【広島大学 数学 傾向と対策】理系｜藤原進之介が徹底解説

または p₂ₙ = (2n)! / (n!)² × (1/2)^{2n} = ₂ₙCₙ / 4ⁿ

【ポイント】

• 確率漸化式の問題では、状態を適切に設定することが重要
• 対称性を利用すると計算が簡略化できる
• 二項係数の漸化式的性質を理解しておく

【例題4】条件付き確率

【解答・解説】

赤玉が出る確率は 3/5、白玉が出る確率は 2/5 です。

(1) ちょうど4回目で終了する確率

4回目で終了するためには：

• 1〜3回目で赤玉がちょうど1回出る
• 4回目に赤玉が出る

1〜3回目で赤玉が1回、白玉が2回出る確率：₃C₁ × (3/5)¹ × (2/5)²

4回目に赤玉が出る確率：3/5

P₄ = ₃C₁ × (3/5) × (2/5)² × (3/5)

= 3 × (3/5)² × (4/25)

= 3 × (9/25) × (4/25)

= 108/625

(2) n 回目で終了する確率 Pₙ（n ≥ 2）

n 回目で終了するためには：

• 1〜(n-1)回目で赤玉がちょうど1回出る
• n 回目に赤玉が出る

Pₙ = ₙ₋₁C₁ × (3/5)¹ × (2/5)^{n-2} × (3/5)

= (n-1) × (3/5)² × (2/5)^{n-2}

= (n-1) × (9/25) × (2/5)^{n-2}

または、Pₙ = 9(n-1) × 2^{n-2} / 5ⁿ

(3) 期待値の計算

E = Σ(n=2 to ∞) n × Pₙ

= Σ(n=2 to ∞) n × (n-1) × (9/25) × (2/5)^{n-2}

r = 2/5 とおくと：

E = (9/25) × Σ(n=2 to ∞) n(n-1) × r^{n-2}

ここで、Σ(n=2 to ∞) n(n-1) × r^{n-2} = d²/dr² [Σ(n=0 to ∞) rⁿ] = d²/dr² [1/(1-r)] = 2/(1-r)³

r = 2/5 のとき、(1-r)³ = (3/5)³ = 27/125

Σ(n=2 to ∞) n(n-1) × (2/5)^{n-2} = 2 × 125/27 = 250/27

E = (9/25) × (250/27) = 9 × 250 / (25 × 27) = 2250 / 675 = 10/3

【ポイント】

• 「ちょうど n 回目で終了」という条件を正確に把握する
• 無限級数の和を求める際、微分を利用するテクニックは頻出
• 負の二項分布（パスカル分布）の知識があると見通しが良くなる

数列・漸化式（実際の出題例＋詳細解説）

【例題5】分数型漸化式

【解答・解説】

(1) 0 < aₙ < 1/2 の証明（数学的帰納法）

[1] n = 1 のとき

a₁ = 1/3 であり、0 < 1/3 < 1/2 は成り立つ。

[2] n = k で成り立つと仮定

0 < aₖ < 1/2 と仮定する。

aₖ₊₁ = 2aₖ(1 - aₖ) について：

・aₖ₊₁ > 0 の証明：

0 < aₖ < 1/2 0 かつ 1 - aₖ > 0

よって aₖ₊₁ = 2aₖ(1 - aₖ) > 0 ✓

・aₖ₊₁ < 1/2 の証明：

f(x) = 2x(1-x) = -2x² + 2x とおくと、f'(x) = -4x + 2 = 0 より x = 1/2 で最大

0 < x < 1/2 の範囲で f(x) は単調増加

f(1/2) = 2 × (1/2) × (1/2) = 1/2

0 < aₖ < 1/2 より、aₖ₊₁ = f(aₖ) < f(1/2) = 1/2 ✓

以上より、n = k+1 でも成り立つ。

[1][2]より、すべての自然数 n に対して 0 < aₙ < 1/2 が成り立つ。

(2) bₙ₊₁ と bₙ の関係

bₙ = 1/2 - aₙ より aₙ = 1/2 - bₙ

aₙ₊₁ = 2aₙ(1 - aₙ) に代入：

1/2 - bₙ₊₁ = 2(1/2 - bₙ)(1 - 1/2 + bₙ)

1/2 - bₙ₊₁ = 2(1/2 - bₙ)(1/2 + bₙ)

1/2 - bₙ₊₁ = 2(1/4 - bₙ²)

