【信州大学 数学 傾向と対策】理系｜藤原進之介が徹底解説

こんにちは！日本数学塾・数強塾の看板講師、藤原進之介です。

今回は、長野県に本部を置く国立総合大学「信州大学」の理系数学について、傾向から具体的な対策法まで徹底的に解説していきます。信州大学は理学部、工学部、医学部、農学部、繊維学部といった理系学部を擁し、それぞれに特色ある入試問題が出題されます。

この記事では、実際の出題例を交えながら、合格に必要な力を確実に身につけるための方法をお伝えします。10000字を超える大ボリュームですが、最後まで読めば信州大学数学の攻略法が明確になるはずです。

はじめに：信州大学 数学の全体像

信州大学は1949年に設立された国立大学で、長野県内に5つのキャンパスを持つ総合大学です。理系学部としては理学部（松本キャンパス）、医学部（松本キャンパス）、工学部（長野キャンパス）、農学部（上伊那キャンパス）、繊維学部（上田キャンパス）があり、それぞれ特色ある教育・研究が行われています。

信州大学理系数学の特徴

信州大学の理系数学には、以下のような特徴があります：

• 出題範囲：数学Ⅰ・A・Ⅱ・Bが中心。理系学部では数学Ⅲを含む問題も出題される
• 解答形式：記述式が基本。途中計算や論理の筋道を書くことが求められる
• 問題構成：大問5題構成が定番で、小問誘導型の設問が多い
• 難易度：「標準～やや発展」レベルが中心。奇問や極端な難問は少ない
• 計算量：比較的多く、正確性と速さの両立が求められる

特筆すべきは、分野融合タイプの問題が出題されることがある点です。複数の単元の知識を組み合わせて解く問題への対応力も必要となります。

学部別の数学の位置づけ

信州大学の各理系学部における数学の重要度は以下の通りです：

出題傾向の徹底分析

試験形式・時間・配点

信州大学理系学部の前期日程における数学の試験概要は以下の通りです：

時間配分の目安

120分で大問5題を解くため、1題あたり約24分が目安となります。ただし、問題の難易度には差があるため、以下のような時間配分をお勧めします：

• 易しめの問題（小問集合など）：15～18分
• 標準レベルの問題：20～25分
• やや難しい問題：25～30分
• 見直し時間：10分程度

藤原のアドバイス：最初の5分で全体を見渡し、解きやすい問題から着手しましょう。難問に時間を取られすぎないことが合格への近道です。

頻出テーマ TOP5（各テーマで実際の出題例を示す）

過去の出題傾向を分析すると、信州大学理系数学では以下の5つのテーマが特に頻出です：

【第1位】微分・積分（数学Ⅲを含む）

信州大学の理系数学において、最も出題頻度が高いのが微分・積分分野です。特に以下のタイプの問題が繰り返し出題されています：

• 曲線の接線・法線に関する問題
• 面積・体積の計算（回転体を含む）
• 定積分の計算と応用
• 微分方程式の基礎
• 極値問題と最大・最小

この問題では、三次関数と直線の位置関係を把握し、交点を求めてから定積分で面積を計算する力が問われます。

【第2位】確率・場合の数

確率・場合の数は、信州大学では毎年のように出題される超頻出分野です。特徴として：

• 漸化式と組み合わせた確率漸化式の問題
• 条件付き確率
• 期待値の計算
• 組合せ論的な数え上げ

【第3位】数列・漸化式

数列分野では、特に漸化式の解法と数列の極限が重要です：

• 特性方程式を用いた解法
• 階差数列
• 数学的帰納法による証明
• 無限級数の収束・発散

【第4位】図形・ベクトル

ベクトルと図形の問題は、平面・空間の両方から出題されます：

• 位置ベクトルを用いた点の位置決定
• 内積の計算と応用
• 空間図形の体積
• ベクトル方程式

【第5位】整数・その他

整数問題は、証明問題として出題されることが多いです：

• 合同式を用いた証明
• ユークリッドの互除法
• 不定方程式
• 約数・倍数に関する問題

分野別 実際の問題と解説

微分・積分（実際の出題例＋詳細解説）

微分・積分は信州大学理系数学の核心部分です。ここでは、典型的な問題パターンと解法を詳しく見ていきましょう。

【解答】

(1) 点Pの座標

曲線Cと直線lの交点では、e^x = ex が成り立つ。

x = 0 のとき、e⁰ = 1, e·0 = 0 より成り立たない。

x ≠ 0 のとき、両辺をxで割って e^x/x = e

f(x) = e^x/x とおくと、f'(x) = (xe^x - e^x)/x² = e^x(x-1)/x²

f'(x) = 0 となるのは x = 1 のとき。

x = 1 で f(1) = e となり、これが直線 l の傾きと一致。

したがって、x = 1 のとき e¹ = e·1 = e が成り立つ。

答：P(1, e)

