兵庫県立大学 2018年度 数学 過去問解説｜藤原進之介先生と一緒に完全攻略！

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はじめに：この記事で得られること

兵庫県立大学 2018年度 数学 過去問解説へようこそ！この記事では、数強塾グループ代表の藤原進之介が、平成30年度の入試問題を大問ごとに丁寧・完全解説します。

この記事を読むことで得られる価値は次の3点です。

• ✅ 全大問の解法を、公式・定理を明示しながらステップ別に完全理解できる
• ✅ 兵庫県立大学の出題傾向と合否を分けたポイントが把握できる
• ✅ 今後の学習ロードマップと参考書選びの指針が得られる

👨‍🏫 藤原先生からひと言：「兵庫県立大学の数学は、基礎〜標準レベルの問題が中心です。でも『基礎をしっかり使いこなす力』が問われるのが特徴。この解説記事で、一問一問の本質的な考え方を一緒につかんでいきましょう！」

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【セクション2】兵庫県立大学の数学：入試の全体像

試験形式と基本データ

項目	詳細
試験時間	120分（経済・経営学部）
問題数	5問（うち3問選択）
配点	各大問20%（均等配点）
解答形式	記述式（途中過程も採点対象）
難易度	標準〜やや難

偏差値帯と求められる数学レベル

兵庫県立大学の偏差値帯はおおむね 55〜62 程度（学部により異なる）。求められる数学レベルは「教科書の内容を深く理解したうえで、標準的な入試問題を確実に解ける力」です。奇をてらった難問よりも、計算の正確さ・論述の明確さが重視されます。

工学部では特に計算処理能力と論理的思考力が問われ、理学部では証明問題や考察問題の比重が高まります。経済・経営学部は数列・場合の数・確率・微積分など幅広い範囲から出題されます。

過去5〜10年の出題傾向まとめ（頻出単元ランキング）

順位	単元	出題頻度
1位	微分・積分	★★★★★
2位	数列（漸化式・数学的帰納法）	★★★★☆
3位	三角関数・三角方程式	★★★★☆
4位	ベクトル（空間ベクトル含む）	★★★★☆
5位	確率・場合の数	★★★☆☆
6位	複素数平面	★★★☆☆
7位	絶対値・領域	★★★☆☆
8位	2次曲線・図形	★★☆☆☆

他大学との違い・特徴

• 東大・京大：純粋な思考力・発想力を問う論述問題が中心
• 阪大：高い計算処理能力と精緻な論述が要求される難問
• 兵庫県立大学：基礎公式の正確な運用力と、標準的解法の確実な実行力が中心。「知っているか知らないか」よりも「知っていることを使いこなせるか」が試される

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🧑 生徒：「兵庫県立大学の数学って、どんな問題が多いんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「大きく分けると3つのパターンがあるよ。①数列の漸化式（特性方程式や階差数列の変換）、②微積分の計算問題（置換積分・部分積分など）、③ベクトル・空間図形（内積を使った角度・垂直条件の判定）。これらは毎年のように出るから、しっかり固めておくと得点源になるよ！特に数列は『$b_n = a_{n+1} - r \cdot a_n$』の形に変換して等比数列に帰着させるパターンが頻出なんだ。」

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【セクション3】2018年度 出題テーマ速報と分析

2018年度 出題テーマ一覧

経済・経営学部（大問1）

大問	テーマ	難易度
[1]	絶対値方程式・数学的帰納法	★★☆☆☆
[2]	領域・線分の通過領域	★★★☆☆
[3]	最大値問題（三角関数・sin の和）	★★★★☆
[4]	空間ベクトル・正四面体	★★★★☆
[5]	確率（同色・2色・試行回数）	★★★☆☆

工学部（大問2）

大問	テーマ	難易度
[1]	三角関数・tan の積	★★★☆☆
[2]	漸化式（2階線形漸化式）	★★★☆☆
[3]	双曲線関数（tanh）のグラフ・極限・不等式	★★★★☆
[4]	定積分を含む関数・大小比較	★★★★☆
[5]	複素数平面・単位円・接線	★★★★★

理学部（大問3）

大問	テーマ	難易度
[1]	曲線の共通接線・面積	★★★★☆
[2]	数列・tan の漸化式・数学的帰納法	★★★★★
[3]	複素数平面・三角形の条件	★★★★☆
[4]	有理関数の増減・3次方程式	★★★☆☆
[5]	空間ベクトル・垂線の足・体積最大化	★★★★☆

合格ラインと得点戦略

経済・経営学部では5問中3問を選択するため、得意な大問を見極める力が重要です。[1]（絶対値・帰納法）と[5]（確率）は比較的取り組みやすく、この2問を確実に完答し、残り1問で部分点を狙うのが現実的な合格戦略です。

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【セクション4】全大問 問題・解説

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大問1（経済・経営）：絶対値方程式と数学的帰納法（難易度★★☆☆☆）

