【神戸大学 数学 傾向と対策】理系｜藤原進之介が徹底解説

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はじめに：神戸大学 理系数学の全体像

こんにちは、日本数学塾・数強塾の看板講師、藤原進之介です。今回は、関西の名門国立大学である神戸大学の理系数学について、徹底的に解説していきます。

神戸大学は、旧三商大（一橋大学、大阪市立大学、神戸大学）の一角として知られ、特に経済・経営系の学部が有名ですが、理系学部も非常に高いレベルを誇っています。工学部、理学部、農学部、海洋政策科学部など、多彩な理系学部を持ち、毎年多くの受験生が挑戦しています。

神戸大学の理系数学は、「典型問題をベースにしながらも、思考力・応用力を問う良問」が出題されることで知られています。東大・京大・阪大ほどの難問ではありませんが、決して油断できないレベルです。標準的な問題を確実に解く力と、やや難しい問題にも対応できる応用力の両方が求められます。

この記事では、神戸大学理系数学の出題傾向を徹底分析し、分野別の実際の出題例と詳細解説、そして合格するための練習問題10問を提供します。最後まで読んでいただければ、神戸大学数学攻略の道筋が明確になるはずです。

出題傾向の徹底分析

試験形式・時間・配点

まず、神戸大学理系数学の基本情報を確認しましょう。

項目	内容
試験時間	120分（2時間）
問題数	大問5題
配点	150点満点（建築学科を除く工学部は200点満点）
解答形式	全問記述式
出題範囲	数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C（ベクトル、複素数平面）

120分で5題ということは、1題あたり平均24分の時間配分が目安となります。しかし、問題の難易度にはばらつきがあるため、易しい問題を15〜18分で解き、その分を難しい問題に回すという戦略が重要です。

配点は基本的に150点満点ですが、建築学科を除く工学部では200点満点となっているため、学部・学科によって数学の重要度が異なります。共通テストと二次試験の配点比は学部によって異なりますが、概ね50〜60%程度が二次試験の配点となっています。

合格の目安としては、共通テストで8割程度を得点した場合、二次試験で50〜60%程度（150点満点なら75〜90点程度）の得点があれば合格圏内に入ると考えられます。ただし、年度や学部によって変動があるため、より高い得点を目指すことをお勧めします。

頻出テーマ TOP5（各テーマで実際の出題例を1問以上示す）

過去問を分析すると、神戸大学理系数学には明確な出題傾向があります。以下に頻出テーマTOP5を紹介します。

【第1位】微分・積分（数学Ⅲ）

神戸大学理系数学で最も出題頻度が高いのが微分・積分です。毎年必ず1〜2題は出題されると言っても過言ではありません。特に以下のパターンが頻出です：

• 面積・体積の計算
• 媒介変数表示された曲線
• 接線・法線の問題
• 最大・最小問題
• 定積分で表された関数

【実際の出題例：2023年 理系第5問】

この問題は、媒介変数表示された曲線の理解と、面積計算の技術を問う典型的な神戸大学らしい問題です。

【第2位】確率・場合の数

確率は神戸大学でも頻出分野です。特に確率漸化式の問題や、場合分けを伴う確率計算がよく出題されます。

【実際の出題例：2024年 理系第3問】

この問題では、6×6の表を作成し、3回目の出た目についてはブロックを積み上げるイメージで処理するのがポイントです。

【第3位】ベクトル（空間・平面）

ベクトルは数学C の主要分野として、神戸大学でも毎年のように出題されています。空間ベクトルの問題が特に多く、内積の計算や位置ベクトルを用いた問題が頻出です。

【実際の出題例：神戸大学本番レベル模試より】

【第4位】数列・漸化式

数列、特に漸化式の問題は、神戸大学でも定番の出題分野です。等比型、階差型、特性方程式を用いる漸化式など、様々なパターンが出題されます。確率との融合問題（確率漸化式）も要注意です。

