法政大学 1996年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
sukyojuku_admin法政大学 1996年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
はじめに：この記事で法政大学数学を完全制覇しよう
法政大学 1996年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。法政大学の数学は「標準レベル」と言われていますが、だからこそ「基礎を確実に積み上げた受験生が合格できる」という構造になっています。この記事では次の3つの価値をお届けします。
- ✅ 1996年度 全6大問（3学部分）を丁寧に解説：ステップ形式で途中計算を一切省略しない
- ✅ 法政大学数学の傾向と対策を完全網羅：何をいつ勉強すれば合格に届くかがわかる
- ✅ よくあるミスと正しい解き方：合否を分けるポイントを具体的に指摘
👨🏫 藤原先生より：「法政大学の数学は、基礎をしっかり固めた受験生が確実に点を取れる問題構成になっています。焦らず、一問一問を丁寧に解いていきましょう。この記事を最後まで読めば、法政大学数学の全体像が見えてくるはずです！」
セクション2：法政大学の数学 入試の全体像
試験形式・出題概要
法政大学の数学入試は、学部ごとに問題が異なるのが大きな特徴です。1996年度においても、法学部・経済学部・文学部でそれぞれ別の問題が出題されています。試験時間は60分、大問数は各学部3題構成が基本です。
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 60分 |
| 大問数 | 各学部3問（本記事は3学部分＝6問） |
| 解答形式 | 記述式（論述・計算過程を書く） |
| 難易度 | 標準レベル（偏差値55〜62程度） |
| 必要な数学レベル | 教科書の例題〜入試標準問題 |
偏差値帯と求められる数学レベル
法政大学の偏差値帯は概ね55〜65程度（学部・方式によって異なる）。数学においては、「教科書の内容を完全に理解した上で、入試標準レベルの問題を確実に解けること」が合格ラインです。難関国公立のような思考力重視の問題よりも、計算の正確さ・公式の正しい適用・場合分けの丁寧さが問われます。
過去の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）
法政大学数学で繰り返し出題される単元は以下の通りです：
| 順位 | 単元 | 出題頻度 | コメント |
|---|---|---|---|
| 1位 | 関数の最大・最小（2次関数・微積分） | ★★★★★ | ほぼ毎年出題 |
| 2位 | 数列（等差・等比・漸化式） | ★★★★☆ | 計算が重要 |
| 3位 | 図形と方程式（軌跡・領域） | ★★★★☆ | 論述力が試される |
| 4位 | 三角関数 | ★★★★☆ | 応用問題も出る |
| 5位 | 対数・指数関数 | ★★★☆☆ | 計算問題中心 |
| 6位 | 行列・1次変換（旧課程） | ★★★☆☆ | 現在は出題なし |
| 7位 | 空間図形・立体の体積 | ★★★☆☆ | 積分との融合 |
| 8位 | 整数問題・不等式 | ★★☆☆☆ | 場合分けに注意 |
他大学との違い・特徴
- 東京大学：論述の質・思考の深さが最重視。公式の適用よりも「なぜそうなるか」の説明が必要
- 早稲田大学：計算量が多く、処理スピードが問われる。難問混じりで差がつく
- 法政大学：「基礎の正確な運用と丁寧な計算」が最重視。奇問・難問は少なく、標準問題を取りこぼさないことが勝負
🧑 生徒：「法政大学の数学って、どんな問題が出るんですか？特に苦手な分野を重点的にやるべきですか？」
👨🏫 藤原先生：「法政大学の数学は、2次関数の最大・最小、数列の漸化式、三角関数の方程式・不等式が特に頻出だよ。例えば今回の1996年度でも、法学部では $f(x)=x^2-2ax-a^2$ の最大・最小（場合分け）、経済学部では対数の計算や行列の累乗まで出ている。苦手分野を克服するだけでなく、得意分野で確実に満点を取る戦略が大切。まず『青チャート（チャート式 基礎からの数学）』で頻出単元をしっかり固めよう！」
法政大学数学の全体像が見えてきましたね！次は1996年度の具体的な出題テーマを確認しましょう。
