【行列（線形代数入門）】基礎から入試まで完全攻略｜問題30問+解説｜藤原進之介

こんにちは！日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

行列は、2022年度から高校数学（数学C）に復活した重要単元です。以前は「行列」は大学の線形代数で学ぶ内容でしたが、現在は高校生も学習することになりました。行列は数学だけでなく、物理、工学、コンピュータサイエンス、経済学など様々な分野で活用される非常に重要な概念です。

この記事では、行列の基礎概念から大学入試レベルの問題まで、段階的に完全攻略していきます。具体的な問題を基礎10問・標準10問・発展10問の合計30問用意し、すべてに詳細な解説を付けています。この1記事で行列をマスターできるよう、徹底的に解説していきますので、最後までお付き合いください！

この記事でわかること

• 行列の定義と基本演算（加法・減法・スカラー倍・行列の積）
• 行列式の計算方法（2次・3次行列式、サラスの方法、余因子展開）
• 逆行列の求め方（公式法、掃き出し法、余因子行列を用いた方法）
• 連立一次方程式への応用（行列表現、クラメルの公式）
• 固有値・固有ベクトルの求め方と意味
• 行列の対角化の方法と応用
• ケーリー・ハミルトンの定理と行列のn乗の計算
• 一次変換（線形変換）の理解と応用
• よくある間違いとその完全対策
• 共通テスト・大学入試での出題傾向
• 効率的な勉強法とおすすめ参考書

それでは、行列の世界へ一緒に踏み込んでいきましょう！

行列（線形代数入門）の基本概念と重要公式

1. 行列とは何か

行列（matrix）とは、数や式を長方形状に配列したものです。横の並びを行（row）、縦の並びを列（column）といいます。

m行n列の行列をm×n行列といい、以下のように表します：

ここで、(a_{ij}) は第i行第j列の成分を表します。

行列の種類

• 正方行列：行数と列数が等しい行列（n×n行列）
• 単位行列 E：対角成分がすべて1、他の成分がすべて0の正方行列
• 零行列 O：すべての成分が0の行列
• 対角行列：対角成分以外がすべて0の正方行列
• 対称行列：転置しても変わらない行列（(A = A^T)）
• 上三角行列・下三角行列：対角線の片側がすべて0の行列

2. 行列の演算

2.1 行列の加法・減法

同じサイズの行列同士で、対応する成分ごとに加減算を行います。

2.2 スカラー倍

行列の各成分に定数（スカラー）を掛けます。

2.3 行列の積

行列の積は最も重要な演算です。m×n行列Aとn×p行列Bの積ABは、m×p行列になります。

重要な性質：

• 一般に AB ≠ BA（交換法則は成り立たない）
• 結合法則：(AB)C = A(BC)
• 分配法則：A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC + BC
• AE = EA = A（単位行列との積）

3. 行列式

行列式（determinant）は、正方行列に対して定義される1つの数値です。行列式は逆行列の存在判定、連立方程式の解の有無の判定などに重要な役割を果たします。

3.1 2次行列式

3.2 3次行列式（サラスの方法）

3.3 余因子展開

行列式は任意の行または列について余因子展開できます。

行列式の重要な性質

• (det(AB) = det(A) cdot det(B))
• (det(A^T) = det(A))
• (det(kA) = k^n det(A))（n次正方行列の場合）
• 行（列）を入れ替えると符号が変わる
• 同じ行（列）があると行列式は0
• 1つの行（列）にk倍して他の行（列）に加えても行列式は変わらない

4. 逆行列

正方行列Aに対して、AB = BA = E となる行列BをAの逆行列といい、(A^{-1})と表します。

4.1 逆行列の存在条件

4.2 2次正方行列の逆行列公式

4.3 掃き出し法による逆行列の計算

拡大行列 ((A | E)) を行基本変形して ((E | A^{-1})) の形にする方法です。

5. 固有値と固有ベクトル

n次正方行列Aに対して、

(Avec{x} = lambdavec{x}) （(vec{x} neq vec{0})）

を満たす数λを固有値、ベクトル(vec{x})を固有ベクトルといいます。

固有値の求め方

固有ベクトルの求め方

各固有値λに対して、((A - lambda E)vec{x} = vec{0}) を解いて非自明解を求める。

6. 行列の対角化

n次正方行列Aに対して、正則行列Pを用いて

(P^{-1}AP = D)（Dは対角行列）

とできるとき、Aは対角化可能であるといいます。

対角化の応用：行列のn乗

(A = PDP^{-1}) のとき、(A^n = PD^nP^{-1})

