横浜市立大学 2012年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で横浜市立大学の数学を完全攻略しよう！

横浜市立大学 2012年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、2012年度（平成24年度）に出題された全3大問を、数強塾・日本数学塾代表の藤原進之介先生が徹底的に解説します。

この記事を読むと、以下の3つが手に入ります：

• ✅ 2012年度全大問の完全解法：テイラー展開・ベクトル・広義積分まで、途中計算一切省略なしで丁寧に解説
• ✅ 横浜市立大学数学の出題傾向と合格戦略：頻出単元・難易度・時間配分のリアルな分析
• ✅ 合否を分けるポイントの把握：どこで差がつくか、どこで部分点を取るかを明示

👨‍🏫 藤原先生より：「横浜市立大学の数学は、標準レベルの問題をしっかり積み上げた人が必ず報われる試験です。この解説を読んで、解法の「なぜ」を理解してくれれば、確実に合格に近づきます。さあ、一緒にやっていこう！」

セクション2：横浜市立大学の数学 入試の全体像

試験形式と基本情報

横浜市立大学の数学の最大の特徴は、「小問集合[I]で広い範囲を網羅し、[II][III]で記述力を試す」という二段構えです。[I]は答えのみを書けばよいため部分点がなく、正確な計算力が求められます。一方で[II][III]は過程を丁寧に書くことで部分点を狙えます。

偏差値帯と求められる数学レベル

• 国際教養学部・国際商学部・データサイエンス学部：偏差値60前後。青チャートやフォーカスゴールドを仕上げたレベルで十分戦える。
• 医学部医学科：偏差値70前後。1対1対応の演習や大学への数学月刊誌レベルの演習が必要。

過去10年の頻出単元ランキング

他大学との違い

東大・京大が「論述の美しさ・発想力」を重視するのに対し、横浜市立大学は「正確な計算力と標準的な解法の確実な習得」を重視しています。つまり、奇抜な解法は不要で、教科書レベルの公式を正しく使いこなせるかを問う問題が多いです。広義積分のように「定義からきちんと扱う」姿勢を見せる問題は、横浜市立大学らしい出題といえます。

🧑 生徒：「横浜市立大学の数学って、どんな対策をすれば一番効果的ですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「まず[I]の小問集合で安定して点を取ることが最優先だよ。2012年度でいえば、マクローリン展開（テイラー展開の$x=0$版）、群数列、行列の固有値・対角化、ベクトルの内積計算が問われている。これらはどれも標準的な手法で、青チャートやフォーカスゴールドを1冊仕上げれば対応できるレベルだ。逆にいえば、ここで落としてしまうと一気に苦しくなるから、計算ミスなく確実に解けるまで練習を繰り返すことが大切だよ！」

セクション3：2012年度 出題テーマ速報と分析

2012年度 大問別テーマ一覧

難易度評価と合格ライン

2012年度の合格ラインは全体の60〜70%と推定されます。[I]の小問集合は各問独立しているため、得意なものから確実に得点する戦略が有効です。[II]はベクトルの標準問題で完答を狙える、[III]はIIIをきちんと解いてIIIにつなげる流れを意識しましょう。

前年度との傾向変化

2011年度と比較して、2012年度は広義積分（極限を含む積分）が[III]で正面から問われた点が特徴的です。これは大学院レベルの概念を入試で扱う横浜市立大学らしい出題であり、受験生が面食らいやすいポイントです。しかし定義通りに極限を丁寧に計算すれば解ける問題で、本質を理解しているかが試されています。

セクション4：全大問 完全解説

大問[I]：小問集合（難易度総合 ★★★☆☆）

I：マクローリン展開（難易度 ★★★☆☆）

【問題文】

$a$ を正の定数として，関数 $f(x)$ を

とおく。$f(x)$ を微分して，多項式

を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① $f(0)$ を求める：

（$a > 0$ より $\sqrt{a^2} = a$）

ステップ② $f'(x)$ を求める：

$g(x) = \sqrt{a^2 + x^2} - x$ とおくと，

ここで，$\sqrt{a^2+x^2}-x$ と $x - \sqrt{a^2+x^2} = -(\sqrt{a^2+x^2}-x)$ の関係を使うと，

ステップ③ $f''(x)$ を求める：

ステップ④ $f'''(x)$ を求める：

積の微分則を使って，

ステップ⑤ マクローリン展開の式に代入する：

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは、「マクローリン展開そのものは知っているか？」を問うのではなく、「$f'(x)$の計算を正しくできるか」にあります。

特に $f'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$ という美しい形になることを見抜けるかどうかがカギです。料理で例えるなら、「複雑な食材（合成関数）を手際よく調理（微分）して、シンプルな料理（きれいな形）に仕上げる」ようなイメージです。

また、$f''(0) = 0$ になることで $x^2$ の項が消えるため、展開式がすっきりする点も美しいですね。

🧑 生徒：「$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$ になるのはなんでですか？分子に $x - \sqrt{a^2+x^2}$ が出てきて、分母の $\sqrt{a^2+x^2}-x$ と消えるのが不思議で…」

👨‍🏫 藤原先生：「いい気づき！$g(x) = \sqrt{a^2+x^2} - x$ として $f(x) = \log g(x)$ とおくと、合成関数の微分で $f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$ になるよ。$g'(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - 1 = \frac{x - \sqrt{a^2+x^2}}{\sqrt{a^2+x^2}}$ だから、$g'(x)/g(x)$ を計算すると分子の $x - \sqrt{a^2+x^2} = -(\sqrt{a^2+x^2}-x) = -g(x)$ となって、見事に $g(x)$ が約分で消えるんだ。だから $f'(x) = \frac{-g(x)/\sqrt{a^2+x^2}}{g(x)} = \frac{-1}{\sqrt{a^2+x^2}}$ になるよ！」