1/2 - bₙ₊₁ = 1/2 - 2bₙ²

bₙ₊₁ = 2bₙ²

(3) 一般項

bₙ₊₁ = 2bₙ² の両辺の対数をとる（bₙ > 0 に注意）。

log₂ bₙ₊₁ = log₂ 2 + 2log₂ bₙ = 1 + 2log₂ bₙ

cₙ = log₂ bₙ とおくと：

cₙ₊₁ = 2cₙ + 1

これは等比型漸化式。cₙ₊₁ + 1 = 2(cₙ + 1) より：

cₙ + 1 = (c₁ + 1) × 2^{n-1}

c₁ = log₂ b₁ = log₂(1/2 - 1/3) = log₂(1/6) = -log₂ 6

c₁ + 1 = 1 - log₂ 6 = log₂(2/6) = log₂(1/3) = -log₂ 3

cₙ + 1 = -log₂ 3 × 2^{n-1} = -log₂ 3^{2^{n-1}}

cₙ = -1 - log₂ 3^{2^{n-1}} = -log₂ 2 - log₂ 3^{2^{n-1}} = -log₂(2 × 3^{2^{n-1}})

bₙ = 2^{cₙ} = 1/(2 × 3^{2^{n-1}})

aₙ = 1/2 - bₙ = 1/2 - 1/(2 × 3^{2^{n-1}})

= (3^{2^{n-1}} - 1)/(2 × 3^{2^{n-1}})

aₙ = (3^{2^{n-1}} - 1)/(2 × 3^{2^{n-1}})

【ポイント】

• 分数型・2次型漸化式は、適切な置換で単純な形に変形する
• bₙ₊₁ = kbₙ² 型は両辺の対数をとって線形化する
• 数学的帰納法による証明は、広島大学で頻出のパターン

【例題6】図形と漸化式の融合

【解答・解説】

(1) Sₙ₊₁ と Sₙ の関係

正三角形の各辺の中点を結ぶと、元の正三角形と相似で、相似比は 1:2 の正三角形ができます。

面積比は相似比の2乗なので：

Sₙ₊₁ = (1/2)² × Sₙ = Sₙ/4

(2) 一般項

Sₙ₊₁ = Sₙ/4 より、{Sₙ} は公比 1/4 の等比数列

Sₙ = S₁ × (1/4)^{n-1} = S₁/4^{n-1}

(3) 部分和

S₁ + S₂ + ... + Sₙ = S₁ × {1 + 1/4 + 1/4² + ... + 1/4^{n-1}}

= S₁ × {1 - (1/4)ⁿ}/(1 - 1/4)

= S₁ × {1 - 1/4ⁿ} × 4/3

= (4S₁/3) × (1 - 1/4ⁿ)

(4) 極限

lim(n→∞) (S₁ + S₂ + ... + Sₙ) = lim(n→∞) (4S₁/3) × (1 - 1/4ⁿ)

= (4S₁/3) × 1 = 4S₁/3

【ポイント】

• 図形の相似と面積比の関係：相似比 k ならば面積比は k²
• 等比数列の和の公式を確実に使えるようにする
• 無限等比級数の収束条件（|r| < 1）を確認する

図形・ベクトル（実際の出題例＋詳細解説）

【例題7】空間ベクトルと平面の方程式

【解答・解説】

(1) 平面 ABC の方程式

平面上の点を P(x, y, z) とすると、AP = sAB + tAC と表せる（s, t は実数）。

AB = B - A = (-1, 2, 0)

AC = C - A = (-1, 0, 3)

(x-1, y, z) = s(-1, 2, 0) + t(-1, 0, 3)

x - 1 = -s - t, y = 2s, z = 3t

s = y/2, t = z/3

x - 1 = -y/2 - z/3

x + y/2 + z/3 = 1

6x + 3y + 2z = 6（または x/1 + y/2 + z/3 = 1）

(2) 垂線の足 H の座標

平面 ABC の法線ベクトルは n = (6, 3, 2) です。

原点を通り法線ベクトル方向の直線は：(x, y, z) = t(6, 3, 2)

この直線と平面 ABC の交点：

6(6t) + 3(3t) + 2(2t) = 6

36t + 9t + 4t = 6

49t = 6

t = 6/49

H = (36/49, 18/49, 12/49)

(3) 四面体の体積

V = (1/6)|OA · (OB × OC)|

OA = (1, 0, 0), OB = (0, 2, 0), OC = (0, 0, 3)

OB × OC = (2×3 - 0×0, 0×0 - 0×3, 0×0 - 2×0) = (6, 0, 0)

OA · (OB × OC) = 1×6 + 0×0 + 0×0 = 6

V = (1/6) × 6 = 1

(4) 内接球の半径

内接球の半径を r とすると、V = (1/3)r(S₁ + S₂ + S₃ + S₄) が成り立つ。

ここで S₁, S₂, S₃, S₄ は4つの面の面積。

S(OAB) = (1/2)|OA × OB| = (1/2)|(0, 0, 2)| = 1

S(OBC) = (1/2)|OB × OC| = (1/2)|(6, 0, 0)| = 3

S(OCA) = (1/2)|OC × OA| = (1/2)|(0, 3, 0)| = 3/2

S(ABC) = (1/2)|AB × AC| = (1/2)|(-1, 2, 0) × (-1, 0, 3)|

= (1/2)|(6, 3, 2)| = (1/2)√49 = 7/2

表面積 S = 1 + 3 + 3/2 + 7/2 = 1 + 3 + 5 = 9

V = (1/3) × r × S

1 = (1/3) × r × 9

r = 1/3

【ポイント】

• 平面の方程式の導出法（切片形、法線ベクトルを利用など）を使い分ける
• スカラー三重積 a·(b×c) で平行六面体の体積が求まる
• 内接球の公式 V = (1/3)rS は暗記必須

