兵庫県立大学 2017年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

---

はじめに：この記事を読むと得られる3つの価値

兵庫県立大学 2017年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、経済・経営学部、工学部、理学部の3学部で出題された入試数学を、数強塾グループ代表の藤原進之介が一問一問、丁寧かつ徹底的に解説します。

この記事を読むことで、次の3つが手に入ります：

• ✅ 2017年度の出題傾向と解法の核心が体系的に理解できる
• ✅ 兵庫県立大学数学の頻出テーマと必要な公式・定理が整理できる
• ✅ 合否を分けるポイントと効率的な学習ロードマップがわかる

👨‍🏫 藤原先生より：「兵庫県立大学の数学は、丁寧な計算力と論証力が問われる、バランスのよい良問ぞろいです。焦らず、一緒に一問ずつ確実に攻略していきましょう！」

---

【セクション2】兵庫県立大学の数学：入試の全体像

試験形式と基本情報

兵庫県立大学の数学は、学部ごとに試験問題が異なります。2017年度の形式は以下の通りです。

学部	試験時間	問題数	配点	解答形式
経済・経営学部	120分	5題	各20%	記述式
工学部	120分	5題	各20%	記述式
理学部	120分	5題	各20%	記述式

すべて記述式であることが大きな特徴です。答えだけを書いても点が取れず、論証の過程・途中計算が評価されます。

偏差値帯と求められる数学レベル

兵庫県立大学の偏差値は学部によりますが、おおよそ 偏差値50〜60のレンジです。求められる数学レベルは「標準〜やや難」で、教科書の応用問題がしっかり解けることを前提に、入試標準問題（青チャートのコンパスマーク3〜4レベル）まで対応できる力が必要です。

特に工学部は計算量が多く、理学部は証明や論証系の問題が出やすい傾向があります。

過去5〜10年の頻出単元ランキング

過去の出題データから、兵庫県立大学数学で繰り返し登場する単元をまとめました。

順位	単元	頻出度
1位	微分・積分（面積・体積）	★★★★★
2位	複素数・複素平面	★★★★☆
3位	空間ベクトル・球・平面	★★★★☆
4位	数列・漸化式・極限	★★★★☆
5位	確率（場合の数を含む）	★★★☆☆
6位	整数・素数・証明	★★★☆☆
7位	三角関数・対数関数	★★★☆☆
8位	図形と計量（余弦定理など）	★★★☆☆

工学部では特に「積分計算・空間図形・複素数」の出題が目立ち、理学部では「論証・図示問題・確率と極限」が繰り返し出題されています。

他大学との違い・特徴

• 東京大学：論述の精密さが最重視、証明問題が多い
• 大阪大学：計算量が多く、融合問題が多い
• 兵庫県立大学：計算の正確さ＋基本的な論証力が問われる。難問奇問は少なく、標準的な解法パターンを確実に使える力が合格を左右する

---

🧑 生徒：「兵庫県立大学の数学って、どんな特徴があるんですか？難しいですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「いい質問だね！兵庫県立大学の数学は記述式の標準〜やや難レベルで、単純な知識よりも『なぜそうなるか』を説明できる論証力が大事なんだ。たとえば証明問題では『背理法』や『共役複素数の性質』を正しく使って記述する力が問われる。難問奇問より、青チャートや1対1対応の演習レベルの典型問題を確実に解く力を鍛えることが近道だよ！」

---

💪 「基礎を丁寧に積み上げれば、必ず突破できる！」一緒に着実に進んでいこう！

---

【セクション3】2017年度 出題テーマ速報と分析

2017年度 出題テーマ一覧

大問1（経済・経営学部）

大問	テーマ	難易度
[1]	整数・素数の証明	★★★☆☆
[2]	放物線の共通接線と面積	★★★★☆
[3]	複素数・実係数多項式の性質証明	★★★★☆
[4]	空間ベクトル・球と距離	★★★★☆
[5]	確率（複合条件）	★★★☆☆

