【共通テスト数学IA 完全攻略】基礎から入試まで完全攻略｜問題30問+解説｜藤原進之介

こんにちは、日本数学塾・数強塾の講師、藤原進之介です。

共通テスト数学IAは、大学入試において最も重要な科目の一つです。2021年から始まった共通テストは、従来のセンター試験と比べて「思考力・判断力・表現力」を重視した出題形式となり、多くの受験生が苦戦しています。

この記事では、私が10年以上の指導経験と著書9冊の執筆を通じて培ったノウハウをすべて公開します。基礎問題10問、標準問題10問、発展問題10問の合計30問を詳細な解説付きで掲載し、共通テスト数学IAで高得点を取るための完全ガイドをお届けします。

この記事でわかること

この記事を読み終える頃には、共通テスト数学IAの全体像が明確になり、どこから勉強すればよいかが分かるようになります。ぜひ最後までお読みください。

共通テスト数学IA 完全攻略の基本概念と重要公式

共通テスト数学IAの出題範囲

共通テスト数学IAは、以下の分野から出題されます。2025年度からは新課程に移行し、一部の出題内容が変更されますので注意が必要です。

【数学I】

【数学A】

※2025年度新課程からの変更点：

• 「整数の性質」が「数学と社会生活」に変更
• 「期待値」が数学Aに追加
• 仮説検定の考え方がデータの分析に追加

【分野別】絶対に覚えるべき重要公式

■ 数と式

■ 二次関数

■ 図形と計量（三角比）

■ データの分析

■ 場合の数と確率

■ 整数の性質

■ 図形の性質

基礎問題 10問（全問解説付き）

まずは基礎力を固めるための問題を10問用意しました。これらは共通テストの導入部分や、計算の土台となる重要な問題です。

【基礎問題1】数と式 - 展開と因数分解

【考え方】

3項の2乗の展開は (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca を使います。因数分解は展開の逆で、同じ公式を逆向きに適用します。

【解法】

《展開》

a = x, b = 2y, c = -3 として公式に代入：

(x + 2y - 3)² = x² + (2y)² + (-3)² + 2·x·2y + 2·2y·(-3) + 2·(-3)·x

= x² + 4y² + 9 + 4xy - 12y - 6x

= x² + 4y² + 9 + 4xy - 6x - 12y

《因数分解》

x² + 4y² + 9 - 4xy + 6x - 12y

= x² + (2y)² + (-3)² + 2·x·(-2y) + 2·x·3 + 2·(-2y)·(-3)

※ただし、問題文をよく見ると -4xy となっているので：

= x² + 4y² + 9 - 4xy + 6x - 12y

= (x - 2y + 3)² と予想し、確認：

(x - 2y + 3)² = x² + 4y² + 9 - 4xy + 6x - 12y ✓

【答】

展開：x² + 4y² + 9 + 4xy - 6x - 12y

因数分解：(x - 2y + 3)²

【基礎問題2】数と式 - 絶対値を含む方程式

【考え方】

絶対値の定義より |A| = k（k > 0）のとき、A = k または A = -k です。場合分けして解きます。

【解法】

|2x - 1| = 3 より

2x - 1 = 3 または 2x - 1 = -3

2x - 1 = 3 のとき：

2x = 4

x = 2

2x - 1 = -3 のとき：

2x = -2

x = -1

【答】

x = 2, -1

【基礎問題3】二次関数 - 頂点と軸

【考え方】

二次関数を標準形 y = a(x - p)² + q に変形します。このとき頂点は (p, q)、軸は x = p です。平方完成を行います。

【解法】

y = 2x² - 8x + 5

= 2(x² - 4x) + 5

= 2(x² - 4x + 4 - 4) + 5

= 2{(x - 2)² - 4} + 5

= 2(x - 2)² - 8 + 5

= 2(x - 2)² - 3

よって、頂点は (2, -3)、軸は x = 2

【答】

頂点：(2, -3)、軸：x = 2

【基礎問題4】二次関数 - 最大値・最小値

【考え方】

まず平方完成して頂点を求めます。係数が負なので上に凸のグラフです。定義域が限られているので、頂点と端点での値を比較します。

【解法】

y = -x² + 4x + 1

= -(x² - 4x) + 1

= -(x² - 4x + 4 - 4) + 1

= -{(x - 2)² - 4} + 1

= -(x - 2)² + 4 + 1

= -(x - 2)² + 5

頂点は (2, 5) で、上に凸のグラフ。

定義域 0 ≦ x ≦ 5 において：

• x = 2 のとき y = 5（頂点、最大値）
• x = 0 のとき y = -0 + 0 + 1 = 1
• x = 5 のとき y = -25 + 20 + 1 = -4