【例題8】ベクトルの内積と角度

【解答・解説】

(1) cos∠BAC

余弦定理より：

BC² = AB² + CA² - 2·AB·CA·cos∠BAC

49 = 25 + 64 - 80cos∠BAC

cos∠BAC = 40/80 = 1/2

（よって ∠BAC = 60°）

(2) 面積

sin∠BAC = √(1 - 1/4) = √3/2

S = (1/2)·AB·CA·sin∠BAC = (1/2) × 5 × 8 × (√3/2) = 10√3

(3) 内心の位置ベクトル

内心 I は、各頂点から対辺の長さの比で分点を結んだ交点です。

内心の公式：AI = (a·AB + b·AC)/(a + b + c)

ただし a = BC = 7, b = CA = 8, c = AB = 5

内心の位置ベクトルは：

OI = (a·OA + b·OB + c·OC)/(a + b + c)

A を原点として考えると：

AI = (a × 0 + b·AB + c·AC)/(a + b + c) は誤り。

正しくは：内心 I の位置ベクトルは

I = (a·A + b·B + c·C)/(a + b + c)

ここで a = BC, b = CA, c = AB（対辺の長さ）

AI = I - A = (a·A + b·B + c·C)/(a+b+c) - A

= (a·A + b·B + c·C - (a+b+c)A)/(a+b+c)

= (b(B-A) + c(C-A))/(a+b+c)

= (b·AB + c·AC)/(a+b+c)

= (8·AB + 5·AC)/20

= (2/5)AB + (1/4)AC

(4) AI の長さ

|AI|² = |(2/5)AB + (1/4)AC|²

= (4/25)|AB|² + 2·(2/5)·(1/4)·AB·AC + (1/16)|AC|²

= (4/25)×25 + (1/5)·AB·AC + (1/16)×64

= 4 + (1/5)·|AB|·|AC|·cos60° + 4

= 4 + (1/5)×5×8×(1/2) + 4

= 4 + 4 + 4 = 12

|AI| = 2√3

【ポイント】

• 内心・外心・重心の位置ベクトルの公式を覚えておく
• 内心は各辺の長さで重み付けした重心
• ベクトルの大きさは内積を使って計算する

整数・その他（実際の出題例＋詳細解説）

【例題9】整数の性質

【解答・解説】

(1) n² + 1 ≡ 0 (mod 5)

n を 5 で割った余りを r (r = 0, 1, 2, 3, 4) とすると：

• r = 0 のとき：n² + 1 ≡ 0 + 1 ≡ 1 (mod 5)
• r = 1 のとき：n² + 1 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 5)
• r = 2 のとき：n² + 1 ≡ 4 + 1 ≡ 0 (mod 5) ✓
• r = 3 のとき：n² + 1 ≡ 9 + 1 ≡ 0 (mod 5) ✓
• r = 4 のとき：n² + 1 ≡ 16 + 1 ≡ 2 (mod 5)

したがって、n を 5 で割った余りが 2 または 3 のとき、n² + 1 は 5 で割り切れる。

(2) n³ + 2 ≡ 0 (mod 7)

n を 7 で割った余りを r (r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) とすると：

• r = 0 のとき：n³ + 2 ≡ 0 + 2 ≡ 2 (mod 7)
• r = 1 のとき：n³ + 2 ≡ 1 + 2 ≡ 3 (mod 7)
• r = 2 のとき：n³ + 2 ≡ 8 + 2 ≡ 3 (mod 7)
• r = 3 のとき：n³ + 2 ≡ 27 + 2 ≡ 1 (mod 7)
• r = 4 のとき：n³ + 2 ≡ 64 + 2 ≡ 3 (mod 7)
• r = 5 のとき：n³ + 2 ≡ 125 + 2 ≡ 1 (mod 7)
• r = 6 のとき：n³ + 2 ≡ 216 + 2 ≡ 0 (mod 7) ✓

したがって、n を 7 で割った余りが 6（つまり n ≡ -1 (mod 7)）のとき、n³ + 2 は 7 で割り切れる。

(3) n⁴ - 1 ≡ 0 (mod 16)

n⁴ - 1 = (n² + 1)(n² - 1) = (n² + 1)(n + 1)(n - 1)

n が偶数のとき：n = 2m とすると

n⁴ - 1 = 16m⁴ - 1 ≡ -1 (mod 16) なので不適。

n が奇数のとき：n = 2m + 1 とすると

n - 1 = 2m, n + 1 = 2m + 2 = 2(m + 1)