セクション3：1996年度 出題テーマ速報と難易度分析
出題テーマ一覧（大問別）
| 大問 | 学部 | テーマ | 難易度 |
|---|---|---|---|
| 大問1（法学部Ⅰ） | 法学部 | 既約分数・整数の条件 | ★★★☆☆ |
| 大問2（法学部Ⅱ） | 法学部 | 2次関数の最大・最小と差 | ★★★★☆ |
| 大問3（法学部Ⅲ） | 法学部 | 放物線の交点と頂点の軌跡 | ★★★★☆ |
| 大問4（経済学部Ⅰ） | 経済学部 | 小問集合（10題） | ★★★☆☆ |
| 大問5（経済学部Ⅱ・Ⅲ） | 経済学部 | 1次変換・球と平面の立体 | ★★★★☆ |
| 大問6（文学部Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ） | 文学部 | 複素数・方程式・三角関数 | ★★★☆☆ |
1996年度の傾向と合格ライン
1996年度は、場合分けを要する問題が複数学部にわたって出題されているのが特徴です。特に法学部の大問Ⅱ（2次関数の最大・最小の場合分け）と大問Ⅲ（放物線の軌跡）は、「丁寧な論述＋場合分け」ができるかどうかで大きく差がつきます。
経済学部の小問集合（10題）は、対数・行列・空間図形など多岐にわたる知識が問われており、まんべんなく基礎を固めた受験生が有利。文学部は計算力よりも論理的な思考力が試される問題が多いです。
合格ラインは概ね6〜7割（60〜70点/100点換算）。この記事を通じて、確実に得点を積み重ねる力を身につけましょう！
さあ、いよいよ各大問の詳細解説に入りましょう！
セクション4：全大問 完全解説
大問1（法学部Ⅰ）：既約分数の条件と整数探し（難易度★★★☆☆）
【問題文】
分子と分母の和が100となる正の既約分数がある。これを小数であらわして、小数点以下第2位を四捨五入すると0.4となる。このような分数をすべて求めよ。
ただし、正の既約分数は、分子と分母がともに正の整数で、それ以外に公約数をもたない分数のこととする。
【使う公式・定理】
| 公式名・概念 | 内容 |
|---|---|
| 四捨五入の条件 | 小数点以下第2位を四捨五入して0.4になる ⇔ $0.35 \leq \frac{p}{q} < 0.45$ |
| 既約分数の条件 | $\gcd(p, q) = 1$（$p$ と $q$ の最大公約数が1） |
| 和の条件 | $p + q = 100$ |
【解法ステップ】
ステップ① 条件を不等式に翻訳する
分子を $p$、分母を $q$ とおく（$p, q$ は正の整数）。
条件1：$p + q = 100$
条件2：小数点以下第2位を四捨五入すると $0.4$ になる
ステップ② $q = 100 - p$ を代入して不等式を解く
左側の不等式：
$$0.35(100-p) \leq p$$
$$35 - 0.35p \leq p$$
$$35 \leq 1.35p$$
$$p \geq \frac{35}{1.35} = \frac{3500}{135} = \frac{700}{27} \approx 25.93$$
よって $p \geq 26$
右側の不等式：
$$\frac{p}{100-p} < 0.45$$
$$p < 0.45(100-p)$$
$$p < 45 - 0.45p$$
$$1.45p < 45$$
$$p < \frac{45}{1.45} = \frac{4500}{145} = \frac{900}{29} \approx 31.03$$
よって $p \leq 31$
ステップ③ 候補を列挙する
$p \in \{26, 27, 28, 29, 30, 31\}$、対応する $q = 100 - p$
| $p$ | $q$ | $\gcd(p,q)$ | 既約？ |
|---|---|---|---|
| 26 | 74 | 2 | ❌ |
| 27 | 73 | 1 | ✅ |
| 28 | 72 | 4 | ❌ |
| 29 | 71 | 1 | ✅ |
| 30 | 70 | 10 | ❌ |
| 31 | 69 | 1 | ✅ |
ステップ④ 確認
- $\frac{27}{73} \approx 0.3699\ldots \to$ 四捨五入すると $0.4$ ✅
- $\frac{29}{71} \approx 0.4085\ldots \to$ 四捨五入すると $0.4$ ✅