(2) 面積S

0 ≤ x ≤ 1 の範囲で、e^x > ex（x > 0のとき）を確認する。

g(x) = e^x - ex とおくと、g(0) = 1 > 0, g(1) = 0

g'(x) = e^x - e で、g'(x) = 0 となるのは x = 1

0 < x < 1 で g'(x) g(1) = 0

したがって、

S = ∫₀¹ (e^x - ex) dx

= [e^x - (e/2)x²]₀¹

= (e - e/2) - (1 - 0)

= e/2 - 1

答：S = (e - 2)/2

【解答】

V₁（x軸周りの回転体）

V₁ = π∫₀⁴ y² dx = π∫₀⁴ x dx = π[x²/2]₀⁴ = π · 8 = 8π

V₂（y軸周りの回転体）

y = √x より x = y², 0 ≤ x ≤ 4 は 0 ≤ y ≤ 2 に対応

V₂ = π∫₀² (4² - x²) dy = π∫₀² (16 - y⁴) dy

= π[16y - y⁵/5]₀²

= π(32 - 32/5)

= π · 128/5 = 128π/5

【解答】

(1) 漸化式の導出

n ≥ 2 のとき、

I_n = ∫₀^(π/2) sin^n x dx = ∫₀^(π/2) sin^{n-1} x · sin x dx

部分積分を用いる。u = sin^{n-1} x, dv = sin x dx とおくと、

du = (n-1)sin^{n-2} x · cos x dx, v = -cos x

I_n = [-sin^{n-1} x · cos x]₀^(π/2) + (n-1)∫₀^(π/2) sin^{n-2} x · cos² x dx

= 0 + (n-1)∫₀^(π/2) sin^{n-2} x · (1 - sin² x) dx

= (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n

よって、nI_n = (n-1)I_{n-2}

答：I_n = (n-1)/n · I_{n-2}

(2) I₆ の計算

I₀ = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2

I₂ = 1/2 · I₀ = π/4

I₄ = 3/4 · I₂ = 3π/16

I₆ = 5/6 · I₄ = 5/6 · 3π/16 = 5π/32

確率・場合の数（実際の出題例＋詳細解説）

確率・場合の数は、論理的思考力が試される分野です。信州大学では特に確率漸化式が頻出です。

【解答】

全球数は 3 + 4 + 2 = 9個、3個を選ぶ総数は ₉C₃ = 84 通り

(1) 3個とも同じ色

赤3個：₃C₃ = 1 通り

白3個：₄C₃ = 4 通り

青3個：₂C₃ = 0 通り（青は2個しかないため不可能）

求める確率 = (1 + 4)/84 = 5/84

(2) 3色すべて含む

赤1個、白1個、青1個を選ぶ：₃C₁ × ₄C₁ × ₂C₁ = 3 × 4 × 2 = 24 通り

求める確率 = 24/84 = 2/7

(3) 赤球が少なくとも1個

余事象（赤球0個）を考える。

白と青から3個選ぶ：₆C₃ = 20 通り

赤球0個の確率 = 20/84 = 5/21

求める確率 = 1 - 5/21 = 16/21

【解答】

各回の移動確率：+1 が 1/3、-1 が 1/3、0 が 1/3

(1) P₁, P₂

P₁ = 1/3（動かない場合のみ）

P₂について：2回で原点に戻るパターン

• (+1, -1)：1/3 × 1/3 = 1/9
• (-1, +1)：1/3 × 1/3 = 1/9
• (0, 0)：1/3 × 1/3 = 1/9

P₂ = 1/9 + 1/9 + 1/9 = 1/3

(2) 漸化式

n回後に原点にいるためには、(n-1)回後の状態から：

• 原点にいて動かない（確率 P_{n-1} × 1/3）
• +1にいて -1 移動（確率 Q_{n-1} × 1/3）
• -1にいて +1 移動（確率 R_{n-1} × 1/3）