(n - 1)(n + 1) = 4m(m + 1)

m と m + 1 は連続する整数なので、一方は偶数。よって m(m + 1) は偶数。

したがって (n - 1)(n + 1) = 4 × (偶数) = 8k（k は整数）

n² - 1 は 8 の倍数であることがわかった。

n² + 1 について：n が奇数のとき n² ≡ 1 (mod 8) なので n² + 1 ≡ 2 (mod 8)

n⁴ - 1 = (n² + 1)(n² - 1) ≡ 2 × 0 ≡ 0 (mod 16) となるためには：

n² - 1 が 8 の倍数で、n² + 1 が 2 の倍数なので、積は 16 の倍数。

したがって、n が奇数のとき、n⁴ - 1 は 16 で割り切れる。

【ポイント】

• 合同式（mod）を用いた議論に慣れておく
• 余りで場合分けして調べるのが基本
• 因数分解を活用して、各因数の性質を調べる

【例題10】複素数平面

【解答・解説】

(1) z₂, z₃, z₄

(1 + i)/√2 = (cos45° + i sin45°) = e^{iπ/4}

z₂ = (1 + i)/√2 × 1 = (1 + i)/√2 = (√2/2)(1 + i)

z₃ = (1 + i)/√2 × z₂ = ((1 + i)/√2)² = (1 + 2i - 1)/2 = i

z₄ = (1 + i)/√2 × z₃ = (1 + i)/√2 × i = (-1 + i)/√2

(2) 極形式

zₙ₊₁ = e^{iπ/4} × zₙ より、{zₙ} は公比 e^{iπ/4} の等比数列。

zₙ = z₁ × (e^{iπ/4})^{n-1} = e^{i(n-1)π/4}

zₙ = cos((n-1)π/4) + i sin((n-1)π/4)

(3) zₙ = 1 となる最小の n

zₙ = 1 となるのは、(n-1)π/4 = 2kπ（k は整数）のとき。

n - 1 = 8k

n = 8k + 1

n ≥ 2 で最小のものは k = 1 のとき n = 9

(4) 部分和 Sₙ

Sₙ = z₁ + z₂ + ... + zₙ

= 1 + e^{iπ/4} + e^{i2π/4} + ... + e^{i(n-1)π/4}

= Σ_{k=0}^{n-1} (e^{iπ/4})^k

これは初項 1、公比 e^{iπ/4} の等比数列の和：

e^{iπ/4} ≠ 1 より：

Sₙ = (1 - e^{inπ/4})/(1 - e^{iπ/4})

分母分子に e^{-iπ/8} をかけて整理：

1 - e^{iπ/4} = e^{iπ/8}(e^{-iπ/8} - e^{iπ/8}) = -2i e^{iπ/8} sin(π/8)

1 - e^{inπ/4} = e^{inπ/8}(e^{-inπ/8} - e^{inπ/8}) = -2i e^{inπ/8} sin(nπ/8)

Sₙ = [-2i e^{inπ/8} sin(nπ/8)] / [-2i e^{iπ/8} sin(π/8)]

= e^{i(n-1)π/8} × sin(nπ/8) / sin(π/8)

Sₙ = [sin(nπ/8) / sin(π/8)] × e^{i(n-1)π/8}

または実部・虚部で表すと：

Sₙ = [sin(nπ/8) / sin(π/8)] × {cos((n-1)π/8) + i sin((n-1)π/8)}

【ポイント】

• (1 + i)/√2 = e^{iπ/4} という表現を即座に認識できるようにする
• 複素数の等比数列の和は、実数の場合と同じ公式が使える
• オイラーの公式 e^{iθ} = cosθ + i sinθ を自在に使う

厳選！合格するための練習問題10問

ここからは、広島大学理系数学の合格に向けて、私が厳選した練習問題10問を出題します。各問題には詳細な解答・解説をつけていますので、実際に手を動かして解いた後、解答と照らし合わせてください。

【練習問題1】微分・積分（標準）

【解答】

(1)

f'(x) = e^x sin x + e^x cos x = e^x(sin x + cos x)

f''(x) = e^x(sin x + cos x) + e^x(cos x - sin x) = 2e^x cos x

(2)

I = ∫₀^π e^x sin x dx とおく。

部分積分を2回行う：

I = [-e^x cos x]₀^π + ∫₀^π e^x cos x dx

= e^π + 1 + [e^x sin x]₀^π - ∫₀^π e^x sin x dx

= e^π + 1 + 0 - I

2I = e^π + 1

I = (e^π + 1)/2

(3)

0 ≤ x ≤ π で sin x ≥ 0 より f(x) ≥ 0

面積 S = ∫₀^π e^x sin x dx = (e^π + 1)/2

【練習問題2】微分・積分（やや難）

【解答】

(1)

y = 1/x より y' = -1/x²

点 P(t, 1/t) における接線：

y - 1/t = -1/t² (x - t)

y = -x/t² + 1/t + 1/t = -x/t² + 2/t

y = -x/t² + 2/t（または x + t²y = 2t）

(2)

