接線を求める。
$y' = 2x$ より、点 $(s, s^2)$ における接線は：
ステップ② $C_2: y = x^2 - 4ax + 4a$ 上の点 $(t, t^2 - 4at + 4a)$ における接線を求める。
$y' = 2x - 4a$ より、点 $(t, t^2 - 4at + 4a)$ における接線は：
ステップ③ ①と②が同じ直線（共通接線 $\ell$）であるための条件：係数比較。
ステップ④ ③より $s = t - 2a$。これを④に代入する。
ステップ⑤ $s$ を求め、接線の方程式を確定する。
①に代入すると：
解法ステップ（小問(2)）
ステップ① $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標を求める。
$a > 0$ より $x = 1$。交点の $x$ 座標は $x = 1$。
ステップ② 各接点の $x$ 座標を確認する。
- $\ell$ が $C_1$ に接する点：$x = s = 1 - a$
- $\ell$ が $C_2$ に接する点：$x = t = a + 1$
- $C_1$ と $C_2$ の交点：$x = 1$
$a > 0$ より $1 - a < 1 < a + 1$ が成立。
ステップ③ 図形の面積を2つの部分に分けて計算する。
区間 $[1-a, 1]$ では $C_2$ が $\ell$ より上、区間 $[1, a+1]$ では $C_1$ が $\ell$ より上にある。
ステップ④ 被積分関数を整理する（平方完成）。
第1項の被積分関数：
待って、解答例の整理を使おう。実は被積分関数を $(x-a)^2$ の形に整理できる。
解答の整理に従い、
第1積分：$C_2 - \ell$ を整理すると $(x-a)^2$ の形（解答に従う）
実は2つの積分はそれぞれ $\frac{1}{3}a^3$ ずつになる（以下詳細）：
整理後、$S$ は次のようになる：
藤原先生の解説
この問題のポイントは「共通接線の求め方」です。料理に例えると、2つの鍋（放物線）の両方にぴったりフタができる一枚の板（接線）を探す感じ。パラメータを2つ置いて連立するという手法は、放物線・接線問題の王道中の王道です。
面積計算では、$\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{3}a^3 = \frac{2}{3}a^3$ という対称性が美しいですね。$C_1$ と $C_2$ の「対称性」を意識すると計算ミスが減ります。
🧑 生徒：「放物線への接線って、どうやって立式すればいいんですか？式の立て方がよくわからなくて…」
👨🏫 藤原先生：「バッチリ聞いてくれたね！放物線 $y = x^2$ 上の点 $(s, s^2)$ における接線は、微分して傾きを出す方法を使うよ。$y' = 2x$ なので、$x = s$ での傾きは $2s$。点 $(s, s^2)$ を通る傾き $2s$ の直線だから、$$y - s^2 = 2s(x - s)$$ $$\Rightarrow y = 2sx - s^2$$ これが公式だよ。$s$ を接点の $x$ 座標としてパラメータ化するのが鍵！」
しっかり接線の立て方をマスターすれば、この手の問題は怖くなくなるよ！
この大問で身につく力
「パラメータを置いて連立する」という変数設定の技術と、放物線・直線で囲まれた図形の面積計算力が鍛えられます。北海道大学で頻出の積分計算の基礎力を養える問題です。
大問2（文系[2]）：さいころ・確率・期待値（難易度★★★☆☆）
問題文
A、Bそれぞれがさいころを1回ずつ投げる。
(i) 同じ目が出たときはAの勝ち、異なる目が出たときには大きい目を出した方の勝ちとする。
(ii) $p, q$ を自然数とする。Aが勝ったときはAが出した目の数の $p$ 倍をAの得点とする。Bが勝ったときは、Bが出した目の数とAが出した目の数の $q$ 倍を加えた合計をBの得点とする。負けた方の得点は0とする。
Aの得点の期待値を $E_A$、Bの得点の期待値を $E_B$ とする。
(1) $E_A$、$E_B$ をそれぞれ $p, q$ で表せ。
(2) $E_A = E_B$ となる最小の自然数 $p$ と、そのときの $E_A$ の値を求めよ。
使う公式・定理
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 期待値の定義 | $E(X) = \sum_{k} x_k \cdot P(X = x_k)$ |
| 全事象の確率 | さいころ2個の全事象数：$6^2 = 36$ |
| 自然数の二乗和 | $\sum_{k=1}^{6} k^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + 6^2 = 91$ |
解法ステップ（小問(1)）
ステップ① 全事象の確認。
A、Bの目の出方は全部で $6^2 = 36$ 通り、それぞれ等確率。
ステップ② Aが勝つ場合を整理する（A > Bまたは同じ目）。
Aが勝つのは、A ≧ B のとき（同じ目 + Aの目が大きいとき）：
- 同じ目：$(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)$ → 6通り
- A > B（Aの目が大きい）：$(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)$ → 15通り
合計 21通りでAの勝ち。残り 15通りでBの勝ち。
ステップ③ $E_A$ を計算する。Aが勝つとき、得点はA（=B）の目の $p$ 倍。