大問2（工学部）

大問	テーマ	難易度
[1]	三角・対数関数の最大最小	★★★☆☆
[2]	複素数の極形式・数列の和・極限	★★★★☆
[3]	微分・グラフ描写・接線	★★★☆☆
[4]	立体の断面積と体積	★★★★☆
[5]	空間ベクトル・平面・球	★★★★☆

大問3（理学部）

大問	テーマ	難易度
[1]	円に内接する四角形	★★★☆☆
[2]	対数不等式と領域図示	★★★☆☆
[3]	$f(x)=xe^{-x}$ のグラフと回転体	★★★★☆
[4]	不等式の領域・最大最小	★★★★★
[5]	確率と極限	★★★★★

前年度との傾向変化と合格ライン

2017年度は、複素数の活用（工学部[2]・経済[3]）と積分（工・理）が重複して出題されており、複素数への対策を厚めにしておくことが重要でした。理学部[4]と[5]は特に難度が高く、部分点狙いの戦略も有効です。

各学部の合格ライン目安：6〜7割（60〜70点）。大問すべてで完答を目指すより、各大問の前半の小問を確実に解く戦略が有効です。

💪 「出題テーマの分析ができれば、勉強の優先順位が見えてくる！知識を整理して次のステップへ！」

---

【セクション4】全大問 問題・解説

---

大問1：経済・経営学部（整数・証明・放物線・複素数・球・確率）

---

大問1 [1]：整数・素数の証明（難易度★★★☆☆）

【問題文】

(1) 負でない整数 $n$ に対して、$n^2 - 40n + 319$ が正の素数であるための必要十分条件は $n = 10$ または $n = 30$ であることを示しなさい。

(2) 10以下の正の素数は $2, 3, 5, 7$ に限られ、それらは 103 の約数ではない。この事実を用いて、103 は素数であることを示しなさい。

【使う公式・定理】

公式・定理名	内容
因数分解	$n^2 - 40n + 319 = (n-11)(n-29)$
素数の定義	1 より大きく、1 と自身以外に約数を持たない自然数
背理法	ある命題 P を示すために「¬P と仮定→矛盾」を導く

【解法ステップ：(1)】

ステップ① まず因数分解する：

ステップ② 正の素数になる条件を整理する。

$(n-11)(n-29)$ が正の素数になるためには、一方が $1$、もう一方が素数である必要がある（2以上の整数の積は素数でない）。

• $n \leq 9$ のとき：$n-11 \leq -2$、$n-29 \leq -20$ → 両者とも負で積は正。$|n-11| \geq 2$、$|n-29| \geq 20$ より積は素数にならない。
• $n \geq 31$ のとき：$n-11 \geq 20$、$n-29 \geq 2$ → どちらも2以上の整数の積となり素数でない。
• $n = 10$ のとき：$(10-11)(10-29) = (-1)(-19) = 19$（素数 ✓）
• $n = 30$ のとき：$(30-11)(30-29) = 19 \cdot 1 = 19$（素数 ✓）
• $11 \leq n \leq 28$（$n \neq 29$）のとき：$(n-11) \geq 1$、$(n-29) \leq -1$ → 積が負になる場合や、1×整数の場合 $n=11$ で $(0)(\cdot) = 0$ となり素数でない。

ステップ③ 結論：

$n^2 - 40n + 319$ が正の素数 $\Leftrightarrow$ $n = 10$ または $n = 30$　（証明終）

【解法ステップ：(2)】

ステップ① 背理法：103 が素数でないと仮定する。

ステップ② $n$ と $m$ の下界を考える。

$2, 3, 5, 7$ は 103 の約数でないから、2 以上 10 以下の整数は 103 の約数でない。よって $n \geq 11$、$m \geq 11$。

ステップ③ 矛盾を導く：

これは $nm = 103$ と矛盾する。背理法より 103 は素数。　（証明終）

【藤原先生の解説】

(1)は「素数は1×素数の形にしか因数分解できない」という素数の本質的な性質を使うのがポイントです。ゲームで言えば「ボスを倒せる条件を特定する」作業です。因数分解してから場合を丁寧に調べ上げる、この手順が論証問題の王道！