【出題パターン例】

【第5位】複素数平面・整数

複素数平面は数学C の新しい分野として、近年出題が増えています。また、整数問題も時折出題され、合同式や約数・倍数の性質を用いた問題が見られます。

【複素数平面の出題パターン例】

分野別 実際の問題と解説

微分・積分（実際の出題例＋詳細解説）

神戸大学で最も重要な分野である微分・積分について、典型問題と解法を詳しく解説します。

【問題1：面積計算（2024年良問より）】

【解説】

Step 1：交点を求める

x³ - 3x = x より、x³ - 4x = 0

x(x² - 4) = 0

x(x + 2)(x - 2) = 0

よって、x = -2, 0, 2

Step 2：上下関係を確認

f(x) = x³ - 3x - x = x³ - 4x = x(x - 2)(x + 2)

• x ∈ (-2, 0) のとき：f(x) > 0（曲線が上）
• x ∈ (0, 2) のとき：f(x) < 0（直線が上）

Step 3：面積を計算

S = ∫₋₂⁰ (x³ - 4x) dx + ∫₀² {-(x³ - 4x)} dx

= ∫₋₂⁰ (x³ - 4x) dx - ∫₀² (x³ - 4x) dx

∫(x³ - 4x) dx = x⁴/4 - 2x²

∫₋₂⁰ (x³ - 4x) dx = [x⁴/4 - 2x²]₋₂⁰ = 0 - (16/4 - 8) = 0 - (-4) = 4

∫₀² (x³ - 4x) dx = [x⁴/4 - 2x²]₀² = (16/4 - 8) - 0 = -4

S = 4 - (-4) = 8

【問題2：媒介変数表示と面積（2023年類題）】

【解説】

(1) の解答：

dx/dθ = -sin θ

dy/dθ = 2cos 2θ

(2) の解答：

まず、曲線の概形を把握します。

• θ = 0 のとき：(x, y) = (1, 0)
• θ = π/4 のとき：(x, y) = (√2/2, 1)
• θ = π/2 のとき：(x, y) = (0, 0)
• θ = 3π/4 のとき：(x, y) = (-√2/2, -1)
• θ = π のとき：(x, y) = (-1, 0)

y = 0 となるのは θ = 0, π/2, π のとき。

0 ≤ θ ≤ π/2 では y ≥ 0、π/2 ≤ θ ≤ π では y ≤ 0

面積 S は対称性を利用して：

S = 2 × ∫₀^(π/2) |y| dx = 2 × |∫_(π/2)^0 sin 2θ × (-sin θ) dθ|

= 2 × ∫₀^(π/2) sin 2θ × sin θ dθ

= 2 × ∫₀^(π/2) 2sin θ cos θ × sin θ dθ

= 4 × ∫₀^(π/2) sin²θ cos θ dθ

t = sin θ と置換すると、dt = cos θ dθ

θ：0 → π/2 のとき t：0 → 1

= 4 × ∫₀¹ t² dt = 4 × [t³/3]₀¹ = 4 × 1/3 = 4/3

【問題3：定積分と極限】

【解説】

これは区分求積法の問題です。

lim(n→∞) (1/n) × Σ(k=1 to n) √(k/n)

= lim(n→∞) Σ(k=1 to n) (1/n) × √(k/n)

この和は、区間 [0, 1] を n 等分し、各区間の右端における関数 f(x) = √x の値を足し合わせたものです。

よって、この極限は定積分に収束します：

= ∫₀¹ √x dx = ∫₀¹ x^(1/2) dx

= [x^(3/2) / (3/2)]₀¹

= (2/3) × [x^(3/2)]₀¹

= (2/3) × (1 - 0)

