北海道大学 2013年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で北大数学を制覇しよう！

北海道大学 2013年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、北大数学の出題傾向から各大問の完全解説まで、受験生が本当に知りたい情報を余すところなくお届けします。

この記事で得られる3つの価値：
- ✅ 北大数学の全体像と傾向：何が出るか・どの順番で解くべきかが分かる
- ✅ 2013年度 全大問の完全解説：解法の根拠から途中計算まで丁寧に解説
- ✅ 合格への学習ロードマップ：今日からすぐ使えるスケジュールと参考書情報

👨‍🏫 藤原先生より：「北大数学は"標準問題をいかに確実に解けるか"が勝負だよ。難問に手こずるより、全大問で部分点を積み重ねる戦略が大切。一緒に一問一問、丁寧に攻略していこう！」

セクション2：北海道大学の数学 — 入試の全体像

試験形式・基本情報

北海道大学の数学入試は、学部によって2種類の試験が用意されています。

偏差値帯と求められる数学レベル：北大の偏差値は学部によって55〜65程度。数学は標準〜やや難レベルで、奇抜な難問よりも「典型問題をいかに正確に解くか」が問われます。東大・京大のように記述の重厚さよりも、論理的な答案構成と計算の正確性が重視されます。

過去10年の出題傾向まとめ

北大数学の頻出単元ランキングを見ると、幅広い分野から偏りなく出題されていることが特徴です。

他大学との違い・北大数学の特徴

• 東大：論述の完成度・証明の厳密さが最重視。計算量より思考力。
• 京大：独創的な発想を要する問題が多く、定型外の解法が必要。
• 北大：教科書の内容を着実に理解し、標準問題をスピーディーに解く力が問われる。部分点が取りやすい記述形式。

🧑 生徒：「北大の数学って、どんな勉強をすれば一番効率よく点が取れますか？」

👨‍🏫 藤原先生：「北大数学の攻略は、各単元の基本公式と典型解法パターンを完全にマスターすることが最優先だよ。例えば三角関数なら合成公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\phi)$（ただし $\tan\phi = b/a$）を自在に使えること、積分なら置換積分・部分積分を素早く選択できること。奇抜な発想より、確実な武器を揃えることが北大攻略の鍵だよ！」

セクション3：2013年度 出題テーマ速報と分析

大問別テーマ一覧

大問1（文系・理系共通 数Ⅰ・Ⅱ・A・B）

大問2（理系 数Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C）

合格ラインと得点戦略

北大の合格最低点は学部・年度によって異なりますが、数学は概ね6〜7割の得点が目安です。2013年度は大問1の[1]・[2]が比較的取り組みやすく、ここで確実に点を積むことが合否の分岐点でした。大問1の[3]・[4]、大問2の[3]・[5]は難易度が高く、部分点狙いの戦略が有効です。

セクション4：全大問 完全解説

大問1-[1]：三角関数の最大・最小（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$f(x) = \sqrt{2}\sin x\cos x + \sin x + \cos x$（$0 \leq x \leq 2\pi$）とする。

(1) $t = \sin x + \cos x$ と置き、$f(x)$ を $t$ の関数で表せ。

(2) $t$ の取り得る値の範囲を求めよ。

(3) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① $t = \sin x + \cos x$ の両辺を2乗して $\sin x \cos x$ を求める。

ステップ② $f(x)$ を $t$ で表す。

ステップ③ $t$ の範囲を求める（合成公式を使う）。

$0 \leq x \leq 2\pi$ より $\frac{\pi}{4} \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{9\pi}{4}$ なので：

ステップ④ $g(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}t^2 + t - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を平方完成して最大・最小を求める。

頂点は $t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$、$g(t)$ の最大値は $t = \sqrt{2}$ のとき。

ステップ⑤ $t$ の値に対応する $x$ の値を求める。

• $t = \sqrt{2}$ のとき：$\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = 1$ より $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$、すなわち $x = \frac{\pi}{4}$