(1)【問題文】

$|x - a| + |x - b| = |a - b|$（ただし $a < b$）を満たす実数 $x$ の範囲を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
絶対値の場合分け	$|A| = A$（$A \geq 0$）, $|A| = -A$（$A < 0$）
三角不等式	$|A| + |B| \geq |A + B|$（等号は $A$, $B$ が同符号のとき）

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【解法ステップ】

ステップ① $a < b$ より $|a - b| = b - a$ であることを確認する。

ステップ② $x$ の範囲を3つに場合分けして計算する。

[場合1] $x < a$ のとき

これが $b - a$ に等しいとすると：

しかし $x < a$ を満たさないので不適。

[場合2] $a \leq x \leq b$ のとき

この範囲のすべての $x$ で等式が成立する。

[場合3] $x > b$ のとき

これが $b - a$ に等しいとすると：

$x = b$ は $x > b$ を満たさないが、境界値として $x = b$ は場合2に含まれる。

ステップ③ 答えをまとめる：

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(2)【問題文】

自然数の列 $\{a_n\}$ が単調増加（$m < n \Rightarrow a_m < a_n$）のとき、すべての自然数 $n$ に対して $n \leq a_n$ が成り立つことを示せ。

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【解法ステップ（数学的帰納法）】

ステップ① $n = 1$ のとき

$a_1$ は自然数であるから $a_1 \geq 1$。よって $1 \leq a_1$ が成立。✓

ステップ② $n = k$ のとき $k \leq a_k$ が成り立つと仮定する（帰納法の仮定）。

$k < k + 1$ であるから、数列の単調増加条件より：

帰納法の仮定 $k \leq a_k$ と合わせると：

よって $k < a_{k+1}$。

ステップ③ $k$ と $a_{k+1}$ はともに自然数であるから：

これは $n = k + 1$ のときの命題が成り立つことを意味する。

ステップ④ 以上より、数学的帰納法によってすべての自然数 $n$ に対し $n \leq a_n$ が成立。$\square$

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【藤原先生の解説】

(1)の絶対値の問題は、「数直線上で $x$ と $a$, $b$ の距離の和」というイメージで考えると直感的です。$|x - a|$ は「$x$ と $a$ の距離」、$|x - b|$ は「$x$ と $b$ の距離」。これらの和が $|a - b|$（つまり $a$ と $b$ の距離そのもの）に等しいということは、「$x$ が $a$ と $b$ の間にある」ときにしか成立しない、というのが本質です。

(2)は数学的帰納法の教科書的良問です。ポイントは「自然数の間に他の整数は入らない」という事実を使って $k < a_{k+1}$ から $k+1 \leq a_{k+1}$ を導くステップです。

🧑 生徒：「数学的帰納法って、どのタイミングで使うんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「数学的帰納法は『すべての自然数 $n$ について○○が成り立つ』を示すときの定番手法だよ！手順は決まっていて、①$n=1$ のとき成立を確認 → ②$n=k$ のとき成立を仮定して、$n=k+1$ でも成立することを導く、の2ステップ。このとき仮定（帰納法の仮定）を必ず使うことが証明の肝心なところだよ。今回の問題なら『$k \leq a_k$』が仮定で、そこから $a_k < a_{k+1}$ を経由して $k+1 \leq a_{k+1}$ を導く、という流れを押さえよう！」

【この大問で身につく力】

場合分けの論理的整理力と、数学的帰納法による証明力。記述答案での「論理の流れを丁寧に書く」習慣がつく。

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大問2（経済・経営）：線分の通過領域（難易度★★★☆☆）

【問題文】

正の実数 $t$ に対して、$P(t, 0)$、$Q(0, s)$（$s > 0$）を頂点とする $\triangle OPQ$ の面積が2となるように $Q$ を定める。$t$ が正の実数全体を動くとき、線分 $PQ$ が第1象限内で通過する領域 $E$ を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
三角形の面積	$S = \frac{1}{2} \cdot \text{底辺} \cdot \text{高さ}$
直線の方程式（切片形）	$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
領域の図示（パラメータ消去法）	$t$ について整理 → 判別式 $D \geq 0$

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【解法ステップ】

ステップ① $\triangle OPQ$ の面積条件から $s$ を求める。

底辺 $OP = t$、高さ $OQ = s$ より：

ステップ② 直線 $PQ$ の方程式を書く。

$P(t, 0)$, $Q\!\left(0, \frac{4}{t}\right)$ を通る直線は切片形で：

これを整理すると：

(1) の答え： $y = -\dfrac{4}{t^2}x + \dfrac{4}{t}$ かつ $0 < x < t$, $y > 0$

ステップ③（(2)） $t$ のパラメータを消去する。

$y = -\dfrac{4}{t^2}x + \dfrac{4}{t}$ を $t$ について整理すると：

これを $t$ の2次方程式とみて、正の実数解をもつ条件を求める。$y > 0$ のとき、判別式 $D \geq 0$ が必要：

また $t > 0$ での解の存在から、軸 $t = \dfrac{2}{y} > 0$ は自動的に満たされる。

ステップ④ 領域 $E$ をまとめる：

境界曲線 $y = \dfrac{1}{x}$（$x > 0$）は含み、$x$ 軸・$y$ 軸は含まない。

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【藤原先生の解説】

線分の通過領域の問題は、「パラメータ $t$ を消去して、$(x, y)$ が満たす不等式を導く」のが基本戦略です。料理で例えると、パラメータ $t$ は「隠し味の量」のようなもの。ある量 $t$ に対して線分が存在するかどうかを、$t$ の2次方程式が正の実数解をもつかどうか（判別式 $D \geq 0$）で判定する、という流れです。

