北海道教育大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
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はじめに：この記事を読むメリット
北海道教育大学 2018年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、2018年度（平成30年度）の入試問題を全大問にわたって徹底的に解説します。
この記事を読むことで得られる3つの価値：
- ✅ 解き方の本質がわかる：丸暗記ではなく「なぜこのアプローチを選ぶか」まで理解できる
- ✅ 頻出テーマの公式を完全整理：この大学が繰り返し出す単元の核心を押さえられる
- ✅ 合格への学習ロードマップがわかる：今の自分に何が必要かが明確になる
👨🏫 藤原先生からひと言：
北海道教育大学の数学は「標準レベル」と言われていますが、それは「簡単」という意味ではありません。基礎をしっかり固め、論述力を磨いた受験生が確実に点を取れる問題です。この記事を通じて「なぜこうなるか」まで理解して、自信を持って本番に臨みましょう！一緒にがんばっていこう！
【セクション2】北海道教育大学の数学：入試の全体像
試験形式・配点・解答形式
北海道教育大学（教員養成課程）の数学入試は、以下の形式で実施されます。
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 80〜100分（年度により変動あり） |
| 大問数 | 3問（各問に小問あり） |
| 配点 | 大問1・2が各70点、大問3が60点（計200点） |
| 解答形式 | 記述式（論述形式） |
| 計算過程 | 必須（答えだけでは不可） |
記述式であることが最大の特徴です。答えが合っていても、論述が不十分であれば減点されます。「計算の過程や説明も書くこと」と注意事項に明記されているので、途中経過を丁寧に示す習慣を身につけましょう。
偏差値帯と求められる数学レベル
北海道教育大学の偏差値は概ね50〜53程度（旺文社・河合塾パスナビ参照）。求められる数学力は「教科書レベルをしっかりマスターした上で、標準的な入試問題を解ける力」です。
- 青チャートやフォーカスゴールドの例題レベルを全単元こなしている
- 基本的な証明問題を論述形式で書ける
- 積分・ベクトル・数論など複数分野を組み合わせた問題に対応できる
難関大のような思考の飛躍は求められませんが、論述の正確さと計算の丁寧さが評価のポイントです。
過去5〜10年の出題傾向まとめ
北海道教育大学の数学では、以下の単元が繰り返し出題されています：
| 頻出ランク | 単元 |
|---|---|
| ★★★★★ | 微分・積分（面積・接線・極値） |
| ★★★★☆ | ベクトル（内積・面積・証明） |
| ★★★★☆ | 整数問題・数論（互いに素・不定方程式） |
| ★★★☆☆ | 確率・漸化式 |
| ★★★☆☆ | 数列（等差・等比・帰納法） |
| ★★☆☆☆ | 複素数・行列（出題年による） |
特に微分・積分とベクトルは毎年必出と考えて対策を進めてください。2018年度も、大問1が微分積分、大問2がベクトルと面積、大問3が整数論という構成でした。
他大学との違い・特徴
- 東京大学：高度な思考力・論証力が必要。誘導なしで自力で方針を立てる力が必要。
- 北海道大学：理系は計算量が多く、発展的な思考を要求。
- 北海道教育大学：誘導形式の小問構成が多く、(1)→(2)→(3)と順番に解いていける設計。基礎・標準レベルの問題を丁寧に論述できれば高得点が狙える。
つまり北海道教育大学は「丁寧さと基礎力を試す大学」と言えます。
🧑 生徒：「北海道教育大学って、どんな数学の力が必要ですか？」
👨🏫 藤原先生：「この大学でとくに大事なのは、定義に忠実な論述ができることだよ。例えばベクトルの問題では、$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ という内積の定義式を使って、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ と変形する証明が出る。公式を覚えるだけじゃなく、『なぜその式が成り立つか』を説明できる論述力が合否を分けるんだ。」
各セクションをしっかり読んで、この大学の数学の本質をつかんでいこう！