• $t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき：$\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2}$ より
  $$x + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6} \text{ または } x + \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{6}$$
  $$x = \frac{11\pi}{12} \text{ または } x = \frac{19\pi}{12}$$

【最終答え】
- 最大値 $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$（$x = \dfrac{\pi}{4}$ のとき）
- 最小値 $-\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$（$x = \dfrac{11\pi}{12}$ または $x = \dfrac{19\pi}{12}$ のとき）

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「$\sin x \cos x$ を $t$ で表せる」という気づきです。料理で例えると、レシピの材料（$\sin x$と$\cos x$）をまとめて一つの食材（$t$）に置き換えるイメージ。$t^2$ を計算したら自動的に $\sin x\cos x$ が出てくる——この「両辺2乗テクニック」は北大でも頻出の思考パターンです。

会話：

🧑 生徒：「(3)で最小値を求めるとき、$t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のときの $x$ をどうやって2つ出すんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「合成公式で $t = \sqrt{2}\sin\!\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ と変換した後、$\sin\theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を $\theta = x+\frac{\pi}{4}$ と考えるんだよ。$\sin\theta = -\frac{1}{2}$ になる $\theta$ は $\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{9\pi}{4}$ の範囲で $\theta = \frac{7\pi}{6}$ と $\theta = \frac{11\pi}{6}$ の2つある。だから $x = \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{12}$ と $x = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{19\pi}{12}$ の2つになるんだね。単位円を書いて確認するクセをつけよう！」

【この大問で身につく力】

三角関数の置換・合成・平方完成を連携させる「変数変換思考力」と、定義域に注意しながら最大・最小を正確に求める計算力が身につきます。

大問1-[2]：確率（サイコロ・余り・点の移動）（難易度★★★☆☆）

【問題文】

2個のサイコロを同時に投げて出た目の積を $X$ とする。(i) $X$ が4の倍数なら $x$ 軸方向に $-1$、(ii) 余りが1なら $y$ 軸方向に $-1$、(iii) 余りが2なら $x$ 軸方向に $+1$、(iv) 余りが3なら $y$ 軸方向に $+1$。原点 $(0,0)$ を出発点として：

(1) 1回投げて点Pが $(1,0)$ にある確率を求めよ。
(2) 1回投げて点Pが $(0,1)$ にある確率を求めよ。
(3) 3回投げて点Pが $(2,1)$ にある確率を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① 2個のサイコロの目の積 $X = ab$ を4で割った余りを全て列挙する（$6\times6 = 36$ 通り）。

ステップ② 各条件の確率を数える。

• 条件(i)（余り0、4の倍数）：15通り → $P_i = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}$
• 条件(ii)（余り1）：5通り → $P_{ii} = \dfrac{5}{36}$
• 条件(iii)（余り2）：12通り → $P_{iii} = \dfrac{12}{36} = \dfrac{1}{3}$
• 条件(iv)（余り3）：4通り → $P_{iv} = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$

ステップ③ 各小問を解く。

(1) 点Pが $(1,0)$ にあるのは条件(iii)（$x$ 軸方向に $+1$）が起きるとき：

(2) 点Pが $(0,1)$ にあるのは条件(iv)（$y$ 軸方向に $+1$）が起きるとき：

(3) 点Pが $(2,1)$ にあるのは、3回の中で条件(iii)が2回・条件(iv)が1回起きるとき：

【藤原先生の解説】

この問題の核心は「積を4で割った余り」を正確に表にまとめることです。36通りを一つずつ地道に確認するのは面倒に見えますが、4の倍数の目（4）が出ると積も必ず4の倍数になる、という素早い判別法を使うと作業が速くなります。スポーツで例えると、まず「フォーメーションを整理してから試合に臨む」感覚です。