= 2/3

確率・場合の数（実際の出題例＋詳細解説）

【問題4：サイコロの確率（2024年類題）】

【解説】

Part 1：最大値が4以下となる確率

「最大値が4以下」とは、「すべての目が4以下」ということです。

1回の試行で4以下が出る確率 = 4/6 = 2/3

3回とも4以下が出る確率 = (2/3)³ = 8/27

Part 2：積が12の倍数となる確率

12 = 2² × 3 なので、積が12の倍数であるためには：

• 2の因数が少なくとも2個
• 3の因数が少なくとも1個

が必要です。

余事象を考えます。「積が12の倍数でない」= A ∪ B

• 事象 A：積が4の倍数でない（2の因数が1個以下）
• 事象 B：積が3の倍数でない

P(B) の計算：

3の倍数でない目：1, 2, 4, 5（4個）

P(B) = (4/6)³ = (2/3)³ = 8/27

P(A) の計算：

積が4の倍数でない ＝ 2の因数の総数が1以下

• 全て奇数：(3/6)³ = 1/8
• ちょうど1つが2または6、残り2つが奇数：C(3,1) × (2/6) × (3/6)² = 3 × (1/3) × (1/4) = 1/4
• ちょうど1つが4、残り2つが奇数：C(3,1) × (1/6) × (3/6)² = 3 × (1/6) × (1/4) = 1/8

P(A) = 1/8 + 1/4 + 1/8 = 4/8 = 1/2

P(A ∩ B) の計算：

積が4の倍数でなく、かつ3の倍数でもない

• 使える目：1, 2, 4, 5（3の倍数でない）のうち、2の因数の総数が1以下
• 全て奇数（1, 5のみ）：(2/6)³ = 8/216 = 1/27
• ちょうど1つが2、残り2つが奇数（1, 5）：C(3,1) × (1/6) × (2/6)² = 3 × (1/6) × (4/36) = 12/216 = 1/18
• ちょうど1つが4、残り2つが奇数（1, 5）：C(3,1) × (1/6) × (2/6)² = 1/18

P(A ∩ B) = 1/27 + 1/18 + 1/18 = 2/54 + 3/54 + 3/54 = 8/54 = 4/27

求める確率：

P(積が12の倍数) = 1 - P(A ∪ B) = 1 - {P(A) + P(B) - P(A ∩ B)}

= 1 - {1/2 + 8/27 - 4/27}

= 1 - {1/2 + 4/27}

= 1 - {27/54 + 8/54}

= 1 - 35/54

= 19/54

【問題5：確率漸化式】

【解説】

(1) の解答：

原点に戻るためには、移動量の合計が 0 になる必要があります。

表を a 回、裏を b 回投げたとすると：2a - b = 0、つまり b = 2a

n = 1: a + b = 1 かつ b = 2a は整数解なし。よって p₁ = 0

n = 2: a + b = 2 かつ b = 2a は整数解なし。よって p₂ = 0

n = 3: a + b = 3 かつ b = 2a より a = 1, b = 2

表1回、裏2回の確率 = C(3,1) × (1/2)¹ × (1/2)² = 3 × 1/8 = 3/8

(2) の解答：

n 回後に原点にいて、次の3回で原点に戻る場合を考えます。

3回で移動量0になるのは：表1回・裏2回のとき

また、n 回後に位置 +2 にいて、次の3回で原点に戻る場合：

3回で移動量 -2 になるのは：表0回・裏2回（不可、移動量-2だが3回ではない）

…などを考慮すると、

漸化式：pₙ₊₃ = (3/8)pₙ + （他の項）

詳細な漸化式の導出は、状態遷移図を描いて各状態からの遷移確率を計算することで得られます。

数列・漸化式（実際の出題例＋詳細解説）

【問題6：三項間漸化式】

【解説】

Step 1：特性方程式を解く

特性方程式：x² - 4x + 3 = 0

(x - 1)(x - 3) = 0

x = 1, 3

Step 2：一般項の形を決定

特性方程式の解が異なる2つの実数なので：

aₙ = A × 1ⁿ + B × 3ⁿ = A + B × 3ⁿ

Step 3：初期条件から A, B を決定

a₁ = A + 3B = 1 ... ①

a₂ = A + 9B = 5 ... ②

② - ① より：6B = 4、よって B = 2/3

① より：A = 1 - 3 × (2/3) = 1 - 2 = -1

答え：

aₙ = -1 + (2/3) × 3ⁿ = -1 + 2 × 3ⁿ⁻¹

（検算）

• a₁ = -1 + 2 × 1 = 1 ✓
• a₂ = -1 + 2 × 3 = 5 ✓
• a₃ = -1 + 2 × 9 = 17
• 漸化式確認：a₃ - 4a₂ + 3a₁ = 17 - 20 + 3 = 0 ✓