【セクション3】2018年度 出題テーマ速報と分析
2018年度 出題テーマ一覧（大問別）
| 大問 | テーマ | 単元 | 難易度 | 配点 |
|---|---|---|---|---|
| 大問1 | 3次関数の微分・積分・接線 | 微分積分 | ★★★☆☆ | 70点 |
| 大問2 | ベクトルと三角形の面積 | ベクトル・座標 | ★★★☆☆ | 70点 |
| 大問3 | 有理数と円の外接（フォード円） | 整数論・円の方程式 | ★★★★☆ | 60点 |
難易度評価と分析
大問1は微分積分の総合問題。$(1)$の面積計算から始まり、$(4)$の直交条件まで、段階的に誘導されています。計算ミスさえなければ全問完答を狙えます。
大問2はベクトルを使った三角形の面積の証明。$(1)$と$(2)$は誘導に乗れれば確実に証明できます。$(3)$の平行移動のアイデアが出るかどうかが勝負です。
大問3はフォード円と呼ばれる数論幾何の問題。知識があれば解けますが、初見では方針が立てにくい。部分点狙いで$(1)$は確実に取りたいところです。
前年度との傾向変化
2017年度も同様に微分積分・ベクトル・整数問題という構成でした。2018年度の特徴は大問3の難度がやや上がり、不定方程式の一般解を求める手続きが必要になった点です。
合格ラインと得点戦略
200点満点に対し、合格ラインは120〜140点程度と推測されます（70%前後）。
得点戦略：
- 大問1：70点 → 全完答を目指す（45分以内に終える）
- 大問2：70点 → (1)(2)(3)全て確実に取る（25分）
- 大問3：60点 → (1)(2)は確実に取り、(3)に挑む（30分）
大問1・2で確実に130点以上取り、大問3で上乗せするのが理想のプランです。
【セクション4】全大問 問題・解説
大問1：3次関数の微分・積分・接線（難易度★★★☆☆）
【問題文】
$f(x) = \frac{1}{9}x^3 - \frac{4}{3}x$ とする。曲線 $y = f(x)$ の点 $A(p,\, f(p))$ における接線を $\ell$ とするとき、次の問いに答えよ。ただし $p > 0$ とする。
(1) $x$ 軸の $x \geq 0$ の部分と曲線 $y = f(x)$ で囲まれた図形の面積を求めよ。
(2) 接線 $\ell$ の方程式を求めよ。
(3) 曲線 $y = f(x)$ と接線 $\ell$ の共有点のうち、点 $A$ と異なる点を $B$ とする。点 $B$ の $x$ 座標を $p$ を用いて表せ。
(4) $(3)$ の点 $B$ における曲線 $y = f(x)$ の接線を $m$ とする。$\ell$ と $m$ が垂直に交わるときの $p$ の値を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 接線の方程式 | $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ |
| 積分による面積 | $S = \int_\alpha^\beta \|f(x)\|\,dx$ |
| 直線の直交条件 | 傾き $m_1$, $m_2$ のとき $m_1 m_2 = -1$ |
| 因数分解 | $x^3 - 3p^2x + 2p^3 = (x-p)^2(x+2p)$ |
大問1-(1)：面積の計算
【解法ステップ】
ステップ① 交点の $x$ 座標を求める
$x \geq 0$ の範囲では $x = 0$ と $x = 2\sqrt{3}$ が交点です。
ステップ② $0 \leq x \leq 2\sqrt{3}$ での $f(x)$ の符号を確認する
よってこの区間では $f(x) \leq 0$ なので、面積は $-\int_0^{2\sqrt{3}} f(x)\,dx$ です。
ステップ③ 積分を計算する
$x = 2\sqrt{3}$ を代入：
🧑 生徒：「$f(x)$ が負になっているとき、積分に $-$ をつけるのってどうして確認が必要なんですか？」
👨🏫 藤原先生：「それはとても大事な質問だよ！面積公式の本質を理解しているかどうかに関わる問題だね。積分 $\int_a^b f(x)\,dx$ は面積じゃなくて『符号付き面積』なんだ。$f(x) < 0$ の区間では積分値はマイナスになる。だから面積を求めるには $S = \int_a^b |f(x)|\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ とする必要がある。料理に例えると、$f(x) > 0$ は『山盛りの料理』、$f(x) < 0$ は『皿に穴が空いている状態』。面積を求めるには必ず絶対値を取る意識を持とう！」