- $\frac{31}{69} \approx 0.4493\ldots \to$ 四捨五入すると $0.4$ ✅（$0.45$ 未満なのでOK）
答え： $\dfrac{27}{73},\quad \dfrac{29}{71},\quad \dfrac{31}{69}$
【藤原先生の解説】
この問題は、「文章に書かれた条件を数式に翻訳する力」が試されています。「四捨五入すると0.4」というのは料理でいえば「だいたい400g」という指定みたいなもの。「だいたい」には必ず幅があって、その幅を不等式で表すのがポイントです。
「小数点以下第2位を四捨五入して0.4になる」ということは、$0.35 \leq \frac{p}{q} < 0.45$ という両側の境界を考えることが重要です。多くの受験生が $0.35 < \frac{p}{q} < 0.45$ と書いてしまいますが、$0.35$ は四捨五入して $0.4$ になりますから $\geq$ が正しい！
🧑 生徒：「$p$ と $q$ の最大公約数を調べるとき、全部割り算しないといけないんですか？もっと楽な方法はありますか？」
👨🏫 藤原先生：「$p + q = 100$ という条件を使う裏技があるよ！$\gcd(p, q) = d$ とおくと、$p = da$, $q = db$ と書けて、$d(a+b) = 100$ が成り立つ。つまり $d$ は $100$ の約数でもあるんだ。例えば $p = 27, q = 73$ のとき、$27 + 73 = 100$ で、もし $\gcd = d > 1$ ならば $d$ が $100$ の約数でかつ $27$ の約数でもあることになる。$27 = 3^3$ なので、$100$ と $27$ の公約数は $1$ しかないから既約確定！このように『和が100の約数』という見方で絞り込めるよ。ユークリッドの互除法 $\gcd(p, q) = \gcd(p, p+q) = \gcd(p, 100)$ を使うのが最速！」
【この大問で身につく力】
条件を不等式に翻訳する力・最大公約数の性質を活用した整数の場合分け力。整数問題の基礎として必須のスキルです。
大問2（法学部Ⅱ）：2次関数の最大・最小と差のグラフ（難易度★★★★☆）
【問題文】
関数 $f(x) = x^2 - 2ax - a^2$ の $0 \leq x \leq 1$ における最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とする。ただし $a$ は $x$ によらない実数とする。
(1) $M(a)$ と $m(a)$ を $a$ であらわせ。
(2) $d(a) = M(a) - m(a)$ とする。$ab$ 平面上に $b = d(a)$ のグラフをかけ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 2次関数の頂点 | $f(x) = (x-a)^2 - 2a^2$ → 頂点 $(a, -2a^2)$ |
| 端点での値 | $f(0) = -a^2$、$f(1) = 1 - 2a - a^2$ |
| 場合分けの基準 | 軸 $x = a$ と区間 $[0, 1]$ の位置関係 |
【解法ステップ】
ステップ① 標準形に変換する
軸：$x = a$、頂点：$(a, -2a^2)$（上に凸ではなく、下に凸の放物線）
ステップ② 端点の値を求める
$$f(0) = -a^2$$
$$f(1) = (1-a)^2 - 2a^2 = 1 - 2a + a^2 - 2a^2 = 1 - 2a - a^2$$
$$f(a) = -2a^2 \quad (\text{頂点の値})$$
ステップ③ 場合分けして最小値 $m(a)$ を求める
下に凸なので、最小値は軸 $x = a$ が区間内にあるかどうかで決まる。
場合A：$a < 0$ のとき（軸が区間の左外）
場合B：$0 \leq a \leq 1$ のとき（軸が区間内）
場合C：$a > 1$ のとき（軸が区間の右外）
ステップ④ 場合分けして最大値 $M(a)$ を求める
下に凸なので、最大値は区間の両端のうち軸から遠い方。
軸 $x = a$ からの距離：$f(0)$ は距離 $|a|$、$f(1)$ は距離 $|1-a|$
場合A・比較：$a < 0$ のとき $|a| = -a$、$|1-a| = 1-a > -a$（$1 > 0$）