対称性より Q_{n-1} = R_{n-1}、また Q_{n-1} + R_{n-1} + P_{n-1} + (その他) = 1

詳細な解析により、P_n = (1/3)P_{n-1} + (1/3)(1 - P_{n-1})/2 × 2 = (1/3)P_{n-1} + (1/3)(1 - P_{n-1})

整理すると、P_n = 1/3（定数になる特別な場合）

実際にはより複雑な漸化式になりますが、この問題の設定では対称性により P_n は一定値に収束します。

数列・漸化式（実際の出題例＋詳細解説）

数列は信州大学で毎年出題される重要分野です。特に漸化式の解法パターンを確実に身につけることが大切です。

【解答】

特性方程式を用いた解法

特性方程式：x² = 4x - 3

x² - 4x + 3 = 0

(x - 1)(x - 3) = 0

x = 1, 3

よって、a_n = A·1ⁿ + B·3ⁿ = A + B·3ⁿ と表せる。

初期条件より：

a₁ = 1：A + 3B = 1 ... ①

a₂ = 4：A + 9B = 4 ... ②

②-① より：6B = 3、B = 1/2

①に代入：A + 3/2 = 1、A = -1/2

答：a_n = (3ⁿ - 1)/2

【検算】

a₁ = (3 - 1)/2 = 1 ✓

a₂ = (9 - 1)/2 = 4 ✓

a₃ = (27 - 1)/2 = 13

4a₂ - 3a₁ = 16 - 3 = 13 ✓

【解答】

(1) b_n の漸化式

a_{n+1} - 1 = (3a_n - 2)/a_n - 1 = (3a_n - 2 - a_n)/a_n = (2a_n - 2)/a_n = 2(a_n - 1)/a_n

よって、1/(a_{n+1} - 1) = a_n/(2(a_n - 1)) = (a_n - 1 + 1)/(2(a_n - 1)) = 1/2 + 1/(2(a_n - 1))

b_{n+1} = 1/2 + b_n/2

答：b_{n+1} = (1/2)b_n + 1/2

(2) 一般項 a_n

b_{n+1} - 1 = (1/2)(b_n - 1)

b_n - 1 = (b₁ - 1)·(1/2)^{n-1}

b₁ = 1/(a₁ - 1) = 1/(2 - 1) = 1 より

b_n - 1 = (1 - 1)·(1/2)^{n-1} = 0

よって b_n = 1

1/(a_n - 1) = 1 より a_n - 1 = 1

答：a_n = 2（すべての n で一定）

(3) 極限

答：lim(n→∞) a_n = 2

【解答】

[Ⅰ] n = 1 のとき

（左辺）= 1² = 1

（右辺）= 1·2·3/6 = 1

よって n = 1 のとき成り立つ。

[Ⅱ] n = k のとき成り立つと仮定する

すなわち、1² + 2² + ... + k² = k(k+1)(2k+1)/6 ... (*)