対角行列の累乗は各対角成分を累乗するだけなので、計算が簡単になります。

7. ケーリー・ハミルトンの定理

2次正方行列の場合：

(A^2 - (text{tr}A)A + (det A)E = O)

ここで、tr A = a + d（対角成分の和：トレース）

8. 一次変換（線形変換）

行列Aによる一次変換は、ベクトル(vec{x})を(Avec{x})に写す変換です。

代表的な一次変換

• 回転：(R(theta) = begin{pmatrix} costheta & -sintheta \ sintheta & costheta end{pmatrix})
• x軸に関する対称移動：(begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix})
• y軸に関する対称移動：(begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix})
• 原点に関する対称移動：(begin{pmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix})
• 拡大・縮小：(begin{pmatrix} k & 0 \ 0 & k end{pmatrix})

9. クラメルの公式

連立一次方程式 (Avec{x} = vec{b}) において、(det(A) neq 0) のとき：

基礎問題 10問（全問解説付き）

まずは行列の基本をしっかり身につけるための基礎問題10問です。各問題には、考え方→解法→答の順で詳細な解説を付けています。

【基礎問題1】行列の加法

【考え方】

行列の加法は、同じ位置にある成分どうしを足し算します。これは最も基本的な演算なので、確実にマスターしましょう。

【解法】

(A + B = begin{pmatrix} 3 & -1 \ 2 & 5 end{pmatrix} + begin{pmatrix} -2 & 4 \ 1 & -3 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 3+(-2) & -1+4 \ 2+1 & 5+(-3) end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 1 & 3 \ 3 & 2 end{pmatrix})

【答】(begin{pmatrix} 1 & 3 \ 3 & 2 end{pmatrix})

【基礎問題2】スカラー倍と行列の演算

【考え方】

まず各行列にスカラーを掛け、その後で減算を行います。順序立てて計算することが大切です。

【解法】

3A = (3 times begin{pmatrix} 2 & -3 \ 4 & 1 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 6 & -9 \ 12 & 3 end{pmatrix})

2B = (2 times begin{pmatrix} 1 & 2 \ -1 & 3 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2 & 4 \ -2 & 6 end{pmatrix})

3A - 2B = (begin{pmatrix} 6 & -9 \ 12 & 3 end{pmatrix} - begin{pmatrix} 2 & 4 \ -2 & 6 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 6-2 & -9-4 \ 12-(-2) & 3-6 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 4 & -13 \ 14 & -3 end{pmatrix})

【答】(begin{pmatrix} 4 & -13 \ 14 & -3 end{pmatrix})

【基礎問題3】行列の積（2×2行列）

【考え方】

行列の積は「行×列」で計算します。ABの(i,j)成分は、Aの第i行とBの第j列の内積です。2×2行列の積は4つの成分を計算する必要があります。

【解法】

AB = (begin{pmatrix} 2 & 3 \ 1 & 4 end{pmatrix} begin{pmatrix} 5 & -1 \ 2 & 3 end{pmatrix})

(1,1)成分: (2 times 5 + 3 times 2 = 10 + 6 = 16)

(1,2)成分: (2 times (-1) + 3 times 3 = -2 + 9 = 7)

(2,1)成分: (1 times 5 + 4 times 2 = 5 + 8 = 13)

(2,2)成分: (1 times (-1) + 4 times 3 = -1 + 12 = 11)

よって、AB = (begin{pmatrix} 16 & 7 \ 13 & 11 end{pmatrix})

【答】(begin{pmatrix} 16 & 7 \ 13 & 11 end{pmatrix})

【基礎問題4】行列の積の非可換性

【考え方】

行列の積は一般に交換法則が成り立ちません。つまり AB ≠ BA となることが多いです。これは行列の重要な性質なので、実際に計算して確認しましょう。

【解法】

AB = (begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 0 \ 3 & 1 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 1 times 1 + 2 times 3 & 1 times 0 + 2 times 1 \ 0 times 1 + 1 times 3 & 0 times 0 + 1 times 1 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 1 end{pmatrix})

