横浜国立大学 1997年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

セクション1：はじめに

横浜国立大学 1997年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、数強塾グループ代表・藤原進之介が、1997年度（平成9年度）に出題された横浜国立大学の数学全大問を、基礎から丁寧に・ステップバイステップで解説します。

この記事で得られる3つの価値：

• ✅ 各大問の解法・公式を体系的にマスターできる
• ✅ 「なぜそう解くのか」という本質的理解が身につく
• ✅ 合否を分けたポイントと得点戦略がわかる

👨‍🏫 藤原先生より：「横浜国立大学の数学は『標準〜やや難』の良問ぞろい。丸暗記では太刀打ちできない。でも、一つひとつの考え方を丁寧に積み上げていけば、必ず解けるようになるよ。一緒に攻略していこう！」

セクション2：横浜国立大学の数学 入試の全体像

試験形式・基本情報

偏差値帯と求められる数学レベル

横浜国立大学理工系の偏差値は概ね 55〜62 程度。数学の難易度は 「標準〜やや難」 で、東大・京大のような超難問は少ないものの、計算力と論理的な記述力の両方が要求される。特に工学系では積分計算・ベクトル・数列が重点的に問われる。

過去10年の頻出単元ランキング（横浜国立大学数学）

他大学との違い・特徴

• 東大：抽象的な論述・証明問題が多く、思考力重視
• 東工大：計算量が非常に多く、正確さと速さが命
• 横浜国立大学：「標準的な解法を確実に使いこなす力」 が問われる。奇問・難問は少ないが、計算の精度と記述の論理性が合否を左右する

会話1：横浜国立大学数学の全体像について

🧑 生徒：「横浜国立大学の数学って、どの単元を重点的に対策すればいいですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「一番大切なのは積分とベクトルだよ！特に積分は毎年のように出て、面積計算では $\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$ の形を確実に処理できないといけない。ベクトルは内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ を使って長さや角度を求める問題が多い。この2つを青チャートや1対1対応の演習でしっかり固めることが、横浜国立大学数学攻略の近道だよ！」

💪 横浜国立大学の数学は「土台の徹底」が勝負。まずは基本公式を自分のものにしよう！

セクション3：1997年度 出題テーマ速報と分析

1997年度 出題テーマ一覧

難易度総評と合格ラインの目安

1997年度は全体的に計算量が多く、特に大問3の[1]・[2]は高い思考力を要求する。合格ラインは概ね6割（60%）程度と見られる。大問1と大問2の標準問題で確実に得点し、大問3の難問で差をつけるのが理想的な戦略。

💪 1997年度のテーマは多彩！各単元の「核心」を押さえれば得点できる構成だよ！

セクション4：全大問 問題・解説

大問1-[1]：数列の漸化式（二次方程式と根の変換）（難易度★★★☆☆）

【問題文】

二つの数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ は次の条件 [ア],[イ] をみたす。

• [ア] $a_1 = 5$, $b_1 = 3$
• [イ] $x^2 - a_n x + b_n = 0$ の二つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$x^2 - a_{n+1} x + b_{n+1} = 0$ の二つの解は $\alpha+1, \beta+1$ である。

(1) $a_{n+1}$ を $a_n$ を用いて表せ。
(2) 一般項 $a_n$, $b_n$ をnを用いて表せ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① 解と係数の関係を立てる：

$x^2 - a_n x + b_n = 0$ の解が $\alpha, \beta$ なので

ステップ② $a_{n+1}$ を求める（(1)の解答）：

$x^2 - a_{n+1} x + b_{n+1} = 0$ の解は $\alpha+1, \beta+1$ なので

ステップ③ $a_n$ の一般項を求める（(2)の解答前半）：

$\{a_n\}$ は初項 $a_1 = 5$、公差 $2$ の等差数列だから

ステップ④ $b_{n+1}$ を求める：

ステップ⑤ $b_n$ の一般項を求める（(2)の解答後半）：

【藤原先生の解説】

この問題のポイントは「解と係数の関係」をすぐに使えるかどうか。料理で例えると、食材（$\alpha$, $\beta$）が変わったとき、料理名（$a_n$: 和、$b_n$: 積）がどう変わるかを追いかけるイメージだよ。解が $+1$ ずつシフトすると、和は $+2$、積はより複雑に変わる。この「変化の法則」を漸化式で捉えるのが核心。

会話2：解と係数の関係の使い方について

🧑 生徒：「$b_{n+1}$ の漸化式を求めるとき、どうやって $\alpha, \beta$ を消去するんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「解と係数の関係 $\alpha + \beta = a_n$、$\alpha\beta = b_n$ を使って直接置き換えるんだよ。$(\alpha+1)(\beta+1) = \alpha\beta + (\alpha+\beta) + 1 = b_n + a_n + 1$ という展開をするだけ。ここで $a_n = 2n+3$ を代入すれば $b_{n+1} = b_n + 2n+4$ という漸化式が得られる。あとは $\sum_{k=1}^{n-1}(2k+4) = 2\cdot\frac{(n-1)n}{2} + 4(n-1) = n(n-1) + 4(n-1) = (n-1)(n+4)$ を計算して $b_1=3$ に足すだけだよ！」

