北海道大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で北海道大学数学を完全制覇しよう！

北海道大学 2018年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、2018年度に実際に出題された問題を、基礎から丁寧に・全ステップ省略なしで解説していきます。

この記事で得られる3つの価値はこちら：

• ✅ 解法の本質的な理解：なぜその公式を使うのか、背景から徹底解説
• ✅ 段階的なステップ解説：途中計算を一切省かない完全解答
• ✅ 合否を分けるポイント把握：頻出テーマと得点戦略が明確になる

👨‍🏫 藤原先生より一言：北海道大学の数学は「標準レベルをしっかり理解している人が確実に得点できる」構成になっています。難問よりも、解法の筋道を丁寧に書く論述力が合否を左右します。一緒にしっかり攻略していきましょう！

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【セクション2】北海道大学の数学：入試の全体像

試験形式と基本情報

北海道大学の数学入試は、文系・理系で異なる出題構成となっています。

項目	文系（数Ⅰ・Ⅱ・A・B）	理系（数Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B）
試験時間	90分	150分
大問数	4問	5問
解答形式	記述式（論述形式）	記述式（論述形式）
難易度水準	標準〜やや難	標準〜難

解答用紙は大問ごとに1枚ずつ配布される形式で、「過程を重視する」という採点方針が明記されています。つまり、答えだけ合っていても部分点しかもらえず、計算の流れと論理展開が採点の核心になります。

偏差値帯と求められる数学レベル

北海道大学の偏差値は学部によって異なりますが、医学部医学科を除けばおおむね偏差値55〜65程度です。数学においては：

• 文系：青チャートやフォーカスゴールドのレベル3〜4問題が解けるレベルが目標
• 理系：1対1対応の演習や数学標準問題精講を仕上げ、難問には深追いしないスタンスが吉

過去10年の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）

ランク	単元	出題頻度
1位	微分・積分（面積・体積計算）	ほぼ毎年
2位	確率（漸化式含む）	ほぼ毎年
3位	ベクトル（空間含む）	ほぼ毎年
4位	数列（漸化式・和の計算）	高頻度
5位	図形と方程式（軌跡・領域）	高頻度
6位	複素数平面（理系）	理系で頻出
7位	三角関数・指数対数	定期的に出題

他大学との違い・特徴

大学	特徴
東大	論述の厳密性・発想力重視、難問あり
京大	証明問題が多く、思考の深さが問われる
北海道大学	標準的な解法の正確な運用力・論述の丁寧さが重視
九州大学	計算量多め、標準レベル中心

北海道大学の最大の特徴は「幅広い分野からバランスよく出題される」点です。得意分野だけで乗り切るのは難しく、まんべんなく標準問題を解ける総合力が求められます。

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👨‍🏫 藤原先生コメント

🧑 生徒：「北海道大学の数学って、特別難しい分野に絞って対策すればいいですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「それが北海道大学の怖いところで、特定の分野だけ強化してもダメなんだよ。毎年、微分積分・確率・ベクトルはほぼ確実に出るから、この3分野は積分の面積公式 $S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$ や確率の基本原則・ベクトルの内積計算 $\vec{p} \cdot \vec{q} = |\vec{p}||\vec{q}|\cos\theta$ を完璧に使えるようにしておこう。あとは残りの分野も青チャートやフォーカスゴールドの例題レベルをしっかり押さえることが合格への近道だよ！」

まんべんない基礎固めが北海道大学合格への最短ルート。一つひとつ丁寧に積み上げていこう！

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【セクション3】2018年度 出題テーマ速報と分析

2018年度 出題テーマ一覧

大問1（文系・数Ⅰ・Ⅱ・A・B）

問番号	テーマ	主要公式・手法	難易度
問1	三角形・外心・余弦定理	余弦定理、外心の性質	★★★☆☆
問2	二次関数の最小値・最大化問題	平方完成、場合分け最適化	★★★★☆
問3	サイコロと確率（3桁数の大小）	場合の数、確率の基本	★★★★☆
問4	2曲線の共有点・面積	因数分解、定積分・面積公式	★★★★☆