軸 x = 2 は定義域内にあるので、頂点で最大値をとります。

端点では x = 5 のときの値が最小です。

【答】

最大値：5（x = 2 のとき）

最小値：-4（x = 5 のとき）

【基礎問題5】二次関数 - 二次不等式

【考え方】

左辺を因数分解し、y = x² - 5x + 6 のグラフを考えます。下に凸の放物線が x 軸より下になる範囲を求めます。

【解法】

x² - 5x + 6 = 0 を解く：

(x - 2)(x - 3) = 0

x = 2, 3

y = x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) は下に凸の放物線で、x = 2, 3 で x 軸と交わる。

x² - 5x + 6 < 0 となるのは、グラフが x 軸より下にある範囲。

つまり、2つの解の間：2 < x < 3

【答】

2 < x < 3

【基礎問題6】三角比 - 基本計算

【考え方】

三角比の相互関係 sin²θ + cos²θ = 1 を使って cos θ を求めます。θ が鋭角なので cos θ > 0 です。tan θ = sin θ / cos θ で計算します。

【解法】

sin²θ + cos²θ = 1 より

(3/5)² + cos²θ = 1

9/25 + cos²θ = 1

cos²θ = 1 - 9/25 = 16/25

0° < θ 0 なので

cos θ = 4/5

tan θ = sin θ / cos θ = (3/5) / (4/5) = 3/4

【答】

cos θ = 4/5、tan θ = 3/4

【基礎問題7】三角比 - 余弦定理

【考え方】

余弦定理 a² = b² + c² - 2bc cos A を変形して cos A を求めます。

【解法】

余弦定理より

a² = b² + c² - 2bc cos A

cos A について解くと

cos A = (b² + c² - a²) / 2bc

a = 7, b = 5, c = 8 を代入：

cos A = (5² + 8² - 7²) / (2 × 5 × 8)

= (25 + 64 - 49) / 80

= 40 / 80

= 1/2

【答】

cos A = 1/2（したがって A = 60°）

【基礎問題8】データの分析 - 分散と標準偏差

【考え方】

平均値を求め、各データと平均値の差の2乗の平均が分散です。標準偏差は分散の正の平方根です。

【解法】

《平均値》

x̄ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 30 / 5 = 6

《分散》

各データの偏差（平均との差）：

2 - 6 = -4, 4 - 6 = -2, 6 - 6 = 0, 8 - 6 = 2, 10 - 6 = 4

偏差の2乗：

(-4)² = 16, (-2)² = 4, 0² = 0, 2² = 4, 4² = 16

分散 s² = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 5 = 40 / 5 = 8

《標準偏差》

s = √8 = 2√2

【答】

平均値：6、分散：8、標準偏差：2√2

【基礎問題9】場合の数 - 順列と組合せ

【考え方】

組合せは選ぶだけで順序を考えない、順列は順序も考えます。それぞれ公式を適用します。

【解法】

《組合せ》

₇C₃ = 7! / (3! × 4!)

= (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1)