【この大問で身につく力】 合成関数の微分を繰り返し行う計算力と、式を整理してシンプルな形を見つける「式変形センス」が鍛えられます。

I：群数列（難易度 ★★★☆☆）

【問題文】

数列 $\{a_n\}$

を次のような群に分け，第 $m$ 群には $m$ 個の数が入るようにする。

（i）数列 $\{a_n\}$ において $\dfrac{q}{p}$ は第何項か。（$p, q$ は正整数，約分しない）

（ii）第100項 $a_{100}$ を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ（i）$\dfrac{q}{p}$ の項数】

ステップ① 第 $m$ 群の規則を確認する：

第 $m$ 群は $\dfrac{1}{m},\ \dfrac{2}{m-1},\ \cdots,\ \dfrac{k}{m+1-k},\ \cdots,\ \dfrac{m}{1}$ の形になっている。

分子 $+$ 分母 $= m+1$ が一定であることに注目！

ステップ② $\dfrac{q}{p}$ がどの群に属するかを特定する：

$\dfrac{q}{p}$ の分子 $+$ 分母 $= q + p$

第 $m$ 群では（分子＋分母）$= m+1$ だから，$\dfrac{q}{p}$ は第 $m = (p+q-1)$ 群に属する。

ステップ③ 第 $m$ 群の中で何番目かを求める：

第 $(p+q-1)$ 群は $\dfrac{1}{p+q-1},\ \dfrac{2}{p+q-2},\ \cdots$ の順だから，分子が $q$ の項は第 $q$ 番目。

ステップ④ 全体で何項目かを求める：

第1群から第$(p+q-2)$群までの総項数：

これに $q$ を加えて，

【解法ステップ（ii）第100項 $a_{100}$】

ステップ① 第1群〜第 $m$ 群の総項数を求める：

ステップ② 第100項がどの群に入るかを特定する：

$m=13$ のとき：$\dfrac{13 \cdot 14}{2} = 91$

$m=14$ のとき：$\dfrac{14 \cdot 15}{2} = 105$

よって、第100項は第14群に含まれる。

ステップ③ 第14群の何番目かを求める：

第13群までで91項あるから、第100項は第14群の

ステップ④ 第14群の9番目の要素を求める：

第14群は $\dfrac{1}{14},\ \dfrac{2}{13},\ \dfrac{3}{12},\ \cdots,\ \dfrac{k}{15-k},\ \cdots$

$k=9$ を代入して：

【藤原先生の解説】

群数列の問題を解くコツは、まず「各群のルール（規則性）を言語化する」ことです。この問題では「分子＋分母が常に $m+1$」という規則を見抜けば、あとは算数的な計算だけです。ゲームでいえば「攻略法を見つければあとは作業」という感覚ですね！

【この大問で身につく力】 数列の規則性を発見する観察力と、総項数計算の正確さが鍛えられます。

I：行列の固有値・対角化（難易度 ★★★☆☆）

【問題文】

2次の正方行列 $A$ が

をみたすとする。このとき，自然数 $n$ に対して $A^n\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$ を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① 与えられた2つの条件を確認する：

ここで $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$，$\vec{v_2} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，$\vec{u_1} = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，$\vec{u_2} = \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$。

ステップ② $\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$ を $\vec{v_1},\vec{v_2}$ の線形結合で表す：

連立方程式：$3\alpha + \beta = 5$，$2\alpha + \beta = 3$

これを解くと $\alpha = 2$，$\beta = -1$。

ステップ③ $A\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$ を計算する：

ステップ④ 固有値を見つけて $A^n$ を計算する：

$\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ の関係をより深く探ろう。

$A\vec{v_1} = \vec{u_1}$ かつ $A\vec{v_2} = \vec{u_2}$ を行列形式で書くと：

$P = \begin{pmatrix}3 & 1\\2 & 1\end{pmatrix}$，$\det(P) = 3-2 = 1$，$P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1\\-2 & 3\end{pmatrix}$

ステップ⑤ 固有値を求める：

よって固有値は $\lambda_1 = 1$（固有ベクトル $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$），$\lambda_2 = -1$（固有ベクトル $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$）。

ステップ⑥ $\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$ を固有ベクトルで展開する：

$4\gamma_1 + 2\gamma_2 = 5$，$3\gamma_1 + \gamma_2 = 3$

より，$\gamma_1 = \frac{1}{2}$，$\gamma_2 = \frac{3}{2}$。

$$= \begin{pmatrix}2\3/2\end{pmatrix} + \frac{3(-1)^n}{2}\begin{pmatrix}2\1\end{pmat

📲 無料プレゼント付き！公式LINEに登録しよう

情報Iや数学に関する有益な情報発信・無料授業の告知をLINEで行っています！

LINEに登録すると受け取れる特典 🎁

• ✅ 数学・情報Iの無料授業動画
• ✅ 入試傾向の最新分析レポート
• ✅ 藤原進之介先生からの限定学習アドバイス
• ✅ 英検合格保証の英論会情報もこちらから

👉 プレゼント付き公式LINE ▶ 今すぐ登録（無料）

数学が苦手でも大丈夫。一緒に一歩ずつ進んでいきましょう！

🎓 数強塾オンラインでマンツーマン指導を受けよう

藤原進之介の厳選した一流講師が、あなただけのために徹底指導します！
会話しながら、どんな基礎的なことでも根本から理解していこう！

👉 数強塾オンライン公式サイト（sukyojuku.com）