法政大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事を読めば得られること

法政大学 2012年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾グループ代表の藤原進之介です。この記事では、2012年度に実際に出題された法政大学の数学をすべての大問について丁寧に解説します。

この記事を読めば、以下の3つが手に入ります：

• ✅ 2012年度全大問の完全解法と途中計算（絶対値グラフ・正弦定理・確率・期待値・二次方程式・整数問題・線形計画法・空間ベクトルまで網羅）
• ✅ 法政大学数学の出題傾向と合否を分けるポイント（何を優先して得点すればよいかが明確になる）
• ✅ 合格に向けた具体的な学習ロードマップと参考書ガイド（今日から使える勉強計画）

👨‍🏫 藤原先生より：
「法政大学の数学は、基礎を丁寧に積み上げてきた人が確実に得点できるように作られています。"難しい問題を解く力"よりも"標準問題を取りこぼさない力"が問われる入試です。一緒に一つひとつ確認していきましょう！」

セクション2：法政大学の数学——入試の全体像

試験形式・基本情報

法政大学の一般入試における数学は、60分・マークシート＋記述混在形式で実施されます。2012年度は学部によって解答する大問が異なるセット形式が採用されており、各試験冊子に共通問題（ⅠとⅡ）と学部別問題（Ⅲ）が含まれています。

偏差値帯と求められる数学レベル

法政大学はMARCH（明治・青山学院・立教・中央・法政）に属し、偏差値は学部によって55〜65程度です。数学では高校数学の標準的な内容をすべて習得していることが前提となります。特定の超難問を解く力は不要ですが、「標準問題を確実に、素早く正確に解く力」が求められます。

過去10年の頻出単元ランキング

法政大学の数学では、以下の単元が繰り返し出題されています：

他大学との違い

東大・京大が「論述の緻密さ」や「思考の飛躍を論理で補う力」を求めるのに対し、法政大学は「教科書レベルの解法を確実に実行できるか」を問います。早慶が奇問・難問で差をつけようとするのとも異なり、法政大学はいわば"丁寧に勉強してきた人への信頼"を試すような出題です。

会話①

🧑 生徒：「法政大学の数学で一番大事な単元はどれですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「確率と二次関数は毎年のように出るから、最優先で固めよう！特に確率は余事象・条件付き確率・期待値の3つをしっかり押さえること。公式で言うと、期待値は $E(X) = \sum_{k} k \cdot P(X=k)$ だし、余事象は $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ だね。この2つを使いこなせるだけで、確率問題の8割は対応できるよ！」

基礎を丁寧に積み上げた人が必ず報われる、それが法政大学数学の本質です。焦らず一歩ずつ進みましょう！

セクション3：2012年度 出題テーマ速報と分析

2012年度 出題テーマ一覧（大問別）

2012年度の法政大学数学は、複数の入試日程・学部向けの問題が出題されており、本記事では大問1（216番冊子）・大問2（208番冊子）・大問3（207番冊子）を扱います。

合格ラインと得点戦略

法政大学の数学で合格を勝ち取るには、60分で6〜7割（60〜70点前後）の得点が目安です。共通問題（ⅠとⅡ）で確実に得点し、学部別問題（Ⅲ）で上乗せするのが基本戦略です。

2012年度は確率（大問1-Ⅲ）の(3)(4)が難度高めで差がつきやすい設問でした。ここで手が止まるより、先に他の小問を確実に解く「取れるところから取る」作戦が有効です。

セクション4：全大問 問題・解説

大問1-Ⅰ：絶対値を含む関数のグラフと直線の交点（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$f(x) = |2x^2 - 10x + 9|$ とおく。

(1) $y = f(x)$ のグラフをかけ。

(2) $y = f(x)$ のグラフと直線 $y = ax + 1$ が4つの共有点をもつような、実数の定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】（小問1）

ステップ① 内部の二次式 $g(x) = 2x^2 - 10x + 9$ の零点を求める：

ステップ② $g(x)$ の符号を確認する：

• $x \leq \dfrac{5-\sqrt{7}}{2}$ または $x \geq \dfrac{5+\sqrt{7}}{2}$ のとき：$g(x) \geq 0$ なので $f(x) = 2x^2 - 10x + 9$
• $\dfrac{5-\sqrt{7}}{2} < x < \dfrac{5+\sqrt{7}}{2}$ のとき：$g(x) < 0$ なので $f(x) = -2x^2 + 10x - 9$