BA = (begin{pmatrix} 1 & 0 \ 3 & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 1 times 1 + 0 times 0 & 1 times 2 + 0 times 1 \ 3 times 1 + 1 times 0 & 3 times 2 + 1 times 1 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 7 end{pmatrix})

AB ≠ BA であることが確認できた。

【答】AB = (begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 1 end{pmatrix})、BA = (begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 7 続きを作成いたします。

```html

【答】AB = (begin{pmatrix} 7 & 2 \ 3 & 1 end{pmatrix})、BA = (begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 7 end{pmatrix})

AB ≠ BA であり、行列の積は一般に交換法則が成り立たない。

【基礎問題5】2次行列式の計算

【考え方】

2次行列式の公式 ad - bc を使います。「たすき掛け」のイメージで覚えましょう。左上から右下への対角線の積から、右上から左下への対角線の積を引きます。

【解法】

(detbegin{pmatrix} 5 & 3 \ 2 & 4 end{pmatrix} = 5 times 4 - 3 times 2)

(= 20 - 6)

(= 14)

【答】14

【基礎問題6】3次行列式の計算（サラスの方法）

【考え方】

3次行列式には「サラスの方法」が便利です。行列の右側に1列目、2列目を書き加え、右下がりの3本と左下がりの3本の積を考えます。右下がりを足し、左下がりを引きます。

【解法】

サラスの方法を適用：

右下がり（+）: (1 times 5 times 9 + 2 times 6 times 7 + 3 times 4 times 8)

(= 45 + 84 + 96 = 225)

左下がり（−）: (3 times 5 times 7 + 1 times 6 times 8 + 2 times 4 times 9)

(= 105 + 48 + 72 = 225)

行列式 = 225 - 225 = 0

【答】0

【補足】この行列は第3行が第1行と第2行の和になっている（7=1+2×3、8=2+2×3、9=3+2×3ではなく、各列が等差数列になっている）ため、行列式が0になります。行列式が0になることは、行（または列）が線形従属であることを意味します。

【基礎問題7】2次正方行列の逆行列

【考え方】

2次正方行列の逆行列は公式を使って求められます。まず行列式を計算し、0でないことを確認してから公式を適用します。

【解法】

Step 1: 行列式を計算

(det(A) = 3 times 4 - 2 times 5 = 12 - 10 = 2)

(det(A) = 2 neq 0) なので逆行列が存在する。

Step 2: 逆行列の公式を適用

(A^{-1} = frac{1}{det(A)}begin{pmatrix} d & -b \ -c & a end{pmatrix})

(= frac{1}{2}begin{pmatrix} 4 & -2 \ -5 & 3 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 2 & -1 \ -frac{5}{2} & frac{3}{2} end{pmatrix})

【答】(A^{-1} = begin{pmatrix} 2 & -1 \ -frac{5}{2} & frac{3}{2} end{pmatrix})

【検算】(AA^{-1} = E) を確認：

(begin{pmatrix} 3 & 2 \ 5 & 4 end{pmatrix}begin{pmatrix} 2 & -1 \ -frac{5}{2} & frac{3}{2} end{pmatrix} = begin{pmatrix} 6-5 & -3+3 \ 10-10 & -5+6 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}) ✓

【基礎問題8】行列方程式

【考え方】

行列方程式 AX = B の両辺に左から (A^{-1}) を掛けると、X = (A^{-1}B) となります。まず A の逆行列を求め、それを B に掛けます。

【解法】

Step 1: A の逆行列を求める

(det(A) = 2 times 2 - 1 times 3 = 4 - 3 = 1)

(A^{-1} = frac{1}{1}begin{pmatrix} 2 & -1 \ -3 & 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2 & -1 \ -3 & 2 end{pmatrix})

Step 2: X = (A^{-1}B) を計算

(X = begin{pmatrix} 2 & -1 \ -3 & 2 end{pmatrix}begin{pmatrix} 5 & 3 \ 8 & 5 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 2 times 5 + (-1) times 8 & 2 times 3 + (-1) times 5 \ (-3) times 5 + 2 times 8 & (-3) times 3 + 2 times 5 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 10 - 8 & 6 - 5 \ -15 + 16 & -9 + 10 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 end{pmatrix})

