北海道教育大学 2016年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに｜この記事で北海道教育大学 数学 過去問を完全制覇しよう

北海道教育大学 2016年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、平成28年度の入試問題（全3大問）を藤原進之介先生が一問一問丁寧に解説します。

この記事を読むと、以下の3つの価値が得られます：

• ✅ 2016年度全3大問の完全解法が、ステップごとに理解できる
• ✅ なぜその解法を使うのかという「数学的な考え方の根っこ」が身につく
• ✅ 北海道教育大学の出題傾向と合格戦略が、この1記事で把握できる

👨‍🏫 藤原先生より：
北海道教育大学の数学は「基礎の積み重ね」が命です。難問奇問は出ません。でも、だからこそ「基礎をちゃんと理解しているか」が問われる。公式の丸暗記ではなく「なぜそうなるのか」を大切にしながら、一緒に全問制覇を目指しましょう！

【セクション2】北海道教育大学の数学：入試の全体像

試験形式・配点・時間

北海道教育大学（教員養成課程）の数学入試は、以下の形式で実施されています：

記述式である点が非常に重要です。答えだけではなく「計算の過程や説明」が採点対象になります。注意事項にも明記されているように、途中過程のない答えのみの解答では大きく減点されます。

偏差値帯と求められる数学レベル

北海道教育大学の偏差値帯はおおよそ 45〜52程度（学科・課程により異なる）。数学の難易度は「標準レベル」であり、センター試験（現・共通テスト）で6〜7割程度取れる力があれば基礎は十分です。ただし記述式のため、論述力・式変形の正確さが問われます。

過去の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）

北海道教育大学の数学では、以下の単元が繰り返し出題されています：

2016年度はまさにこの上位単元が3問すべてで出題されており、「典型的な年度」と言えます。

他大学との比較・特徴

東大や京大のような難関大では「見たことのない問題を、その場で考える力」が求められますが、北海道教育大学では「標準的な手法を確実に実行できるか」が問われます。「知っている解法を正確に書けるか」という意味で、青チャート（チャート式 基礎からの数学）のような標準問題集を一通りマスターすることが直結した対策になります。

🧑 生徒：「先生、北海道教育大学の数学って、どのくらいのレベルを目指せばいいんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！目安としては、青チャートの例題レベルを全単元でスラスラ解けるようになることが第一目標だよ。北海道教育大学は記述式だから、解答を書く練習も大切。たとえば積分で面積を求めるとき、$S = \int_a^b \{f(x) - g(x)\}\,dx$ という式を書いて、$f(x) \geq g(x)$ の確認をちゃんと記述できるか、という点が採点官に見られているんだ。答えが合っていても過程が雑だと部分点しかもらえないから、『書く練習』を意識してほしいな！」

基礎を丁寧に積み上げれば、必ず点数は伸びます。焦らず着実に進んでいこう！

【セクション3】2016年度 出題テーマ速報と分析

2016年度 大問別テーマ一覧

難易度評価と分析

• 大問1：接線の傾きを求める計算は典型パターン。(3)の面積計算は積分の処理で少し工夫が要るが、標準的。
• 大問2：(1)(2)は図形的考察の証明問題。(3)は加法定理を図形から導出するというユニークな設問で、北海道教育大学らしい「教員養成課程」感があります。
• 大問3：漸化式の一般項・数学的帰納法・常用対数の計算と、3つの手法が組み合わさっており、3問の中では最もボリュームがある。

合格ラインと得点戦略

200点満点で、合格ラインは130〜140点前後と推定されます（6〜7割）。

得点戦略：
- 大問1の(1)(2)と大問2の(1)(2)は必ず満点を取りに行く（合わせて約80点）
- 大問3の(1)(2)も典型問題なので確実に取る（約40点）
- 大問1(3)・大問2(3)・大問3(3)の「応用小問」で部分点を積み上げる

この戦略で130点以上は十分狙えます！

【セクション4】全大問 完全解説

大問1：放物線への接線・垂直条件・面積（難易度★★★☆☆）

【問題文】

曲線 $y = \dfrac{1}{4}x^2$ を $C$ とする。$p^2 > 4q$ を満たす $p, q$ について、点 $A(p, q)$ から曲線 $C$ に2つの接線を引く。次の問いに答えよ。

