横浜国立大学 1999年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！
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はじめに：この記事で得られる3つの価値
横浜国立大学 1999年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、数強塾グループ代表の藤原進之介先生が、1999年度（平成11年度）横浜国立大学の数学問題を全大問にわたって丁寧に解き明かします。
- ✅ 各大問の解法アプローチと使うべき公式を完全理解できる
- ✅ 標準〜やや難レベルの計算問題を段階的なステップで攻略できる
- ✅ 合否を分けたポイントと効率的な学習ロードマップが手に入る
👨🏫 藤原先生より：「1999年度の横浜国立大学の数学は、凸関数・確率・最大値問題・複素数など、幅広いテーマが揃っています。一見難しそうに見えますが、正しい手順と公式を知れば必ず解けます。一緒に一歩ずつ攻略していきましょう！」
【セクション2】横浜国立大学の数学：入試の全体像
試験形式・基本情報
横浜国立大学の数学入試は、学科によって問題セットが異なります（大問1〜3の3セットが確認されており、それぞれ出題内容が若干異なります）。標準的な情報は以下の通りです。
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 試験時間 | 約90〜120分 |
| 大問数 | 学科により4〜5問 |
| 解答形式 | 記述式（論述・途中計算必須） |
| 偏差値帯 | 55〜62程度（理工・経営学部等） |
偏差値帯と求められる数学レベル
横浜国立大学は旧帝大ほど難しくはありませんが、標準〜やや難の問題をしっかりと解ける実力が必要です。特に計算力と論述力の両方が求められます。「答えを出せばOK」ではなく、過程を正確に記述する力が合否を分けます。
過去10年の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）
| 順位 | 単元 | 出題頻度 |
|---|---|---|
| 1位 | 微分・積分（面積・最大最小） | ★★★★★ |
| 2位 | 確率（場合の数・条件付き確率） | ★★★★☆ |
| 3位 | 複素数・複素平面 | ★★★★☆ |
| 4位 | 数列・漸化式 | ★★★☆☆ |
| 5位 | 図形と方程式（軌跡・領域） | ★★★☆☆ |
| 6位 | 不等式の証明 | ★★★☆☆ |
| 7位 | 関数・凸性 | ★★★☆☆ |
他大学との違い・特徴
- 東京大学：論証・証明重視、抽象度が高い問題が多い
- 京都大学：発想力・独創性を問う難問が多い
- 横浜国立大学：計算力と定石の応用力を重視。公式をしっかり使いこなせるかどうかが鍵。工学系の影響もあり、具体的な数値計算が多い。
🧑 生徒：「横浜国立大学の数学って、どんな力が特に必要ですか？」
👨🏫 藤原先生：「横浜国立大学の数学は『知っている解法パターンを正確に実行できるか』が最大のポイントだよ。例えば、凸関数の条件は $f''(x) < 0$（上に凸）または $f''(x) > 0$（下に凸）を確認すること、確率問題では余事象と包除原理を使いこなすこと、複素数では $|z| = 1$ 条件の変換が頻出。まずは青チャート（チャート式 基礎からの数学）で全単元の基礎を固めて、次に1対1対応の演習で入試標準問題を鍛えるのが王道ルートだよ！」
この大学の数学の本質は「標準パターンを確実に使いこなす力」にあります。まずは基礎の徹底から始めましょう！
【セクション3】1999年度 出題テーマ速報と分析
1999年度 大問別出題テーマ一覧
大問1（文系・理系共通型）
| 問番号 | テーマ | 難易度 |
|---|---|---|
| [1] | 関数の凸性・極値条件 | ★★★★☆ |
| [2] | 確率（ランダムウォーク） | ★★★☆☆ |
| [3] | 条件付き最大値・グラフ・面積 | ★★★★☆ |
| [4] | 放物線の接線・面積 | ★★★☆☆ |
大問2
| 問番号 | テーマ | 難易度 |
|---|---|---|
| 問題1 | 絶対値の不等式証明 | ★★★☆☆ |
| 問題2 | 絶対値を含む曲線で囲まれた面積 | ★★★★☆ |
| 問題3 | 4次方程式の実数解の個数 | ★★★★★ |
| 問題4 | 複素数の累乗・和 | ★★★★☆ |
大問3
| 問番号 | テーマ | 難易度 |
