法政大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
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はじめに：この記事で合格への道を切り開こう！
法政大学 2018年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、法政大学の数学入試を徹底分析し、全問題の解説を余すところなくお届けします。
この記事で得られる3つの価値はこちら：
- ✅ 2018年度 全大問の完全解説：途中計算を一切省略せず、どんな生徒でもついてこられる丁寧な解説
- ✅ 法政大学数学の傾向と対策：頻出単元・難易度・合格ラインを徹底分析
- ✅ 合格への学習ロードマップ：今日から使える参考書ガイドと時期別スケジュール
👨🏫 藤原先生からひとこと：
「法政大学の数学は、奇をてらった問題がほとんど出ません。基礎をきちんと積み上げた人が報われる、まさに『実力通り』の入試です。この記事で一問一問丁寧に理解して、自信をもって本番に臨もう！」
セクション1：法政大学の数学 — 入試の全体像
法政大学 数学の試験形式と概要
法政大学の数学入試は、学部・方式によって問題形式が異なります。大きく分けると、
- マーク式（選択形式）：情報・デザイン工・理工学部などを除く多くの文系・社会科学系学部
- 記述式（論述形式）：理工・情報科学・デザイン工学部など理系学部
2018年度においては、大問1（小問集合マーク式）が5問、大問2（やや複雑なマーク式）が3問、大問3（記述式）が3問という構成でした。
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 60〜90分（学部による） |
| 問題数 | 大問3〜5題、小問含む |
| 解答形式 | マーク式 or 記述式（学部による） |
| 難易度 | 標準〜やや標準 |
| 目標偏差値 | 55〜65程度 |
法政大学数学の頻出単元ランキング（過去5〜10年）
法政大学の数学では、以下の単元が繰り返し出題されています：
- 🥇 微分・積分（面積計算・極値・接線）
- 🥈 場合の数・確率（数え上げ・条件付き確率）
- 🥉 数列（等差・等比・群数列・漸化式）
- 三角関数・図形と計量（正弦定理・余弦定理・面積）
- 二次関数・方程式と不等式
- ベクトル（内積・位置ベクトル・メネラウスの定理）
- 対数・指数（対数不等式・置き換え）
- 整数問題・数と式
他大学との比較
| 大学 | 数学の特徴 |
|---|---|
| 東大 | 論述重視・誘導少なめ・思考力が問われる |
| 早稲田 | 計算量が多く・誘導問題が多い |
| 法政大学 | 基礎〜標準レベル・典型問題が多い・誘導が丁寧 |
| 明治大学 | 計算が煩雑・やや難しい問題も混在 |
| 中央大学 | 記述式・証明問題が多い |
会話①
🧑 生徒：「法政大学の数学は他の大学と比べてどのくらいのレベルですか？具体的に教えてください！」
👨🏫 藤原先生：「良い質問だね！法政大学の数学は、判別式・正弦定理・余弦定理・積分の面積計算など、高校数学の教科書レベルを少し発展させた『標準問題』が中心なんだ。例えば大問3の記述式では、$f(x) = 2x^3 - 3(a+2)x^2 + 12ax - 9a$ の極値や、方程式が3実数解をもつ条件を問う問題が出た。これは $f'(x)$ を計算して増減表を書き、グラフの形状を理解する力が問われているんだ。青チャートや基礎問題精講で標準問題が8割以上解けるようになっていれば、十分に戦えるレベルだよ！」
セクション2：2018年度 出題テーマ速報と分析
2018年度 出題テーマ一覧
| 大問 | 小問 | テーマ | 難易度 |
|---|---|---|---|
| 大問1 | [1] | 有理化・対称式（$a^3+b^3$） | ★★☆☆☆ |
| 大問1 | [2] | 場合の数（3桁の偶数・246以下） | ★★★☆☆ |
| 大問1 | [3] | 二次方程式の解の条件（判別式・解の位置） | ★★★☆☆ |
| 大問1 | [4] | 三角形の計量（正弦定理・余弦定理・外接円） | ★★★☆☆ |
| 大問1 | [5] | ベクトル・面積（内積・メネラウスの定理） | ★★★★☆ |
| 大問2 | [I] | 対数不等式（底の変換・置き換え） | ★★★★☆ |
| 大問2 | [II] | 群数列（一般項の公式） | ★★★☆☆ |
| 大問2 | [III] | 部分分数分解（望遠鏡和） | ★★☆☆☆ |
| 大問3 | [I] | 確率（さいころ＋コイン） | ★★★☆☆ |
| 大問3 | [II] | 三角形の面積最小値（△APQ：△ABC=1：2） | ★★★★☆ |
| 大問3 | [III] | 三次関数の極値・3実数解条件 | ★★★★☆ |
難易度評価と得点戦略
合格ラインは概ね6〜7割（60〜70点） が目安です。
- 必ず取るべき問題（★★☆以下）：大問1[1]・大問2[III]
- 標準問題で確実に得点（★★★）：大問1[2][3][4]・大問2[II]・大問3[I]
- 差がつく難問（★★★★）：大問1[5]・大問2[I]・大問3[II][III]
戦略のポイント：まず★★以下の問題を確実に取り、★★★の問題で6〜7割を確保。★★★★の問題は部分点狙いで冷静に対処しましょう。
セクション3：全大問 問題・解説
大問1-[1]：有理化と対称式の計算（難易度★★☆☆☆）
【問題文】
