横浜国立大学 2006年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

はじめに：この記事で得られること

横浜国立大学 2006年度 数学 過去問解説へようこそ！数強塾・日本数学塾代表の藤原進之介です。この記事では、横浜国立大学 2006年度の数学過去問を徹底解説します。

この記事を読むことで、次の3つの価値が得られます：

• ✅ ベクトルと領域の考え方：「$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$」型の点の存在領域問題を、図形的感覚と計算を組み合わせて完全に理解できる
• ✅ 絶対値を含む関数の積分：場合分けが必要な曲線と直線に囲まれた面積問題の処理手順をマスターできる
• ✅ 定積分の部分積分・置換積分：対数関数や三角関数の積分技術を体系的に習得できる

👨‍🏫 藤原先生からひとこと：「横浜国立大学の数学は、基礎をしっかり積み上げた人が報われる試験です。難問で焦るより、標準問題を確実に解く力を磨くことが合格への近道！この記事で、一問一問の本質を一緒につかんでいきましょう！」

【セクション2】横浜国立大学の数学：入試の全体像

試験形式と基本データ

横浜国立大学の数学入試は、学部・学科によって試験形式が異なる点が特徴的です。理工系（理学部・工学部・都市科学部など）では記述式の答案作成が求められ、数学的な論述力と計算の正確さの両方が問われます。

偏差値帯と求められる数学レベル

横浜国立大学の理工系学部の偏差値は概ね 55〜65 であり、東大・京大・東工大ほどの難問は出ませんが、単純な計算で終わる問題は少なく、論理的な記述や場合分けの整理が必要な問題が多いのが特徴です。

「公式を覚えて当てはめれば解ける」というレベルを超え、「なぜこの方法が使えるのか」を理解していないと、試験本番で崩れてしまいます。

過去10年の頻出単元ランキング

横浜国立大学数学の出題傾向を分析すると、以下の単元が繰り返し出題されています：

他大学との違い・特徴

• 東京大学：高度な論述力・発想力が必要。誘導が少なく、自力で方針を立てる力が必要。
• 東京工業大学：純粋に難易度が高い計算量・発想量が必要。
• 横浜国立大学：工学系らしい計算重視の問題が多い。発想よりも、確実な計算処理と場合分けの整理が勝負を決める。

つまり、横浜国立大学では「天才的なひらめき」よりも「丁寧な計算と論理整理」が合否を分けます。

👨‍🏫 藤原先生コメント

🧑 生徒：「横浜国立大学の数学って、どんな勉強法が一番効果的ですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「横浜国立大学の数学の本質は『計算の正確さ』と『場合分けの丁寧さ』にあるよ。たとえば、積分で絶対値が入った問題では、$x \geq 1$ と $x < 1$ の場合に丁寧に分けて計算しなければいけない。これは料理に例えると、食材（公式）を知っているだけじゃなくて、切り方・火加減（場合分け・手順）まで身についていないと美味しい料理（正解）はできないのと同じだよ。青チャートやフォーカスゴールドで基礎を固めたあと、1対1対応の演習で標準〜やや難の問題パターンを体系的に覚えていくのがオススメだよ！」

横浜国立大学の数学は、基礎力と丁寧な計算力があれば必ず点が取れる試験です。着実に積み上げていきましょう！

【セクション3】2006年度 出題テーマ速報と分析

2006年度 出題テーマ一覧（大問別）

今回解説する問題は以下の2セットです（OCRデータより）：

大問1（前期試験系）

大問4（後期試験系）

難易度評価と合格ラインの考察

2006年度の数学全体の難易度は標準〜やや難です。大問1の(3)と大問2（面積の場合分け）が最大の難所。これらが完答できれば、かなりの高得点が期待できます。

合格目標得点率：60〜70%（2問構成であれば、各問で確実に部分点を取ることが重要）

一歩ずつ確実に解き進めれば、合格点は十分狙えます！

【セクション4】全大問 問題・解説

大問1：ベクトルと点の存在領域（難易度★★★★☆）

【問題文】

平面上に $\triangle OAB$ があり、$OA = 5$, $OB = 6$, $AB = 7$ を満たしている。$s$, $t$ を実数とし、点 $P$ を

によって定める。次の問いに答えよ。

(1) $\triangle OAB$ の面積を求めよ。

(2) $s$, $t$ が $s \geq 0$, $t \geq 0$, $1 \leq s + t \leq 2$ を満たすとき、点 $P$ が存在しうる部分の面積を求めよ。

(3) $s$, $t$ が $s \geq 0$, $t \geq 0$, $1 \leq 2s + t \leq 2$, $s + 3t \leq 3$ を満たすとき、点 $P$ が存在しうる部分の面積を求めよ。