【この大問で身につく力】

場合の数を体系的に整理する力と、独立試行の反復確率の計算力が身につきます。

大問2-[1]：三角関数と面積（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$a, b$ を正の実数とする。$y = a\cos x$（$0 \leq x \leq \pi$）のグラフを $C_1$、$y = b\sin x$（$0 \leq x \leq \pi$）のグラフを $C_2$ とし、$C_1$ と $C_2$ の交点を $P$ とする。

(1) $P$ の $x$ 座標を $t$ とするとき、$\sin t$ および $\cos t$ を $a, b$ で表せ。

(2) $C_1$、$C_2$ と $y$ 軸で囲まれた領域の面積 $S$ を $a, b$ で表せ。

(3) $C_1$、$C_2$ と直線 $x = \dfrac{\pi}{2}$ で囲まれた領域の面積を $T$ とする。$T = 2S$ となるための条件を $a, b$ で表せ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① 交点 $P$ の条件を立てる。

$x = t$ で $C_1 = C_2$ より：

ステップ② $\sin t$ と $\cos t$ を求める。

$\tan t = \dfrac{a}{b}$ より、直角三角形の斜辺は $\sqrt{a^2+b^2}$ なので：

ステップ③ 面積 $S$ を計算する（$0 \leq x \leq t$ で $C_1 \geq C_2$）。

ステップ④ 面積 $T$ を計算する（$t \leq x \leq \dfrac{\pi}{2}$ で $C_2 \geq C_1$）。

ステップ⑤ $T = 2S$ の条件を求める。

右辺 $> 0$ より左辺 $2b - a > 0$、すなわち $b > \dfrac{a}{2}$。この条件のもと両辺を2乗：

$b > 0$ より：

$$\boxed{b = \frac{4}{3}a}$$（ただし $a > 0$）

会話：

🧑 生徒：「(2)の面積計算で、$C_1$ と $C_2$ のどちらが上になるかはどうやって判断するんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「$0 < x < t$ の範囲では $a\cos x > b\sin x$、$t < x < \dfrac{\pi}{2}$ では $b\sin x > a\cos x$ と判断するんだけど、確認方法はシンプルだよ。$x = 0$ を代入すると $C_1 = a > 0$、$C_2 = 0$ だから $C_1$ が上。$x = \dfrac{\pi}{2}$ を代入すると $C_1 = 0$、$C_2 = b > 0$ だから $C_2$ が上。間で交差するのが点 $P$（$x = t$）だね。増減表と端点の値確認を習慣にしよう！」

【この大問で身につく力】

三角関数の定積分計算と、等式条件から $a, b$ の関係式を導く代数的処理能力が身につきます。

大問2-[2]：一次変換と行列（難易度★★★☆☆）

【問題文】

直線 $y=x$ に関する対称移動を $f$、直線 $y=cx$ に関する対称移動を $g$、原点中心の $120°$ 回転移動を $h$ とする。

(1) $f$ を表す行列と $h$ を表す行列を求めよ。
(2) $g$ を表す行列を求めよ。
(3) 合成変換 $f \circ g$ が $h$ になるように $c$ の値を定めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① $f$（$y=x$ に関する対称移動）の行列 $F$ を求める。

$y=x$ は $\alpha = 45°$ の直線（傾き $\tan 45° = 1$）なので：

ステップ② $h$（$120°$ 回転）の行列 $H$ を求める。

ステップ③ $g$（$y=cx$ に関する対称移動）の行列 $G$ を求める。

$y=cx = (\tan\alpha)x$ とすると $\tan\alpha = c$。

ステップ④ $FG = H$ を解いて $c$ を求める。

$$F \cdot G = \begin{pmatrix}0 & 1 \ 1 & 0\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{1+c^2}\begin{pmatrix}1-c^2 & 2c \ 2c & c^2-1\end{pmatrix} = \frac{1}{1+c^2}\begin{pmatrix}2c & c^2-

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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