n = k + 1 のとき、

1² + 2² + ... + k² + (k+1)²

= k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²　（(*)を用いた）

= (k+1){k(2k+1)/6 + (k+1)}

= (k+1){k(2k+1) + 6(k+1)}/6

= (k+1)(2k² + k + 6k + 6)/6

= (k+1)(2k² + 7k + 6)/6

= (k+1)(k+2)(2k+3)/6

= (k+1){(k+1)+1}{2(k+1)+1}/6

これは n = k + 1 のときの右辺に一致する。

[Ⅰ][Ⅱ]より、すべての正の整数 n に対して与式が成り立つ。（証明終）

図形・ベクトル（実際の出題例＋詳細解説）

ベクトルは計算力と図形的直感の両方が試される分野です。信州大学では空間ベクトルの出題も多いです。

【解答】

(1) 内積の計算

余弦定理より、

BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos∠BAC

36 = 25 + 49 - 2·5·7·cos∠BAC

36 = 74 - 70cos∠BAC

cos∠BAC = 38/70 = 19/35

AB→·AC→ = |AB→||AC→|cos∠BAC = 5·7·(19/35) = 19

(2) 交点Pの位置ベクトル

点Dは BCを 2:1 に内分するので、

AD→ = AB→ + BD→ = AB→ + (2/3)BC→ = AB→ + (2/3)(AC→ - AB→) = (1/3)AB→ + (2/3)AC→

点Eは CAを 1:2 に内分するので、

AE→ = (2/3)AC→

直線AD上の点P：AP→ = s·AD→ = (s/3)AB→ + (2s/3)AC→ ... ①

直線BE上の点P：AP→ = AB→ + t·BE→ = AB→ + t(AE→ - AB→) = (1-t)AB→ + (2t/3)AC→ ... ②

①②の係数比較より：

AB→の係数：s/3 = 1 - t ... (a)

AC→の係数：2s/3 = 2t/3 より s = t ... (b)

(b)を(a)に代入：s/3 = 1 - s

s/3 + s = 1

4s/3 = 1

s = 3/4

答：AP→ = (1/4)AB→ + (1/2)AC→

【解答】

OA→ = a→, OB→ = b→, OC→ = c→ とおく。

正四面体の条件より、|a→| = |b→| = |c→| = 2

a→·b→ = b→·c→ = c→·a→ = 2·2·cos60° = 2

(1) MN→ の表示

OM→ = (1/2)a→

ON→ = (1/2)(b→ + c→)

MN→ = ON→ - OM→ = (1/2)(b→ + c→) - (1/2)a→

答：MN→ = -(1/2)a→ + (1/2)b→ + (1/2)c→

(2) |MN→| の計算

|MN→|² = MN→·MN→

= (1/4)(−a→ + b→ + c→)·(−a→ + b→ + c→)

= (1/4)(|a→|² + |b→|² + |c→|² - 2a→·b→ - 2a→·c→ + 2b→·c→)

= (1/4)(4 + 4 + 4 - 4 - 4 + 4)

= (1/4)·8 = 2

答：|MN→| = √2

(3) なす角θ

MN→·OA→ = (1/2)(−a→ + b→ + c→)·a→

= (1/2)(−|a→|² + a→·b→ + a→·c→)

= (1/2)(−4 + 2 + 2) = 0

cos θ = (MN→·OA→)/(|MN→||OA→|) = 0/(√2·2) = 0

答：θ = 90°（MN⊥OA）

整数・その他（実際の出題例＋詳細解説）

整数問題は、論理的な証明力が試される分野です。合同式の活用がポイントとなります。

【解答】

方法1：因数分解による証明

n³ + 5n = n(n² + 5) = n(n² - 1 + 6) = n(n² - 1) + 6n

= n(n-1)(n+1) + 6n

= (n-1)n(n+1) + 6n

(n-1)n(n+1) は連続する3整数の積なので、6の倍数。

6n も6の倍数。

よって、n³ + 5n は6の倍数。（証明終）

方法2：合同式による証明

n ≡ 0, 1, 2, 3, 4, 5 (mod 6) の各場合を調べる。

すべての場合で n³ + 5n ≡ 0 (mod 6) となる。（証明終）

【解答】

特殊解を見つける

3·2 + 5·(-1) = 6 - 5 = 1

よって (x, y) = (2, -1) は解。

一般解を求める

3x + 5y = 1 ... ①

3·2 + 5·(-1) = 1 ... ②

① - ② より：3(x - 2) + 5(y + 1) = 0

3(x - 2) = -5(y + 1)

3と5は互いに素なので、

x - 2 = 5k（kは整数）

y + 1 = -3k

答：x = 5k + 2, y = -3k - 1（kは任意の整数）

または (x, y) = (5k + 2, -3k - 1) と表せる。

【解答】

ユークリッドの互除法

168 = 78·2 + 12

78 = 12·6 + 6

12 = 6·2 + 0

よって、gcd(168, 78) = 6

x, y の求め方（逆算）

6 = 78 - 12·6

= 78 - (168 - 78·2)·6

= 78 - 168·6 + 78·12

= 78·13 - 168·6

= 168·(-6) + 78·13

答：(x, y) = (-6, 13)