(1) 2つの接線の傾きを求めよ。

(2) 接線が垂直に交わるのは、点 $A$ がどのような条件を満たすときか。

(3) 点 $A$ の座標が $(0, -1)$ のとき、2つの接線と曲線 $C$ とで囲まれた図形の面積を求めよ。

【使う公式・定理】

【(1)の解法ステップ：接線の傾きを求める】

ステップ① 接点を文字でおく

曲線 $C: y = \dfrac{1}{4}x^2$ 上の接点の座標を $\left(t,\ \dfrac{t^2}{4}\right)$ とおく。

ステップ② 微分して接線の方程式を立てる

$y' = \dfrac{1}{2}x$ より、接点における傾きは $\dfrac{t}{2}$。よって接線の方程式は：

ステップ③ 点 $A(p, q)$ を通ることを使って $t$ の方程式を立てる

①が点 $A(p, q)$ を通るので：

両辺に $4$ をかけて：

ステップ④ $t$ を解く（判別式の確認込み）

判別式 $D = (2p)^2 - 4 \cdot 4q = 4p^2 - 16q = 4(p^2 - 4q) > 0$（条件 $p^2 > 4q$ より）

よって：

ステップ⑤ 傾きを書く

接線の傾きは $\dfrac{t}{2}$ だから：

【(2)の解法ステップ：垂直条件】

ステップ① 2つの傾きの積が $-1$ となる条件を立てる

2つの接線の傾きを $m_1 = \dfrac{1}{2}(p + \sqrt{p^2 - 4q})$、$m_2 = \dfrac{1}{2}(p - \sqrt{p^2 - 4q})$ とすると、垂直条件は $m_1 \cdot m_2 = -1$。

ステップ② 積を計算する

ステップ③ 条件を求める

$m_1 \cdot m_2 = q = -1$ より：

【(3)の解法ステップ：面積計算】

ステップ① $A = (0, -1)$ のときの接点・接線を求める

$(p, q) = (0, -1)$ を $t^2 - 2pt + 4q = 0$ に代入：

ステップ② 2つの接線の方程式を求める

①の式 $y = \dfrac{t}{2}x - \dfrac{t^2}{4}$ に $t = 2, -2$ を代入：

• $t = 2$：$y = x - 1$
• $t = -2$：$y = -x - 1$

ステップ③ 積分範囲の確認

• 接線 $y = x - 1$ と曲線 $y = \dfrac{x^2}{4}$ の交点：$x - 1 = \dfrac{x^2}{4} \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$（接点）
• 接線 $y = -x - 1$ と曲線の交点：同様に $x = -2$（接点）
• 2本の接線の交点：$x - 1 = -x - 1 \Rightarrow x = 0$、$y = -1$。すなわち点 $A(0, -1)$ 自身。

したがって、囲まれた図形は $x \in [-2, 0]$ で（曲線）と（接線 $y = -x-1$）、$x \in [0, 2]$ で（曲線）と（接線 $y = x-1$）に分かれる。

ステップ④ 積分計算

第1項の被積分関数：

第2項の被積分関数：

よって：

【藤原先生の解説】

🧑 生徒：「(3)の積分で、なんで $(x+2)^2$ の形に変形するんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「鋭い質問だね！これは接線と放物線が接点でぴったりくっつくという性質を使っているんだ。接線 $y = -x - 1$ と曲線 $y = \dfrac{x^2}{4}$ の差をとると $\dfrac{x^2}{4} - (-x-1) = \dfrac{(x+2)^2}{4}$ となって、$(x+2)^2$ という完全平方式になる。これは $x = -2$（接点）で差がゼロになることを意味しているよ。料理でいうと、素材（放物線と接線）の"差"を整理したら、きれいな二乗の形が現れた、という感じだね。この変形を使うと積分がとても楽になるし、試験でも印象的な答案になるよ！」

この変形は放物線と接線の面積計算の黄金パターンです。ぜひ覚えておこう！

【この大問で身につく力】

• 「外部の点から曲線への接線」を求める標準的な手法（接点パラメータ $t$ の設定）
• 積分計算で「完全平方式への変形」を活用する整理力

大問2：三角形の面積・加法定理の証明（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ 上に点 $P$ をとり、$\angle BAC = \alpha$、$\angle PAC = \beta$ とする。ただし $\alpha < 90°$ とする。