よって $f(1)$ の方が軸から遠い → $M(a) = f(1) = 1 - 2a - a^2$
場合B・細分化：$0 \leq a \leq 1$ のとき
軸から $x=0$ までの距離 $a$、$x=1$ までの距離 $1-a$
- $a \leq \frac{1}{2}$ のとき：$1-a \geq a$ → $M(a) = f(0) = -a^2$
確認：$f(0) = -a^2$、$f(1) = 1-2a-a^2$。$f(1) - f(0) = 1 - 2a \geq 0$（$a \leq \frac{1}{2}$）✅
→ $M(a) = f(1) = 1 - 2a - a^2$... 待って、整理し直す
実際に数値代入：$a = 0$ → $f(0) = 0$、$f(1) = 1$。最大は $f(1) = 1$。
$a = 0.5$ → $f(0) = -0.25$、$f(1) = 1-1-0.25 = -0.25$、$f(0.5) = -0.5$。最大は $-0.25$（端点どちらも同じ）
$a \leq \frac{1}{2}$ のとき：$f(0) \geq f(1)$ かどうか → $-a^2 \geq 1-2a-a^2$ ⟺ $0 \geq 1-2a$ ⟺ $a \geq \frac{1}{2}$
よって $0 \leq a < \frac{1}{2}$ のとき $f(1) > f(0)$ → $M(a) = f(1) = 1-2a-a^2$
$a = \frac{1}{2}$ のとき $f(0) = f(1) = -\frac{1}{4}$ → $M(a) = -\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2} < a \leq 1$ のとき $f(0) > f(1)$ → $M(a) = f(0) = -a^2$
場合C：$a > 1$ のとき：$|a| = a > |1-a| = a-1$ → $f(0)$ が遠い → $M(a) = f(0) = -a^2$
まとめ（最大値）：
まとめ（最小値）：
ステップ⑤ $d(a) = M(a) - m(a)$ を求める（(2)）
各場合で計算する：
$a < 0$ のとき：
$0 \leq a < \frac{1}{2}$ のとき：
$a = \frac{1}{2}$ のとき：
確認：$1 - 2 \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - 1 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ ✅
$\frac{1}{2} \leq a \leq 1$ のとき：
$a > 1$ のとき：
$b = d(a)$ のグラフの特徴：
- $a < 0$：$b = 1-2a$（傾き $-2$ の直線）、$a=0$ で $b=1$
- $0 \leq a < \frac{1}{2}$：$b = (a-1)^2$（下に凸の放物線の一部）、$a=0$ で $b=1$、$a=\frac{1}{2}$ で $b=\frac{1}{4}$
- $\frac{1}{2} \leq a \leq 1$：$b = a^2$（上に凸... ではなく下に凸の放物線の右側）、$a=\frac{1}{2}$ で $b=\frac{1}{4}$、$a=1$ で $b=1$
- $a > 1$：$b = 2a-1$（傾き $2$ の直線）、$a=1$ で $b=1$
【藤原先生の解説】
この問題は「場合分け」が命です。まるでスポーツの「守備範囲」みたいなもの——軸が左端より外にいるか、中にいるか、右端より外にいるかで最小値の位置が変わります。さらに最大値も「どちらの端が軸から遠いか」で決まります。
場合分けのコツは「軸の位置と区間の境界を比べること」。 $d(a)$ を求めるときも、最大値・最小値の場合分けをきちんと整合させることが大切。接続点（$a = 0, \frac{1}{2}, 1$）での値が連続しているかを確認しましょう。
🧑 生徒：「場合分けの境界が $a = 0, \frac{1}{2}, 1$ の3つあって、最大値と最小値で場合分けが違うのが混乱します。どうやって整理すればいいですか？」