【この大問で身につく力】

解と係数の関係を漸化式に応用する力と、シグマ計算の正確さが同時に鍛えられる良問。

💪 「解と係数の関係」は数列問題の隠れた武器。使えるようになると問題の見え方が変わるよ！

大問1-[2]：四面体のベクトルと面積（難易度★★★★☆）

【問題文】

四面体 $OABC$ において $|\vec{OA}| = 3$, $|\vec{OB}| = 2$, $|\vec{OC}| = 1$, $\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 60°$。線分 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $P$、線分 $PC$ の中点を $Q$ とする。

(1) $\vec{OQ}$ を $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ で表せ。
(2) $|\vec{OQ}|$ を求めよ。
(3) 三角形 $APQ$ の面積を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① 内積を計算する：

ステップ② $\vec{OP}$ を求める（$AB$ を $2:1$ に内分）：

ステップ③ $\vec{OQ}$ を求める（$PC$ の中点）：

ステップ④ $|\vec{OQ}|^2$ を計算する（(2)の解答）：

共通分母 $36$ で計算：

ステップ⑤ 三角形 $APQ$ の面積を求める（(3)の解答）：

共通分母36：$= \frac{225}{36} + \frac{16}{36} + \frac{9}{36} - \frac{60}{36} + \frac{12}{36} - \frac{45}{36} = \frac{157}{36}$

$\vec{OB}-\vec{OA}$ の各成分との内積：

改めて整理：

$$(\vec{OB}-\vec{OA})\cdot\left(-\frac{5}{6}\vec{OA}+\frac{1}{3}\vec{OB}+\frac{1}{2}\vec{OC}\right)$$
$$= -\frac{5}{6}(\vec{OB}\cdot\vec{OA}) + \frac{1}{3}|\vec{OB}|^2 + \frac{1}{2}(\vec{OB}\cdot\vec{OC}) + \frac{5}{6}|\vec{OA}|^2 - \frac{1}{3}(\vec{OA}\cdot\vec{OB}) - \frac{1}{2}(\vec{OA}\cdot\vec{OC})$$
$$= -\frac{5}{6}\cdot3 + \frac{1}{3}\cdot4 + \frac{1}{2}\cdot1 + \frac{5}{6}\cdot9 - \frac{1}{3}\cdot3 - \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}$$
$$= -\frac{5}{2} + \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + \frac{15}{2} - 1 - \frac{3}{4}$$

共通分母12：$= \frac{-30+16+6+90-12-9}{12} = \frac{61}{12}$

面積 $S$：

【藤原先生の解説】

空間ベクトルの問題は「すべてを $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ で表す」という一点突破の方針が大切。内積の計算は最初に全部やっておくと後が楽になるよ。面積計算の公式 $S = \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a}\cdot\vec{b})^2}$ は絶対に覚えておくこと！

【この大問で身につく力】

空間ベクトルの表現力と内積計算の精度が徹底的に鍛えられる。

💪 ベクトルは「基底で表す」が鉄則！内積を先に全部求めてから計算しよう！

大問1-[3]：共通接線と積分面積（難易度★★★★☆）

【問題文】

$C_1: y = x^3 - 3x$、$C_2: y = -x^2 - x + 5$

(1) 点 $(1, 0)$ に関して $C_1$ と点対称な放物線 $C_3$ の方程式を求めよ。
(2) $C_1$ と $C_2$ との共通接線 $C_4$ の方程式を求めよ。
(3) $C_2$ と $C_4$ とで囲まれる図形の面積を求めよ。

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① $C_3$ の方程式を求める（(1)の解答）：

点 $(1,0)$ に関して $C_1$ 上の点 $(t, t^3-3t)$ の対称点は $(2-t, -(t^3-3t))$。

$x = 2-t$、$y = -(t^3-3t)$ とおくと $t = 2-x$ なので

しかし問題文では「$C_3$ は放物線」とあるので、$C_1$ の点対称は三次曲線になる。

※OCRの「放物線」という記述に疑問があるが、問題文通りに進める。実際は $C_1$ の点 $(1,0)$ に関する対称形は三次曲線 $C_3: y = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$。

ステップ② 共通接線 $C_4$ を求める（(2)の解答）：

$C_1: y = x^3 - 3x$ 上の点 $(s, s^3-3s)$ における接線の傾きは

接線の方程式：$y = (3s^2-3)(x-s) + s^3-3s = (3s^2-3)x - 2s^3$

$C_2: y = -x^2 - x + 5$ との共通接線の条件：$C_2$ 上の点 $(t, -t^2-t+5)$ での接線の傾き $= -2t-1$

同じ接線なので：
$$3s^2 - 3 = -2t - 1 \quad \cdots (A)$$

また接線が $C_2$ 上の点 $(t, -t^2-t+5)$ を通るので：
$$-t^2 - t + 5 = (3s^2-3)t - 2s^3 \quad \cdots (B)$$

かつ $C_1$ と $C_2$ に同じ

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