|---|---|---|
| [1] | 4次方程式の実数解の個数（面積含む） | ★★★★★ |
| [2] | 二項係数の不等式証明 | ★★★★★ |
| [3] | 対数関数の曲線で囲まれた面積 | ★★★★☆ |
| [4] | 複素平面・メビウス変換 | ★★★★★ |
| [5] | 曲線上の点と回転体の体積 | ★★★★☆ |
1999年度の特徴と合格ライン
1999年度は複素数・不等式証明・4次方程式の解の個数など、難度の高い問題が目立ちます。一方で確率（ランダムウォーク）や放物線の接線など、取り組みやすい問題も混在しています。
得点戦略：まず確率問題と放物線の接線の問題で確実に得点し、複素数や4次方程式の問題は部分点を狙うという戦略が有効です。合格ラインは全体の50〜60%程度と推定されます。
1999年度は難易度のばらつきが大きい年です。取れる問題を確実に取ることが合格への鍵です！
【セクション4】全大問 問題・解説
大問1-[1]：関数の凸性と極値条件（難易度★★★★☆）
【問題文】
$f(x) = ax^2 + (5-a)^2 x - 2$ について、次の問いに答えよ。
(1) 異なる2つの実数 $x_1$ と $x_2$ について、
となるための定数 $a$ についての条件を求めよ。
(2) (1)の条件が満たされているとする。
で定義される関数 $g(t)$ が、$-1 < t < 0$ と $0 < t < 1$ でひとつずつ極値をとるための定数 $a$ についての条件を求めよ。
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 上に凸の条件（凸関数） | $\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} < f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$ が成立 ⟺ $f''(x) < 0$ |
| 2次関数の凸性 | $f(x) = ax^2 + bx + c$ が上に凸 ⟺ $a < 0$ |
| 極値条件 | $g'(t) = 0$ の解が各区間に1つずつ存在 |
【解法ステップ】
(1) 凸条件を求める
ステップ① 与えられた不等式の意味を確認する。
これは $f(x)$ が上に凸（concave）であることの定義です。
ステップ② $f(x) = ax^2 + (5-a)^2 x - 2$ の第2次導関数を求める。
ステップ③ 上に凸の条件は $f''(x) < 0$（つまり $a \neq 0$ の場合、$a < 0$）、そして $f(x)$ が2次関数（$a \neq 0$）であること。
ただし $a = 0$ の場合は $f(x) = 25x - 2$（1次関数）となり、1次関数では
となって等号が成立するため、条件を満たさない。
答え：$a < 0$
(2) g(t)の極値条件を求める
ステップ① $f(x) = ax^2 + (5-a)^2 x - 2$ を代入して $g(t)$ を計算する。
ステップ② $g(t) = (t-1)f(t+1) + (t+1)f(t-1)$ を展開する。
ステップ③ 各項を整理する。$(t^2-1)$ の因子に注目：
$(5-a)^2$ の項：
定数項：
ステップ④ $g(t)$ をまとめる：
ステップ⑤ $g'(t)$ を求める：
ステップ⑥ 極値条件の設定：
$g(t)$ が $-1 < t < 0$ と $0 < t < 1$ でそれぞれ1つずつ極値をとるためには、$g'(t) = 0$ が $-1 < t < 0$ と $0 < t < 1$ にそれぞれ1つずつ実数解をもつ必要があります。
まず $g'(0) = -2(a+2) = 0$ のとき $a = -2$ は特別なケース。
$g'(t)$ は $t$ の2次式（$a < 0$）。$a \neq 0$ のとき：
条件：
- $h(0) = -2(a+2) < 0$（つまり $a > -2$）かつ $h(-1) > 0$、$h(1) > 0$、または
- $h(0) > 0$ かつ $h(-1) < 0$、$h(1) < 0$
$a < 0$ の条件下で：
- $a < 0$ のとき $h(0) < 0$ ⟺ $a > -2$、すなわち $-2 < a < 0$
判別式 $= 81 - 96 = -15 < 0$ なので $h(1) > 0$ 常に成立。
$h(-1) > 0$ ⟺ $a^2 - 11a + 26 < 0$ ⟺ $\frac{11 - \sqrt{121-104}}{2} < a < \frac{11 + \sqrt{17}}{2}$