【答】(X = begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 end{pmatrix})

【基礎問題9】固有値の計算

【考え方】

固有値は固有方程式 (det(A - lambda E) = 0) を解いて求めます。2次正方行列の場合、これは λ についての2次方程式になります。

【解法】

Step 1: (A - lambda E) を計算

(A - lambda E = begin{pmatrix} 4 & 2 \ 1 & 3 end{pmatrix} - begin{pmatrix} lambda & 0 \ 0 & lambda end{pmatrix} = begin{pmatrix} 4-lambda & 2 \ 1 & 3-lambda end{pmatrix})

Step 2: 固有方程式を立てる

(det(A - lambda E) = (4-lambda)(3-lambda) - 2 times 1 = 0)

(12 - 4lambda - 3lambda + lambda^2 - 2 = 0)

(lambda^2 - 7lambda + 10 = 0)

Step 3: 2次方程式を解く

((lambda - 2)(lambda - 5) = 0)

(lambda = 2, 5)

【答】固有値は λ = 2, 5

【基礎問題10】固有ベクトルの計算

【考え方】

固有値 λ に対する固有ベクトルは、((A - lambda E)vec{x} = vec{0}) の非自明解として求めます。各固有値について連立方程式を解きます。

【解法】

λ = 2 の場合：

((A - 2E)vec{x} = vec{0})

(begin{pmatrix} 4-2 & 2 \ 1 & 3-2 end{pmatrix}begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix})

(begin{pmatrix} 2 & 2 \ 1 & 1 end{pmatrix}begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix})

これより (2x + 2y = 0)、すなわち (x + y = 0)、(y = -x)

x = 1 とすると、固有ベクトルは (vec{p_1} = begin{pmatrix} 1 \ -1 end{pmatrix})（または定数倍）

λ = 5 の場合：

((A - 5E)vec{x} = vec{0})

(begin{pmatrix} 4-5 & 2 \ 1 & 3-5 end{pmatrix}begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix})

(begin{pmatrix} -1 & 2 \ 1 & -2 end{pmatrix}begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix})

これより (-x + 2y = 0)、すなわち (x = 2y)

y = 1 とすると、固有ベクトルは (vec{p_2} = begin{pmatrix} 2 \ 1 end{pmatrix})（または定数倍）

【答】

λ = 2 に対応する固有ベクトル：(begin{pmatrix} 1 \ -1 end{pmatrix})（の定数倍）

λ = 5 に対応する固有ベクトル：(begin{pmatrix} 2 \ 1 end{pmatrix})（の定数倍）

標準問題 10問（全問解説付き）

基礎を固めたら、次は入試頻出パターンの標準問題に挑戦しましょう。パターン別に整理して解説していきます。

【標準問題1】3次行列式の余因子展開

【考え方】

余因子展開は、0が多い行や列で展開すると計算が楽になります。この行列では第1列に0があるので、第1列で展開するのが効率的です。

【解法】

第1列で余因子展開します。

(det(A) = a_{11}C_{11} + a_{21}C_{21} + a_{31}C_{31})

(= 2 cdot C_{11} + 0 cdot C_{21} + 5 cdot C_{31})

(= 2 cdot C_{11} + 5 cdot C_{31})

(C_{11} = (-1)^{1+1}detbegin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 6 end{pmatrix} = (4 times 6 - 1 times 2) = 24 - 2 = 22)

(C_{31} = (-1)^{3+1}detbegin{pmatrix} 1 & 3 \ 4 & 1 end{pmatrix} = (1 times 1 - 3 times 4) = 1 - 12 = -11)

(det(A) = 2 times 22 + 5 times (-11) = 44 - 55 = -11)

【答】-11

【標準問題2】掃き出し法による逆行列

【考え方】

拡大行列 (A | E) を作り、行基本変形によって左側を単位行列に変形します。そのとき右側に現れる行列が逆行列です。

【解法】

拡大行列を作る：

(left(begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 2 & 5 & 3 & 0 & 1 & 0 \ 1 & 3 & 3 & 0 & 0 & 1 end{array}right))

Step 1: R2 ← R2 - 2R1、R3 ← R3 - R1

(left(begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 & 1 end{array}right))

Step 2: R3 ← R3 - R2

(left(begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 end{array}right))