大問2（理系・数Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B）

問番号	テーマ	主要公式・手法	難易度
[1]	空間ベクトル・内積・距離最小化	内積計算、二次式の最小値	★★★★☆
[2]	複素数平面・集合と方程式	複素数の実数条件、円と直線	★★★★★
[3]	カード並べ・9の倍数の確率	9の倍数の判定条件、場合の数	★★★★☆
[4]	点の存在領域・不等式	距離の不等式、円と直線の交点	★★★★☆
[5]	不等式の証明・面積計算	微分による証明、置換積分・扇形面積	★★★★★

難易度評価と合格ライン

2018年度は全体的にバランスのとれた標準〜やや難のセットでした。文系大問1は問1（三角形）が比較的取り組みやすく、問2・問3が差のつく問題、問4が最難関という構成です。

合格ライン（目安）：
- 文系：4問中 2.5〜3問完答（得点率60〜70%）
- 理系：5問中 3問程度（部分点込み）

得点戦略：文系は問1・問2を確実に取り切り、問3・問4で部分点を積み上げる。理系は[1]（ベクトル）・[3]（確率）・[4]（領域）を堅実に解き、[2]・[5]で部分点を狙うのが賢明です。

2018年度の特徴として、理系[5]の不等式証明＋面積計算の融合問題は前年度以前と比べて証明パートが増え、論述力がより問われる形式になっています。

得点しやすい問題を確実に仕留め、難しい問題でも部分点を狙う姿勢が合否を分けます！

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【セクション4】全大問 問題・解説

大問1（文系）：三角形・外心・二次関数・確率・積分

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大問1 問1：外心と余弦定理（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$t > 1$ とする。△ABCにおいて $AB = \sqrt{t^2+1}$、$BC = t-1$、$AC = \sqrt{2}$ とし、点Oを△ABCの外心とする。

(1) $\angle ACB$ の大きさを求めよ。

(2) 直線COと直線ABが垂直に交わるときの $t$ の値を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
余弦定理	$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
外心の性質	外心は各辺の垂直二等分線の交点
外心と頂角の関係	$\angle BOC = 2\angle BAC$（円周角の定理の逆）

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【解法ステップ】

ステップ① 余弦定理を立てる

$\angle ACB$ を求めるために、$AC$・$BC$ を挟む角の余弦定理を適用します。

各辺を代入：

ステップ② 分子を計算する

ステップ③ 余弦値を計算する

（$t > 1$ より $t-1 > 0$ なので約分できる）

ステップ④ (2) 外心と垂直条件の考察

外心Oから頂点Cへの直線COが、辺ABに垂直に交わるとき何が言えるか考えます。

外心は全ての頂点から等距離であり、外接円の中心です。$CO \perp AB$ のとき、Cから底辺ABへの垂線が外心を通ることになります。

これは、△ABCが $AC = BC$ の二等辺三角形であるときに成立します（二等辺三角形の頂点から底辺への垂線は底辺の垂直二等分線＝外心を通る）。

ステップ⑤ 二等辺三角形の条件から t を求める

確認：$t = \sqrt{2}+1 > 1$ ✓

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【藤原先生の解説】

外心って、「全員から等距離の場所に立つ審判」みたいなイメージだよ。サッカーのフィールドで、3人の選手から全員同じ距離にいる審判の位置が外心です。その審判（外心O）から特定の選手（頂点C）へ向かう線COが、向かい側の辺ABと垂直に交わる——これはCとAB上の中点Mが一致する、つまり△ABCが二等辺三角形になるときなんです。

(1)のポイントは余弦定理を正確に立てて、tが消えるかどうか見極めること。分子の計算で$t^2$と$t^2$が消え、$-2(t-1)$と分母の$2(t-1)$が約分されてきれいな値になる——この流れが見えたら「うまくいってる！」というサインです。