【問題7：和と一般項の関係】

【解説】

Step 1：n ≥ 2 のとき

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

= (3ⁿ - n - 1) - (3ⁿ⁻¹ - (n-1) - 1)

= 3ⁿ - n - 1 - 3ⁿ⁻¹ + n - 1 + 1

= 3ⁿ - 3ⁿ⁻¹ - 1

= 3ⁿ⁻¹(3 - 1) - 1

= 2 × 3ⁿ⁻¹ - 1

Step 2：n = 1 のとき

a₁ = S₁ = 3¹ - 1 - 1 = 1

n = 1 を aₙ = 2 × 3ⁿ⁻¹ - 1 に代入すると：

a₁ = 2 × 3⁰ - 1 = 2 - 1 = 1 ✓

n = 1 のときも一般項の式が成り立つので：

答え：aₙ = 2 × 3ⁿ⁻¹ - 1

図形・ベクトル（実際の出題例＋詳細解説）

【問題8：空間ベクトルと内積】

【解説】

(1) の解答：

条件より、→a · →b = →b · →c = →c · →a = 0（すべて直交）

→AB = →b - →a, →AC = →c - →a

|→AB|² = |→b - →a|² = |→b|² - 2→a · →b + |→a|² = 16 + 9 = 25

よって |→AB| = 5

|→AC|² = |→c - →a|² = |→c|² + |→a|² = 25 + 9 = 34

よって |→AC| = √34

→AB · →AC = (→b - →a) · (→c - →a)

= →b · →c - →b · →a - →a · →c + |→a|²

= 0 - 0 - 0 + 9 = 9

三角形 ABC の面積 S は：

S = (1/2)√(|→AB|² × |→AC|² - (→AB · →AC)²)

= (1/2)√(25 × 34 - 81)

= (1/2)√(850 - 81)

= (1/2)√769

= √769 / 2

(2) の解答：

H は平面 ABC 上にあるので：

→OH = s→a + t→b + u→c （s + t + u = 1）... ①

また、→OH は平面 ABC に垂直なので：

→OH · →AB = 0 かつ →OH · →AC = 0

→OH · →AB = (s→a + t→b + u→c) · (→b - →a)

= -s|→a|² + t|→b|² = -9s + 16t = 0

よって 9s = 16t ... ②

→OH · →AC = (s→a + t→b + u→c) · (→c - →a)

= -s|→a|² + u|→c|² = -9s + 25u = 0

よって 9s = 25u ... ③

②③より：16t = 25u

t = 25k, u = 16k とおくと、9s = 16 × 25k = 400k より s = 400k/9

① s + t + u = 1 より：

400k/9 + 25k + 16k = 1

400k/9 + 41k = 1

(400k + 369k)/9 = 1

769k = 9

k = 9/769

s = 400/769, t = 225/769, u = 144/769

答え：→OH = (400/769)→a + (225/769)→b + (144/769)→c

【問題9：平面ベクトルと軌跡】

【解説】

P(x, y) とおく。

→PA = (0 - x, 0 - y) = (-x, -y)

→PB = (4 - x, -y)

→PC = (2 - x, 2√3 - y)

→PA + →PB + →PC = (-x + 4 - x + 2 - x, -y - y + 2√3 - y)

= (6 - 3x, 2√3 - 3y)

= 3(2 - x, (2√3)/3 - y)

ここで、三角形 ABC の重心 G は：

G = ((0 + 4 + 2)/3, (0 + 0 + 2√3)/3) = (2, 2√3/3)