ステップ③ グラフの特徴を押さえる：

$g(x) = 2x^2 - 10x + 9 = 2\left(x - \dfrac{5}{2}\right)^2 - \dfrac{7}{2}$ より、頂点は $\left(\dfrac{5}{2}, -\dfrac{7}{2}\right)$。

絶対値をとると、$x$ 軸より下の部分（頂点付近）が $x$ 軸に関して折り返され、頂点が $\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{7}{2}\right)$ となる上に凸の放物線の弧が中央部分に現れる。

【解法ステップ】（小問2）

ステップ① 4つの共有点を持つ状況を考える。

$y = f(x)$ のグラフは、中央部分（$\dfrac{5-\sqrt{7}}{2} < x < \dfrac{5+\sqrt{7}}{2}$）は上に凸、両端（それ以外）は下に凸の放物線です。直線 $y = ax+1$ が4交点を持つためには、「中央の上に凸の部分で2交点、両端の下に凸の部分で各1交点ずつ」というパターンが考えられます。

ステップ② 中央部分（$-2x^2 + 10x - 9 = ax + 1$）での交点条件を整理する：

この二次方程式が $\left(\dfrac{5-\sqrt{7}}{2},\ \dfrac{5+\sqrt{7}}{2}\right)$ の範囲に2つの実数解を持つ条件を求めます。

$h(x) = 2x^2 + (a-10)x + 10$ とおき、軸の位置を $x_0 = \dfrac{10-a}{4}$ とする。

条件は：
- 判別式 $D > 0$：$h(x) = 0$ に2実数解が存在する
- 両端での $h(x)$ の符号が正：解が区間内に収まる
- 軸が区間内にある：$\dfrac{5-\sqrt{7}}{2} < \dfrac{10-a}{4} < \dfrac{5+\sqrt{7}}{2}$

ステップ③ 各条件を計算する：

まず、$h\!\left(\dfrac{5-\sqrt{7}}{2}\right) > 0$ を計算する。

$\dfrac{5-\sqrt{7}}{2}$ は $2x^2-10x+9=0$ の解なので $2\left(\dfrac{5-\sqrt{7}}{2}\right)^2 = 10 \cdot \dfrac{5-\sqrt{7}}{2} - 9$。

よって：

これが $> 0$ より：

同様に $h\!\left(\dfrac{5+\sqrt{7}}{2}\right) > 0$ より：

軸の条件：$\dfrac{5-\sqrt{7}}{2} < \dfrac{10-a}{4} < \dfrac{5+\sqrt{7}}{2}$ より $10-2\sqrt{7} < \dfrac{10-a}{2} \cdot 2$、整理して：

判別式：$D = (a-10)^2 - 80 > 0$ より $(a-10)^2 > 80$、つまり $a < 10 - 4\sqrt{5}$ または $a > 10 + 4\sqrt{5}$。

ステップ④ 全条件を取りまとめる：

$-2\sqrt{7} \approx -5.29$、$\dfrac{-(5+\sqrt{7})}{9} \approx -0.85$、$10 - 4\sqrt{5} \approx 0.56$ に注意して：

【藤原先生の解説】

絶対値つき関数と直線の交点問題は、「グラフを正確に描いてから、場合分けで条件を立てる」という手順が命です。料理に例えると、「材料の下ごしらえ（グラフを描く）をしっかりやってから調理（条件の整理）に入る」イメージです。いきなり計算に飛び込まず、まず視覚化する習慣をつけましょう。

会話②

🧑 生徒：「中央部分の放物線に2交点を持たせる条件で、なぜ $h\!\left(\dfrac{5 \pm \sqrt{7}}{2}\right) > 0$ という条件が必要なんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！これは二次関数と区間の関係の典型パターンだよ。$h(x) = 2x^2 + (a-10)x + 10$ の2つの解が区間 $\left(\dfrac{5-\sqrt{7}}{2},\ \dfrac{5+\sqrt{7}}{2}\right)$ の中に両方あるためには、区間の両端点での $h$ の値が正（＝解は区間より外にはみ出ていない）かつ軸が区間内にあること、が必要なんだ。グラフの『下に凸の放物線が区間の両端より上にある』イメージを持てると、公式を暗記しなくても自然に導けるよ！」