= 210 / 6

= 35 通り

《順列》

7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 5040 通り

【答】

組合せ：35通り、順列：5040通り

【基礎問題10】確率 - 基本計算

【考え方】

全事象の場合の数と、「2個とも赤」「2個とも白」「2個とも青」のそれぞれの場合の数を求めて確率を計算します。

【解法】

全部で 4 + 3 + 2 = 9 個の玉がある。

《全事象》

9個から2個を選ぶ：₉C₂ = 36 通り

《2個とも赤の場合》

₄C₂ = 6 通り

《2個とも白の場合》

₃C₂ = 3 通り

《2個とも青の場合》

₂C₂ = 1 通り

《同じ色の確率》

P = (6 + 3 + 1) / 36 = 10 / 36 = 5/18

【答】

5/18

標準問題 10問（全問解説付き）

ここからは共通テストで頻出のパターンを含む標準問題です。基礎を理解した上で、入試本番で差がつくポイントを押さえましょう。

【標準問題1】二次関数 - 定義域が動く場合の最小値

【考え方】

まず関数を平方完成して頂点を求めます。定義域の右端 a と軸の位置関係で場合分けが必要です。

【解法】

y = x² - 4x + 5

= (x - 2)² - 4 + 5

= (x - 2)² + 1

頂点 (2, 1)、軸 x = 2、下に凸のグラフ。

定義域は 0 ≦ x ≦ a（a > 0）

場合分け：

【場合1】0 < a < 2 のとき

軸 x = 2 が定義域の右側にある。

定義域内で関数は単調減少なので、x = a で最小値をとる。

最小値 = a² - 4a + 5

【場合2】a ≧ 2 のとき

軸 x = 2 が定義域内にある。

頂点で最小値をとる。

最小値 = 1

【答】

• 0 < a < 2 のとき：最小値 a² - 4a + 5（x = a）
• a ≧ 2 のとき：最小値 1（x = 2）

【標準問題2】二次関数 - 二次方程式の解の配置

【考え方】

f(x) = x² - 2ax + a + 2 とおき、y = f(x) のグラフを考えます。異なる2つの正の解を持つ条件は：

1. 判別式 D > 0（異なる2つの実数解）
2. 軸 > 0（軸が正の位置）
3. f(0) > 0（x = 0 での値が正）

【解法】

f(x) = x² - 2ax + a + 2

条件1：判別式 D > 0

D/4 = a² - (a + 2) = a² - a - 2 > 0

(a - 2)(a + 1) > 0

a 2 ... ①

条件2：軸 > 0

軸は x = 2a/2 = a

a > 0 ... ②

条件3：f(0) > 0

f(0) = a + 2 > 0

a > -2 ... ③

①②③の共通範囲を求める：

① より a 2

② より a > 0

③ より a > -2

共通範囲は a > 2

【答】

a > 2

【標準問題3】三角比 - 正弦定理と余弦定理の融合

【考え方】

2辺とその間の角が分かっているので、余弦定理で c を求めます。その後、正弦定理で外接円の半径 R を求めます。

【解法】

《c を求める》

余弦定理より

c² = a² + b² - 2ab cos C

= 8² + 5² - 2 × 8 × 5 × cos 60°

= 64 + 25 - 80 × (1/2)

= 89 - 40

= 49

c > 0 より c = 7

《R を求める》

正弦定理より

c / sin C = 2R

7 / sin 60° = 2R

7 / (√3/2) = 2R

14/√3 = 2R

R = 7/√3 = 7√3/3

【答】

c = 7、R = 7√3/3

【標準問題4】三角比 - 三角形の面積と内接円

【考え方】

3辺が分かっているのでヘロンの公式で面積を求めます。内接円の半径は S = rs（s は半周）の関係を使います。

【解法】

《面積 S》

s = (a + b + c)/2 = (13 + 14 + 15)/2 = 21

ヘロンの公式より

S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}

= √{21 × 8 × 7 × 6}

= √{21 × 8 × 42}

= √{7056}

= 84

《内接円の半径 r》

S = rs より

84 = r × 21

r = 4

【答】

S = 84、r = 4

【標準問題5】データの分析 - 相関係数

【考え方】

相関係数 r = sxy / (sx × sy) を計算します。まず各変数の平均、標準偏差、共分散を求めます。

【解法】

《平均》

x̄ = (60 + 70 + 80 + 90 + 100)/5 = 400/5 = 80

ȳ = (50 + 60 + 70 + 80 + 90)/5 = 350/5 = 70

《偏差》

《分散と標準偏差》

sx² = 1000/5 = 200 → sx = √200 = 10√2

sy² = 1000/5 = 200 → sy = √200 = 10√2

《共分散》

sxy = 1000/5 = 200

《相関係数》

r = sxy / (sx × sy) = 200 / (10√2 × 10√2) = 200 / 200 = 1

【答】

r = 1（完全な正の相関）

【標準問題6】確率 - 条件付き確率

【考え方】

条件付き確率 P(B|A) = P(A∩B) / P(A) を使います。A：「少なくとも1回赤玉」、B：「2回とも赤玉」とします。

【解法】

1回の試行で赤玉が出る確率 = 3/5

1回の試行で白玉が出る確率 = 2/5

《P(2回とも赤玉) = P(B)》

P(B) = (3/5) × (3/5) = 9/25

《P(少なくとも1回赤玉) = P(A)》

余事象を考える：「少なくとも1回赤玉」の余事象は「2回とも白玉」

P(2回とも白玉) = (2/5) × (2/5) = 4/25

P(A) = 1 - 4/25 = 21/25

《条件付き確率》

「2回とも赤玉」⊂「少なくとも1回赤玉」なので、A∩B = B

P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = P(B) / P(A)

= (9/25) / (21/25)

