山梨大学 2022年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事を読めば「山梨大学 数学」が見えてくる！

山梨大学 2022年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、数強塾・日本数学塾代表の藤原進之介が、2022年度山梨大学の数学を丸ごと解剖します。

この記事を読むと、次の3つの価値が得られます：

• ✅ 大問ごとの解法を段階的に理解できる（途中計算一切省略なし）
• ✅ 山梨大学数学の出題傾向と対策が丸わかりになる
• ✅ 合否を分けるポイントと学習ロードマップが明確になる

👨‍🏫 藤原先生より：「山梨大学の数学は『基礎力×丁寧な論述』が合格の鍵！難問は少ないけれど、基礎をしっかり固めていないと意外な落とし穴がある。この記事で一緒に完全攻略しよう！」

セクション2：山梨大学の数学｜入試の全体像

試験形式と基本データ

山梨大学の数学入試は、学部によって試験範囲が異なります。教育学部は「数学Ⅰ・A・Ⅱ・B」、工学部は「数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ」が範囲です。

記述式である点が重要で、「答えだけでなく、どのように考えるのか、途中の計算および説明も書け」と問題文に明記されています。これは採点者に思考プロセスを見せる試験です。

偏差値帯と求められる数学レベル

山梨大学の偏差値帯は概ね50〜55程度で、教科書の発展問題や標準的な入試問題が解けるレベルが求められます。東大・京大のような発想力を問う難問はほぼ出題されず、基礎の徹底理解と正確な計算力があれば高得点が狙えます。

頻出単元ランキング

過去の出題を分析すると、以下の単元が繰り返し登場しています：

他大学との違い・山梨大学の特徴

東大や京大が「思考力・発想力」を重視するのに対し、山梨大学は「基礎概念の正確な理解と丁寧な記述」を重視します。奇をてらった問題は少なく、教科書の例題〜章末問題をしっかり解ける実力があれば、十分に対応できます。

🧑 生徒：「山梨大学の数学って、どんな勉強をすればいいですか？具体的に教えてください！」

👨‍🏫 藤原先生：「まずは青チャート（チャート式 基礎からの数学）で全単元の基礎を固めることが最優先だよ！山梨大学は標準レベルの問題が中心だから、青チャートの例題を全部解けるようにするだけで、かなり得点が安定してくる。特に『微分・積分』と『ベクトル』は毎年のように出るから、この2単元は絶対に仕上げておこう。次のステップとして基礎問題精講 数学（旺文社）で解法パターンを磨くと完璧だよ！」

山梨大学は「基礎を丁寧にやり切った人」が勝てる試験です。焦らず一歩ずつ積み上げていきましょう！

セクション3：2022年度 出題テーマ速報と分析

2022年度 大問別テーマ一覧

教育学部（数学Ⅰ・A・Ⅱ・B）

工学部（数学Ⅰ・A・Ⅱ・B・Ⅲ）

工学部は数学Ⅲが加わり、$y = xe^{-x}$ の接線問題や $\log\left(1+\frac{1}{2x}\right)$ に関する不等式証明など、より高度な問題が出題されています。

2022年度の難易度評価と合格ライン

全体的な難易度は標準〜やや標準。2022年度は対数方程式で絶対値処理が必要な点、積分の面積計算が2段階になる点がやや難しく感じられますが、いずれも基本公式の正しい適用で解決できます。

• 合格ライン目安（教育学部）：60〜70点台（各問の(1)を確実に取ること）
• 得点戦略：問題1の(1)と(2)を確実に正解し、問題2と問題3で(1)の部分点を稼ぐ戦略が有効

セクション4：全大問 問題・解説

大問1（教育学部）：対数・図形・数列の複合問題（難易度★★★☆☆）

大問1-(1)：等差数列の個数と総和（難易度★★☆☆☆）

【問題文】

6以上2022以下の3の倍数の個数を求めよ。また、3の倍数の総和を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① 6以上2022以下の3の倍数を等差数列として捉える

