【横浜市立大学 数学 傾向と対策】医学部｜藤原進之介が徹底解説

【解答】

(1) 極値を求める

f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1 を微分すると、

f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)

f'(x) = 0 となるのは x = 1, 3

増減表は以下の通り：

f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5（極大値）

f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1（極小値）

答：x = 1 で極大値 5、x = 3 で極小値 1

(2) グラフの概形

・x → ∞ のとき f(x) → ∞

・x → -∞ のとき f(x) → -∞

・f(0) = 1（y切片）

・(1, 5) で極大、(3, 1) で極小

これらの情報から、3次関数の典型的なS字型のグラフが描けます。

【解答】

(1) 交点の座標

x² - 2x = x を解く

x² - 3x = 0

x(x - 3) = 0

x = 0, 3

交点の座標は (0, 0) と (3, 3)

(2) 面積 S

0 ≤ x ≤ 3 の範囲で、l が C より上にあるので、

S = ∫₀³ {x - (x² - 2x)} dx

= ∫₀³ (3x - x²) dx

= [3x²/2 - x³/3]₀³

= (27/2 - 9) - 0

= 27/2 - 18/2

= 9/2

【解答】

部分積分法を用いる。

∫ u dv = uv - ∫ v du の公式で、

u = x, dv = e^x dx とおくと、

du = dx, v = e^x

I = [x·e^x]₀¹ - ∫₀¹ e^x dx

= (1·e - 0) - [e^x]₀¹

= e - (e - 1)

= 1

【解答】

回転体の体積の公式 V = π∫ y² dx を用いる。

V = π∫₀⁴ (√x)² dx

= π∫₀⁴ x dx

= π[x²/2]₀⁴

= π(8 - 0)

= 8π

【解答】

出た目の和が7となる場合を列挙する：

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) の6通り

このうち、少なくとも一方が3である場合：

(3, 4), (4, 3) の2通り

よって、求める条件付き確率は 2/6 = 1/3

【解答】

(1) P₁, P₂

時計回りに移動する確率 = 2/6 = 1/3

反時計回りに移動する確率 = 4/6 = 2/3

P₁：1回後にAにいる確率は 0（必ずBかCに移動）

P₁ = 0

P₂：2回後にAに戻る経路

• A → B → A：(1/3) × (2/3) = 2/9
• A → C → A：(2/3) × (1/3) = 2/9

P₂ = 4/9

(2) 漸化式

n+1 回後にAにいるには、n回後にBかCにいて、そこからAに移動する必要がある。

n回後にBにいる確率を Q_n、Cにいる確率を R_n とすると、

対称性より Q_n = R_n = (1 - P_n)/2

BからAへ：確率 2/3

CからAへ：確率 1/3

P_n+1 = Q_n × (2/3) + R_n × (1/3)

= (1 - P_n)/2 × (2/3) + (1 - P_n)/2 × (1/3)

= (1 - P_n)/2 × (2/3 + 1/3)

= (1 - P_n)/2

P_n+1 = (1 - P_n)/2

(3) 一般項

P_n+1 = (1 - P_n)/2

P_n+1 = -P_n/2 + 1/2

特性方程式：α = -α/2 + 1/2 より α = 1/3

P_n+1 - 1/3

P_n+1 - 1/3 = -1/2(P_n - 1/3)

数列 {P_n - 1/3} は初項 P₁ - 1/3 = 0 - 1/3 = -1/3、公比 -1/2 の等比数列なので、

P_n - 1/3 = -1/3 × (-1/2)^n-1

P_n = 1/3 - 1/3 × (-1/2)^n-1

P_n = 1/3{1 - (-1/2)^n-1}

または、

P_n = 1/3 + (-1)ⁿ/3 × (1/2)^n-1

【解答】

|a - b| = k となる確率 P(k) を k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 について求める。

全事象：6 × 6 = 36 通り

• k = 0（a = b）：6通り → P(0) = 6/36
• k = 1（|a - b| = 1）：(1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4), (5,6), (6,5) → 10通り → P(1) = 10/36
• k = 2：(1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4) → 8通り → P(2) = 8/36
• k = 3：(1,4), (4,1), (2,5), (5,2), (3,6), (6,3) → 6通り → P(3) = 6/36
• k = 4：(1,5), (5,1), (2,6), (6,2) → 4通り → P(4) = 4/36
• k = 5：(1,6), (6,1) → 2通り → P(5) = 2/36

期待値 E[|a - b|] = Σ k × P(k)

= 0 × 6/36 + 1 × 10/36 + 2 × 8/36 + 3 × 6/36 + 4 × 4/36 + 5 × 2/36

= (0 + 10 + 16 + 18 + 16 + 10)/36

= 70/36

= 35/18

【解答】

特性方程式：α = 3α - 4 より α = 2

a_n+1 - 2 = 3(a_n - 2)

b_n = a_n - 2 とおくと、

b_n+1 = 3b_n

b₁ = a₁ - 2 = 0

よって b_n = 0 × 3^n-1 = 0

a_n = b_n + 2 = 2（定数列）

【解答】

a_n+1 - a_n = 2n より、階差数列 b_n = 2n

n ≥ 2 のとき、

a_n = a₁ + Σ_k=1^n-1 2k

= 1 + 2 × (n-1)n/2

= 1 + n(n-1)