よって →PA + →PB + →PC = 3→PG

条件 |→PA + →PB + →PC| = 6 より：

|3→PG| = 6

3|→PG| = 6

|→PG| = 2

答え：点 P の軌跡は、重心 G(2, 2√3/3) を中心とする半径 2 の円

(x - 2)² + (y - 2√3/3)² = 4

整数・その他（実際の出題例＋詳細解説）

【問題10：整数問題（合同式）】

【解説】

方法1：因数分解による証明

n³ + 2n = n(n² + 2)

n を 3 で割った余りで場合分けする：

Case 1：n ≡ 0 (mod 3) のとき

n が 3 の倍数なので、n(n² + 2) は 3 の倍数 ✓

Case 2：n ≡ 1 (mod 3) のとき

n² ≡ 1 (mod 3)

n² + 2 ≡ 1 + 2 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3)

よって n² + 2 が 3 の倍数なので、n(n² + 2) は 3 の倍数 ✓

Case 3：n ≡ 2 (mod 3) のとき

n² ≡ 4 ≡ 1 (mod 3)

n² + 2 ≡ 1 + 2 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3)

よって n² + 2 が 3 の倍数なので、n(n² + 2) は 3 の倍数 ✓

すべての場合で n³ + 2n が 3 の倍数であることが示された。 ■

方法2：直接計算（フェルマーの小定理の応用）

フェルマーの小定理より、p を素数、gcd(n, p) = 1 のとき nᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)

p = 3 のとき、gcd(n, 3) = 1 なら n² ≡ 1 (mod 3)

n³ + 2n ≡ n³ - n ≡ n(n² - 1) ≡ n(n-1)(n+1) (mod 3)

n-1, n, n+1 は連続する3整数なので、必ず1つは3の倍数。

よって n(n-1)(n+1) は 3 の倍数。

したがって n³ + 2n ≡ n³ - n (mod 3) より、n³ + 2n も 3 の倍数。 ■

【問題11：複素数平面】

【解説】

|z| = 2 より、z = 2(cos θ + i sin θ) = 2e^(iθ) とおける。（0 ≤ θ < 2π）

1/z = 1/(2e^(iθ)) = (1/2)e^(-iθ) = (1/2)(cos θ - i sin θ)

w = z + 1/z

= 2(cos θ + i sin θ) + (1/2)(cos θ - i sin θ)

= (2 + 1/2)cos θ + i(2 - 1/2)sin θ

= (5/2)cos θ + i(3/2)sin θ

w = u + iv とおくと：

u = (5/2)cos θ

v = (3/2)sin θ

cos θ = 2u/5, sin θ = 2v/3

cos²θ + sin²θ = 1 より：

(2u/5)² + (2v/3)² = 1

4u²/25 + 4v²/9 = 1

u²/(25/4) + v²/(9/4) = 1

答え：w の軌跡は、中心が原点、長軸の長さが 5、短軸の長さが 3 の楕円

x²/(5/2)² + y²/(3/2)² = 1

厳選！合格するための練習問題10問

ここでは、神戸大学合格に向けて特に重要な練習問題を10問厳選しました。各問題に詳細な解答を付けています。

【練習問題1】微分・積分（標準）

【詳細解答】

Step 1：極値を求める

f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)

f'(x) = 0 となるのは x = 0, 2

増減表：

x	...	0	...	2	...
f'(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	極大	↘	極小	↗

f(0) = 2（極大値）

f(2) = 8 - 12 + 2 = -2（極小値）

Step 2：x 軸との交点

f(x) = 0 より x³ - 3x² + 2 = 0

(x - 1)(x² - 2x - 2) = 0

x = 1, 1 ± √3

x = 1, 1 - √3 ≈ -0.73, 1 + √3 ≈ 2.73

Step 3：面積計算

x 軸より上の部分：x ∈ [1-√3, 1]

x 軸より下の部分：x ∈ [1, 1+√3]