🧑 生徒：「外心からの直線COがABに垂直になるとき、どうして $AC = BC$ という条件が出てくるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問！外心の性質を使うよ。外心は各辺の垂直二等分線の交点だから、特に辺ABの垂直二等分線が外心Oを通る。ここで $CO \perp AB$ だとすると、CからABへの垂線もOを通る直線上にある。辺ABの垂直二等分線はABの中点を通るんだけど、それがCから来る直線と一致するということは、CがABの垂直二等分線上にあることになる。垂直二等分線上の点からAとBへの距離は等しいから、$CA = CB$ が成立するんだ。これが $AC = BC$、つまり $\sqrt{2} = t - 1$ という等式につながるんだよ！」

外心の性質を正確に理解すれば、複雑な計算なしに解答できる。図形の本質をつかもう！

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【この大問で身につく力】

余弦定理の正確な運用力と、外心・外接円の幾何的性質を条件に結びつける論理的思考力が鍛えられます。

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大問1 問2：二次関数の最小値と最大化（難易度★★★★☆）

【問題文】

$a$ と $b$ は実数とし、関数 $f(x) = x^2 + ax + b$ の $0 \leq x \leq 1$ における最小値を $m$ とする。

(1) $m$ を $a$ と $b$ で表せ。

(2) $a + 2b \leq 2$ を満たすとき $m$ を最大にする $a$、$b$ を求めよ。また、このときの $m$ の値を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
平方完成	$x^2 + ax = \left(x + \frac{a}{2}\right)^2 - \frac{a^2}{4}$
二次関数の最小値（制約あり）	頂点位置と定義域の関係で場合分け

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【解法ステップ（1）】

ステップ① 平方完成する

頂点の $x$ 座標は $x = -\frac{a}{2}$ です。

ステップ② 頂点位置と定義域 $[0,1]$ の関係で場合分け

(i) $-\frac{a}{2} \leq 0$、すなわち $a \geq 0$ のとき

$f(x)$ は $[0,1]$ 上で単調増加なので、最小値は $x = 0$ で達成：

(ii) $0 \leq -\frac{a}{2} \leq 1$、すなわち $-2 \leq a \leq 0$ のとき

頂点が定義域内にあるので、最小値は頂点で達成：

(iii) $1 \leq -\frac{a}{2}$、すなわち $a \leq -2$ のとき

$f(x)$ は $[0,1]$ 上で単調減少なので、最小値は $x = 1$ で達成：

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【解法ステップ（2）】

条件 $a + 2b \leq 2$ は $b \leq -\frac{a}{2} + 1$ と変形できます。

ステップ③ 各場合でmの上界を求める

(i) $a \geq 0$ のとき

最大値は $b = -\frac{a}{2} + 1$ のとき達成。この式は $a$ が大きいほど小さくなるので、$a = 0$ のとき $m = 1$。

(ii) $-2 \leq a \leq 0$ のとき

これを $a$ の関数 $h(a) = -\frac{a^2}{4} - \frac{a}{2} + 1$ として最大値を求めます。

(iii) $a \leq -2$ のとき

$a \leq -2$ では $\frac{a}{2} + 2 \leq 1$。

ステップ④ 三つの場合を比較して最大値を決定

• (i)の最大：$m = 1$（$a=0$, $b=1$）
• (ii)の最大：$m = \frac{5}{4}$（$a=-1$, $b = \frac{3}{2}$） ← 最大
• (iii)の最大：$m \leq 1$

よって：

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【藤原先生の解説】

この問題、「二次関数の最小値」と「その最小値を最大化する」という二重最適化が難しいポイントだよ。料理で例えると、まず「このレシピで一番少ない材料はどれ？」を求めて（最小値）、その上で「材料コストを2以下に抑えながら、少ない材料を最大限に増やすには？」を考える感じ。