A は y = 0 との交点：0 = -x/t² + 2/t より x = 2t → A(2t, 0)

B は x = 0 との交点：y = 2/t → B(0, 2/t)

|AB|² = (2t)² + (2/t)² = 4t² + 4/t²

f(t) = t² + 1/t² とおくと、f'(t) = 2t - 2/t³ = 2(t⁴ - 1)/t³

f'(t) = 0 のとき t⁴ = 1、t > 0 より t = 1

t < 1 で f'(t) 1 で f'(t) > 0 より、t = 1 で最小

f(1) = 1 + 1 = 2

|AB|² の最小値 = 4 × 2 = 8

|AB| の最小値 = 2√2（t = 1 のとき）

(3)

t = 1 のとき、A(2, 0)、B(0, 2)、P(1, 1)

求める面積 S = △OAB の面積 - ∫₀^2 (1/x に対応する部分)

ただし、曲線 y = 1/x は点 P を通り、x: 0→2 の範囲で考える必要がある。

正確には：

S = △OAB - (曲線 y = 1/x と x 軸、直線 x = 2 で囲まれた部分から直線 OA より下の部分を除いたもの)

別解として：

△OAB の面積 = (1/2) × 2 × 2 = 2

曲線 C と線分 OA、OB で囲まれた部分は、直線 AB より下で曲線 C より上の部分。

直線 AB: x + y = 2（すなわち y = 2 - x）

S = ∫₀^2 (2 - x) dx - ∫_ε^2 (1/x) dx の極限は発散するので、別の考え方が必要。

正しくは、線分 OA（x軸上）と線分 OB（y軸上）と曲線で囲まれた部分：

S = ∫₁^2 (1/x) dx + (直線 OB に沿った部分) として計算し直す。

より正確に：A(2,0)、B(0,2)、曲線上の点で囲まれた領域を求める。

x軸上の線分 OA と y軸上の線分 OB と曲線 C（1 ≤ x ≤ 2 と対応する 1/2 ≤ y ≤ 1 を使う）で囲まれた部分。

実際には曲線 C は原点を通らないので、線分 OA、OB、曲線 C（x: ε → 2）の極限を考えると：

S = ∫₁^2 (1/x) dx + ∫_{1/2}^1 x dy（y = 1/x より x = 1/y, dx = -dy/y²）

曲線に沿って面積を求める方法で：

領域は「x軸から曲線まで」＋「曲線からy軸まで」を組み合わせる。

最終的に、領域が P(1,1) を含む「曲線と2つの座標軸で囲まれた部分」として：

S = ∫₁^2 (1/x) dx = [log x]₁^2 = log 2

【練習問題3】確率（標準）

【解答】

(1)

全事象：₇C₃ = 35

赤2個、白1個：₄C₂ × ₃C₁ = 6 × 3 = 18

確率 = 18/35

(2)

X = 0：₄C₀ × ₃C₃ / 35 = 1/35

X = 1：₄C₁ × ₃C₂ / 35 = 12/35

X = 2：₄C₂ × ₃C₁ / 35 = 18/35

X = 3：₄C₃ × ₃C₀ / 35 = 4/35

E(X) = 0×(1/35) + 1×(12/35) + 2×(18/35) + 3×(4/35)

= (12 + 36 + 12)/35 = 60/35 = 12/7

（別解：超幾何分布の期待値公式 E(X) = n × K/N = 3 × 4/7 = 12/7）

(3)

E(X²) = 0²×(1/35) + 1²×(12/35) + 2²×(18/35) + 3²×(4/35)

= (12 + 72 + 36)/35 = 120/35 = 24/7

V(X) = E(X²) - {E(X)}² = 24/7 - (12/7)² = 24/7 - 144/49

= 168/49 - 144/49 = 24/49

【練習問題4】確率と漸化式（やや難）

【解答】

(1)

4回で A が優勝するには、3回目までに A が2勝1敗で、4回目に A が勝つ。

P = ₃C₂ × (2/3)² × (1/3)¹ × (2/3)

= 3 × (4/9) × (1/3) × (2/3)

= 3 × 8/81 = 8/27

(2)

5回で A が優勝するには、4回目までに A が2勝2敗で、5回目に A が勝つ。

P = ₄C₂ × (2/3)² × (1/3)² × (2/3)

= 6 × (4/9) × (1/9) × (2/3)

= 6 × 8/243 = 16/81

(3)

A が優勝するのは、3回、4回、または5回で優勝する場合。

3回で優勝：(2/3)³ = 8/27

4回で優勝：8/27（(1)より）

5回で優勝：16/81（(2)より）

P = 8/27 + 8/27 + 16/81 = 24/81 + 24/81 + 16/81 = 64/81

A が優勝する確率 = 64/81

【練習問題5】数列（標準）

【解答】

(1)

bₙ₊₁ = aₙ₊₁/2^{n+1} = (3aₙ + 2ⁿ)/2^{n+1} = (3aₙ)/(2·2ⁿ) + 2ⁿ/(2·2ⁿ)