小問(1)：△OABの面積

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① $\angle AOB = \theta$ とおき、余弦定理で $\cos\theta$ を求める：

ステップ② $\sin\theta$ を求める（$0 < \theta < \pi$ なので $\sin\theta > 0$）：

ステップ③ 三角形の面積を求める：

小問(2)：$s \geq 0$, $t \geq 0$, $1 \leq s + t \leq 2$ の場合の面積

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① $k = s + t$（$1 \leq k \leq 2$）を1つ固定して考える。

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ において $s + t = k$, $s \geq 0$, $t \geq 0$ のとき、

$\frac{s}{k} + \frac{t}{k} = 1$, $\frac{s}{k} \geq 0$, $\frac{t}{k} \geq 0$ であるから、$P$ は $A_1$（$k\vec{OA}$ の終点）と $B_1$（$k\vec{OB}$ の終点）を結ぶ線分 $A_1B_1$ 上を動く。

ステップ② $k$ を $1$ から $2$ まで変化させると、$\triangle OA_1B_1$ は $\triangle OAB$ を $k$ 倍に拡大した三角形であり、その面積は $k^2 \cdot 6\sqrt{6}$。

$k = 1$ のとき $\triangle OAB$ そのもの（面積 $6\sqrt{6}$）、$k = 2$ のとき面積 $4 \cdot 6\sqrt{6} = 24\sqrt{6}$ の $\triangle OA'B'$。

ステップ③ 求める領域は、$k = 2$ の大三角形から $k = 1$ の小三角形を除いた部分（台形型の領域）なので：

🧑 生徒：「$s+t=k$ と固定するのはなぜですか？ $k$ を動かすイメージがよくわかりません。」

👨‍🏫 藤原先生：「これはスライスの発想だよ！たとえばパンを1枚ずつスライスするイメージ。$s + t = k$ というのは、$k$ を固定した一本の直線みたいなもの。この条件のとき $\vec{OP} = \frac{s}{k}(k\vec{OA}) + \frac{t}{k}(k\vec{OB})$ と書き換えると、$\frac{s}{k} + \frac{t}{k} = 1$ かつ両方 $\geq 0$ なので、$A_1 = k\vec{OA}$ の終点と $B_1 = k\vec{OB}$ の終点を結ぶ線分の上を $P$ が動くことがわかるんだ。あとはその $k$ を $1$ から $2$ まで動かせば、領域全体が見えてくる。相似比が $k$ 倍なら面積比は $k^2$ 倍という公式を使えば、答えは $6\sqrt{6}(2^2 - 1^2) = 18\sqrt{6}$ だよ！」

小問(3)：複合条件の場合

【解法ステップ】

この小問では条件が2つあります：$1 \leq 2s + t \leq 2$ と $s + 3t \leq 3$。

ステップ① まず $2s + t = l$（$1 \leq l \leq 2$）を固定して考える。

ここで $\frac{2s}{l} + \frac{t}{l} = 1$, かつ両方 $\geq 0$ なので、$P$ は $A_2 = \frac{l}{2}\vec{OA}$ の終点と $B_2 = l\vec{OB}$ の終点を結ぶ線分上を動く。

ステップ② $l = 1$ のとき：$A_2 = \frac{1}{2}\vec{OA}$ の終点（$OA$ の中点）と $B_2 = \vec{OB}$ の終点（$B$ 点）を結ぶ線分。

$l = 2$ のとき：$A_2 = \vec{OA}$ の終点（$A$ 点）と $B_2 = 2\vec{OB}$ の終点（$OB$ の2倍の点 $B'$）を結ぶ線分。

$l$ を $1$ から $2$ まで動かすと、一つの領域が形成される。

ステップ③ 次に $s + 3t \leq 3$ の条件を処理する。$s + 3t = m$（$0 \leq m \leq 3$）と固定すると：

$\frac{s}{m} + \frac{3t}{m} = 1$ なので、$P$ は $A_3 = m\vec{OA}$ の終点と $B_3 = \frac{m}{3}\vec{OB}$ の終点を結ぶ線分上を動く。

$m = 3$ のとき：$A_3 = 3\vec{OA}$ の終点（$A''$）と $B_3 = \vec{OB}$ の終点（$B$）を結ぶ線分が境界。

ステップ④ 両条件の共通部分（実際に $P$ が存在しうる領域）を求める。解答によれば、$AQ:A'B:AB' = 4:5:10$ の関係が成り立つことから、求める面積を $S$ とすると：