(2)の背理法は「$\sqrt{103} \approx 10.15$ 以下の素数しか約数の候補にならない」という定理の応用です。問題文がうまく誘導してくれているので、条件をそのまま活用しましょう。

🧑 生徒：「(1)で $(n-11)(n-29)$ が素数になる条件って、どう考えればいいですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「素数の定義を思い出して！素数は『正の整数の積で表すとき、$1 \times p$ の形しかない』数だよね。だから $(n-11)(n-29) = p$ （素数）にするには、片方が $\pm 1$、もう片方が $\pm p$ になる必要があるんだ。$n$ は負でない整数という制約があるから $n=10$ で $(-1)(-19)=19$、$n=30$ で $(19)(1)=19$ の2つだけが条件を満たすよ！」

【この大問で身につく力】
整数の論証力と、因数分解を使って場合分けを整理する系統的思考力が鍛えられます。

---

大問1 [2]：放物線の共通接線と面積（難易度★★★★☆）

【問題文】

$f(x) = x^2$、$g(x) = \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + d$ に対し、2つの放物線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の共通接線の方程式を $y = l(x)$ とする。

(1) $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の交点の座標を $d$ を用いて表しなさい。また、$x = a$ における $y = f(x)$ の接線の方程式を求めなさい。

(2) $l(x)$ を $d$ を用いて表しなさい。

(3) 2つの放物線と共通接線 $y = l(x)$ で囲まれる領域の面積は、$d$ の値に依存しないことを示しなさい。

【使う公式・定理】

公式・定理名	内容
接線の方程式	$y = f'(a)(x-a) + f(a)$
接線条件（重解）	接する条件：判別式 $D = 0$
$\frac{1}{6}$ 公式	$\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)\,dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$

【解法ステップ：(1)】

ステップ① 交点の $x$ 座標を求める：

ステップ② 交点の座標：

ステップ③ $x = a$ における $y = f(x) = x^2$ の接線（$f'(x) = 2x$）：

【解法ステップ：(2)】

ステップ① $x = a$ における $f$ の接線 $y = 2ax - a^2$ が $y = g(x)$ にも接する条件を求める：

ステップ② 接する条件は判別式 $= 0$：

ステップ③ よって共通接線：

【解法ステップ：(3)】

$y=f(x)$ と $l(x)$ の接点は $x = d$、$y = g(x)$ と $l(x)$ の接点を求める：

また交点の $x$ 座標は $x = d + \dfrac{1}{4}$。

ステップ① 面積を2つの積分に分割（$l(x)$ より $f$ と $g$ どちらが上かを確認）：

ステップ② 各被積分関数を整理：

ステップ③ 積分計算：

$S = \dfrac{1}{96}$（$d$ に依存しない）　（証明終）

【藤原先生の解説】

「面積が $d$ に依存しない」という美しい結果が出る理由は、放物線が平行移動しても「形」は変わらないからです。料理で言えば、型を右や上にずらしてもクッキーの形（面積）は同じ、というイメージです。接点を正確に求め、区間を正しく設定することが最大のポイントです！

🧑 生徒：「共通接線ってどうやって求めるんですか？両方に接するって難しそうで…」

👨‍🏫 藤原先生：「まず $y = f(x) = x^2$ の接点を $x = a$ とすると、接線は $y = 2ax - a^2$ と書けるよね。次に、この直線が $y = g(x)$ にも接する条件を、判別式 $D = 0$ で立てるんだ。$2ax - a^2 = (x - \frac{1}{2})^2 + d$ を整理して $x^2 - (2a+1)x + a^2 + \frac{1}{4} + d = 0$ の判別式を $0$ とおくと $a = d$ が出て、接線 $l(x) = 2dx - d^2$ が求まるよ！」