(1) $\triangle APC$ の面積を $S$ とするとき、公式 $S = \dfrac{1}{2} AP \cdot AC \sin\beta$ が成り立つことを証明せよ。

(2) $BP : PC = AB\sin(\alpha - \beta) : AC\sin\beta$ を示せ。

(3) $\angle C = 90°$ とする。(2) を用いて $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$ が成り立つことを示し、$\sin 15°$ の値を計算せよ。

【使う公式・定理】

【(1)の解法ステップ：面積公式の証明】

ステップ① 高さを設定する

点 $P$ から辺 $AC$ に垂線を下ろし、垂線の足を $H$ とする。

ステップ② 面積を高さで表す

ステップ③ $PH$ を $\sin\beta$ で表す

$\angle PAH = \beta$ より、$PH = AP \cdot \sin\beta$

ステップ④ ①に代入

（証明終）

【(2)の解法ステップ：辺の比の証明】

ステップ① 点 $A$ から $BC$ への垂線を利用した面積比

点 $A$ から辺 $BC$ に垂線を下ろし、足を $H'$、高さを $h = AH'$ とする。

ステップ② 各三角形の面積を角度で表す

(1) より $\triangle APC = \dfrac{1}{2} AP \cdot AC \cdot \sin\beta$

同様に、$\angle BAP = \angle BAC - \angle PAC = \alpha - \beta$ より：

ステップ③ 面積比から辺の比を出す

②③より：

（証明終）

【(3)の解法ステップ：加法定理の証明と sin 15° の計算】

🧑 生徒：「(3)で『(2)を用いて加法定理を証明せよ』って書いてあるけど、どうやって図形から加法定理が出てくるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「すごく本質的な疑問だね！(2)の結果 $BP : PC = AB\sin(\alpha-\beta) : AC\sin\beta$ を使うんだけど、$\angle C = 90°$ という条件をフル活用するんだ。直角三角形だと $BP$、$PC$、$AB$、$AC$ を全部 $\sin$、$\cos$、$\tan$ で書き表せるよね。だから、直角三角形の辺の比を使って $BP$ と $PC$ を具体的な式で書いて、(2)の比と照らし合わせると、$\sin(\alpha-\beta)$ の式が自然に出てくるんだ。図形から代数的な公式を導く、という発想がとても教員養成らしい問題だよ！」

ステップ① $\angle C = 90°$ のとき $BP$、$PC$ を表す

• $BC = AB\sin\alpha$（直角三角形 $ABC$ より）
• $PC = AC\tan\beta$（直角三角形 $APC$ より、$\angle PAC = \beta$、$\angle C = 90°$）
• $AC = AB\cos\alpha$（直角三角形 $ABC$ より）

よって $PC = AB\cos\alpha\tan\beta$、$BP = BC - PC = AB\sin\alpha - AB\cos\alpha\tan\beta$

ステップ② (2)の比に代入

比の性質より：

左辺：

右辺：

ステップ③ 方程式を整理

$\tan\beta = \dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}$ を代入して左辺を整理：

よって：

両辺に $\cos\alpha\sin\beta > 0$ をかけて：

（証明終）

ステップ④ $\sin 15°$ の計算

$\alpha = 45°$、$\beta = 30°$ を代入：

【この大問で身につく力】

• 図形の補助線（垂線）を活用した証明の組み立て方
• 「図形の関係」から「代数公式」を導く教員養成ならではの論理力

教員になると生徒に「なぜ加法定理が成り立つのか」と聞かれることがあります。この問題を通じて、その答えを図形から説明できる力が育ちます！

大問3：漸化式・数学的帰納法・対数による評価（難易度★★★★☆）

【問題文】

$a, p, q$ は定数で、$p > 0$、$pa < q$ を満たすとする。数列 $\{a_n\}$ が条件

で定められている。次の問いに答えよ。ただし $\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とする。

(1) $b_n = a_{n+1} - a_n$ とおく。すべての自然数 $n$ について $b_n < 0$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) $a = 100$、$p = 0.2$、$q = 30$ とする。$\log_{10}1.2$ を計算し、初めて $a_n < 0$ となる自然数 $n$ を求めよ。

【使う公式・定理】

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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