= 9/21

= 3/7

【答】

3/7

【標準問題7】確率 - 期待値

【考え方】

期待値の性質を使います。X = X₁ + X₂（X₁：1回目の目、X₂：2回目の目）とすると、E(X) = E(X₁) + E(X₂) が成り立ちます。

【解法】

1個のサイコロの目の期待値は

E(X₁) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 7/2

同様に E

同様に E(X₂) = 7/2

期待値の線形性より

E(X) = E(X₁) + E(X₂) = 7/2 + 7/2 = 7

【答】

E(X) = 7

【標準問題8】整数の性質 - ユークリッドの互除法

【考え方】

ユークリッドの互除法で最大公約数を求め、その過程を逆にたどって不定方程式の解を求めます。

【解法】

《最大公約数》

391 = 238 × 1 + 153

238 = 153 × 1 + 85

153 = 85 × 1 + 68

85 = 68 × 1 + 17

68 = 17 × 4 + 0

よって gcd(391, 238) = 17

《不定方程式の解》

上の計算を逆にたどる：

17 = 85 - 68 × 1

= 85 - (153 - 85) × 1 = 85 × 2 - 153

= (238 - 153) × 2 - 153 = 238 × 2 - 153 × 3

= 238 × 2 - (391 - 238) × 3 = 238 × 2 - 391 × 3 + 238 × 3

= 238 × 5 - 391 × 3

= 391 × (-3) + 238 × 5

よって 391 × (-3) + 238 × 5 = 17

【答】

最大公約数：17

不定方程式の解：x = -3, y = 5

【標準問題9】図形の性質 - メネラウスの定理

【考え方】

メネラウスの定理を △ABE と直線 CDP に適用します。

【解法】

AD:DB = 2:1 より、D は AB 上にあり AD = 2, DB = 1（比で表す）

AE:EC = 3:2 より、E は AC 上にあり AE = 3, EC = 2（比で表す）

△ABE において、直線 CDP が辺 BE 上に P、辺 AB 上に D、辺 AE の延長上に C をとる。

メネラウスの定理より

(BD/DA) × (AC/CE) × (EP/PB) = 1

(1/2) × (5/2) × (EP/PB) = 1

(5/4) × (EP/PB) = 1

EP/PB = 4/5

よって BP:PE = 5:4

【答】

BP:PE = 5:4

【標準問題10】図形の性質 - 方べきの定理

【考え方】

方べきの定理を使います。円の外部の点から引いた接線と割線について、PT² = PA × PB が成り立ちます。

【解法】

P から見て A が手前、B が奥にあるとすると

PB = PA + AB = 4 + 5 = 9

方べきの定理より

PT² = PA × PB

PT² = 4 × 9 = 36

PT = 6（PT > 0 より）

【答】

PT = 6

発展・入試レベル問題 10問（全問解説付き）

ここからは共通テストの後半の問題や、難関大学入試レベルの問題です。思考力・応用力が問われます。

【発展問題1】二次関数 - 文字を含む二次関数の最大最小

【考え方】

まず f(x) を平方完成し、軸の位置と定義域の関係で場合分けします。次に m(a) を a の関数として最大値を求めます。

【解法】

f(x) = x² - 2ax + a² + a - 1

= (x - a)² + a - 1

頂点 (a, a - 1)、軸 x = a、下に凸

【場合1】a < 0 のとき

軸が定義域の左側にある。x = 0 で最小。

m(a) = f(0) = a² + a - 1

【場合2】0 ≦ a ≦ 2 のとき

軸が定義域内にある。頂点で最小。

m(a) = a - 1

【場合3】a > 2 のとき

軸が定義域の右側にある。x = 2 で最小。

m(a) = f(2) = 4 - 4a + a² + a - 1 = a² - 3a + 3

《m(a) の最大値》

【場合1】m(a) = a² + a - 1 = (a + 1/2)² - 5/4

a < 0 で単調減少（a = 0 に近づくほど大きい）

a → 0⁻ のとき m(a) → -1

【場合2】m(a) = a - 1

0 ≦ a ≦ 2 で単調増加

a = 0 のとき m(a) = -1、a = 2 のとき m(a) = 1

【場合3】m(a) = a² - 3a + 3 = (a - 3/2)² + 3/4

a > 2 で単調増加

a → 2⁺ のとき m(a) → 1

場合1, 2, 3 を通して考えると、a = 2 のとき m(a) = 1 で最大値をとる。

【答】

m(a) =

• a < 0 のとき：a² + a - 1
• 0 ≦ a ≦ 2 のとき：a - 1
• a > 2 のとき：a² - 3a + 3

m(a) の最大値：1（a = 2 のとき）

【発展問題2】二次関数と方程式 - 解の存在条件

【考え方】

f(x) = x² + 2(a-1)x + a² - 3 とおき、グラフを用いて条件を設定します。

【解法】

f(x) = x² + 2(a-1)x + a² - 3

軸：x = -(a-1) = 1-a

(1) 2つの解がともに -1 より大きい条件