この大問を解くことで、「絶対値・場合分け・判別式を組み合わせる総合力」 が鍛えられます。

大問1-Ⅱ：正弦定理を使った三角形の辺と面積（難易度★★★☆☆）

【問題文】

$\angle A = 90°$ である直角三角形 $ABC$ において、$D$ は辺 $BC$ 上の点で、$\triangle ABD$ の3辺の長さの和が $10\sqrt{3}$、かつ $\sin\angle BAD : \sin\angle ABD : \sin\angle ADB = 4 : 5 : 6$ を満たすとする。

(1) $AB$ の長さを求めよ。　(2) $\triangle ABD$ の面積を求めよ。　(3) $\triangle ACD$ の面積を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】（小問1）

ステップ① $\triangle ABD$ に正弦定理を適用する。

$\triangle ABD$ において、辺と対角の関係（正弦定理）より：

比が $\sin\angle BAD : \sin\angle ABD : \sin\angle ADB = 4 : 5 : 6$ なので：

ステップ② $BD = \dfrac{4}{6}AB = \dfrac{2}{3}AB$、$DA = \dfrac{5}{6}AB$ と表せる。

ステップ③ 周の長さの条件 $AB + BD + DA = 10\sqrt{3}$ に代入する：

【解法ステップ】（小問2）

ステップ① $AB = 4\sqrt{3}$ より $BD = \dfrac{2}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$、$DA = \dfrac{5}{6} \cdot 4\sqrt{3} = \dfrac{10\sqrt{3}}{3}$。

ステップ② $\triangle ABD$ に余弦定理を適用して $\cos\angle ABD$ を求める：

ステップ③ $\sin\angle ABD = \sqrt{1 - \left(\dfrac{9}{16}\right)^2} = \sqrt{1 - \dfrac{81}{256}} = \sqrt{\dfrac{175}{256}} = \dfrac{5\sqrt{7}}{16}$

ステップ④ $\triangle ABD$ の面積：

【解法ステップ】（小問3）

ステップ① $\angle A = 90°$ なので、$\triangle ABC$ は直角三角形。$BC$ は斜辺で $D$ はその上の点。

$\cos\angle ABD = \dfrac{9}{16}$ であり、$\angle ABC = \angle ABD$ だから：

ステップ② $CD = BC - BD = \dfrac{64\sqrt{3}}{9} - \dfrac{8\sqrt{3}}{3} = \dfrac{64\sqrt{3}}{9} - \dfrac{24\sqrt{3}}{9} = \dfrac{40\sqrt{3}}{9}$

ステップ③ $D$ から $AB$ への垂線の長さは $\triangle ABD$ の高さに等しい。$\triangle ABD$ の面積を $AB$ を底辺とすると：

ステップ④ $\triangle ACD$ と $\triangle ABD$ は底辺 $AD$ を共有しているわけではなく、高さの比で考えます。$D$ から直線 $AC$ への距離を $h'$ とする。$\angle A = 90°$ より、$AB \perp AC$ なので $h = h'$（Dから ACへの距離 = DからABへの距離）。

別の方針：$\triangle ABD : \triangle ACD$ の面積比は底辺比（$BD : DC$）に等しい（同じ頂点 $A$ を共有するため）。

【藤原先生の解説】

「正弦定理で辺の比を求めてから周の長さ条件を使う」というのは、受験でよく見るパターンです。スポーツに例えると、まず選手の身長・体重比（辺の比）を把握してから、チーム全体のデータ（周の長さ）に当てはめるようなイメージです。

この大問で身につく力：正弦定理・余弦定理・面積の比による計算を組み合わせる総合的な三角形の解法力。

大問1-Ⅲ：さいころの目の余りに関する確率（難易度★★★★☆）

【問題文】

さいころを3回投げるとき、1回目・2回目・3回目に出る目をそれぞれ $k_1, k_2, k_3$ とおく。さらに $k_1$、$k_1+k_2$、$k_1+k_2+k_3$ を4で割った余りをそれぞれ $n_1, n_2, n_3$ とおく。

(1) $n_1 = 1$　(2) $n_2 = 1$　(3) $n_1, n_2, n_3$ がすべて等しい　(4) $n_1, n_2, n_3$ が互いに異なる

【使う公式・定理】

【解法ステップ】（小問1）

ステップ① $k_1 \in \{1,2,3,4,5,6\}$ を4で割った余りで分類する：

余りが0：$k_1 = 4$（1個）、余りが1：$k_1 = 1, 5$（2個）、余りが2：$k_1 = 2, 6$（2個）、余りが3：$k_1 = 3$（1個）

ステップ② $n_1 = 1$ となる確率：

$$P(n_1 = 1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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