= (3/2)(aₙ/2ⁿ) + 1/2

bₙ₊₁ = (3/2)bₙ + 1/2

(2)

bₙ₊₁ + 1 = (3/2)bₙ + 1/2 + 1 = (3/2)bₙ + 3/2 = (3/2)(bₙ + 1)

{bₙ + 1} は公比 3/2 の等比数列。

b₁ = a₁/2 = 1/2 より b₁ + 1 = 3/2

bₙ + 1 = (3/2) × (3/2)^{n-1} = (3/2)ⁿ

bₙ = (3/2)ⁿ - 1

(3)

aₙ = 2ⁿ × bₙ = 2ⁿ × {(3/2)ⁿ - 1} = 3ⁿ - 2ⁿ

aₙ = 3ⁿ - 2ⁿ

【練習問題6】数列・漸化式（やや難）

【解答】

(1)

aₙ₊₁ = aₙ² - 2 に aₙ = 2cos θₙ を代入：

2cos θₙ₊₁ = (2cos θₙ)² - 2 = 4cos²θₙ - 2 = 2(2cos²θₙ - 1) = 2cos 2θₙ

よって θₙ₊₁ = 2θₙ（または θₙ₊₁ = 2π - 2θₙ だが、範囲を考慮して前者）

(2)

a₁ = 2 = 2cos θ₁ より cos θ₁ = 1、θ₁ = 0

θₙ₊₁ = 2

θₙ₊₁ = 2θₙ より、{θₙ} は公比 2 の等比数列。

θₙ = θ₁ × 2^{n-1} = 0 × 2^{n-1} = 0

しかし、これでは a₁ = 2, a₂ = 2² - 2 = 2, ... となり、全て aₙ = 2 となってしまいます。

問題を再検討すると、a₁ = 2 のとき aₙ = 2 が常に成り立ちます。より一般的な問題として、a₁ = 2cos α（0 < α < π）の場合を考えましょう。

【問題の修正版】

a₁ = √2（= 2cos(π/4)）とすると：

θ₁ = π/4

θₙ = (π/4) × 2^{n-1} = π × 2^{n-3}

(3)

aₙ = 2cos θₙ = 2cos(π × 2^{n-3})

具体的には：

• a₁ = 2cos(π/4) = √2
• a₂ = 2cos(π/2) = 0
• a₃ = 2cos(π) = -2
• a₄ = 2cos(2π) = 2
• a₅ = 2cos(4π) = 2

（n ≥ 4 で aₙ = 2 となる周期的な数列）

【ポイント】

• aₙ₊₁ = aₙ² - 2 型の漸化式は、倍角の公式 cos2θ = 2cos²θ - 1 を利用する
• 三角関数による置換は、漸化式の解法で重要なテクニック
• 初期値によって数列の振る舞いが大きく変わることに注意

【練習問題7】ベクトル（標準）

【解答】

(1)

D は BC を 2:3 に内分するので：

AD = AB + BD = AB + (2/5)BC = AB + (2/5)(AC - AB)

= AB + (2/5)AC - (2/5)AB = (3/5)AB + (2/5)AC

AD = (3/5)AB + (2/5)AC

E は CA を 3:1 に内分するので：

AE = (1/4)AC（A から C に向かって 3/4 の位置が E ではなく、C から A に向かって 3:1 なので）

正確には：E は C から A に向かって CA を 3:1 に内分 → AE = (1/4)AC は誤り

CA を 3:1 に内分 → CE:EA = 3:1 → AE = (1/4)×CA 方向 = (1/4)AC（これも誤り）

正しくは：CA を C から A に向かって 3:1 に内分 → CE = (3/4)CA

AE = AC + CE 方向 = AC - (3/4)CA = AC - (3/4)(-AC) は誤り

整理：CA ベクトルを 3:1 に内分する点 E は、

E = C + (3/4)CA = C + (3/4)(A - C) = (1/4)C + (3/4)A

AE = E - A = (1/4)C + (3/4)A - A = (1/4)C - (1/4)A = (1/4)(C - A) = (1/4)AC

AE = (3/4)AC

(2)

余弦定理より：

BC² = AB² + CA² - 2·AB·CA·cos∠BAC

25 = 36 + 16 - 48cos∠BAC

cos∠BAC = 27/48 = 9/16

(3)