1. D > 0（異なる2つの実数解）
2. 軸 > -1
3. f(-1) > 0

条件①：D/4 > 0

(a-1)² - (a² - 3) > 0

a² - 2a + 1 - a² + 3 > 0

-2a + 4 > 0

a < 2 ... ①

条件②：軸 > -1

1 - a > -1

a < 2 ... ②

条件③：f(-1) > 0

f(-1) = 1 + 2(a-1)(-1) + a² - 3

= 1 - 2a + 2 + a² - 3

= a² - 2a

= a(a - 2) > 0

a 2 ... ③

①②③の共通範囲：a < 0

(2) 2つの解の間に -1 がある条件

f(-1) < 0 のみでOK（下に凸なので）

f(-1) = a(a - 2) < 0

0 < a < 2

【答】

(1) a < 0

(2) 0 < a < 2

【発展問題3】三角比 - 三角形の形状決定

【考え方】

正弦定理より、sin A : sin B : sin C = a : b : c が成り立ちます。よって辺の比が分かり、余弦定理で cos C が求められます。

【解法】

正弦定理より a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

したがって a : b : c = sin A : sin B : sin C = 5 : 7 : 8

a = 5k, b = 7k, c = 8k（k > 0）とおく。

余弦定理より

cos C = (a² + b² - c²) / 2ab

= ((5k)² + (7k)² - (8k)²) / (2 × 5k × 7k)

= (25k² + 49k² - 64k²) / 70k²

= 10k² / 70k²

= 1/7

cos C = 1/7 > 0 なので C は鋭角。

最大辺は c = 8k なので、最大角は C である。

cos C = 1/7 より、C = arccos(1/7)

【答】

cos C = 1/7

最大角は ∠C（cos C = 1/7 を満たす角、約81.8°）

【発展問題4】三角比 - 四角形への応用

【考え方】

円に内接する四角形では、対角の和が 180° になります。まず △ABC で余弦定理を使い AC を求めます。

【解法】

《AC を求める》

△ABC において余弦定理より

AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos∠ABC

= 4 + 9 - 2 × 2 × 3 × cos 60°

= 13 - 12 × (1/2)

= 13 - 6 = 7

AC = √7

《DA を求める》

円に内接する四角形なので ∠ABC + ∠ADC = 180°

∠ADC = 180° - 60° = 120°

cos∠ADC = cos 120° = -1/2

△ACD において余弦定理より

AC² = CD² + DA² - 2·CD·DA·cos∠ADC

7 = 16 + DA² - 2 × 4 × DA × (-1/2)

7 = 16 + DA² + 4DA

DA² + 4DA + 9 = 0

この方程式を解く：

DA = (-4 ± √(16 - 36)) / 2 = (-4 ± √(-20)) / 2

実数解がないので、問題を再確認。余弦定理の適用を見直す：

AC² = CD² + DA² - 2·CD·DA·cos∠CDA

7 = 16 + DA² - 2 × 4 × DA × (-1/2)

7 = 16 + DA² + 4DA

DA² + 4DA + 9 = 0

判別式 = 16 - 36 = -20 < 0 となり実数解なし。

これは条件設定に問題があるため、別の解釈で再計算：

cos∠ADC = -1/2 として、正しく計算すると：

AC² = CD² + DA² - 2·CD·DA·cos 120°

7 = 16 + DA² - 2·4·DA·(-1/2)

7 = 16 + DA² + 4DA

DA² + 4DA + 9 = 0

解なし。問題の条件では四角形が成立しないため、CD = 1 として再設定：

CD = 1 の場合：

7 = 1 + DA² + 2DA

DA² + 2DA - 6 = 0

DA = (-2 + √28)/2 = -1 + √7

【訂正版】元の問題で CD = 4 が与えられた場合、条件を満たす四角形は存在しません。CD = 1 に修正すると：

【答】

AC = √7、DA = -1 + √7（CDを1と修正した場合）

※元の問題条件では解が存在しないことを示すのも重要な思考過程です。

【発展問題5】データの分析 - 変量の変換

【考え方】

変量の一次変換に関する公式を適用します。u = ax + b のとき、ū = ax̄ + b、su² = a²sx² が成り立ちます。

【解法】

x̄ = 50、sx² = 100

《u の平均値》

ū = 2x̄ + 10 = 2 × 50 + 10 = 110

《u の分散》

su² = 2² × sx² = 4 × 100 = 400

《x と u の相関係数》

u = 2x + 10 は x の一次関数で、係数 2 > 0 なので

x と u は完全な正の相関を持つ。

相関係数 r = 1

（別解：共分散を計算）

sxu = E[(x - x̄)(u - ū)] = E[(x - x̄)(2x + 10 - 110)]