Step 3: R2 ← R2 - R3、R1 ← R1 - R3

(left(begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & -1 \ 0 & 1 & 0 & -3 & 2 & -1 \ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 end{array}right))

Step 4: R1 ← R1 - 2R2

(left(begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 6 & -3 & 1 \ 0 & 1 & 0 & -3 & 2 & -1 \ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 end{array}right))

【答】(A^{-1} = begin{pmatrix} 6 & -3 & 1 \ -3 & 2 & -1 \ 1 & -1 & 1 end{pmatrix})

【標準問題3】連立方程式の行列による解法

【考え方】

連立方程式を行列形式 (Avec{x} = vec{b}) で表し、(vec{x} = A^{-1}vec{b}) として解きます。

【解法】

行列形式で表す：

(begin{pmatrix} 2 & 3 \ 5 & 7 end{pmatrix}begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8 \ 19 end{pmatrix})

係数行列 A の逆行列を求める：

(det(A) = 2 times 7 - 3 times 5 = 14 - 15 = -1)

(A^{-1} = frac{1}{-1}begin{pmatrix} 7 & -3 \ -5 & 2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} -7 & 3 \ 5 & -2 end{pmatrix})

解を計算：

(begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = begin{pmatrix} -7 & 3 \ 5 & -2 end{pmatrix}begin{pmatrix} 8 \ 19 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} -56 + 57 \ 40 - 38 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 \ 2 end{pmatrix})

【答】x = 1, y = 2

【標準問題4】クラメルの公式

【考え方】

クラメルの公式では、各変数の値を行列式の比として求めます。(x_i = frac{det(A_i)}{det(A)}) ここで (A_i) は A の第 i 列を定数項ベクトルで置き換えた行列です。

【解法】

係数行列：(A = begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 2 & 3 & 2 \ 1 & 1 & 2 end{pmatrix})

Step 1: (det(A)) を計算（サラスの方法）

(det(A) = 1 cdot 3 cdot 2 + 2 cdot 2 cdot 1 + 1 cdot 2 cdot 1 - 1 cdot 3 cdot 1 - 2 cdot 2 cdot 2 - 1 cdot 2 cdot 1)

(= 6 + 4 + 2 - 3 - 8 - 2 = -1)

Step 2: (det(A_1)) を計算（第1列を定数項で置換）

(A_1 = begin{pmatrix} 6 & 2 & 1 \ 11 & 3 & 2 \ 6 & 1 & 2 end{pmatrix})

(det(A_1) = 6 cdot 3 cdot 2 + 2 cdot 2 cdot 6 + 1 cdot 11 cdot 1 - 1 cdot 3 cdot 6 - 2 cdot 2 cdot 6 - 6 cdot 11 cdot 2)

(= 36 + 24 + 11 - 18 - 24 - 132 = -103)

（※計算を再確認）

(det(A_1) = 36 + 24 + 11 - 18 - 24 - 12 = 17)... 計算し直します。

正しくは：(6 cdot 3 cdot 2 + 2 cdot 2 cdot 6 + 1 cdot 11 cdot 1 - 1 cdot 3 cdot 6 - 2 cdot 11 cdot 2 - 6 cdot 2 cdot 1)

(= 36 + 24 + 11 - 18 - 44 - 12 = -3)

Step 3: (det(A_2)) を計算（第2列を定数項で置換）

(A_2 = begin{pmatrix} 1 & 6 & 1 \ 2 & 11 & 2 \ 1 & 6 & 2 end{pmatrix})

(det(A_2) = 1 cdot 11 cdot 2 + 6 cdot 2 cdot 1 + 1 cdot 2 cdot 6 - 1 cdot 11 cdot 1 - 6 cdot 2 cdot 2 - 1 cdot 2 cdot 6)

(= 22 + 12 + 12 - 11 - 24 - 12 = -1)

Step 4: (det(A_3)) を計算（第3列を定数項で置換）

(A_3 = begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \ 2 & 3 & 11 \ 1 & 1 & 6 end{pmatrix})

(det(A_3) = 1 cdot 3 cdot 6 + 2 cdot 11 cdot 1 + 6 cdot 2 cdot 1 - 6 cdot 3 cdot 1 - 2 cdot 2 cdot 6 - 1 cdot 11 cdot 1)

(= 18 + 22 + 12 - 18 - 24 続きを作成いたします。