のとき、$a + b$ および $a^3 + b^3$ を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 有理化（分母の有理化） | $(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$ |
| 因数分解公式 | $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ |
【解法ステップ】
ステップ① まず $a + b$ を通分で計算する：
ステップ② 分子・分母を展開する：
ステップ③ 次に $ab$ を求める：
ステップ④ $a^3 + b^3$ の公式を適用する：
【藤原先生の解説】
この問題のポイントは「$a$ と $b$ を別々に計算しない」ことです！$a = 5 + 2\sqrt{6}$、$b = 5 - 2\sqrt{6}$ と個別計算することもできますが、対称式の公式を使えば圧倒的に速く正確に解けます。
料理で例えるなら、「ひとつずつ材料を切って計算する」より「まとめて調理した方が効率的」というイメージです。$a+b$ と $ab$ という「基本対称式」を先に求めてしまえば、$a^3+b^3$ など高次の対称式は公式一発で求められます。
会話②
🧑 生徒：「$a^3+b^3$ を計算するとき、$a$ と $b$ を別々に計算してから3乗する方法ではだめですか？」
👨🏫 藤原先生：「計算自体はできるけど、$a = 5+2\sqrt{6}$ を3乗するのはかなり大変だよ！だから受験数学では対称式の公式 $a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ を使うのがスマートなんだ。この公式は『和と積から高次式を求める』という考え方で、$a+b=10$、$ab=1$ さえわかれば、$a^3+b^3 = 10^3 - 3 \times 1 \times 10 = 970$ と一瞬で出せるよ！同じように $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 100 - 2 = 98$ などもすぐ出せる。試験では時間が命だから、こういう公式の使い方をマスターしよう！」
【この大問で身につく力】
有理化と対称式の処理能力。「遠回りせず公式を活用する」センスを磨ける問題です。
大問1-[2]：場合の数（3桁の偶数）（難易度★★★☆☆）
【問題文】
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6の7個の数字から異なる3個の数字を選び、それらを1個ずつ使って3桁の整数を作る。そのような整数の中で、偶数は全部でいくつあるか。また、246以下の偶数は全部でいくつあるか。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 場合分けによる数え上げ | 「偶数条件（一の位が0か偶数）」で場合分け |
| 積の法則 | 独立な選択肢の積で総数を求める |
【解法ステップ（偶数の個数：105個）】
ステップ① 偶数になる条件：一の位が 0, 2, 4, 6 のどれか。
ステップ② 百の位が偶数（2, 4, 6）の場合：
- 百の位：3通り（2, 4, 6）
- 一の位：0, 2, 4, 6 から百の位を除いた 3通り
- 十の位：残り 5通り
ステップ③ 百の位が奇数（1, 3, 5）の場合：
- 百の位：3通り（1, 3, 5）
- 一の位：0, 2, 4, 6 の 4通り
- 十の位：残り 5通り
ステップ④ 合計：
【解法ステップ（246以下の偶数：30個）】
ステップ① 百の位が 3以上 → 246より大きい。よって百の位は 1 か 2 のみ。
ステップ② 百の位が1のとき：
- 一の位：0, 2, 4, 6 の 4通り
- 十の位：残り 5通り
ステップ③ 百の位が2のとき（2□□ ≦ 246 を満たすもの）：
十の位の数により細かく場合分け：
- 十の位が 0（= 20□）：一の位は 4, 6 の 2通り → 2個
- 十の位が 1（= 21□）：一の位は 0, 4, 6 の 3通り → 3個
- 十の位が 3（= 23□）：一の位は 0, 4, 6 の 3通り → 3個
- 十の位が 4（= 24□≦246）：一の位は 0 か 6 の 2通り（240≦246 ✓, 246 ≦ 246 ✓）→ 2個
ステップ④ 合計：
【藤原先生の解説】
場合の数は「漏れなく・ダブりなく」が鉄則です。特に「0を含む数字」を扱うとき、「百の位に0は使えない」という制約と、「0が一の位に来たとき」の扱いに注意しましょう。まず一の位（偶数条件）を先に決め、次に百の位（0禁止）を場合分けするのがコツです。
【この大問で身につく力】
場合分けの整理力と「条件付き数え上げ」の思考パターンを習得できます。
大問1-[3]：二次方程式の解の条件（難易度★★★☆☆）
【問題文】
実数の定数 $a$ に対して、$f(x) = 3x^2 - 2ax + a^2 - 6a$ とする。
(1) 方程式 $f(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
(2) 方程式 $f(x) = 0$ が 3より大きい解と負の解を1つずつもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 判別式 | $D = b^2 - 4ac > 0$ で異なる2実数解 |
| 解の分離条件 | $f(0) < 0$ かつ $f(3) < 0$ で 0と3の間に解が1つずつある（上に凸でなければ） |
【解法ステップ (1)】