= E[(x - x̄) × 2(x - 50)] = 2E[(x - x̄)²] = 2sx² = 200

r = sxu / (sx × su) = 200 / (10 × 20) = 200/200 = 1

【答】

u の平均値：110

u の分散：400

相関係数：1

【発展問題6】確率 - 反復試行と最大確率

【考え方】

反復試行の確率公式を使い、P(k+1)/P(k) を計算して、確率が増加から減少に転じる点を見つけます。

【解法】

1の目が出る確率 p = 1/6、出ない確率 q = 5/6

P(k) = ₅Ck × (1/6)^k × (5/6)^(5-k)

P(k+1)/P(k) の計算：

P(k+1)/P(k) = [₅C(k+1) × (1/6)^(k+1) × (5/6)^(4-k)] / [₅Ck × (1/6)^k × (5/6)^(5-k)]

= [₅C(k+1) / ₅Ck] × (1/6) × (6/5)

= [(5-k)/(k+1)] × (1/5)

= (5-k) / (5(k+1))

P(k+1) ≧ P(k) となる条件：

(5-k) / (5(k+1)) ≧ 1

5-k ≧ 5(k+1)

5-k ≧ 5k + 5

0 ≧ 6k

k ≦ 0

k = 0 のとき P(1)/P(0) = 5/5 = 1 より P(0) = P(1)

k ≧ 1 のとき P(k+1) < P(k)

したがって、P(0) = P(1) が最大。

確認：

P(0) = (5/6)⁵ = 3125/7776

P(1) = 5 × (1/6) × (5/6)⁴ = 5 × 625/7776 = 3125/7776

【答】

k = 0 または k = 1（どちらも最大値）

【発展問題7】確率 - 確率漸化式

【考え方】

漸化式を立てて解きます。n 回目の操作後に偶数回になるのは、「n-1 回後に偶数回で n 回目に白」または「n-1 回後に奇数回で n 回目に赤」の場合です。

【解法】

赤玉を取り出す確率 = 2/3、白玉を取り出す確率 = 1/3

qₙ = 1 - pₙ（奇数回の確率）とすると

pₙ₊₁ = pₙ × (1/3) + qₙ × (2/3)

= pₙ × (1/3) + (1 - pₙ) × (2/3)

= pₙ/3 + 2/3 - 2pₙ/3

= -pₙ/3 + 2/3

= -(1/3)(pₙ - 1/2) + 1/2

pₙ₊₁ - 1/2 = -(1/3)(pₙ - 1/2)

aₙ = pₙ - 1/2 とおくと

aₙ₊₁ = -(1/3)aₙ

これは公比 -1/3 の等比数列

aₙ = a₁ × (-1/3)^(n-1)

p₁ = 1/3（1回目に白玉を引く確率）

a₁ = p₁ - 1/2 = 1/3 - 1/2 = -1/6

aₙ = -(1/6) × (-1/3)^(n-1) = -(1/6) × (-1)^(n-1) / 3^(n-1)

= (-1)^n / (2 × 3^n)

pₙ = aₙ + 1/2 = (-1)^n / (2 × 3^n

pₙ = aₙ + 1/2 = (-1)^n / (2 × 3^n) + 1/2

= 1/2 + (-1)^n / (2 × 3^n)

= (3^n + (-1)^n) / (2 × 3^n)

【答】

pₙ = (3^n + (-1)^n) / (2 × 3^n)

または pₙ = 1/2 + (-1)^n / (2 × 3^n)

【発展問題8】整数の性質 - 合同式と余り

【考え方】

合同式を使います。7 ≡ 2 (mod 5) なので、2^100 を 5 で割った余りを求めればよいです。2 のべき乗の余りの周期性を利用します。

【解法】

7 ≡ 2 (mod 5) より

7^100 ≡ 2^100 (mod 5)

2 のべき乗を 5 で割った余りを調べる：

2^1 ≡ 2 (mod 5)

2^2 ≡ 4 (mod 5)

2^3 ≡ 8 ≡ 3 (mod 5)

2^4 ≡ 16 ≡ 1 (mod 5)

2^5 ≡ 2 (mod 5)（周期4で繰り返す）

100 = 4 × 25 より

2^100 = (2^4)^25 ≡ 1^25 ≡ 1 (mod 5)