【この小問で身につく力】
交点の求め方・符号確認・定積分の丁寧な計算という積分の基本3ステップを確実に身につけられます。
大問1-(2)：接線の方程式
【解法ステップ】
ステップ① $f'(x)$ を求める
ステップ② $x = p$ における微分係数を求める
ステップ③ 接線の方程式を立てる
点 $(p,\, f(p))$ を通り、傾き $f'(p)$ の直線：
ステップ④ 整理する
【藤原先生の解説】
接線の方程式は「$y = f'(a)(x-a)+f(a)$」という点傾き形の公式を使います。スポーツで言えば、$f'(a)$ は「その瞬間のスピード（速度）」。微分係数は関数の瞬間の変化率なので、その点でのカーブの「傾き加減」を表しています。
整理のポイントは $p$ に関する項を丁寧にまとめること。計算ミスが多いのが $-\frac{1}{3}p^3 + \frac{1}{9}p^3 = -\frac{2}{9}p^3$ の部分です。通分して確認しながら進めましょう。
大問1-(3)：曲線と接線の共有点
【解法ステップ】
ステップ① 曲線と接線を連立する
両辺に $9$ をかける：
待って、整理し直す：
ステップ② 因数分解する
$x = p$ は接点だから（接線は曲線と $x=p$ で接するので）、$(x-p)^2$ が因数になる：
確認：$(x-p)^2(x+2p) = (x^2-2px+p^2)(x+2p)$
$= x^3 + 2px^2 - 2px^2 - 4p^2x + p^2x + 2p^3 = x^3 - 3p^2x + 2p^3$ ✓
ステップ③ 解を求める
$p > 0$ より $x = -2p \neq p$ なので、点 $B$ の $x$ 座標は：
【藤原先生の解説】
3次関数の接線との交点を求めるときの重要テクニックは「接点は重解になる」ことを利用した因数分解です。
これは接線が曲線に「ぴったり触れる」点だから、方程式の解として $x = p$ が重複して現れるんです。ゲームで言えば、接線は曲線の「スキマなく張り付く」ような直線。だから解が重複する。
この因数分解のパターン「$x^3 - 3p^2 x + 2p^3 = (x-p)^2(x+2p)$」は非常に頻出なので、必ず覚えておきましょう！
大問1-(4)：接線の直交条件
【解法ステップ】
ステップ① 点 $B(-2p,\, f(-2p))$ における接線 $m$ の傾きを求める
ステップ② 接線 $\ell$ の傾きを確認する
ステップ③ 直交条件を使う
2直線が垂直に交わるとき $m_1 \cdot m_2 = -1$：
ステップ④ 展開して整理する
ステップ⑤ $p > 0$ の条件から $p$ を求める
【藤原先生の解説】
直交条件 $m_1 m_2 = -1$ を使いこなせるかが勝負です。整理すると「$(p^2 - \frac{5}{2})^2 = 0$」という完全平方式になるのが美しいポイント！
$p^4 - 5p^2 + \frac{25}{4}$ が $(p^2 - \frac{5}{2})^2$ に因数分解できることを見抜けるかが計算力の差になります。
🧑 生徒：「大問1の(4)で $p^4 - 5p^2 + \frac{25}{4} = 0$ が $(p^2 - \frac{5}{2})^2 = 0$ に因数分解できるって、どうやって気づけばいいですか？」
👨🏫 藤原先生：「いい質問！これは完全平方式の判別式を使うんだ。$p^4 - 5p^2 + \frac{25}{4}$ を $t = p^2$ と置いて考えると、$t^2 - 5t + \frac{25}{4}$。判別式 $D = (-5)^2 - 4 \cdot \frac{25}{4} = 25 - 25 = 0$ だから、これは $\left(t - \frac{5}{2}\right)^2 = 0$ という完全平方式になる！つまり $D = 0$ のとき完全平方式になるというのが見抜くコツだよ。判別式は2次方程式の解だけじゃなく、因数分解のヒントにもなるんだね！」
【この大問で身につく力】
微分・積分・因数分解・直交条件を総合的に使いこなす力。特に「接線と曲線の交点」の処理パターンは頻出中の頻出なので確実にマスターしよう！