【藤原先生の解説】

この問題は「ベクトルの終点の存在領域」という典型問題の発展版です。大切なのは、条件式を $\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}$ の形（$\alpha + \beta = 1$, $\alpha, \beta \geq 0$）に変形することで「どの2点を結ぶ線分か」を特定すること。

ゲームで例えると：地図（平面）の上でキャラクターが動ける範囲を条件式から見つけ出すイメージ。条件を一つ固定（スライス）して「このとき何処を動ける？」→「次にその条件を動かす」という段階的な思考が鍵です。

【この大問で身につく力】

ベクトルの線形結合を「点の集合」として図形的に解釈する力と、相似比・面積比の計算技術が同時に鍛えられます。

大問2：絶対値を含む曲線と直線の囲む面積（難易度★★★★☆）

【問題文】

$xy$ 平面上に曲線 $C: y = 2x^2 - 3x + 2 + (x-2)|x-1|$ と直線 $\ell: y = ax - a + 1$ がある。$C$ と $\ell$ で囲まれる部分の面積を $S(a)$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $S(a)$ を求めよ。

(2) $S(a)$ の最小値を求めよ。

小問(1)：$S(a)$ の計算

【使う公式・定理】

【解法ステップ】

ステップ① 曲線 $C$ の式を場合分けする。

$x \geq 1$ のとき：$(x-2)|x-1| = (x-2)(x-1) = x^2 - 3x + 2$ なので、
$$y = 2x^2 - 3x + 2 + x^2 - 3x + 2 = 3x^2 - 6x + 4$$

$x < 1$ のとき：$(x-2)|x-1| = (x-2)(-(x-1)) = -(x-2)(x-1) = -(x^2-3x+2) = -x^2+3x-2$ なので、
$$y = 2x^2 - 3x + 2 + (-x^2 + 3x - 2) = x^2$$

よって：
$$C: y = \begin{cases} 3x^2 - 6x + 4 & (x \geq 1) \\ x^2 & (x < 1) \end{cases}$$

ステップ② 直線 $\ell: y = ax - a + 1 = a(x-1) + 1$ は、定点 $(1, 1)$ を必ず通ることに注意する。

$x = 1$ で $C$ の値を確認：$x \geq 1$ 側では $3(1)^2 - 6(1) + 4 = 1$、$x < 1$ 側（極限）では $1^2 = 1$。よって $C$ も点 $(1,1)$ を通る。つまり $C$ と $\ell$ は常に点 $(1, 1)$ で交わる。

ステップ③ $a$ の値によって場合分けして交点を求め、面積を計算する。

【場合1】$a \geq 2$ のとき

$x \geq 1$ の範囲で：$3x^2 - 6x + 4 = ax - a + 1$ を解くと、
$$3x^2 - (6+a)x + (3+a) = 0$$
$$3(x-1)\left(x - \frac{3+a}{3}\right) = 0$$
より $x = 1$ または $x = \frac{3+a}{3}$。

$a \geq 2$ のとき $\frac{3+a}{3} \geq \frac{5}{3} > 1$ なので、$x \geq 1$ の範囲に交点が存在する。

$x < 1$ の範囲では：$x^2 = ax - a + 1$ より $x^2 - ax + (a-1) = 0$, $(x-1)(x-(a-1)) = 0$。$a \geq 2$ のとき $a - 1 \geq 1$ なので、$x < 1$ の範囲では $(x-1)$ の解のみ、つまりこの範囲に新たな交点は存在しない（$x = 1$ は境界）。

よって $x \leq 1$ では $C$ は $\ell$ の上側にあり（確認：$x = 0$ で $C$ の値 $= 0$, $\ell$ の値 $= -a+1 \leq -1 < 0$）、$x \geq 1$ の範囲のみで面積を計算：

【場合2】$0 < a < 2$ のとき

$x \geq 1$ の範囲：前と同様に $x = 1$ と $x = \frac{3+a}{3}$（$1 < \frac{3+a}{3} < \frac{5}{3}$ を確認）。

$x < 1$ の範囲：$x^2 = ax - a + 1$ より $(x-1)(x-(a-1)) = 0$。$0 < a < 2$ のとき $a - 1 < 1$ なので、$x = a - 1$ が $x < 1$ の範囲の交点（$a > 1$ のとき $0 < a-1 < 1$）。$0 < a \leq 1$ では $a - 1 \leq 0$。

いずれにしても、$x \geq 1$ の部分と $x \leq 1$ の部分の両方で面積が生まれる：

【場合3】$a \leq 0$ のとき

$x \geq 1$ では $C$ が $\ell$ の上側にあり面積なし。$x \leq 1$ の部分のみ：

【まとめ】

$$\boxed{S(a) = \begin{cases} \dfrac{a^3}{54} & (

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