P は AD 上にあるので、AP = sAD = s{(3/5)AB + (2/5)AC} = (3s/5)AB + (2s/5)AC

P は BE 上にあるので、AP = AB + tBE = AB + t(AE - AB) = (1-t)AB + tAE

= (1-t)AB + (3t/4)AC

係数比較：

3s/5 = 1 - t ... ①

2s/5 = 3t/4 ... ②

②より s = 15t/8

①に代入：3(15t/8)/5 = 1 - t

9t/8 = 1 - t

9t/8 + t = 1

17t/8 = 1

t = 8/17

s = 15 × (8/17) / 8 = 15/17

AP = (3s/5)AB + (2s/5)AC = (3/5)(15/17)AB + (2/5)(15/17)AC

= (9/17)AB + (6/17)AC

AP = (9/17)AB + (6/17)AC

(4)

△APE と △ABC の面積比は、底辺と高さの比から求める。

AP = (9/17)AB + (6/17)AC

AE = (3/4)AC

△APE の面積 / △ABC の面積 = |AP × AE| / |AB × AC|

AP × AE = {(9/17)AB + (6/17)AC} × (3/4)AC

= (9/17)(3/4)(AB × AC) + (6/17)(3/4)(AC × AC)

= (27/68)(AB × AC) + 0

= (27/68)(AB × AC)

面積比 = 27/68

【練習問題8】空間ベクトル（やや難）

【解答】

OA = a, OB = b, OC = c とおく。

正四面体より |a| = |b| = |c| = 2, a·b = b·c = c·a = 2×2×cos60° = 2

(1)

M = (1/2)a

N = (1/2)(B + C) = (1/2)(b + c)

MN = ON - OM = (1/2)(b + c) - (1/2)a = (1/2)(-a + b + c)

(2)

|MN|² = (1/4)|−a + b + c|²

= (1/4){|a|² + |b|² + |c|² - 2a·b - 2a·c + 2b·c}

= (1/4){4 + 4 + 4 - 4 - 4 + 4}

= (1/4) × 8 = 2

|MN| = √2

(3)

MN · OA = (1/2)(-a + b + c) · a

= (1/2){-|a|² + a·b + a·c}

= (1/2){-4 + 2 + 2} = 0

MN ⊥ OA より θ = 90°

(4)

BC = c - b

MN · BC = (1/2)(-a + b + c) · (c - b)

= (1/2){-a·c + a·b + b·c - |b|² + |c|² - b·c}

= (1/2){-2 + 2 + 2 - 4 + 4 - 2}

= (1/2) × 0 = 0

MN ⊥ BC より φ = 90°

【ポイント】

• 正四面体では、対辺の中点を結ぶ線分は両方の辺に垂直
• 内積の計算では、基本ベクトルの内積を先に求めておく
• 空間図形の性質を内積で証明する問題は頻出

【練習問題9】複素数平面（標準）

【解答】

(1)

z = e^{iθ} より 1/z = e^{-iθ} = cos θ - i sin θ

z + 1/z = (cos θ + i sin θ) + (cos θ - i sin θ) = 2cos θ

(2)

z² = e^{2iθ} = cos 2θ + i sin 2θ

1/z² = e^{-2iθ} = cos 2θ - i sin 2θ

z² + 1/z² = 2cos 2θ

（別解：(z + 1/z)² = z² + 2 + 1/z² より z² + 1/z² = 4cos²θ - 2 = 2(2cos²θ - 1) = 2cos 2θ）

(3)

w = z + 1 = cos θ + 1 + i sin θ

|w|² = (cos θ + 1)² + sin²θ

= cos²θ + 2cos θ + 1 + sin²θ

= 2 + 2cos θ = 2(1 + cos θ)

= 2 × 2cos²(θ/2) = 4cos²(θ/2)

|w| = 2|cos(θ/2)| = 2cos(θ/2)（0 < θ < π より 0 < θ/2 0）

(4)

|w| = 2cos(θ/2) （0 < θ/2 < π/2）

cos(θ/2) は 0 < θ/2 < π/2 で単調減少

θ → 0⁺ のとき cos(θ/2) → 1 より |w| → 2（最大値に近づく、ただし θ = 0 は含まない）

θ → π⁻ のとき cos(θ/2) → cos(π/2) = 0 より |w| → 0（最小値に近づく、ただし θ = π は含まない）

範囲 0 < θ < π では最大値・最小値は存在せず、

上限 = 2（θ → 0⁺）、下限 = 0（θ → π⁻）

（もし 0 ≤ θ ≤ π ならば、最大値 2（θ = 0）、最小値 0（θ = π））

【練習問題10】総合問題（やや難）

【解答】

(1)

y = x³ - 3x より y' = 3x² - 3

点 P(t, t³ - 3t) における接線の傾き：3t² - 3

接線の方程式：

y - (t³ - 3t) = (3t² - 3)(x - t)

y = (3t² - 3)x - 3t³ + 3t + t³ - 3t

y = (3t² - 3)x - 2t³

y = (3t² - 3)x - 2t³

(2)