大問2：ベクトルと三角形の面積（難易度★★★☆☆）
【問題文】
$\triangle PAB$ において、$\overrightarrow{PA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{PB} = \vec{b}$、$\angle APB = \theta$ とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 次の等式が成り立つことを示せ：$|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\sin^2\theta = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a}\cdot\vec{b})^2$
(2) 3点 $P,A,B$ の座標がそれぞれ $(0,0)$, $(a_1,a_2)$, $(b_1,b_2)$ であるとき、$\triangle PAB$ の面積は $\frac{1}{2}|a_1 b_2 - a_2 b_1|$ となることを示せ。
(3) $t$ を実数とする。3点 $P,A,B$ の座標がそれぞれ $(-4,1)$, $(t,0)$, $(0,t+7)$ であるとき、$\triangle PAB$ の面積の最小値を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 内積の定義 | $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ |
| $\sin^2+\cos^2=1$ | $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ |
| 三角形の面積公式 | $S = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ |
| 平行移動と面積 | 平行移動で面積は変わらない |
| 2次関数の最小値 | 平方完成 $a(x-p)^2+q$ |
大問2-(1)：等式の証明
【解法ステップ】
ステップ① 内積の定義から $\cos\theta$ を表す
ステップ② $\sin^2\theta$ を変形する
ステップ③ 両辺に $|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2$ をかける
（証明終）
大問2-(2)：面積公式の証明
【解法ステップ】
ステップ① 条件から $\vec{a}$, $\vec{b}$ を成分表示する
$P$ が原点なので $\vec{a} = \overrightarrow{PA} = (a_1, a_2)$, $\vec{b} = \overrightarrow{PB} = (b_1, b_2)$
ステップ② 内積と大きさを成分で表す
ステップ③ (1) の結果を利用して面積を計算する
ステップ④ 成分を代入して展開する
$$= a_1^2 b_1^
👨🏫 この記事を書いた人：藤原進之介
**藤原進之介**（数強塾グループ代表）
Gakken・KADOKAWA・ナツメ社・文英堂・旺文社など**大手出版社5社から計9冊**の参考書を刊行している数学・情報Iの専門家。全国の中高生・受験生に向けて、わかりやすく・楽しく・本質的な数学指導を行っています。
**主要著書：**
- 『オールカラー 高校の数学を身近な例からもういちど学びなおす』（ナツメ社）
- 『きめる! 共通テスト情報I』（Gakken）
- 『ライバルに差をつける 情報 I 鉄板の100 題』（KADOKAWA）
- 『共通テスト パターンドリル 情報Ⅰ』（文英堂）
- 『資格試験ムビスタ 藤原のたった９時間でＩＴパスポート 令和８年度版（２０２６年）』（Gakken）
- 『大学JUKEN新書 共通テスト ７日で完成 情報Ⅰ』（旺文社）
- 『藤原のたった9時間で情報I』（Gakken）
- 『藤原進之介の 情報I プログラミング・データの活用が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
- 『藤原進之介の ゼロから始める情報I』（KADOKAWA）
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