よって 7^100 を 5 で割った余りは 1

【答】

1

【発展問題9】図形の性質 - 円と三角形の融合

【考え方】

内接円の半径と三角形の面積の関係 S = rs、および半角の公式を使います。

【解法】

三角形の面積を S、半周長を s = (a + b + c)/2 とすると

S = rs より r = S/s

また、S = (1/2)ab sin C

半角の公式より

sin C = 2 sin(C/2) cos(C/2)

tan(C/2) = sin(C/2) / cos(C/2)

別のアプローチで証明する：

内接円の中心を I とし、I から各辺への垂線の足をそれぞれ D, E, F とする。

ID = IE = IF = r

頂点 C から接点 E, F への距離は等しく、これを x とすると

CE = CF = x

同様に、EA = FA' = y, BD = BF' = z（接線の性質）

ここで：

a = BC = z + x

b = CA = x + y

c = AB = y + z

これらを解くと：

x = (a + b - c)/2 = s - c

△ICE において

tan(C/2) = IE / CE = r / x = r / (s - c)

よって

r = x × tan(C/2) = (s - c) × tan(C/2)

= ((a + b + c)/2 - c) × tan(C/2)

= (a + b - c)/2 × tan(C/2)

【答】

証明終了

r = (a + b - c) × tan(C/2) / 2 が成り立つ。

【発展問題10】総合問題 - 二次関数と確率の融合

【考え方】

判別式の条件と解の条件を整理し、(a, b) の組を数え上げます。

【解法】

全事象：(a, b) の組は 6 × 6 = 36 通り

(1) 異なる2つの実数解を持つ条件

判別式 D = a² - 4b > 0

a² > 4b

b < a²/4

各 a について条件を満たす b を数える：

• a = 1：b < 1/4 → b なし（b ≧ 1 なので）→ 0通り
• a = 2：b < 1 → b なし → 0通り
• a = 3：b < 9/4 = 2.25 → b = 1, 2 → 2通り
• a = 4：b < 4 → b = 1, 2, 3 → 3通り
• a = 5：b < 25/4 = 6.25 → b = 1, 2, 3, 4, 5, 6 → 6通り
• a = 6：b < 9 → b = 1, 2, 3, 4, 5, 6 → 6通り

合計：0 + 0 + 2 + 3 + 6 + 6 = 17通り

確率 = 17/36

(2) 少なくとも1つの解が正の整数である条件

解と係数の関係より、2つの解を α, β とすると

α + β = a（正）、αβ = b（正）

解が正の整数 k のとき、x = k を代入すると

k² - ak + b = 0

b = ak - k² = k(a - k)

1 ≦ k ≦ 6、1 ≦ a ≦ 6、1 ≦ b ≦ 6 を満たす (a, b, k) を探す：

b = k(a - k) ≧ 1 かつ b ≦ 6

a - k ≧ 1/k なので a > k

• k = 1：b = a - 1（a = 2,3,4,5,6 で b = 1,2,3,4,5）→ 5組
• k = 2：b = 2(a - 2) = 2a - 4（a = 3,4,5 で b = 2,4,6）→ 3組
• k = 3：b = 3(a - 3) = 3a - 9（a = 4,5 で b = 3,6）→ 2組
• k = 4：b = 4(a - 4) = 4a - 16（a = 5 で b = 4、a = 6 で b = 8 > 6）→ 1組
• k = 5：b = 5(a - 5) = 5a - 25（a = 6 で b = 5）→ 1組
• k = 6：b = 6(a - 6)（a > 6 必要）→ 0組

ただし、重複をチェック：

k = 1, a = 2, b = 1：方程式 x² - 2x + 1 = 0 → (x-1)² = 0 → 解は 1（重解）

k = 1, a = 3, b = 2：x² - 3x + 2 = 0 → (x-1)(x-2) = 0 → 解は 1, 2

k = 2, a = 3, b = 2：同上（重複）

k = 1, a = 4, b = 3：x² - 4x + 3 = 0 → (x-1)(x-3) = 0 → 解は 1, 3

k = 3, a = 4, b = 3：同上（重複）

k = 1, a = 5, b = 4：x² - 5x + 4 = 0 → (x-1)(x-4) = 0 → 解は 1, 4

k = 4, a = 5, b = 4：同上（重複）

k = 1, a = 6, b = 5：x² - 6x + 5 = 0 → (x-1)(x-5) = 0 → 解は 1, 5

k = 5, a = 6, b = 5：同上（重複）

k = 2, a = 4, b = 4：x² - 4x + 4 = 0 → (x-2)² = 0 → 解は 2（重解）

k = 2, a = 5, b = 6：x² - 5x + 6 = 0 → (x-2)(x-3) = 0 → 解は 2, 3

k = 3, a = 5, b = 6：同上（重複）

重複を除いた (a, b) の組：

(2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (4,4), (5,6), (6,6) を確認

(6,6)：x² - 6x + 6 = 0 → 解は 3±√3（整数でない）→ 除外

条件を満たす (a, b)：

(2,1), (3,2), (4,3), (4,4), (5,4), (5,6), (6,5), (6,6は除外)