S = ∫_{1-√3}^{1} f(x) dx - ∫_{1}^{1+√3} f(x) dx

∫f(x) dx = x⁴/4 - x³ + 2x

F(x) = x⁴/4 - x³ + 2x とおく。

F(1) = 1/4 - 1 + 2 = 5/4

F(1-√3) = (1-√3)⁴/4 - (1-√3)³ + 2(1-√3)

(1-√3)² = 1 - 2√3 + 3 = 4 - 2√3

(1-√3)³ = (1-√3)(4 - 2√3) = 4 - 2√3 - 4√3 + 6 = 10 - 6√3

(1-√3)⁴ = (4 - 2√3)² = 16 - 16√3 + 12 = 28 - 16√3

F(1-√3) = (28 - 16√3)/4 - (10 - 6√3) + 2(1-√3)

= 7 - 4√3 - 10 + 6√3 + 2 - 2√3

= -1

同様に F(1+√3) = -1

∫_{1-√3}^{1} f(x) dx = F(1) - F(1-√3) = 5/4 - (-1) = 9/4

∫_{1}^{1+√3} f(x) dx = F(1+√3) - F(1) = -1 - 5/4 = -9/4

S = 9/4 - (-9/4) = 9/2

【練習問題2】確率（標準〜やや難）

【詳細解答】

「赤玉が2個連続で出る」= 「どこかで赤赤という並びが出る」

余事象「赤玉が2個連続で出ない」を考える。

赤玉が連続しない並べ方を数える。

白玉3個を先に並べる：○白○白○白○（○は赤玉が入れる場所）

4つの○のうち4つに赤玉を入れる：これは不可能（4個の場所に4個入れると隣り合う）

別の方法で考える：

全体の並べ方：7! / (4! × 3!) = 35 通り

赤玉が連続しない並べ方：

白玉3個の間と両端（4箇所）から4箇所選んで赤玉を置く...これは不可能。

実際には、白3個を並べて、その間と両端の4箇所すべてに赤を1個ずつ入れる。

並べ方：赤白赤白赤白赤 の1通りのみ

よって、赤玉が連続しない確率 = 1/35

赤玉が2個以上連続で出る確率 = 1 - 1/35 = 34/35

【練習問題3】ベクトル（標準）

【詳細解答】

→AD = →AB + →BD = →AB + (2/3)→BC

= →AB + (2/3)(→AC - →AB)

= (1/3)→AB + (2/3)→AC

→AE = (3/4)→AC

P は AD 上にあるので：→AP = s→AD = s{(1/3)→AB + (2/3)→AC}

= (s/3)→AB + (2s/3)→AC ... ①

P は BE 上にあるので：→AP = →AB + t→BE

= →AB + t(→AE - →AB)

= →AB + t{(3/4)→AC - →AB}

= (1-t)→AB + (3t/4)→AC ... ②

①②の係数比較：

s/3 = 1 - t ... ③

2s/3 = 3t/4 ... ④

④より：8s = 9t、よって s = 9t/8

③に代入：(9t/8)/3 = 1 - t

3t/8 = 1 - t

3t + 8t = 8

11t = 8

t = 8/11

s = 9 × (8/11) / 8 = 9/11

→AP = (s/3)→AB + (2s/3)→AC

= (9/11)/3 × →AB + 2(9/11)/3 × →AC

= (3/11)→AB + (6/11)→AC

【練習問題4】数列（標準）

【詳細解答】

方法1：特性方程式を用いる

特性方程式：α = 2α + 3 より α = -3

aₙ₊₁ - (-3) = 2(aₙ - (-3))

aₙ₊₁ + 3 = 2(aₙ + 3)

bₙ = aₙ + 3 とおくと、bₙ₊₁ = 2bₙ（等比数列）

b₁ = a₁ + 3 = 5

bₙ = 5 × 2ⁿ⁻¹

aₙ = bₙ - 3 = 5 × 2ⁿ⁻¹ - 3 = 5 × 2ⁿ⁻¹ - 3

（検算）

• a₁ = 5 × 1 - 3 = 2 ✓
• a₂ = 5 × 2 - 3 = 7、漸化式より a₂ = 2 × 2 + 3 = 7 ✓

【練習問題5】微分・積分（やや難）

【詳細解答】

Step 1：接線の方程式を求める

y = e^x より y' = e^x

点 P(t, e^t) における接線の傾き = e^t

接線の方程式：y - e^t = e^t(x - t)

y = e^t(x - t) + e^t = e^t(x - t + 1)