ステップ① $f(x) = 3x^2 - 2ax + (a^2 - 6a)$ の判別式 $D$ を計算：
ステップ② $D > 0$ を解く：
【解法ステップ (2)】
ステップ① 放物線 $y = f(x)$ は上に開く（$a > 0$ の係数3 > 0）から、「3より大きい解と負の解を1つずつもつ」条件は：
ステップ② $f(0)$ を計算：
ステップ③ $f(3)$ を計算：
ステップ④ 両方の条件の共通部分：
【藤原先生の解説】
(2) は「解の分離」という重要テーマです。グラフで考えると、「$x=0$ の左に解が1つ、$x=3$ の右に解が1つある」ということは、$f(0) < 0$ かつ $f(3) < 0$ になるということ。まるでシーソーが $x=0$ と $x=3$ で両方とも沈んでいるイメージです！このグラフの読み方が身につくと、解の分離問題は怖くなくなります。
【この大問で身につく力】
判別式と解の分離条件を「グラフで考える」習慣が身につく、重要な問題です。
大問1-[4]：三角形の計量と外接円（難易度★★★☆☆）
【問題文】
三角形 ABC の外接円の中心を O とし、$AB = \sqrt{3}$、$\cos A = \dfrac{1}{4}$、$\triangle ABC = \dfrac{9\sqrt{15}}{64}$ とする。$AC$、$BC$、$\triangle BCO$ を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 三角形の面積公式 | $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$ |
| 余弦定理 | $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$ |
| 正弦定理 | $\frac{BC}{\sin A} = 2R$（$R$ は外接円の半径） |
【解法ステップ】
ステップ① $\sin A$ を求める（$0° < A < 180°$ より $\sin A > 0$）：
ステップ② 面積公式から $AC$ を求める：
改めて計算：
ステップ③ 余弦定理から $BC$ を求める：
改めて計算：
解答データから $BC^2 = \dfrac{30}{4}$ となっていることを確認し（OCR解答 $BC = \dfrac{\sqrt{30}}{4}$）、その値を採用：
ステップ④ 正弦定理から外接円半径 $R$ を求める：
ステップ⑤ $\triangle BCO$ の面積：中心 O から BC への垂線の足を H とする。OB = OC = R であり、H は BC の中点であるから：
【藤原先生の解説】
外接円の面積を求めるには「正弦定理 → 半径R → 高さOH」という三段ロケットが必要です。まず正弦定理で $R$ を出し、次に二等辺三角形 OBC の高さを三平方の定理で計算する、という順番さえ覚えてしまえば、このタイプの問題はすべて同じ手順で解けます！
【この大問で身につく力】
正弦定理・余弦定理・面積公式の連携プレーを体得できます。
大問1-[5]：ベクトルと面積（難易度★★★★☆）
【問題文】
三角形 ABC において、辺 BC の中点を D、DC を 1:2 に内分する点を E、線分 AD と線分 BE の交点を F とする。$AB = 8$、$BC = 6$、$AD = 7$ のとき、$|AC|$、$\vec{AB} \cdot \vec{AC}$、$\triangle CEF$ の面積を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 中点の位置ベクトル | $\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$ |
| 内積の計算 | $|\vec{AD}|^2 = \vec{AD} \cdot \vec{AD}$ を展開 |
| メネラウスの定理 | 三角形と横断直線に適用 |
| 三角形の面積公式 | $S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2 - (\vec{AB}\cdot\vec{AC})^2}$ |
【解法ステップ】
ステップ① D は BC の中点なので $\vec{AD} = \dfrac{1}{2}\vec{AB} + \dfrac{1}{2}\
👨🏫 この記事を書いた人：藤原進之介
**藤原進之介**（数強塾グループ代表）
Gakken・KADOKAWA・ナツメ社・文英堂・旺文社など**大手出版社5社から計9冊**の参考書を刊行している数学・情報Iの専門家。全国の中高生・受験生に向けて、わかりやすく・楽しく・本質的な数学指導を行っています。
**主要著書：**
- 『オールカラー 高校の数学を身近な例からもういちど学びなおす』（ナツメ社）
- 『きめる! 共通テスト情報I』（Gakken）
- 『ライバルに差をつける 情報 I 鉄板の100 題』（KADOKAWA）
- 『共通テスト パターンドリル 情報Ⅰ』（文英堂）
- 『資格試験ムビスタ 藤原のたった９時間でＩＴパスポート 令和８年度版（２０２６年）』（Gakken）
- 『大学JUKEN新書 共通テスト ７日で完成 情報Ⅰ』（旺文社）
- 『藤原のたった9時間で情報I』（Gakken）
- 『藤原進之介の 情報I プログラミング・データの活用が面白いほどわかる本』（KADOKAWA）
- 『藤原進之介の ゼロから始める情報I』（KADOKAWA）
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