6以上2022以下の3の倍数は $6, 9, 12, \ldots, 2022$ という等差数列です（初項$a_1 = 6$、公差$d = 3$）。

ステップ② 個数を求める

$a_n = 2022$ を解くと：

よって、個数は673個。

ステップ③ 総和を求める

（答）個数：673個、総和：682422

【藤原先生の解説】

等差数列の問題は「個数の数え間違い」が最大の落とし穴。「6から2022まで何個あるか」を求めるとき、$\frac{2022-6}{3}+1$ と計算するのが安全です。これはちょうど「1階から10階まで何フロアあるか？」というビルの問題と同じで、$10-1=9$ ではなく $10$ フロアあるのと同じ発想です。等差数列の個数は必ず $+1$ を忘れずに！

この大問で身につく力：等差数列の一般項と和の公式を素早く使いこなす計算力。数え間違いを防ぐ丁寧さ。

大問1-(2)：絶対値付き対数方程式（難易度★★★☆☆）

【問題文】

方程式 $\log_2|x^2-3x+2| + \log_2|x^2-5x+6| = 2\log_2(x-2)$ を解け。

【使う公式・定理】

🧑 生徒：「絶対値が入った対数方程式って、どうやって解くんですか？場合分けが必要ですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！まず絶対値付き対数で一番大事なのは真数条件の確認だよ。$\log_a|f(x)|$ という形では、絶対値の中が0でなければOK（正にも負にもなれる）。でも今回は右辺に $\log_2(x-2)$ があるから、絶対値なし→ $x-2 > 0$、つまり $x > 2$ が必要！そして因数分解して、$x$ の範囲を $2 < x < 3$ と $x > 3$ で場合分けするんだ。対数の積の法則 $\log_a M + \log_a N = \log_a MN$ を使って整理すると、最終的に $(x-1)(x-3) = 1$ という形になって、$x^2-4x+2=0$ を解くと $x = 2 \pm \sqrt{2}$ が得られるよ。$x > 3$ を満たすのは $x = 2+\sqrt{2} \approx 3.41$ だから、答えは $x = 2+\sqrt{2}$ だね！」

【解法ステップ】

ステップ① 因数分解して真数条件を確認する

右辺の $\log_2(x-2)$ から真数条件：$x - 2 > 0 \implies x > 2$

また、左辺の絶対値の中が0になってはいけないので、$x \neq 1, 2, 3$ が必要。

合わせると定義域は：$2 < x < 3$ または $x > 3$

ステップ② 対数の積の法則を使って整理する

$x > 2$ なので $(x-2)^2 > 0$ より：

ステップ③ 場合分けして解く

[場合1] $2 < x < 3$ のとき：$x-1 > 0$、$x-3 < 0$ なので $(x-1)(x-3) < 0$

$$-(x-1)(x-3) = 1 \implies (x-1)(x-3) = -1 \implies x^2 - 4x + 4 = 0$$
$$\implies (x-2)^2 = 0 \implies x = 2$$

これは $2 < x < 3$ を満たさないので不適。

[場合2] $x > 3$ のとき：$x-1 > 0$、$x-3 > 0$ なので $(x-1)(x-3) > 0$

$$(x-1)(x-3) = 1 \implies x^2 - 4x + 2 = 0$$
$$\implies x = 2 \pm \sqrt{2}$$

$x > 3$ を満たすのは $x = 2 + \sqrt{2} \approx 3.41$ ✅

この大問で身につく力：真数条件の確認、絶対値を含む場合分け処理、対数の性質を駆使した変形力。

大問1-(3)：正三角形と正弦定理（難易度★★★☆☆）

【問題文】

正三角形$ABC$の辺$AC$に点$D$、辺$AB$に点$E$があり、$\angle CBD = 15°$、$\angle BDE = 30°$である。$\dfrac{DE}{BD}$ の値を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① 各角度を求める

正三角形なので $\angle ABC = 60°$。

$\angle CBD = 15°$ なので $\angle EBD = \angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 60° - 15° = 45°$