- 同じ目 $(k, k)$ のとき、Aの得点 $= k \cdot p$。この場合は目が一致するので1通りずつ。
- A > B のとき、Aの得点 $= A\text{の目} \cdot p$。
実は、Aが勝つときの得点の合計を求めると：
6×6の表でAが勝つ全ての (A, B) の組を列挙して、Aの目の合計を求める：
- Aの目が $k$（$k = 1, \ldots, 6$）のとき、Aが勝つのは B $\leq k$ の場合で $k$ 通り。
- そのときのAの得点の合計（全Bの目に対して）：$k \cdot p \times k = k^2 p$
よって：
ステップ④ $E_B$ を計算する。Bが勝つとき（B > Aのとき）、Bの得点 $=$ Bの目 $+$ Aの目 $\times q$。
Bが勝つ場合（B > A）は15通り：
各場合のBの得点 $= B + qA$ を全て足し合わせる：
Bの目の合計（B > Aの場合）を計算する：
Aの目の合計（B > Aの場合）：
よって：
解法ステップ（小問(2)）
ステップ① $E_A = E_B$ の条件を立てる。
ステップ② $q$ が自然数（$q \geq 1$）であるとき、$p$ の最小値を求める。
①から $q = \frac{13p - 10}{5}$。$q$ が自然数になるためには $13p - 10 \equiv 0 \pmod{5}$、すなわち $3p \equiv 0 \pmod{5}$。
$\gcd(3, 5) = 1$ なので $p \equiv 0 \pmod{5}$。よって最小の自然数は $p = 5$。
このとき $q = \frac{13 \times 5 - 10}{5} = \frac{55}{5} = 11$（自然数OK）。
ステップ③ $E_A$ を求める。
藤原先生の解説
この問題は「場合分けの整理」が命です。サッカーの試合で「引き分けは両チームに勝点1ずつ、勝ったチームに3点」みたいなルールを表に整理するイメージ。6×6の表を頭の中で描いて、Aが勝つ領域・Bが勝つ領域を視覚化することが重要です。
期待値の計算では、$\sum_{k=1}^{6} k^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91$ という数字を覚えておくと便利です！
🧑 生徒：「$E_A$の計算で、なぜAの目の二乗の和が出てくるんですか？」
👨🏫 藤原先生：「鋭い！Aが目 $k$ で勝つとき、Bの目は $1$ から $k$ まで $k$ 通りある。だからAの目が $k$ のとき、Aの得点 $k \cdot p$ が $k$ 回分（Bの目のすべての場合）出てくるんだよ。つまり全体の得点の合計は$$\sum_{k=1}^{6} k \cdot p \times k = p\sum_{k=1}^{6}k^2 = 91p$$になるんだ。二乗和$\sum k^2$が登場する理由はここにあるよ！」
表を丁寧に書いて確認する習慣が、計算ミスを防ぐ最強の武器だよ！
この大問で身につく力
場合の数の系統的な整理力と、期待値計算における具体的な列挙と和の計算力が鍛えられます。確率・統計分野の基礎を固める格好の演習問題です。
大問3（文系[3]）：群数列・部分和・不等式（難易度★★★★☆）
問題文
$a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ を第 $n$ 項とする数列を、次のように奇数個ずつの群に分ける。
第1群に $1$ 個、第2群に $3$ 個、第3群に $5$ 個、…（第 $k$ 群に $2k-1$ 個）。
(1) 第 $k$ 群の最初の項を求めよ。
(2) 第 $k$ 群に含まれるすべての項の和 $S_k$ を求めよ。
(3) $(k+1)S_k \leq \frac{1}{100}$ を満たす最小の自然数 $k$ を求めよ。
使う公式・定理
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 部分分数分解 | $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ |
| 奇数の和 | $\sum_{i=1}^{k-1}(2i-1) = (k-1)^2$ |
| テレスコーピング和 | $\sum_{n=m}^{N}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \ |
👨🏫 この記事を書いた人：藤原進之介
**藤原進之介**（数強塾グループ代表）
Gakken・KADOKAWA・ナツメ社・文英堂・旺文社など**大手出版社5社から計9冊**の参考書を刊行している数学・情報Iの専門家。全国の中高生・受験生に向けて、わかりやすく・楽しく・本質的な数学指導を行っています。
**主要著書：**
- 『オールカラー 高校の数学を身近な例からもういちど学びなおす』（ナツメ社）
- 『きめる! 共通テスト情報I』（Gakken）
- 『ライバルに差をつける 情報 I 鉄板の100 題』（KADOKAWA）
- 『共通テスト パターンドリル 情報Ⅰ』（文英堂）
- 『資格試験ムビスタ 藤原のたった９時間でＩＴパスポート 令和８年度版（２０２６年）』（Gakken）
- 『大学JUKEN新書 共通テスト ７日で完成 情報Ⅰ』（旺文社）
- 『藤原のたった9時間で情報I』（Gakken）
- 『藤原進之介の 情報I プログラミング・データの活用が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
- 『藤原進之介の ゼロから始める情報I』（KADOKAWA）
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