【この大問で身につく力】
放物線の接線条件の設定力と、変数付き積分でも計算を遂行する計算持久力が鍛えられます。

---

大問1 [4]：空間ベクトル・球と距離（難易度★★★★☆）

【問題文】

$O$ を座標原点とする座標空間において、球面 $S: x^2 + (y-3)^2 + (z-4)^2 = 1$ がある（中心 $C(0,3,4)$、半径 $1$）。

(1) $y = z$ を満たしながら $S$ 上を動く点 $P(x,y,z)$ について、$OP$ の最大値・最小値を求めなさい。

(2) $P$ が $S$ 上を自由に動くとき、$OP$ の最大値・最小値を求めなさい。

(3) 三角形 $OCP$ の面積 $A$ の最大値、およびそのときの $y$ と $z$ の満たす関係式を求めなさい。

【使う公式・定理】

公式・定理名	内容
球面上の点と原点の距離	$OP = OC \pm r$（最大・最小）
三角形の面積（ベクトル）	$A = \frac{1}{2}|\vec{OC}||\vec{CP}|\sin\theta$

【解法ステップ：(1)】

ステップ① $y = z$ を代入：

ステップ② $OP^2 = x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + 2z^2$ を求める（$y = z$ なので $y^2 + z^2 = 2z^2$）：

（球面の式より $x^2 + 2z^2 = 14z - 24$）

ステップ③ $x$ が実数 $\Rightarrow x^2 \geq 0$ を利用：

ステップ④ $OP^2 = 14z - 24$ は $z$ の増加関数：

• $z = 4$ のとき $OP^2 = 32 \Rightarrow OP_{\max} = 4\sqrt{2}$
• $z = 3$ のとき $OP^2 = 18 \Rightarrow OP_{\min} = 3\sqrt{2}$

【解法ステップ：(2)】

ステップ① $OC = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$、球の半径 $r = 1$

ステップ② $P$ は球面上を自由に動くから：

【解法ステップ：(3)】

ステップ① $\triangle OCP$ の面積は底辺 $OC = 5$、高さ $= CP\sin\theta$（$\theta$ は $\overrightarrow{CO}$ と $\overrightarrow{CP}$ のなす角）。

$CP = 1$（球の半径）なので高さの最大は $CP = 1$（$\theta = 90°$ のとき）。

ステップ② 面積の最大値：

ステップ③ $\overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{CP}$ のとき：

【藤原先生の解説】

(2)は「球の中心から原点までの距離 $OC$ と半径 $r$ の関係」というシンプルな原理の応用です。球をスイカに例えると、「スイカの中心から自分までの距離＋半径」が一番遠い点、「距離−半径」が一番近い点、というイメージです。(3)の面積最大は $OC \perp CP$ のときで、これはベクトルの内積が0という条件で書けます。

🧑 生徒：「三角形 $OCP$ の面積の最大値って、どうやって求めるんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「$\triangle OCP$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot OC \cdot CP \cdot \sin\theta$ で表せるよね。$OC = 5$（固定）、$CP = 1$（球の半径で固定）、$\sin\theta \leq 1$ だから面積の最大値は $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 = \frac{5}{2}$、$\theta = 90°$ つまり $\overrightarrow{OC} \perp \overrightarrow{CP}$ のときに達成されるよ。この垂直条件を内積で書

---

---

👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

📲 無料プレゼント付き！公式LINEに登録しよう

情報Iや数学に関する有益な情報発信・無料授業の告知をLINEで行っています！

LINEに登録すると受け取れる特典 🎁

• ✅ 数学・情報Iの無料授業動画
• ✅ 入試傾向の最新分析レポート
• ✅ 藤原進之介先生からの限定学習アドバイス
• ✅ 英検合格保証の英論会情報もこちらから

👉 プレゼント付き公式LINE ▶ 今すぐ登録（無料）

数学が苦手でも大丈夫。一緒に一歩ずつ進んでいきましょう！

---

🎓 数強塾オンラインでマンツーマン指導を受けよう

藤原進之介の厳選した一流講師が、あなただけのために徹底指導します！
会話しながら、どんな基礎的なことでも根本から理解していこう！

👉 数強塾オンライン公式サイト（sukyojuku.com）

---