$a < 0$ の範囲では $\frac{11-\sqrt{17}}{2} \approx \frac{11-4.12}{2} \approx 3.44 > 0$ なので、$h(-1) > 0$ の範囲と $a < 0$ は重ならない。
したがって $-2 < a < 0$ のとき、$h(0) < 0$、$h(1) > 0$、$h(-1) < 0$ となり、$h(t)$ は $-1 < t < 0$ と $0 < t < 1$ にそれぞれ1つずつ実数解をもちます。
（$a < -2$ の場合も確認が必要だが、$h(0) > 0$ のとき $a < 0$ と $h(-1), h(1)$ の符号から解が $-1 < t < 1$ の外にある場合を排除すると、$a < -2$ では条件を満たさない。）
答え：$-2 < a < 0$
【藤原先生の解説】
🧑 生徒：「(1)の不等式って、どういう意味ですか？凸関数と何か関係があるんですか？」
👨🏫 藤原先生：「いい質問！この不等式はまさに上に凸（concave）の定義そのものなんだよ。イメージは『山型の関数』。2点 $x_1$、$x_2$ の関数値の平均より、その中点での関数値の方が大きい、ということ。2次関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ では $f''(x) = 2a$ だから、上に凸の条件は $f''(x) < 0$、つまり $a < 0$ と同値だよ。これは2次関数の凸性判定の基本定理だね！」
この問題は「凸関数の定義 ⟺ 2次の係数の符号」という本質的な理解を問うています。丸暗記ではなく、意味から理解することで応用が効くようになります。
凸関数の条件は「山型か谷型か」という視覚的イメージと結びつけると忘れません！
大問1-[2]：確率（ランダムウォーク）（難易度★★★☆☆）
【問題文】
$x$ 軸上を移動する点 P がある。P は原点から出発し、サイコロを1回投げるごとに、1か2の目が出たら負の方向に1進み、3以上の目が出たら正の方向に2進む。サイコロを7回投げたとき、次の確率を求めよ。
(1) P が途中で $x = 3$ に立ち寄る確率
(2) P が途中で $x = 6$ に立ち寄る確率
(3) P が途中で $x = 3$ にも $x = 6$ にも立ち寄る確率
(4) P が途中で $x = 3$ にも $x = 6$ にも立ち寄らない確率
【使う公式・定理】
| 公式名 | 内容 |
|---|---|
| 各回の確率 | 1か2の目：$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$（$-1$ 移動）、3以上：$P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$（$+2$ 移動） |
| 包除原理 | $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ |
| 余事象 | $P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$ |
【解法ステップ】
ステップ① 各回の確率を確認する。
- 1か2の目が出る（$-1$ 移動）：確率 $p = \frac{1}{3}$
- 3以上の目が出る（$+2$ 移動）：確率 $q = \frac{2}{3}$
7回の試行で、$-1$ 移動が $k$ 回、$+2$ 移動が $7-k$ 回起きたとき、最終位置は：
ステップ② $x = 3$ に達する条件を考える。
位置 $x = 3$ に達するためには、その時点までの移動で $x = 3$ となる必要がある。
$n$ 回後の位置が3になるとき：$-k_n + 2(n - k_n) = 3$ ⟹ $2n - 3k_n = 3$ ⟹ $k_n = \frac{2n-3}{3}$
$n = 3$ のとき $k_3 = 1$：3回のうち $-1$ が1回、$+2$ が2回 → 位置 $= -1 + 4 = 3$ ✓
$n = 6$ のとき $k_6 = 3$：6回のうち $-1$ が3回、$+2$ が3回 → 位置 $= -3 + 6 = 3$ ✓
他にも $n = 9$（7回以内では無理）などがある。
また「途中で立ち寄る」なので、最終的な7回後でなく途中経路での訪問が問題になります。
ステップ③ $x = 3$ に立ち寄る確率（(1)）
$x = 3$ に立ち寄るタイミングを考えます。