🧑 生徒：「領域 $E$ を求めるとき、なぜ判別式 $D \geq 0$ を使うんですか？」

👨‍🏫 藤原先生：「点 $(x, y)$ が領域 $E$ に属するための条件は、『ある正の実数 $t$ が存在して、$(x, y)$ がその $t$ に対応する線分 $PQ$ の上にある』ということなんだ。つまり方程式 $yt^2 - 4t + 4x = 0$ が正の実数解 $t$ をもつことと同値なんだよ。$y > 0$ のときこれは2次方程式だから、実数解の存在条件として判別式 $D = 16 - 16xy \geq 0$、すなわち $xy \leq 1$ が必要十分になるんだ！」

【この大問で身につく力】

パラメータを含む直線族の通過領域を、判別式を使って代数的に求めるテクニック。

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大問3（経済・経営）：三角関数の最大値と sin の和の最大値（難易度★★★★☆）

【問題文】

(1) $0 \leq x \leq 1$ のとき $f(x) = (1+x)^3(1-x)$ の最大値を求めよ。

(2) $A = (1 + \sin\theta)\cos\theta$, $B = (1 + \cos\theta)\sin\theta$（$0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}$）とおくとき、$A$ の最大値と $B$ の最大値が等しいことを示せ。

(3) $0 < \alpha < \pi$, $0 < \beta < \pi$, $0 < \gamma < \pi$, $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ のとき、$\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma$ の最大値を求めよ。

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【使う公式・定理】

公式名	内容
微分による最大値	$f'(x) = 0$ の解で増減表を作る
積の微分	$(uv)' = u'v + uv'$
$t = \sin\theta$ 置換	$A$ を $\sin\theta$ の関数に変換
和積公式	$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

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【(1) 解法ステップ】

ステップ① $f(x) = (1+x)^3(1-x)$ を微分する（積の微分を使う）：

ステップ② 増減表（$0 \leq x \leq 1$）：

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{2}$	$\cdots$	$1$
$f'(x)$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$
$f(x)$	$1$	$\nearrow$	最大	$\searrow$	$0$

ステップ③ 最大値を計算：

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【(2) 解法ステップ】

ステップ① $A$ を $\sin\theta = t$（$0 \leq t \leq 1$）で表す。$\cos\theta = \sqrt{1 - t^2}$（$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$）より：

ステップ② $f(t)$（$0 \leq t \leq 1$）の最大値は $t = \dfrac{1}{2}$ のとき $\dfrac{27}{16}$。

よって $A$ の最大値は：

ステップ③ 同様に $B = (1 + \cos\theta)\sin\theta$ を $\cos\theta = s$ で置換：

$f(s)$（$0 \leq s \leq 1$）の最大値も $\dfrac{27}{16}$（$s = \dfrac{1}{2}$ のとき）。

よって $B$ の最大値も $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$（$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ のとき）。

ステップ④ $A$ の最大値 $= B$ の最大値 $= \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$。$\square$

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【(3) 解法ステップ】

ステップ① $\sin\alpha + \sin\beta$ を和積公式で変換：

ステップ② $\alpha + \beta = \pi - \gamma$ より $\dfrac{\alpha+\beta}{2} = \dfrac{\pi - \gamma}{2}$：

よって：

ステップ③ $\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2} \leq 1$（等号は $\alpha = \beta$ のとき）より：

ステップ④ $u = \dfrac{\gamma}{2}$（$0 < u < \dfrac{\pi}{2}$）とおき、$g(u) = 2\cos u(1 + \sin u)$ の最大値を求める。これは(2)の $A$ の形（$B$ の形）と同一！よって $g(u)$ の最大値は $\dfrac{3\sqrt{3}}{4} \times 2$... ではなく、ここでは $2\cos u \cdot (1 + \sin u)$ の最大値を求める。

このとき $g\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) = \sqrt{3} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

ステップ⑤ 等号成立条件：$\alpha = \beta$ かつ $\gamma = \dfrac{\pi}{3}$ かつ $\alpha + \beta + \gamma = \pi$

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【藤原先生の解説】

この大問は3問が有機的につながっています。(1)で求めた関数が(2)の中に隠れており、(2)の結果のエッセンスが(3)に活きる、という見事な構造になっています。こういう「大問内の誘導を活かす」力は、青チャートや1対1対応の演習で類題を多く解くことで養われます。

🧑 生徒：「$\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma$ の最大値を求めるとき、なぜ和積公式を使うんですか？」

👨‍🏫 藤原先生

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👨‍🏫 この記事を書いた人：藤原進之介

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