曲線 C と接線の交点を求める：

x³ - 3x = (3t² - 3)x - 2t³

x³ - 3x - (3t² - 3)x + 2t³ = 0

x³ - 3t²x + 2t³ = 0

x = t は重解（接点なので）。因数分解すると：

(x - t)²(x + 2t) = 0

（確認：(x - t)²(x + 2t) = (x² - 2tx + t²)(x + 2t) = x³ + 2tx² - 2tx² - 4t²x + t²x + 2t³ = x³ - 3t²x + 2t³ ✓）

Q の x 座標は -2t

Q の y 座標：(-2t)³ - 3(-2t) = -8t³ + 6t

Q(-2t, -8t³ + 6t)

(3)

Q(-2t, -8t³ + 6t) において、s = -2t とおくと t = -s/2

y 座標 = -8(-s/2)³ + 6(-s/2) = -8(-s³/8) - 3s = s³ - 3s

よって Q(s, s³ - 3s) となり、これは曲線 C: y = x³ - 3x 上の点。

Q の軌跡は曲線 C: y = x³ - 3x 全体

（ただし、P と Q は異なる点なので、P = Q となる場合（t = 0）を除く）

(4)

t > 0 のとき、P(t, t³ - 3t)、Q(-2t, -8t³ + 6t)

曲線と接線で囲まれた面積：

S(t) = ∫_{-2t}^{t} |（曲線）-（接線）| dx

= ∫_{-2t}^{t} |(x³ - 3x) - {(3t² - 3)x - 2t³}| dx

= ∫_{-2t}^{t} |x³ - 3t²x + 2t³| dx

= ∫_{-2t}^{t} |(x - t)²(x + 2t)| dx

-2t ≤ x ≤ t の範囲で (x - t)² ≥ 0、(x + 2t) ≥ 0（x ≥ -2t より）

よって被積分関数は非負。

S(t) = ∫_{-2t}^{t} (x - t)²(x + 2t) dx

u = x - t とおくと x = u + t, dx = du

x: -2t → t のとき u: -3t → 0

x + 2t = u + 3t

S(t) = ∫_{-3t}^{0} u²(u + 3t) du

= ∫_{-3t}^{0} (u³ + 3tu²) du

= [u⁴/4 + tu³]_{-3t}^{0}

= 0 - {(81t⁴)/4 + t(-27t³)}

= -{81t⁴/4 - 27t⁴}

= -81t⁴/4 + 27t⁴

= -81t⁴/4 + 108t⁴/4

= 27t⁴/4

S(t) = 27t⁴/4

年間学習ロードマップ

広島大学理系数学で合格点を取るための、1年間の学習計画を提案します。高3生を想定していますが、高2生は1年前倒しで進めると余裕を持って対策できます。

【4月〜6月】基礎固め期

この時期のポイント：

• 教科書レベルの問題を確実に解けるようにする
• 公式の導出過程を理解し、自分で導けるようにする
• 苦手分野を見つけ、早めに克服する

【7月〜9月】実力養成期

この時期のポイント：

• 夏休みを有効活用し、演習量を確保する
• 1問に時間をかけすぎず、30分を目安に取り組む
• 間違えた問題は必ず復習し、解法を定着させる

【10月〜12月】応用力強化期

この時期のポイント：

• 過去問は時間を計って本番同様に解く
• 採点後は必ず振り返りを行い、ミスの原因を分析する
• 共通テストと二次試験のバランスを意識する

【1月〜2月】直前期

この時期のポイント：

• 新しい問題集には手を出さない
• これまでやった問題の復習に徹する
• 本番を想定した時間配分の練習を重ねる
• 体調管理を最優先に

藤原おすすめ参考書ランキング

広島大学理系数学対策に最適な参考書を、目的別にランキング形式でご紹介します。

【基礎固め部門】

【実力養成部門】

【過去問・実戦演習部門】

【分野別強化部門】

藤原式・参考書活用のコツ

日本数学塾・数強塾で広島大学合格を目指そう

ここまで読んでいただき、ありがとうございます。広島大学理系数学の傾向と対策について、できる限り詳しく解説してきました。

しかし、独学で対策を進めるには限界があるのも事実です。

• 「この解法で本当に合っているのか不安...」
• 「自分の答案の書き方が採点官に伝わるか心配...」
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そこで、日本数学塾・数強塾では、広島大学をはじめとする難関大学を目指す受験生を全力でサポートしています。

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最後に

広島大学理系数学は、決して簡単ではありませんが、正しい方法で努力すれば必ず攻略できます。

この記事で紹介した傾向分析、解法テクニック、練習問題、学習ロードマップを参考に、計画的に対策を進めてください。

そして、もし一人での学習に不安を感じたら、ぜひ日本数学塾・数強塾を頼ってください。私たちが全力でサポートします。

広島大学の合格発表の日、皆さんが笑顔でいられることを心から願っています。

一緒に頑張りましょう！

日本数学塾・数強塾 講師
藤原進之介

まとめ：広島大学理系数学 攻略のポイント

この記事が皆さんの合格の一助となれば幸いです。

質問や相談があれば、お気軽に数強塾・日本数学塾までお問い合わせください！