最初に $x = 3$ に到達するのは $k$ 回（$-1$ 移動）と $m$ 回（$+2$ 移動）で $k + m \leq 7$、$2m - k = 3$。
$m = k + 3$ なので、最短で $k = 0, m = 3$（3回で到達）。
$x = 3$ に到達するためのパスを列挙します。途中経路で3に来るためのすべての経路を考えます。
7回の試行で $+2$ が $m$ 回、$-1$ が $n$ 回（$m + n = 7$）
位置は $2m - n = 2m - (7-m) = 3m - 7$
$x=3$ を途中経路のどこかで通る確率を求めます。
この問題は全経路の列挙が現実的です。$n$ 回後の位置を追います。
1回のステップは $+2$（確率 $\frac{2}{3}$）または $-1$（確率 $\frac{1}{3}$）。
$x = 3$ に初めて到達する経路を数えます：
- 3ステップで到達（$+2, +2, -1$ の並び替えで $x=3$ を最初に踏む）：
- $(+2, +2, -1)$：位置の変化 $0 \to 2 \to 4 \to 3$。3に到達 ✓
- $(+2, -1, +2)$：$0 \to 2 \to 1 \to 3$。3に到達 ✓
- $(-1, +2, +2)$：$0 \to -1 \to 1 \to 3$。3に到達 ✓
確率 = $3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{1}{3} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$
- 5ステップで初めて到達（3ステップで到達せず、5ステップで初めて $x=3$）：
5回で $+2$ が $m$ 回、$-1$ が $n$ 回、$m+n=5$、$2m-n=3$ ⟹ $m=\frac{8}{3}$（整数でない）→ 5ステップでは $x=3$ に到達不可。
5ステップで $x = 3$：$3m - 5 = 3$ → $m = \frac{8}{3}$：整数でないので不可能。
- 7ステップで初めて到達（7回全部使ってちょうど3に到達）：
$3m - 7 = 3$ → $m = \frac{10}{3}$：整数でないので不可能。
したがって、$x = 3$ に立ち寄るのは必ず最初の3ステップ以内（他のステップ数では $x=3$ に到達できない）。
$x = 3$ に途中で立ち寄る確率 = 最初の3ステップで $x = 3$ に立ち寄る確率
🧑 生徒：「$x = 3$ に達するステップ数がなぜ3だけなんですか？」
👨🏫 藤原先生：「$n$ ステップで $x = 3$ に達するには $2m - k = 3$（$m$ が $+2$ の回数、$k$ が $-1$ の回数、$m+k=n$）が必要で、これを解くと $m = \frac{n+3}{3}$ となる。これが整数になるのは $n \equiv 0 \pmod{3}$、つまり $n = 3, 6, 9, \ldots$ の場合だよ。7回の試行では $n = 3$ か $n = 6$ でのみ可能だね。$n = 6$ のときは $m = 3, k = 3$ で最終位置 $= 6 - 3 = 3$ になるけど、それ以前に $x = 3$ を通らない経路があるかどうかも考慮が必要だよ。包除原理をうまく使って解いていこう！」
$x = 6$ への到達（(2)）：
$n$ ステップで $x = 6$：$2m - k = 6$、$m + k = n$ → $m = \frac{n+6}{3}$、整数になるのは $n = 6$（$m=4, k=2$）または $n = 3$ は $m=3, k=0$（$-1$なし）→ 位置 $= 6$ ✓
- $n = 3$（$+2$ 3回）：$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$
- $n = 6$（$+2$ 4回、$-1$ 2回）かつ最初の3ステップで $x = 6$ を経由しない：
6ステップで $x = 6$（$m=4, k=2$）の並び替え：$\binom{6}{2} = 15$ 通り、確率 $= 15 \times \left(\frac{2}{3}\right)^4 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 15 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{9} = \frac{240}{729} = \frac{80}{243}$