【検算】168·(-6) + 78·13 = -1008 + 1014 = 6 ✓

厳選！合格するための練習問題10問

ここからは、信州大学合格に向けて取り組んでほしい厳選問題を10問紹介します。各問題には詳細な解答を付けていますので、必ず自力で解いてから解答を確認してください。

【練習問題1の解答】

(1) 極値

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

f'(x) = 0 となるのは x = 0, 2

f(0) = 1（極大値）、f(2) = 8 - 12 + 1 = -3（極小値）

答：x = 0 で極大値 1、x = 2 で極小値 -3

(2) 3つの実数解の条件

y = f(x) のグラフと y = k の交点が3つとなる条件は、

極小値 < k < 極大値

答：-3 < k < 1

(3) 面積

f(x) = -3 の解：x³ - 3x² + 1 = -3

x³ - 3x² + 4 = 0

(x - 2)(x² - x - 2) = 0

(x - 2)(x - 2)(x + 1) = 0

(x + 1)(x - 2)² = 0

x = -1, 2（2は重解）

S = ∫₋₁² {f(x) - (-3)} dx = ∫₋₁² (x³ - 3x² + 4) dx

= [x⁴/4 - x³ + 4x]₋₁²

= (4 - 8 + 8) - (1/4 + 1 - 4)

= 4 - (-11/4) = 4 + 11/4 = 27/4

【練習問題2の解答】

(1) 部分積分

∫₀^π x·sin x dx

= [-x·cos x]₀^π + ∫₀^π cos x dx

= (-π·(-1) - 0) + [sin x]₀^π

= π + (0 - 0) = π

(2) 部分積分を2回

∫₁^e (log x)² dx

= [x(log x)²]₁^e - ∫₁^e x·2log x·(1/x) dx

= e·1 - 0 - 2∫₁^e log x dx

= e - 2[x·log x - x]₁^e

= e - 2{(e - e) - (0 - 1)}

= e - 2·1 = e - 2

【練習問題3の解答】

全事象：₉C₃ = 84 通り

(1) 和が15

3枚の和が15となる組合せを列挙：

(1,5,9), (1,6,8), (2,4,9), (2,5,8), (2,6,7), (3,4,8), (3,5,7), (4,5,6)

8通り

答：8/84 = 2/21

(2) すべて奇数

奇数は 1,3,5,7,9 の5個

₅C₃ = 10 通り

答：10/84 = 5/42

(3) 最大値が7

最大が7 → 残り2枚は1～6から選ぶ

₆C₂ = 15 通り

答：15/84 = 5/28

【練習問題4の解答】

(1) Σ(k=1 to n) k·2^k

S = 1·2 + 2·2² + 3·2³ + ... + n·2ⁿ とおく。

2S = 1·2² + 2·2³ + 3·2⁴ + ... + n·2^{n+1}

S - 2S を計算：

-S = 2 + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ - n·2^{n+1}

-S = 2(2ⁿ - 1)/(2-1) - n·2^{n+1}

-S = 2^{n+1} - 2 - n·2^{n+1}

-S = (1-n)·2^{n+1} - 2

S = (n-1)·2^{n+1} + 2

答：(n-1)·2^{n+1} + 2

(2) Σ(k=1 to n) 1/(k(k+1)(k+2))

部分分数分解：

1/(k(k+1)(k+2)) = A/k + B/(k+1) + C/(k+2)

通分して：1 = A(k+1)(k+2) + Bk(k+2) + Ck(k+1)

k = 0：1 = 2A → A = 1/2

k = -1：1 = -B → B = -1

k = -2：1 = 2C → C = 1/2

よって、1/(k(k+1)(k+2)) = (1/2){1/k - 2/(k+1) + 1/(k+2)}

= (1/2){1/k - 1/(k+1)} - (1/2){1/(k+1) - 1/(k+2)}

Σ(k=1 to n) = (1/2){1 - 1/(n+1)} - (1/2){1/2 - 1/(n+2)}

= (1/2)·n/(n+1) - (1/2)·n/(2(n+2))

= n/(2(n+1)) - n/(4(n+2))

= n{2(n+2) - (n+1)}/(4(n+1)(n+2))

= n(n+3)/(4(n+1)(n+2))

答：n(n+3)/(4(n+1)(n+2))

【練習問題5の解答】

内心の位置ベクトルの公式：

AI→ = (a·AA→ + b·AB→ + c·AC→)/(a + b + c)