```html

(= 18 + 22 + 12 - 18 - 24 - 11 = -1)

Step 5: 解を求める

(x = frac{det(A_1)}{det(A)} = frac{-3}{-1} = 3)

(y = frac{det(A_2)}{det(A)} = frac{-1}{-1} = 1)

(z = frac{det(A_3)}{det(A)} = frac{-1}{-1} = 1)

【検算】

(x + 2y + z = 3 + 2 + 1 = 6) ✓

(2x + 3y + 2z = 6 + 3 + 2 = 11) ✓

(x + y + 2z = 3 + 1 + 2 = 6) ✓

【答】x = 3, y = 1, z = 1

【標準問題5】行列の対角化

【考え方】

対角化の手順は：①固有値を求める→②各固有値に対する固有ベクトルを求める→③固有ベクトルを列ベクトルとして並べた行列が P となります。

【解法】

Step 1: 固有値を求める

(det(A - lambda E) = 0)

(detbegin{pmatrix} 5-lambda & 4 \ 2 & 3-lambda end{pmatrix} = 0)

((5-lambda)(3-lambda) - 8 = 0)

(15 - 5lambda - 3lambda + lambda^2 - 8 = 0)

(lambda^2 - 8lambda + 7 = 0)

((lambda - 1)(lambda - 7) = 0)

固有値：(lambda = 1, 7)

Step 2: 固有ベクトルを求める

λ = 1 の場合：

((A - E)vec{x} = vec{0})

(begin{pmatrix} 4 & 4 \ 2 & 2 end{pmatrix}begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix})

(4x + 4y = 0) より (x = -y)

固有ベクトル：(vec{p_1} = begin{pmatrix} 1 \ -1 end{pmatrix})

λ = 7 の場合：

((A - 7E)vec{x} = vec{0})

(begin{pmatrix} -2 & 4 \ 2 & -4 end{pmatrix}begin{pmatrix} x \ y end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 end{pmatrix})

(-2x + 4y = 0) より (x = 2y)

固有ベクトル：(vec{p_2} = begin{pmatrix} 2 \ 1 end{pmatrix})

Step 3: P と D を構成

(P = begin{pmatrix} 1 & 2 \ -1 & 1 end{pmatrix})、(D = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 7 end{pmatrix})

【答】

(P = begin{pmatrix} 1 & 2 \ -1 & 1 end{pmatrix})、(D = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 7 end{pmatrix})

このとき (P^{-1}AP = D)

【標準問題6】対角化を用いた行列のn乗

【考え方】

対角化 (A = PDP^{-1}) を利用すると、(A^n = PD^nP^{-1}) となります。対角行列の累乗は対角成分をそれぞれ累乗するだけなので簡単です。

【解法】

標準問題5より、(P = begin{pmatrix} 1 & 2 \ -1 & 1 end{pmatrix})、(D = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 7 end{pmatrix})

Step 1: (P^{-1}) を求める

(det(P) = 1 times 1 - 2 times (-1) = 1 + 2 = 3)

(P^{-1} = frac{1}{3}begin{pmatrix} 1 & -2 \ 1 & 1 end{pmatrix})

Step 2: (D^n) を求める

(D^n = begin{pmatrix} 1^n & 0 \ 0 & 7^n end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 7^n end{pmatrix})

Step 3: (A^n = PD^nP^{-1}) を計算

(A^n = begin{pmatrix} 1 & 2 \ -1 & 1 end{pmatrix}begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 7^n end{pmatrix} cdot frac{1}{3}begin{pmatrix} 1 & -2 \ 1 & 1 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 1 & 2 cdot 7^n \ -1 & 7^n end{pmatrix} cdot frac{1}{3}begin{pmatrix} 1 & -2 \ 1 & 1 end{pmatrix})

(= frac{1}{3}begin{pmatrix} 1 + 2 cdot 7^n & -2 + 2 cdot 7^n \ -1 + 7^n & 2 + 7^n end{pmatrix})