→ 7組

確率 = 7/36

【答】

(1) 17/36

(2) 7/36

よくある間違いと完全対策

共通テスト数学IAで多くの受験生がつまずくポイントを整理しました。これらを事前に把握しておくことで、本番でのミスを防げます。

【間違い1】二次関数の場合分けの漏れ

【間違い2】三角比の符号ミス

【間違い3】余弦定理の辺と角の対応ミス

【間違い4】順列と組合せの取り違え

【間違い5】条件付き確率の分母の取り違え

【間違い6】データの分析 - 分散計算の公式間違い

【間違い7】整数問題 - 一般解の導出ミス

【間違い8】図形の性質 - 定理の適用条件の見落とし

【間違い9】計算ミス - 符号と約分

【間違い10】時間配分のミス

共通テスト・大学入試での出題傾向

共通テストの特徴と傾向

共通テストは2021年から始まり、従来のセンター試験とは異なる特徴を持っています。

【特徴1】問題文が長い

会話形式や日常生活の場面設定が多く、問題を読むだけで時間がかかります。重要な情報を素早く抽出する力が求められます。

【特徴2】思考力・判断力を問う

単純な計算問題は減少し、「なぜそうなるか」「どの方法が適切か」を考えさせる問題が増加しています。

【特徴3】複数の分野の融合

二次関数と確率、三角比とデータの分析など、分野をまたいだ問題が出題されます。

分野別出題傾向（2021〜2024年）

2025年度新課程での変更点

難関大学での出題傾向

共通テストの内容は、二次試験や私立大学入試の基礎となります。特に以下の内容は難関大学で頻出です：

• 東京大学・京都大学：整
• 東京大学・京都大学：整数問題（合同式、不定方程式）、確率漸化式、図形と三角比の融合
• 一橋大学：整数問題、確率（特に条件付き確率と期待値）
• 早稲田・慶應：場合の数の応用、データの分析と確率の融合
• 医学部：三角比と図形の性質、確率の計算（複雑な場合分け）

得点アップのための戦略

藤原進之介おすすめ勉強法と参考書

共通テスト数学IA 効率的な勉強法

私が10年以上の指導経験で確立した、最も効率的な勉強法をお伝えします。

【Step 1】基礎固め（目安：2〜3ヶ月）

【Step 2】標準問題演習（目安：2〜3ヶ月）

【Step 3】実戦演習（目安：2〜3ヶ月）

分野別おすすめ勉強法

■ 二次関数

最重要分野。グラフを必ず描く習慣をつける。場合分けの問題は「軸と定義域の位置関係」を図で確認。平方完成は瞬時にできるまで練習。

■ 三角比

単位円を完全に理解する。正弦定理・余弦定理の使い分けを明確にする。「2辺と間の角」なら余弦定理、「対角と辺」なら正弦定理。

■ データの分析

公式の暗記だけでなく、意味を理解する。「分散はデータの散らばり」「相関係数は2変数の関係の強さ」など。箱ひげ図の読み取り練習も重要。

■ 場合の数・確率

樹形図や表を活用する。「漏れなく、重複なく」数えることを意識。条件付き確率は「分母が変わる」ことを理解する。

■ 整数の性質

ユークリッドの互除法の手順を完全にマスター。具体的な数で試して規則性を見つける習慣をつける。

■ 図形の性質

定理の適用条件を正確に覚える。図を丁寧に描き、補助線を引く練習をする。

レベル別おすすめ参考書

【基礎レベル】

【標準レベル】

【発展レベル】

【共通テスト対策】

藤原式・1日の勉強スケジュール例

勉強で大切な心構え

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ここまでお読みいただき、ありがとうございます。この記事で紹介した内容を実践すれば、共通テスト数学IAの得点は確実に伸びます。

しかし、独学には限界があることも事実です。

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最後に

共通テスト数学IAは、正しい方法で勉強すれば必ず得点できる科目です。

この記事で紹介した30問の問題と解説、重要公式、よくある間違いと対策、効率的な勉強法を実践すれば、あなたの数学力は確実に向上します。

しかし、一人で勉強していると、どうしても見落としや偏りが生じます。私たち日本数学塾・数強塾は、あなたの数学学習を全力でサポートします。

志望校合格という目標に向かって、一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介