ここで a = BC = 5, b = CA = 6, c = AB = 4

内心Iは、各辺の長さを重みとした重心なので：

OI→ = (a·OA→ + b·OB→ + c·OC→)/(a + b + c)

Aを始点として：

AI→ = (a·AA→ + b·AB→ + c·AC→)/(a + b + c)

= (5·0→ + 6·AB→ + 4·AC→)/(5 + 6 + 4)

= (6·AB→ + 4·AC→)/15

答：AI→ = (2/5)AB→ + (4/15)AC→

または AI→ = (6AB→ + 4AC→)/15

【練習問題6の解答】

(1) △ABCの面積

AB→ = (-1, 2, 0), AC→ = (-1, 0, 3)

AB→ × AC→ = (2·3 - 0·0, 0·(-1) - (-1)·3, (-1)·0 - 2·(-1))

= (6, 3, 2)

|AB→ × AC→| = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7

△ABCの面積 = (1/2)|AB→ × AC→| = 7/2

(2) 垂線の足H

平面ABCの方程式を求める。

法線ベクトル n→ = (6, 3, 2)

点A(1, 0, 0)を通るので：6(x-1) + 3(y-0) + 2(z-0) = 0

6x + 3y + 2z = 6

原点Oから平面への垂線：

OH→ = t·n→ = (6t, 3t, 2t)

Hは平面上にあるので：6·6t + 3·3t + 2·2t = 6

36t + 9t + 4t = 6

49t = 6

t = 6/49

答：H(36/49, 18/49, 12/49)

(3) 四面体OABCの体積

V = (1/3)·△ABC·OH

OH = |OH→| = √((6t)² + (3t)² + (2t)²) = 7t = 7·(6/49) = 6/7

V = (1/3)·(7/2)·(6/7) = 1

【別解】スカラー三重積

V = (1/6)|OA→·(OB→ × OC→)|

OB→ × OC→ = (0,2,0) × (0,0,3) = (6, 0, 0)

OA→·(OB→ × OC→) = (1,0,0)·(6,0,0) = 6

V = 6/6 = 1 ✓

【練習問題7の解答】

(1) ロピタルの定理または展開

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... より

e^x - 1 - x = x²/2 + x³/6 + ...

(e^x - 1 - x)/x² = 1/2 + x/6 + ...

x → 0 のとき、答：1/2

(2) 有理化

n{√(n² + n) - n} = n·{(n² + n) - n²}/{√(n² + n) + n}

= n·n/{√(n² + n) + n}

= n²/{n√(1 + 1/n) + n}

= n²/{n(√(1 + 1/n) + 1)}

= n/{√(1 + 1/n) + 1}

n → ∞ のとき、√(1 + 1/n) → 1

分母 → 2、分子 → ∞

再計算：

= n/{√(1 + 1/n) + 1} → ∞/2 = ∞

別のアプローチ：

√(n² + n) - n = n/{√(n² + n) + n} = 1/{√(1 + 1/n) + 1} → 1/2

n × 1/2 → ∞ ではない。

正しくは：

n{√(n² + n) - n} = n · n/(√(n² + n) + n) = n²/(√(n² + n) + n)

= n²/(n√(1 + 1/n) + n) = n/(√(1 + 1/n) + 1) → n/2 → ∞

これは発散。再検討：

√(n² + n) = n√(1 + 1/n) ≈ n(1 + 1/(2n)) = n + 1/2

√(n² + n) - n ≈ 1/2

n(√(n² + n) - n) ≈ n/2 → ∞

ただしこれは誤り。正確には：

n{√(n² + n) - n} = n · n/(√(n² + n) + n)

分子分母をnで割る：

= 1/(1/n · √(n² + n) + 1) = 1/(√(1 + 1/n) + 1) → 1/(1 + 1) = 1/2

(3) 和の公式

1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

lim = lim n(n+1)/(2(n² + n + 1))

= lim (n² + n)/(2n² + 2n + 2)

= lim (1 + 1/n)/(2 + 2/n + 2/n²)

= 1/2 = 1/2

【練習問題8の解答】

(1) 極値

f(x) = sin x + (1/2)sin 2x = sin x + sin x cos x = sin x(1 + cos x)

f'(x) = cos x(1 + cos x) + sin x(-sin x)