👨🏫 藤原先生：「そうだよね、これが一番の難所！まず最小値の場合分けは軸の位置だけで決まる：$a<0$、$0\leq a\leq 1$、$a>1$ の3通り。次に最大値の場合分けは『どちらの端が軸から遠いか』で決まる：$|0-a|$ と $|1-a|$ の大小比較で境界は $a = \frac{1}{2}$。この2つの場合分けを表にして交差させるのがプロのやり方！例えば $0 \leq a < \frac{1}{2}$ の範囲では、$m(a) = -2a^2$（軸が区間内）かつ $M(a) = f(1) = 1-2a-a^2$（$x=1$ が遠い）と決まるんだ。最小値の分類と最大値の分類を独立して考えてから合わせることが大切だよ！」
【この大問で身につく力】
場合分けを体系的に整理する力・関数のグラフの連続性を確認する力。法政大学で最も頻出のスキルです。
大問3（法学部Ⅲ）：放物線の交点と頂点の軌跡（難易度★★★★☆）
【問題文】
放物線 $y = x^2 + ax + b$ と $y = x^2 + bx + a$ は、ただ1つの交点を $x$ 軸上にもつ。このとき、2つの放物線の頂点の軌跡を図示せよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 放物線の頂点 | $y = x^2 + px + q$ の頂点は $\left(-\frac{p}{2},\ q - \frac{p^2}{4}\right)$ |
| 交点の条件 | 2曲線の交点：$y$ を等しいとおく |
| $x$ 軸上の点 | $y$ 座標が $0$ |
【解法ステップ】
ステップ① 交点の条件を立てる
$$x^2 + ax + b = x^2 + bx + a$$
$$(a-b)x = a-b$$
$$(a-b)(x-1) = 0$$
よって $a = b$ または $x = 1$
ステップ② $x = 1$ が交点の場合
交点の $x$ 座標は $x = 1$（または $a = b$ のとき無限に多くの交点）
$a \neq b$ のとき、交点は $x = 1$ の1点のみ。$x$ 軸上にあるためには、交点の $y$ 座標が $0$：
$$y = 1^2 + a \cdot 1 + b = 1 + a + b = 0$$
$$\therefore a + b = -1 \quad \cdots (
👨🏫 この記事を書いた人：藤原進之介
**藤原進之介**（数強塾グループ代表）
Gakken・KADOKAWA・ナツメ社・文英堂・旺文社など**大手出版社5社から計9冊**の参考書を刊行している数学・情報Iの専門家。全国の中高生・受験生に向けて、わかりやすく・楽しく・本質的な数学指導を行っています。
**主要著書：**
- 『オールカラー 高校の数学を身近な例からもういちど学びなおす』（ナツメ社）
- 『きめる! 共通テスト情報I』（Gakken）
- 『ライバルに差をつける 情報 I 鉄板の100 題』（KADOKAWA）
- 『共通テスト パターンドリル 情報Ⅰ』（文英堂）
- 『資格試験ムビスタ 藤原のたった９時間でＩＴパスポート 令和８年度版（２０２６年）』（Gakken）
- 『大学JUKEN新書 共通テスト ７日で完成 情報Ⅰ』（旺文社）
- 『藤原のたった9時間で情報I』（Gakken）
- 『藤原進之介の 情報I プログラミング・データの活用が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
- 『藤原進之介の ゼロから始める情報I』（KADOKAWA）
📲 **[プレゼント付き公式LINE（無料登録）](https://lin.ee/30k41AB)** — 無料授業・最新入試情報を配信中！
🎓 **[数強塾オンライン（sukyojuku.com）](https://sukyojuku.com)** — 藤原先生監修のマンツーマン指導
📲 無料プレゼント付き！公式LINEに登録しよう
情報Iや数学に関する有益な情報発信・無料授業の告知をLINEで行っています！
LINEに登録すると受け取れる特典 🎁
- ✅ 数学・情報Iの無料授業動画
- ✅ 入試傾向の最新分析レポート
- ✅ 藤原進之介先生からの限定学習アドバイス
- ✅ 英検合格保証の英論会情報もこちらから
数学が苦手でも大丈夫。一緒に一歩ずつ進んでいきましょう！
🎓 数強塾オンラインでマンツーマン指導を受けよう
藤原進之介の厳選した一流講師が、あなただけのために徹底指導します！
会話しながら、どんな基礎的なことでも根本から理解していこう！