(2)の核心は、$a$-$m$ 平面上で各領域の $m$ の上界を描いて、どこで一番大きくなるかを見つけること。これは線形計画法の考え方に近い発想です。

🧑 生徒：「(2)でどうして $a=-1$、$b=\frac{3}{2}$ のときに $m = \frac{5}{4}$ になるんですか？ $m = -\frac{a^2}{4} + b$ に代入したらいくつになりますか？」

👨‍🏫 藤原先生：「確認してみよう！$a=-1$、$b=\frac{3}{2}$ を代入すると、$m = -\frac{(-1)^2}{4} + \frac{3}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{6}{4} = \frac{5}{4}$ になるね。これは $-2 \leq a \leq 0$ の場合（場合(ii)）に対応しているから、頂点 $x = -\frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ が $[0,1]$ の内部にあって、最小値が頂点の値で正しく計算されてるよ。場合分けが正しくできているかの確認が、この問題では特に大事なんだ！」

場合分けを丁寧に、そして最後に比較する習慣をつけよう！

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【この大問で身につく力】

二次関数の平方完成による場合分けと、制約条件下での最大化（線形計画的思考）の組み合わせを扱う総合的思考力が鍛えられます。

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大問1 問3：サイコロと確率（難易度★★★★☆）

【問題文】

赤色・青色・黄色のサイコロが1つずつある。出た目をそれぞれ $R$、$B$、$Y$ とし、

と定める。

(1) $s$、$t$、$u$ のうち少なくとも2つが500以上となる確率を求めよ。

(2) $s > t > u$ となる確率を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
余事象の確率	$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
包除原理	$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
全事象数	$6^3 = 216$ 通り

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【解法ステップ（1）】

ステップ① $s \geq 500$ の条件を整理する

$s = 100R + 10B + Y \geq 500$ となるのは、$R \geq 5$（$R = 5$ または $6$）のとき。

同様に $t \geq 500 \Leftrightarrow B \geq 5$、$u \geq 500 \Leftrightarrow Y \geq 5$。

ステップ② 少なくとも2つが500以上 = (3つとも500以上) + (ちょうど2つが500以上)

3つとも500以上：$R \geq 5$, $B \geq 5$, $Y \geq 5$ の場合。

ちょうど2つが500以上：3つの中から2つを選ぶ方法が $\binom{3}{2} = 3$ 通り。各選択で、2つは$\geq 5$（2択）・1つは $\leq 4$（4択）：

ステップ③ 確率を計算する

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【解法ステップ（2）】

ステップ④ $s > t > u$ の条件を整理する

$s > t$ から：

$t > u$ から：

つまり $R > B > Y$ または $R = B > Y$ のケースを考える（別解アプローチ）。

ステップ⑤ 別解で数え上げ

(i) $R > B > Y$ のとき

100の位は $R > B > Y$ なので自動的に $s > t > u$。

6つの目から3つ選んで大きい順に並べる：$\binom{6}{3} = 20$ 通り。

(ii) $R = B > Y$ のとき

$s = 100R + 10B + Y$、$t = 100B + 10Y + R$ を比べると：

（$R = B$ を使用、$R > Y$ なので正）

$t - u = 100B + 10Y + R - 100Y - 10R - B = 99B - 90Y - 9R = 99R - 90Y - 9R = 90R - 90Y = 90(R - Y) > 0$ ✓

6つの目から $R = B$ となる目と $Y < R$ となる目を選ぶ：$\binom{6}{1} \times (その値より小さい目の数)$

具体的には：6つの目から2種類（$R = B$ の値と $Y$ の値）を選んで大きい方を $R=B$ に：$\binom{6}{2} = 15$ 通り。

ステップ⑥ 合計して確率を求める

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【藤原先生の解説】

3桁の数の大小を、各桁の目の大小に変換するのがこの

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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