= n² - n + 1

n = 1 のとき：a₁ = 1 - 1 + 1 = 1 ✓（成立）

a_n = n² - n + 1

【解答】

[Ⅰ] n = 1 のとき

左辺 = 2¹ = 2、右辺 = 1

2 > 1 より成立。

[Ⅱ] n = k（k ≥ 1）のとき成立すると仮定

すなわち、2^k > k と仮定する。

n = k + 1 のとき、

2^k+1 = 2 × 2^k > 2k（仮定より）

ここで、k ≥ 1 より 2k ≥ 2 > 1 なので、

2k = k + k ≥ k + 1

よって、2^k+1 > 2k ≥ k + 1

すなわち、2^k+1 > k + 1

n = k + 1 のときも成立。

[Ⅰ], [Ⅱ]より、すべての正の整数 n に対して 2ⁿ > n が成り立つ。

【解答】

AB = b、AC = c とおく。

D は BC を 2:1 に内分するので、

AD = AB + BD = b + 2/3(AC - AB) = b + 2/3(c - b) = 1/3b + 2/3c

E は AC を 1:2 に内分するので、

AE = 1/3c

P は AD 上にあるので、AP = s·AD = s(1/3b + 2/3c)（0 < s < 1）

P は BE 上にあるので、AP = AB + t·BE = b + t(AE - AB) = b + t(1/3c - b) = (1-t)b + t/3c（0 < t < 1）

b、c の係数を比較して、

s/3 = 1 - t ···①

2s/3 = t/3 ···②

②より t = 2s

①に代入：s/3 = 1 - 2s

s/3 + 2s = 1

7s/3 = 1

s = 3/7

よって、

AP = 3/7 × (1/3b + 2/3c) = 1/7b + 2/7c = (1/7)AB + (2/7)AC

【解答】

(1) 平面の方程式

平面の方程式を ax + by + cz = 1 とおく（切片形式）。

A(2, 0, 0) を通る：2a = 1 → a = 1/2

B(0, 3, 0) を通る：3b = 1 → b = 1/3

C(0, 0, 6) を通る：6c = 1 → c = 1/6

よって、平面の方程式は：

x/2 + y/3 + z/6 = 1

両辺を6倍して整理：

3x + 2y + z = 6

(2) 垂線の足Hの座標

平面の法線ベクトルは n = (3, 2, 1)

原点Oから平面に下ろした垂線は、法線ベクトルの方向なので、

直線OHのパラメータ表示：(x, y, z) = t(3, 2, 1) = (3t, 2t, t)

これが平面 3x + 2y + z = 6 上にあるとき、

3(3t) + 2(2t) + t = 6

9t + 4t + t = 6

14t = 6

t = 3/7

H = (9/7, 6/7, 3/7)

(3) 四面体OABCの体積

底面を三角形ABCとすると、高さは OH の長さ。

OH = |t| × |n| = 3/7 × √(9 + 4 + 1) = 3/7 × √14 = 3√14/7

三角形ABCの面積を求める：

AB = (-2, 3, 0)、AC = (-2, 0, 6)

AB × AC = (3×6 - 0×0, 0×(-2) - (-2)×6, (-2)×0 - 3×(-2))

= (18, 12, 6)

|AB × AC| = √(324 + 144 + 36) = √504 = 6√14

△ABCの面積 = 1/2 × 6√14 = 3√14

四面体の体積 V = 1/3 × 底面積 × 高さ

= 1/3 × 3√14 × 3√14/7

= 1/3 × 9 × 14/7

= 1/3 × 18

= 6

【解答】

n³ + 3n² + 2n = n(n² + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2)

これは連続する3つの正の整数の積である。

2の倍数であることの証明：

連続する2つの整数のうち少なくとも1つは偶数なので、n(n+1)(n+2)は2の倍数。

3の倍数であることの証明：

連続する3つの整数のうち少なくとも1つは3の倍数なので、n(n+1)(n+2)は3の倍数。

2と3は互いに素なので、n(n+1)(n+2)は2×3=6の倍数である。

よって、n³ + 3n² + 2n は6の倍数である。（証明終）

【解答】

(1) 極形式

|z| = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = 2

z = 2(1/2 + √3/2 × i) = 2(cos π/3 + i sin π/3)

z = 2(cos π/3 + i sin π/3)

(2) z⁶

ド・モアブルの定理より、

z⁶ = 2⁶(cos 6×π/3 + i sin 6×π/3)

= 64(cos 2π + i sin 2π)

= 64(1 + 0i)

= 64

【解答】

lim_x→0 (sin 3x) / x = lim_x→0 (sin 3x) / (3x) × 3

t = 3x とおくと、x → 0 のとき t → 0

= 3 × lim_t→0 (sin t) / t = 3 × 1 = 3