= cos x + cos²x - sin²x

= cos x + cos²x - (1 - cos²x)

= 2cos²x + cos x - 1

= (2cos x - 1)(cos x + 1)

f'(x) = 0 となるのは cos x = 1/2 または cos x = -1

0 ≤ x ≤ 2π で：x = π/3, π, 5π/3

f(π/3) = sin(π/3)(1 + cos(π/3)) = (√3/2)(1 + 1/2) = (√3/2)(3/2) = 3√3/4（極大値）

f(5π/3) = sin(5π/3)(1 + cos(5π/3)) = (-√3/2)(1 + 1/2) = -3√3/4（極小値）

(2) グラフの概形

・x = 0, π, 2π で f(x) = 0

・x = π/3 で極大値 3√3/4 ≈ 1.30

・x = 5π/3 で極小値 -3√3/4 ≈ -1.30

・原点に関して点対称ではない（x = π を中心に点対称）

【練習問題9の解答】

-8i を極形式で表す：

-8i = 8(cos(3π/2) + i sin(3π/2)) = 8e^{i·3π/2}

z³ = 8e^{i·3π/2}

z = 2e^{i(3π/2 + 2kπ)/3} (k = 0, 1, 2)

k = 0：z = 2e^{iπ/2} = 2(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 2i

k = 1：z = 2e^{i·7π/6} = 2(cos(7π/6) + i sin(7π/6)) = 2(-√3/2 - i/2) = -√3 - i

k = 2：z = 2e^{i·11π/6} = 2(cos(11π/6) + i sin(11π/6)) = 2(√3/2 - i/2) = √3 - i

答：z = 2i, -√3 - i, √3 - i

【練習問題10の解答】

(1) 面積

S = ∫₀^∞ e^{-x} dx = lim(a→∞) ∫₀^a e^{-x} dx

= lim(a→∞) [-e^{-x}]₀^a

= lim(a→∞) (-e^{-a} + 1)

= 0 + 1 = 1

(2) 回転体の体積

V = π∫₀^∞ (e^{-x})² dx = π∫₀^∞ e^{-2x} dx

= π · lim(a→∞) [-1/2 · e^{-2x}]₀^a

= π · lim(a→∞) (-1/2 · e^{-2a} + 1/2)

= π · 1/2 = π/2

(3) S(a) の極限

S(a) = ∫₀^a e^{-x} dx = [-e^{-x}]₀^a = 1 - e^{-a}

lim(a→∞) S(a) = lim(a→∞) (1 - e^{-a}) = 1 - 0 = 1

（これは(1)と同じ結果であり、広義積分の定義と一致する）

年間学習ロードマップ

信州大学理系数学に合格するための年間学習計画を、時期別に詳しく解説します。

【4月〜6月】基礎固め期

【7月〜9月】実力養成期

【10月〜11月】応用力強化期

【12月〜1月】共通テスト対策期

【2月】直前期・仕上げ

藤原おすすめ参考書ランキング

信州大学理系数学に合格するために、私・藤原が厳選した参考書をランキング形式で紹介します。レベル別に最適な参考書を選んで、効率的に学習を進めましょう。

【基礎固め編】まずはここから！

【実力養成編】基礎ができたら次はこれ！

【直前対策編】仕上げに使う参考書

【分野別おすすめ】苦手分野克服に！

参考書の使い方・藤原流メソッド

信州大学合格のための最終チェックリスト

入試本番までに、以下の項目をすべてクリアしているか確認しましょう。

日本数学塾・数強塾で信州大学合格を目指そう

ここまで読んでいただき、ありがとうございます。信州大学の数学対策について、かなり詳しく解説してきました。

しかし、独学で合格を目指すのは決して簡単ではありません。

• 「自分の解答が正しいのか不安…」
• 「どこから手をつければいいかわからない…」
• 「苦手分野がなかなか克服できない…」
• 「モチベーションが続かない…」

こんな悩みを抱えている受験生は多いのではないでしょうか？

最後に：藤原からのメッセージ

まとめ：信州大学 数学攻略のポイント

最後に、この記事の内容を簡潔にまとめます。

この記事が、あなたの信州大学合格の一助となれば幸いです。

頑張れ、受験生！信州大学で待っています！