【答】

(A^n = frac{1}{3}begin{pmatrix} 1 + 2 cdot 7^n & -2 + 2 cdot 7^n \ -1 + 7^n & 2 + 7^n end{pmatrix})

または

(A^n = frac{1}{3}begin{pmatrix} 2 cdot 7^n + 1 & 2 cdot 7^n - 2 \ 7^n - 1 & 7^n + 2 end{pmatrix})

【標準問題7】ケーリー・ハミルトンの定理の応用

【考え方】

ケーリー・ハミルトンの定理により、行列はその固有多項式を満たします。2次正方行列の場合、(A^2 - (text{tr}A)A + (det A)E = O) が成り立ちます。これを変形して (A^{-1}) を求めます。

【解法】

Step 1: トレースと行列式を計算

(text{tr}(A) = 3 + 4 = 7)

(det(A) = 3 times 4 - 1 times 2 = 12 - 2 = 10)

Step 2: ケーリー・ハミルトンの定理を適用

(A^2 - 7A + 10E = O)

Step 3: (A^{-1}) を求める

上式を変形：

(A^2 - 7A = -10E)

(A(A - 7E) = -10E)

両辺に (A^{-1}) を左から掛ける：

(A - 7E = -10A^{-1})

(A^{-1} = -frac{1}{10}(A - 7E))

(A^{-1} = frac{1}{10}(7E - A))

(A^{-1} = frac{7}{10}E - frac{1}{10}A)

【答】(A^{-1} = frac{1}{10}(7E - A) = -frac{1}{10}A + frac{7}{10}E)

【検算】公式で直接計算：

(A^{-1} = frac{1}{10}begin{pmatrix} 4 & -1 \ -2 & 3 end{pmatrix})

上の結果と一致することを確認：

(frac{1}{10}(7E - A) = frac{1}{10}left(begin{pmatrix} 7 & 0 \ 0 & 7 end{pmatrix} - begin{pmatrix} 3 & 1 \ 2 & 4 end{pmatrix}right) = frac{1}{10}begin{pmatrix} 4 & -1 \ -2 & 3 end{pmatrix}) ✓

【標準問題8】一次変換（回転行列）

【考え方】

回転行列の公式 (R(theta) = begin{pmatrix} costheta & -sintheta \ sintheta & costheta end{pmatrix}) を使います。

【解法】

Step 1: 回転行列を求める

(theta = frac{pi}{3}) より

(cosfrac{pi}{3} = frac{1}{2})、(sinfrac{pi}{3} = frac{sqrt{3}}{2})

(R = begin{pmatrix} frac{1}{2} & -frac{sqrt{3}}{2} \ frac{sqrt{3}}{2} & frac{1}{2} end{pmatrix})

Step 2: 点 (3, 0) の像を求める

(begin{pmatrix} x' \ y' end{pmatrix} = Rbegin{pmatrix} 3 \ 0 end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{1}{2} & -frac{sqrt{3}}{2} \ frac{sqrt{3}}{2} & frac{1}{2} end{pmatrix}begin{pmatrix} 3 \ 0 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} frac{1}{2} times 3 + (-frac{sqrt{3}}{2}) times 0 \ frac{sqrt{3}}{2} times 3 + frac{1}{2} times 0 end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{3}{2} \ frac{3sqrt{3}}{2} end{pmatrix})

【答】

回転行列：(R = begin{pmatrix} frac{1}{2} & -frac{sqrt{3}}{2} \ frac{sqrt{3}}{2} & frac{1}{2} end{pmatrix})

点 (3, 0) の像：(left(frac{3}{2}, frac{3sqrt{3}}{2}right))

【標準問題9】一次変換の合成

【考え方】

一次変換の合成は行列の積で表されます。「変換Aの後に変換B」は BA（後の変換を左に書く）で表されることに注意します。

【解法】

(1) S と R を求める

x軸対称移動：(S = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix})

90°回転：(R = begin{pmatrix} cosfrac{pi}{2} & -sinfrac{pi}{2} \ sinfrac{pi}{2} & cosfrac{pi}{2} end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix})

(2) x軸対称移動の後に90°回転 = RS

(RS = begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix}begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 0 times 1 + (-1) times 0 & 0 times 0 + (-1) times (-1) \ 1 times 1 + 0 times 0 & 1 times 0 + 0 times (-1) end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix})