（点$D$は辺$AC$上にあり、$E$は辺$AB$上にある）

ステップ② $\triangle BDE$ の角度を確定させる

$\triangle BDE$ において：
- $\angle EBD = 45°$
- $\angle BDE = 30°$
- $\angle BED = 180° - 45° - 30° = 105°$

ステップ③ 正弦定理を適用する

$\triangle BDE$ に正弦定理を適用：

ステップ④ $\sin 105°$ を加法定理で計算する

$$\sin 105° = \sin(60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45°$$
$$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

ステップ⑤ 最終計算

有理化する：

この大問で身につく力：角度の読み取り、正弦定理の適用、加法定理と有理化の組み合わせ計算力。

大問2（教育学部）：放物線と面積の最大・最小（難易度★★★★☆）

大問2の問題設定の整理

【問題文】

$xy$ 平面上の放物線 $C$：$y = 4-x^2$ について、$C$ 上の点 $P(-t,\ 4-t^2)$、$Q(t,\ 4-t^2)$（$0 < t < 2$）、および $C$ と $x$ 軸の交点 $A(-2,\ 0)$ を考える。

🧑 生徒：「放物線と三角形の面積を積分で求めようとしたら、式が複雑になってしまいました。どう立式すればいいですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「落ち着いて！$\triangle APQ$ の面積は、底辺 $PQ$ の長さ × 高さ ÷ 2 で求めるんだ。$P$、$Q$ は同じ $y$ 座標 $4-t^2$ を持つ点だから、$PQ$ の長さは $Q_x - P_x = t-(-t) = 2t$ だよね。高さは $A$ の $y$ 座標 $0$ と $PQ$ の $y$ 座標 $4-t^2$ の差、つまり $4-t^2$ になる。だから $S(t) = \dfrac{1}{2} \times 2t \times (4-t^2) = t(4-t^2)$ と一発で立式できるよ！積分する前に、まず幾何学的に面積を考えるのが鉄則だね。」

大問2-(1)：三角形 APQ の面積の最大値（難易度★★★☆☆）

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① 放物線と $x$ 軸の交点を求める

点 $A$ の座標は $(-2,\ 0)$ と確定。

ステップ② 面積 $S(t)$ を式で表す

$PQ$ の長さ：$Q_x - P_x = t - (-t) = 2t$

$A$ から $PQ$ までの高さ：$(4-t^2) - 0 = 4-t^2$

ステップ③ 微分して増減表を作る

$S'(t) = 0$ を解く：

ステップ④ 最大値を計算する

大問2-(2)：面積 $T = T_1 + 2T_2$ の最小値（難易度★★★★☆）

【問題文】

線分 $PQ$ と放物線 $C$ で囲まれた部分の面積を $T_1$、線分 $AP$ と $C$ で囲まれた部分の面積を $T_2$ とする。$T = T_1 + 2T_2$ が最小となる $t$ の値と最小値を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① $T_1$ を求める

$P(-t,\ 4-t^2)$、$Q(t,\ 4-t^2)$ は同じ高さ（水平な直線 $y = 4-t^2$ 上）なので：

待って、符号に注意！曲線が直線の上にあるので：

ステップ② 直線 $AP$ の方程式を求める

$A(-2,\ 0)$、$P(-t,\ 4-t^2)$ を通る直線：

ステップ③ $T_2$ を求める

$A(-2,\ 0)$ から $P(-t,\ 4-t^2)$ の間（$-2 \leq x \leq -t$）で、放物線が直線の上：

被積分関数を整理する：

よって：

注意：$-2 \leq x \leq -t$ のとき $(x+2) \geq 0$、$-(x+t) \geq 0$ なので被積分関数 $\geq 0$ ✓

$u = x+2$（$du = dx$）と置くと $x = -2 \to u = 0$、$x = -t \to u = 2-t$：

$$= \int_0^{2-t}\left[(2-t)u - u^2\right]\,du = \left[\frac{(2-t)u^2}{

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