Step 2：点 Q の座標を求める

接線と x 軸の交点なので y = 0：

0 = e^t(x - t + 1)

e^t ≠ 0 より x = t - 1

よって Q(t - 1, 0)

Step 3：面積を計算する

囲まれた部分は、x = t - 1 から x = t の範囲で、上側が接線、下側が x 軸...ではなく、曲線 y = e^x の下側の部分と接線で囲まれた部分です。

より正確には：

• 曲線 y = e^x（x ≤ t の部分）
• 接線 y = e^t(x - t + 1)（x ≥ t - 1 の部分）
• x 軸

面積 S(t) は：

S(t) = ∫_{t-1}^{t} e^x dx - (接線と x 軸で囲まれた三角形の面積)

三角形 PQR（R は P から x 軸に下ろした垂線の足）の面積：

底辺 QR = t - (t-1) = 1

高さ = e^t

三角形の面積 = (1/2) × 1 × e^t = e^t/2

∫_{t-1}^{t} e^x dx = [e^x]_{t-1}^{t} = e^t - e^{t-1} = e^t - e^t/e = e^t(1 - 1/e)

S(t) = e^t(1 - 1/e) - e^t/2

= e^t{1 - 1/e - 1/2}

= e^t{(2e - 2 - e)/(2e)}

= e^t × (e - 2)/(2e)

= (e - 2)e^{t-1}/2

または S(t) = (e - 2)/(2e) × e^t

【練習問題6】確率漸化式（やや難）

【詳細解答】

状態を (A の得点, B の得点) で表す。

初期状態：(1, 0)

P(a, b) を状態 (a, b) から A が勝つ確率とする。

境界条件：

• P(3, b) = 1（A が3点で勝ち、b = 0, 1, 2）
• P(a, 3) = 0（B が3点で勝ち、a = 0, 1, 2）

漸化式：

P(a, b) = (1/2)P(a+1, b) + (1/2)P(a, b+1)（a < 3, b < 3）

後ろから計算：

P(2, 2) = (1/2)P(3, 2) + (1/2)P(2, 3) = (1/2) × 1 + (1/2) × 0 = 1/2

P(2, 1) = (1/2)P(3, 1) + (1/2)P(2, 2) = (1/2) × 1 + (1/2) × (1/2) = 3/4

P(1, 2) = (1/2)P(2, 2) + (1/2)P(1, 3) = (1/2) × (1/2) + (1/2) × 0 = 1/4

P(2, 0) = (1/2)P(3, 0) + (1/2)P(2, 1) = (1/2) × 1 + (1/2) × (3/4) = 7/8

P(0, 2) = (1/2)P(1, 2) + (1/2)P(0, 3) = (1/2) × (1/4) + (1/2) × 0 = 1/8

P(1, 1) = (1/2)P(2, 1) + (1/2)P(1, 2) = (1/2) × (3/4) + (1/2) × (1/4) = 1/2

P(0, 1) = (1/2)P(1, 1) + (1/2)P(0, 2) = (1/2) × (1/2) + (1/2) × (1/8) = 5/16

P(1, 0) = (1/2)P(2, 0) + (1/2)P(1, 1) = (1/2) × (7/8) + (1/2) × (1/2) = 7/16 + 4/16 = 11/16

【練習問題7】整数（標準）

【詳細解答】

x² + y² = 50 より、x², y² ≤ 50

よって |x|, |y| ≤ 7

x² の取りうる値：0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49

50 - x² が平方数になる x を探す：

• x² = 0 のとき：y² = 50（平方数でない）×
• x² = 1 のとき：y² = 49 = 7²　○
• x² = 4 のとき：y² = 46（平方数でない）×
• x² = 9 のとき：y² = 41（平方数でない）×
• x² = 16 のとき：y² = 34（平方数でない）×
• x² = 25 のとき：y² = 25 = 5²　○
• x² = 36 のとき：y² = 14（平方数でない）×
• x² = 49 のとき：y² = 1 = 1²　○