(3) 90°回転の後にx軸対称移動 = SR

(SR = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix}begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 1 times 0 + 0 times 1 & 1 times (-1) + 0 times 0 \ 0 times 0 + (-1) times 1 & 0 times (-1) + (-1) times 0 end{pmatrix})

(= begin{pmatrix} 0 & -1 \ -1 & 0 end{pmatrix})

【答】

(1) (S = begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix})、(R = begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{pmatrix})

(2) (RS = begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix})（これは直線 y = x に関する対称移動）

(3) (SR = begin{pmatrix} 0 & -1 \ -1 & 0 end{pmatrix})（これは直線 y = -x に関する対称移動）

【補足】RS ≠ SR であり、変換の順序を変えると結果が異なることが確認できます。

【標準問題10】行列の階数（ランク）

【考え方】

階数（ランク）は、行基本変形によって行簡約階段形にしたときの、非零行の数です。これは線形独立な行ベクトルの最大数に等しくなります。

【解法】

行基本変形を行う：

元の行列：

(begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 \ 3 & 5 & 7 end{pmatrix})

R2 ← R2 - 2R1、R3 ← R3 - 3R1：

(begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & -1 & -2 end{pmatrix})

R2 ↔ R3（行の交換）：

(begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & -1 & -2 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix})

R2 ← -R2：

(begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix})

非零行の数は2なので、階数は2。

【答】rank(A) = 2

【補足】第2行が第1行の2倍になっているため、行列Aの行は線形従属です。これは3×3行列ですが、実質的に2次元の情報しか持っていないことを意味します。

発展・入試レベル問題 10問（全問解説付き）

ここからは実際の大学入試で出題されるレベルの発展問題です。難関大学を目指す受験生は、これらの問題をしっかり解けるようになりましょう。

【発展問題1】3次正方行列の対角化

【考え方】

3次正方行列の対角化も基本的な手順は2次と同じです。固有方程式を解いて固有値を求め、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。この行列は対称行列なので、異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交します。

【解法】

Step 1: 固有値を求める

(det(A - lambda E) = 0)

(detbegin{pmatrix} 2-lambda & 1 & 1 \ 1 & 2-lambda & 1 \ 1 & 1 & 2-lambda end{pmatrix} = 0)

第1列で余因子展開するか、行列式の性質を利用します。

ここで、各行の和が等しいことに注目：各行の和 = (2-λ) + 1 + 1 = 4 - λ

C1 ← C1 + C2 + C3 の操作：

(detbegin{pmatrix} 4-lambda & 1 & 1 \ 4-lambda & 2-lambda & 1 \ 4-lambda & 1 & 2-lambda end{pmatrix} = (4-lambda)detbegin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 2-lambda & 1 \ 1 & 1 & 2-lambda end{pmatrix})

R2 ← R2 - R1、R3 ← R3 - R1：

(= (4-lambda)detbegin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1-lambda & 0 \ 0 & 0 & 1-lambda end{pmatrix})

(= (4-lambda)(1-lambda)^2)

よって、固有値は (lambda = 4)（1重）、(lambda = 1)（2重）

Step 2: 固有ベクトルを求める

λ = 4 の場合：

((A - 4E)vec{x} = vec{0})

(begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \ 1 & -2 & 1 \ 1 & 1 & -2 end{pmatrix}begin{pmatrix} x \ y \ z end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 end{pmatrix})

掃き出し法より、x = y = z

固有ベクトル：(vec{p_1} = begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 end{pmatrix})

λ = 1 の場合：

((A - E)vec{x} = vec{0})

(begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 end{pmatrix}begin{pmatrix} x \ y \ z end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 end{pmatrix})

x + y + z = 0 を満たす任意のベクトルが固有ベクトル

線形独立な2つを選ぶ：

(vec{p_2} = begin{pmatrix} 1 \ -1 \ 0 end{pmatrix})、(vec{p_3} = begin{pmatrix} 1 \ 0 \ -1 end{pmatrix})

【答】

(P = begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & -1 & 0 \ 1 & 0 & -1 end{pmatrix})、(D = begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix})

このとき (P^{-1}AP = D)

【発展問題2】ケーリー・ハミルトンの定理を用いた行列の高次べき乗