答え：

(x, y) = (±1, ±7), (±7, ±1), (±5, ±5)

（全部で 4 + 4 + 4 = 12 組）

【練習問題8】複素数平面（標準）

【詳細解答】

-8 = 8(cos π + i sin π) = 8e^{iπ}

z³ = 8e^{iπ} より

z = 2e^{i(π + 2kπ)/3}（k = 0, 1, 2）

k = 0 のとき：

z₀ = 2e^{iπ/3} = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)) = 2(1/2 + i√3/2) = 1 + √3i

k = 1 のとき：

z₁ = 2e^{iπ} = 2(cos π + i sin π) = -2

k = 2 のとき：

z₂ = 2e^{i5π/3} = 2(cos(5π/3) + i sin(5π/3)) = 2(1/2 - i√3/2) = 1 - √3i

これら3点は、原点を中心とする半径2の円上にあり、互いに120°ずつ離れた正三角形の頂点をなす。

【練習問題9】微分と最大最小（標準）

【詳細解答】

方法1：相加相乗平均の関係

x > 0, y > 0 より、相加相乗平均の関係から：

(x + y)/2 ≥ √(xy) = √4 = 2

x + y ≥ 4

等号成立条件：x = y

xy = 4 より x² = 4、x = 2（x > 0 より）

答え：最小値 4（x = y = 2 のとき）

方法2：微分による方法

y = 4/x を代入して f(x) = x + 4/x（x > 0）

f'(x) = 1 - 4/x² = (x² - 4)/x²

f'(x) = 0 となるのは x² = 4、すなわち x = 2（x > 0）

x < 2 で f'(x) < 0（減少）

x > 2 で f'(x) > 0（増加）

よって x = 2 で最小値 f(2) = 2 + 2 = 4

【練習問題10】空間図形と体積（やや難）

【詳細解答】

円柱の底面の半径を x、高さを y とする。

円錐の側面の傾きから、円柱の上端が円錐の側面に接する条件は：

高さ y の位置での円錐の半径 = r(1 - y/h) = r(h - y)/h

円柱が円錐に内接するので：x = r(h - y)/h

これより y = h(1 - x/r) = h(r - x)/r

円柱の体積 V：

V = πx²y = πx² × h(r - x)/r = (πh/r) × x²(r - x)

f(x) = x²(r - x) = rx² - x³（0 < x < r）の最大値を求める。

f'(x) = 2rx - 3x² = x(2r - 3x)

f'(x) = 0 となるのは x = 0 または x = 2r/3

0 < x 0（増加）

2r/3 < x < r で f'(x) < 0（減少）

よって x = 2r/3 で f(x) は最大。

f(2r/3) = (2r/3)² × (r - 2r/3) = (4r²/9) × (r/3) = 4r³/27

V_max = (πh/r) × (4r³/27) = 4πr²h/27

（このとき円柱の高さ y = h(r - 2r/3)/r = h/3）

年間学習ロードマップ

神戸大学理系数学で合格点を取るための、1年間の学習計画を提案します。

【4月〜6月】基礎固め期間

【7月〜9月】標準問題演習期間

【10月〜11月】応用・融合問題期間

【12月〜1月】共通テスト対策 + 弱点補強期間

【2月（直前期）】総仕上げ期間

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まとめ：神戸大学理系数学 攻略のポイント

最後に、この記事の内容を簡潔にまとめます。

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